第一章集合与函数概念单元测试卷(巅峰版)解析版-假期利器之暑假初升高数学衔接(人教A版必修一)

第一章集合与函数单元测试卷（巅峰版）
一、选择题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

2
1 .设M xx 1，则下列关系正确的是（）
A. 1 M
B. 1, 1 M
C. 1 M
D. M
【答案】C
【解析】
由题得M 1,1，
A.元素“ 1和集合M的关系只能用，连接，不能用，连接，所以该选项错误；
B.1, 1和集合M只能用，连接，不能用，连接，所以该选项错误；
C. 1 M正确；
D.M，显然错误.
故选：C
2. （ 2019 唐山一中高一期中）已知集合 A={x|x 2- 2x - 3v 0}，集合 B={x|2 x+1> 1}，则？B A=（）
A . [3，+8） B. （ 3，+8）
C . （- 8，- 1] u [3，+8）
D .（- 8，- 1）U（ 3，+8）
【答案】A
【解析】因为A {x|x2 2x 3 0} {x|（x 1）（x 3） 0} （ 1,3），B x2x、1 （ 1,），所以
C
B A [3,）；故选 A.
3. （ 2019苍南县树人中学高一期中）若对任意的实数x R，不等式x2mx 2m 3 0恒成立，则实数m的取值范围是
A . [2,6]? B.[ 6, 2]
C. (2,6)
D.( 6, 2)
【答案】A
2 【解析】对任意实数x R，不等式x2 mx 2m
3 0恒成立，则m24(2m 3)
m 8m 12
解得2 m 6，即实数m 的取值范围是
2,6，故选A.
A B ，
a 3
-,—，解得. 2 2
a 的取值范围是［3， ).
故选：B .
【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查交集、子集、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考
查函数与方程思想，是基础题.
A. ( - ^.- 2)U (- 2，3]
7
C. [ -，- 2]
2
【答案】D
【解析】
B. [ - 11，3]
7
D. [ -，- 2)U (- 2，0]
2
由题可知，对应的 x 应满足
2x 1 6,1
，即
x 2 0
故选：D
A. (3,)
B. [3，
)
C.
[1， )
D. (1,)
【分析】先分别求出集合
A ，
B ，由 A
B ，能求出 a 的取值范围.
【解答】解：Q 集合A {x|2x 2
5x 3 3
0} {x| 3
x 1}，
集合 B {x|2x a 0}
{x|x
f}，
4. (5分)已知集合A {x|2x 2
5x 3
0}，集合 B {x |2x a 0}，若 A 2
5 .已知函数y= f (x)的定义域为 ［-6，1］，则函数 g (x)
f 2x 1 x 2
的定义域是(
A. ,7 U 3,
B. ,3 U 3,
C. ,7 U
1,
D.
,5 U 3,
【答案】 A
6 •已知f x 是定义域为R 的偶函数，当x 0时, 【解析】
B ，则a 的取值范围是(
7
, 2 U 2,0 2
2
x x 4x ，则f x 2 5的解集为(
因为当x, 0时，f (x) x 4x , 所以f( x) x24x，
因为f(x)为偶函数，所以f(x) f ( x) x2 4x，
因为f (x)为偶函数，所以f (| x 2|) f (x 2)，
则f (x 2) 3 可化为f(|x 2|) 5,即|x 2|2 4|x 2| 5，
(|x 2| 5)(|x 2| 1) 0，
所以|x 2| 5，解得：x 3或x 7，
所以不等式f (x 2) 5的解集是｛x|x>3或x 7｝即，7 U 3,
7 •定义域为R的偶函数f X，当x 0时，f
5x2
5x ,0
16
X
2
x x ，若关于x的方程1
—1,x 2
2
2
f x af x b 0 a,b R有且仅有6个不等的实数根，则
【答案】C
【解析】
当x 0时，f x 5x2
也0
x 2
16
x
1
1,x 2
2
x为偶函数
画出函数图像，如图所示:
a的取值范围为(
根据图像知：
当m
5
时:
4
f(x) m无解；
当m
5
时:
4
f(x) m有2个根；
当1
5 m
4 时：f (x) m有4个根;
当0 m 1时：f (x) m有2个根；
当m
时：
f(x) m有1个根；
当m 0
时：
f(x) m无解；
2
f x afx bOa,bR有且仅有6个不等的实数根
5
4则满足:
1
5 9
综上所述：a 5,-
故选：C
已知f( x) 则不等式x+( x+2) ?((x+2) W5的解集是f(x) m1和f (x) m2 m1 m2满足:
4 5
1 g -
5
4亠 1 m? —
或 4
5
m2- 0 g 1
4
d 5
1 m1-
4 9
5 5 9
则满m
1m2
a a
5 4 2 2 4
m2-
4
1 m2
0 m(
8.( 5分)(2018秋?会宁县校级期中)
【思路分析】由题意可得，①当 x+2》0时，f (x+2)= 1，代入所求不等式可求
x,②当x+2 V0即xv- 2
时，f (x+2) =- 1，代入所求不等式可求 x,从而可得原不等式的解集 【答案】解：①当 x+2>0时，即x>- 2, f (x+2)= 1 由 x+ (x+2) ?f (x+2) W5可得 x+x+2W5
/• x 即-2$
当 x+2 v 0 即 xv - 2 时，f (x+2 )=- 1 由 x+ (x+2) ?f (x+2) W5可得 x-( x+2) <5 即-2<5 xv - 2
成立，则实数a 的取值范围是(
)
B. 1<av 3
p -a>0
二 「-L ,-丄―，解出a 的范围即可.
【答案】解：•••对任意实数 X 1孜2,都有 成立;
A • [ - 2, 1]
B. (- ^, - 2]
综上，不等式的解集为 {xX 故选：D.
【点睛】本题主要考查了一次不等式的解法的应用，解题的关键是对已知
的 的解析式
x 进行分类讨论以确定 f (x+2)
9.(5分)(2018秋?五华区校级期中)
rw
-
-ojx+4a ! x>l
满足对任意实数 X 1族2,都有
【思路分析】可根据对任意实数
JQ-Jta
x
1玫2，都有
成立，得出 f (x)在R 上单调递增，从而得出
A . a> 1
••• f (x)在R上是增函数;
-3-a>0
1(3 -c) 士相②".2 I；
解得故选：C.
【点睛】考查增函数的定义，以及一次函数和二次函数的单调性，分段函数的单调性.
10 .德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著, 函数j(A ) = w被称为狄利克雷函数, 其中R 为实数集，Q为有理数集，则关于函数x有如下四个命题:
①f f x 0 ；
②函数f x是偶函数;
③任取一个不为零的有理数T, f x T f x对任意的x R 恒成立；
④存在三个点A x, f & 、B x2, f X2 、C 冷，f X3 ，使得ABC为等边三角形
其中真命题的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
【解析】
对于①，当x为有理数时， f x 1 , f f x f 1 1 , 故①是假命题.
对于②，若x Q，则x Q ；若x e u Q，则x qQ，所以，无论x是有理数或者无理数，都有
f x f x，也即函数f x为偶函数，故②是真命题•
对于③，当x为有理数时，x T为有理数，满足f X T f x 1 ；当x为无理数时，x T为无理数,
满足f x T f x 0，故③是真命题
对于④,,0 ,B 0,1 ,C ，使三角形ABC为等边三角形，故④是真命题
【答案】
综上所述，真命题的个数是 3个.
故选：C
11 .（ 2014北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为 可食用率”在特定条件下，可食用率p
与加工时间t （单位：分钟）满足函数关系
p at 2 bt c （ a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的
A. 3.50分钟
B.
3.75分
钟
C. 4.00分钟
D.
4.25分钟
【答案】
B
【解
析】
由题意可知
P at 2 bt c 过点
(3, 0.7), (4, 0.8) (5, 0.5),代入 P at 2
bt c 中可解得 a
0.2,b 1.5,c
2 ,
•• p 0.2t 2
1.5t 2
2
0.2(t 3.75) 0.8125,
12.（2017天津）已知函数f （x ）
X 2 ,x
x 3,x < 1,
设a R ，若关于x 的不等式f （x ） >F x
a|在R 上恒成立, 1. 2
则a 的取值范围是（
A. [47,2]
B.
39 47 __ ----- ] 16'16
C. [ 2 3,2]
D . [ 2證]
16
【解析】
解法一 根据题意，作出 当x < 1时，若要 f(x)嗚
a|恒成立，结合图象，只需x
2
x
1 2
(-)4(3 a) < 0 , 2
f (x) >| — a |恒成立，结合图象，只需x — > — a ，即一一
x 2 2 x 故对于方程x
2
23a
3> (-
a),即 2
解得a >
47
16
x 2 > a ，又一
->
x 2
2 3a
x 1时， x 2,当且仅当一
x
2
> 0,
若要
2
x 数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（
）
t 3.75分钟时，可食用率最大.
f （X ）的大致图象，如图
所示
y
y=f(x
当 2
即X 2时等号成立，所以a < 2，综上，a 的取值范围是[47
2].选A.
16，
-，|- 2、3| |8 3 1
| 11
，不符合，排除
2 2 4 8 4
3 11
| | | ，不符合，排除B.选A.
16 8
5分，共20分。

13.设 f
x 是R 上的偶函数，f 1
0，且在 0,
上是增函数，则xf x 0的解集是
【答案】 -1,0
1，
【解析】
由于f x 是R 上的偶函数，f 1 0，且在0, 上是增函数，故f 1 0，且在 ,0 上单调递
减.画出f x 的大致图像如下图所示，
由图可知，使xf x 0，也即自变量与对应的函数值同号的
x 的取
值范围是
-1,0 1，.
故答案为： -1,0 1，
14•某新能源汽车公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司 2018年（记为第1年）全年投
入研发资金5300万元，在此基础上，以后每年投入的研发资金比上一年增长
8%，则该公司全年投入的研
发资金开始超过 7000万元的年份是 __________ 年.（参考数据：lg1.08 0.03，lg 5.3 0.72，lg 7 0.85） 【答案】2023 【解析】
n 1
设从第n 年开始超过7000万元，则5300 1 8% 7000，
即 n 1 lg1.08 lg7 lg5.3，
lg7 lg5.3
0.85 0.72
n 1
4.3，
lg 1.08
0.03 解法
11
由题意f （X ）的最小值为 丄，此时x
4
1
•不等式f （x ）嗚
a|在R 上恒成立等价于
IX a|< 口在R 上恒成立.
4
2,3时，令x D ；
39」人 1
, x 39
时，令x , |- 16 2 2 16
、填空题共4小题，每小题
取n 1 5，又2018 5 2023，
所以开始超过7000万元的年份是2023年.
15.( 2014福建)要制作一个容器为 4m 3
，高为1m 的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方
米20元，侧面造价是每平方米 10元，则该容器的最低总造价是 _________ (单位：元)
【答案】160
—m ，依题意，得 x
4 \~4
80 20(x -) > 80 20 2- x 160
x \ x 16•以A 表示值域为R 的函数组成的集合， B 表示具有如下性质的函数
(x)组成的集合：对
于函数 (x)，存在一个正数 M ，使得函数
(x)的值域包含于区间［M,M ］.例如，当1(x) x 3
,
2
(x) sinx 时，1 (x) A ,
2
(x) B .现有如下命题：
① 设函数f(x)的定义域为D ，则“ f(x) A ”的充要条件是“ b R , a D , f(a) b ”；
② 函数f (x) B 的充要条件是f (x)有最大值和最小值；
③ 若函数f (x) , g(x)的定义域相同，且 f (x) A , g(x) B ，则f (x) g(x) B ;
x
④ 若函数f(x) aln(x 2)
2
( x 2, a R )有最大值，则f (x) B .
x 1
其中的真命题有 _______ .(写出所有真命题的序号) 【答案】①③④
【解析】对于①，根据题中定义，
f(x) A 函数y f (x) , x D 的值域为R ，由函数值域的概念知，
函数y f (x) , x D 的值域为R b R, a D
1
f (a) b ，所以①正确；对于②，例如函数f(x)(―)凶的值域(0,1］包含于区间［1,1］，所以f(x) B ,
2
但f (x)有最大值l ，没有最小值，所以②错误；对于③，若
【解析】设该容器的总造价为
y 元，长方体的底面矩形的长 x m ，因为无盖长方体的容积为
4m 3，高为 1m ，
所以长方体的底面矩形的宽为
2 4 y 20 4 10(2x
)
x
f (x) g(x) B，则存在一个正数M1，使得函数f(x) g(x) B的值域包含于区间［M1,M1］，所以M1 < f (x) g(x) < M1，由g(x) B知，存在一个正数M2，使得函数g(x)的值域包含于区间［M 2, M 2］，所以M2 w g(x) w M 2，亦有
M2 w - g(x) w M2，两式相加得(M1 M2) w f(x) w M1 M 2，于是f(x) B，与已知
“• f(x) A”矛盾，故f(x) g(x) B，即③正确；对于④，如果a 0,
那么x ,f (x) ，如果a 0，那么x 2, f (x) ,所以f(x)有最大值，必须a
此时f (x)
x 11
邛在区间(2,)上，有-< f(x)< -，x 1 2
2
所以f(x) B,即④正确，故填①③④.
三、解答题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

17.已知集合A 2
x ax 3x 2 0,x R,a
(1 )若A是空集，求a的取值范围;
(2 )若A中只有一个元素，求a的值，并求集合A；
(3 )若A中至多有一个元素，求a的取值范围
【答案】(1) 9, ； (2)当a 0时,
8
9
8,
【解析】
(1 )若A是空集,
则方程ax2- 3x+2= 0无解
此时a 0, △= 9 - 8av 0
9
即a> -
8
2 )若A中只有一个元素
则方程ax2- 3x+2= 0有且只有一个实根
当a=0时方程为一元一次方程，满足条件
当a^0此时△= 9 - 8a = 0，解得：a
9
••• a = 0 或 a -
8
29
若a= 0，则有A= { —}；若a ，则有A = { —}；
3 )若A中至多只有一个元素,
则A为空集，或有且只有一个元素
由(1)，(2)得满足条件的a的取值范围是：a = 0或
唯一，见解析 【解析】
为奇函数;
则 f % f x 2 f X 1 f X 2 f X-, x 2
f x 2 %
0,
••• f X 1 f X 2 ,•••
f X
在R 上是减函数.
由于 f
(1) = -
2，贝y f
2 2f 1 4, f
3 f 1 1 f 2 6, f 3
f 3 6. R 上是减函数，得到当 X
3,3时，f x 的最大值为f
3 6，最小值为f 3
6; 1 2 (3)不等式—f bx 2
2 f X
1 2
2
-f b 2
x f b ，即为 f bx 2
2
2f x
f b 2x
2f b
2
即 f bx f 2x
f b 2
X
2
f 2b ，即有 f bx 2x
f b 2
x 2b
由于f X 在R
上是减函数， 则
2 2
bx 2x b x 2b ，即为
bx 2
b 2
2 x 2b 0,
即有bx 2 x b 0,
当b 0时，得解集为
x |x
0 ;
当b 0时，即有 x
b x
2 0,
0 .由已知得f X 2 (2) b
由f x 在
任取X 1
x 2，则X 2
X 1
0 ,
18.定义在R 上的函数f x 满足对于任意实数 x , y 都有f x y x f y ，且当x 0时,
(1)判断f (2)判断f (3)解关于
【答案】(1) f
(1) =
-2
.
x 的奇偶性并证明;
X 的单调性，并求当 x 的不等式-f bx
2
奇函数，证明见解析;
x 3,3时，f x 的最大值及最小值;
f b b 2 2 .
(2) f X 在R 上是减函数.最大值为
6，最小值为-6; (3)答案不
(1) x y 0，则 f 0 2f 0，即有f 0
再令 x ，得 f 0
2
①0 b 2时，b，此时解集为
b
2 2
②当b 2时，b，此时解集为x| x b
b b
2
当b 0时，即有x b x 0,
b
2 、
b，此时解集为x|x 或x b
b
2 2 、
②当b 2时，一b，此时解集为x|x 或x b
b b
19•经过市场调查，某种商品在销售中有如下关系；第x 1 x 30,x N 天的销售价格(单位：元/件)
为f (x) 20 x,1 x 10
40 x,10 x 30
第x天的销售量(单位: 件)为g(x) a x( a为常数)，且在第10天
该商品的销售收人为600元(销售收入=销售价格埒肖售量).
(1 )求a的值，并求第15天该商品的销售收入；
(2)求在这30天中，该商品日销售收入y的最大值.
【答案】(1) a 30,375元；(2) 625元.
【解析】
(1 )当x 10时，由f(10) g(10) (20 10)(a 10)
600 ,
从而可得f(15)g(15) 25 15 375 (元),
即第15天该商品的销售收入为 375元.
(2)由题意可知y
(20 x)(30 x),1 x 10 (40 x)(30 x),10 x 30
x210x 600,1 x 10 x270x 1200,10 x 30
当1 x 10时，y x210x 600 (x 5)2625, 故当x 5时y取最大值，y max625 ,
当 10 x 30 时，y 10
2
70 10 1200 600,
故当x 5时，该商品日销售收入最大，最大值为 625元
20. （2018 上海市新川中学高一期中）某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD ，公
园由长方形 AB I C 1。

1
的休闲区和环公园人行道（阴影部分）组成•已知休闲区
ABQQ 1
的面积为4000平
（1）若设休闲区的长和宽的比 * x （x 1），求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S x 的解析式;
B1G
（2 ）要使公园所占面积最小，则休闲区
A ）B| C 1D 1的长和宽该如何设计？
【答案】（1）S （x ） 4160 8x
80000
（x 0） ；（2）长 100 米、宽为 40 米. x
【解析】（1）设休闲区的宽为a 米，则长为ax 米， 由 a 2
x= 4000，得 a=
20
^°
J x
2
20710
则 S(x) = (a+ 8)(ax + 20)= a 2
x + (8x + 20)a+ 160 = 4000 + (8x + 20) •
+ 160
vx
5 当且仅当2、.x = 二，即卩x= 2.5时，等号成立，此时 a= 40, ax= 100.
所以要使公园所占面积最小，休闲区
A 1
B 1
C 1
D 1应设计为长100米，宽40米.
21•某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上
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13
=80
10 (2、x +
})+ 4160(x>1).
(2)80 ,10 (^,x +
+ 4160 = 1600 + 4160= 5760.
方米，人行道的宽分别为 4米和10米（如图）
)+ 4160 > 80 10
班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤，
分析显示：当S 中x%(0 x 100)的成员自驾时，自驾群体的
30,
0 x < 30,
人均通勤时间为f (x)
1800 (单位：分钟)，
2x
90,30 x 100
x
而公交群体的人均通勤时间不受
x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
(1) 当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
(2) 求该地上班族S 的人均通勤时间g(x)的表达式；讨论g(x)的单调性，并说明其实际意义.
【解析】(1)当0 x < 30时，f (x) 30 40恒成立，公交群体的人均通勤时间不可能少于自驾群体的人
1800
均通勤时间；当30 x 100时，若40 f(x)，即2x
90 40，解得x 20 (舍)或x 45 ; x
•••当45 x 100时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； ⑵设该地上班族总人数为 n ，则自驾人数为n x%，乘公交人数为n (1 x%).
30 n x% 40 n (1 x%)
则当 x (0,30］ U (30,32.5］，即 x (0,32.5］时，g(x)单调递减;
当x (32.5,100)时，g(x)单调递增.
实际意义：当有32.5%的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短.
适当的增加自驾比例，可以充分的利用道路交通，实现整体效率提升；但自驾人数过多，则容易导致交通 拥堵，使得整体效率下降.
22. (2018北京)设n 为正整数，集合 A={ |
(t 1,t 2丄，t n ),t k {0,1}, k 1,2,L , n}.对于集合A 中
的 任意元素
(X 1,X 2, L ,X n )和
(％,y 2,L,y n )，记 M(,)
因此人均通勤时间
g(x)
n
1800
(2x
90) n x% 40 n (1 x%)
，整理得:
100
40
g(x)
x 10
1
50(x 32.5)
36.875,30 x 100
1
2【(X i y i |X! y i |) (x2y2 |x2y? |) L (x. y.区y. |)]-
(1)当n 3 时，若(1,1,0), (0,1,1)，求M(,)和M(,)的值;
⑵当n 4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素，，当，相同时，M(,)是奇
不同时，M(,)是偶数•求集合B中元素个数的最大值;
(3)给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素，，M( , ) 0 •写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由.
【解析】(1)因为(1,1,0), (0,1,1),所以
M(,
1
)-[(1
2
1 |1 1|) (1 1 |1 1|) (0 0) |0 0|)]
2 ,
M(,
1
)-[(1
2
0 |1 0|) (1 1 |1 1|) (0 1 |0 1|)] 1 •
⑵设
(为，X2,
X3,X4)
B,贝U M ( ,)X1 X2 X3 X4•
由题意知X1 , X2 , X3, X4 € {0 ,
1},
且M (, )为奇数,
所以X1, X2 , X3 , X4中1的个数为1或3 •
所以B {(1, 0 ,
,0),
(0 , 1 , 0 , 0) ,
(0 , 0 ,
1, 0) ,
(0 ,
0 ,
0 ,
1) , (0 , 1, 1, 1) , (1 , 0 , 1 , 1) ,
(1, 1,
0, 1), (1, 1, 1, 0)}.
将上述集合中的元素分成如下四组：
(1, 0, 0, 0), (1, 1, 1, 0); (0, 1, 0, 0), (1, 1, 0, 1); (0, 0, 1, 0), (1, 0, 1, 1); (0, 0, 0, 1), (0, 1 , 1, 1) •
经验证，对于每组中两个元素，，均有M( , ) 1 •
所以每组中的两个元素不可能同时是集合B的元素.
所以集合B中元素的个数不超过 4.
又集合{(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1 , 0) , (0 , 0 , 0 , 1)}满足条件，
所以集合B中元素个数的最大值为4•
⑶设S k {( X1,X2, ,X n)|(X1,X2, ,X n)代X k 1/ x? X k 1 0} (k 1,2, ,n),
S n 1 {( X1,X2, , X n )
X2 X n 0}, | X1
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所以 B 中元素的个数不超过 n 1 ． 取 Q (X i ,X 2, ,X n ) S k 且 X k 1 X n 0 ( k 1,2, 令B (0,62, ,e ni )US n US ni ，则集合B 的元素个数为 故 B 是一个满足条件且元素个数最多的集合．
则 A S 1 U S 2 U
U S n 1． 对于 S k ( k
1,2, ,n 1 ) 中的不同元素 ， ，经验证， 所以 S k ( k 1,2, ,n 1 ) 中的两个元素不可能同时是集合 M( , ) >1 . B 的元素． , n 1 )． n 1，且满足条件．。