高中数学高考复习：第二章第10讲 变化率与导数、导数的计算

第10讲变化率与导数、导数的计算
[学生用书P45]
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
lim Δx→0f（x0＋Δx）－f（x0）
Δx
＝lim
Δx→0
Δy
Δx
为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，
记作f′(x0)或y′| x=x
0，即f′(x0)＝lim
Δx→0
Δy
Δx
＝lim
Δx→0
f（x0＋Δx）－f（x0）
Δx
.
(2)导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(3)函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝lim
Δx→0f（x＋Δx）－f（x）
Δx
为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0)．
4．复合函数的导数
复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．
1．辨明三个易误点
(1)利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(x n )′＝nx n
－1
与指数函数的求导
公式(a x )′＝a x ln a 混淆．
(2)求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．
(3)曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．
2．导数运算的技巧
(1)要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算的形式，再利用运算法则求导数；
(2)对于不具备求导法则结构形式的，要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数．但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误．对数函数的真数是根式或者分式时，可用对数的运算性质将真数转化为有理式或整式，然后再求解比较方便；当函数表达式含有三角函数时，可优先考虑利用三角公式进行化简后再求导．
1.教材习题改编 函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos x
D ．－x cos x
B [解析] y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .
2．(2017·豫东、豫北十所名校联考)已知f (x )＝2e x sin x ，则曲线f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为( )
A ．y ＝0
B ．y ＝2x
C ．y ＝x
D ．y ＝－2x
B [解析] 因为f (x )＝2e x sin x ，所以f (0)＝0，f ′(x )＝2e x ·(sin x ＋cos x )，所以f ′(0)
＝2，所以曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x.
3．(2017·开封市第一次模拟)已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋mx＋n相切于点A(1，3)，则n＝()
A．－1 B．1
C．3 D．4
C[解析] 对于y＝x3＋mx＋n，y′＝3x2＋m，所以k＝3＋m，又k＋1＝3，1＋m＋n ＝3，可解得n＝3.
4．(2016·高考天津卷)已知函数f(x)＝(2x＋1)e x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．
[解析] 因为f(x)＝(2x＋1)e x，
所以f′(x)＝2e x＋(2x＋1)e x＝(2x＋3)e x，
所以f′(0)＝3e0＝3.
[答案] 3
5．若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．[解析] 设P(x0，y0)，因为y＝e－x，所以y′＝－e－x，
所以点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2，
所以－x0＝ln 2，所以x0＝－ln 2，
所以y0＝e ln 2＝2，所以点P的坐标为(－ln 2，2)．
[答案] (－ln 2，2)
导数的计算[学生用书P46]
[典例引领]
求下列函数的导数：
(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；(2)y＝x2sin x；
(3)y＝3x e x－2x＋e；(4)y＝ln x
x2＋1
；(5)y＝ln(2x－5)．
【解】(1)因为y＝(3x2－4x)(2x＋1)＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，所以y′＝18x2－10x－4.
(2)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2x sin x＋x2cos x.
(3)y′＝(3x e x)′－(2x)′＋e′＝(3x)′e x＋3x(e x)′－(2x)′＝3x e x ln 3＋3x e x－2x ln 2
＝(ln 3＋1)·(3e)x－2x ln 2.
(4)y′＝（ln x）′（x2＋1）－ln x（x2＋1）′
（x2＋1）2
＝
1
x（x
2＋1）－2x ln x
（x2＋1）2
＝x2＋1－2x2ln x x（x2＋1）2
.
(5)令u＝2x－5，y＝ln u，
则y′＝(ln u)′u′＝
1
2x－5
·2＝
2
2x－5
，即y′＝
2
2x－5
.
求下列函数的导数：
(1)y＝x n e x；(2)y＝
cos x
sin x；(3)y＝e
x ln x；
(4)y＝(1＋sin x)2.
[解] (1)y′＝nx n－1e x＋x n e x＝x n－1e x(n＋x)．
(2)y′＝
－sin2x－cos2x
sin2x＝－
1
sin2x.
(3)y′＝e x ln x＋e x·
1
x＝e
x
⎝
⎛
⎭
⎫
1
x＋ln x.
(4)y′＝2(1＋sin x)·(1＋sin x)′＝2(1＋sin x)·cos x
.
导数的几何意义(高频考点)[学生用书P46] 导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小．
高考对导数几何意义的考查主要有以下三个命题角度：
(1)已知切点求切线方程；
(2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标； (3)已知切线方程求参数值．
[典例引领]
(1)(2016·高考全国卷丙)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲
线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．
(2)(2017·重庆适应性测试(二))若直线y ＝ax 是曲线y ＝2ln x ＋1的一条切线，则实数a ＝________．
【解析】 (1)由题意可得当x ＞0时，f (x )＝1n x －3x ，则f ′(x )＝1
x －3，f ′(1)＝－2，则
在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.
(2)依题意，设直线y ＝ax 与曲线y ＝2ln x ＋1的切点的横坐标为x 0，则有y ′|x ＝x 0＝2
x 0
，于
是有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2x 0ax 0＝2ln x 0＋1
，解得x 0＝e ，a ＝2x 0
＝2e －12.
【答案】 (1)y ＝－2x －1 (2)2e －12
(1)求曲线切线方程的步骤
①求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率； ②由点斜式方程求得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)． (2)求曲线的切线方程需注意两点
①当曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴(此时导数不存在)时，切线方程为x ＝x 0；
②当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．
[题点通关]
角度一 已知切点求切线方程
1．(2017·广州市五校联考)曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
A.9
2e 2 B ．4e 2 C ．2e 2
D ．e 2
D [解析] 因为y ′＝12e 12x ，所以k ＝12e 12×4＝12e 2，所以切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)，令x ＝0，得y ＝－e 2，
令y ＝0，得x ＝2，所以所求面积为S ＝1
2×2×|－e 2|＝e 2.
角度二 已知切线方程(或斜率)求切点坐标
2．(2017·郑州市第二次质量检测)曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( )
A ．(1，3)
B ．(－1，3)
C ．(1，3)和(－1，3)
D ．(1，－3)
C [解析] f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，所以P (1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C.
角度三 已知切线方程求参数值
3．曲线f (x )＝e x 在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝ax 2－a (a ≠0)相切，则a ＝________，切点坐标为________．
[解析] 曲线f (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝x ＋1. 设其与曲线g (x )＝ax 2－a 相切于点(x 0，ax 20－a )． 则g ′(x 0)＝2ax 0＝1，且ax 20－a ＝x 0＋1. 解得x 0＝－1，a ＝－1
2，切点坐标为(－1，0)．
[答案] －1
2
(－1，0)
[学生用书P47]
——导数与其他知识的交汇
抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D (包含三角形内
部与边界)．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是________．
【解析】 由于y ′＝2x ，所以抛物线在x ＝1处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.
画出可行域(如图)．设x ＋2y ＝z ，则y ＝－12x ＋12z ，可知当直线y ＝－12x ＋1
2z 经过点
A ⎝⎛⎭⎫12，0，
B (0，－1)时，z 分别取到最大值和最小值，此时最大值z max ＝1
2
，最小值z min ＝－2，
故取值范围是⎣
⎡⎦⎤－2，12.
【答案】 ⎣
⎡⎦⎤－2，12
(1)本题以y ＝x 2在x ＝1处的切线问题为条件，利用导数的几何意义求得
切线方程，构造出求x ＋2y 的取值范围的可行域，充分体现了导数与线性规划的交汇．
(2)利用导函数的特性，在求解有关奇(偶)函数问题中，发挥出奇妙的作用． (3)导数还可以与数列、向量、解析几何等交汇．
(2017·武汉高三月考)已知曲线f (x )＝x n ＋
1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，
设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 017x 1＋log 2 017x 2＋…＋log 2
017x 2 016的值为________．
[解析] f ′(x )＝(n ＋1)x n ，k ＝f ′(1)＝n ＋1，点P (1，1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝n
n ＋1
.
所以x 1·x 2·…·x 2 016＝12×23×34×…×2 0152 016×2 0162 017＝1
2 017.
则log 2 017x 1＋log 2 017x 2＋…＋log 2 017x 2 016 ＝log 2 017(x 1·x 2·…·x 2 016)＝log 2 0171
2 017
＝－1. [答案] －1
[学生用书P334(独立成册)]
1．函数y ＝x 2cos x 在x ＝1处的导数是( ) A ．0 B ．2cos 1－sin 1 C ．cos 1－sin 1
D ．1
B [解析] 因为y ′＝(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ， 所以y ′|x ＝1＝2cos 1－sin 1.
2．(2017·赣州高三月考)已知t 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －t )且f ′(－1)＝0，则t 等于( ) A ．0 B ．－1 C.12
D ．2
C [解析] 依题意得，f ′(x )＝2x (x －t )＋(x 2－4)＝3x 2－2tx －4， 所以f ′(－1)＝3＋2t －4＝0，即t ＝1
2
.
3．(2017·郑州市第一次质量预测)函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线方程是( )
A ．x ＋y ＋1＝0
B ．x ＋y －1＝0
C ．x －y ＋1＝0
D ．x －y －1＝0
C [解析] 依题意，f (0)＝e 0cos 0＝1，因为f ′(x )＝e x cos x －e x sin x ，所以f ′(0)＝1，所以切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0.
4．已知函数f (x )的导函数f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )
A ．2
B ．－2 C.94
D ．－94
D [解析] 由已知条件f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，知f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1
x ，令x ＝2，则
f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)＋12，即2f ′(2)＝－92，所以f ′(2)＝－9
4
.
5．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(2 017)＝( ) A ．1 B ．2 C.1
2 017
D.2 0182 017
D [解析] 令e x ＝t ，则x ＝ln t ，所以f (t )＝ln t ＋t ，故f (x )＝ln x ＋x .求导得f ′(x )＝1
x ＋1，
故f ′(2 017)＝12 017＋1＝2 018
2 017
.
6．设函数f (x )＝a e x
ln x ＋b e x －
1
x
，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2，
则a －b 的值为( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
A [解析] 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x ln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋b x e x －
1.由题意
可得f (1)＝2，f ′(1)＝e.故a ＝1，b ＝2.所以a －b ＝－1，故选A.
7．函数y ＝sin x
x
的导数为________．
[解析] y ′＝（sin x ）′x －sin x ·x ′x 2＝x cos x －sin x
x 2.
[答案]
x cos x －sin x x 2
8．(2017·武汉市调研测试)曲线f (x )＝x ln x 在点M (1，f (1))处的切线方程为________． [解析] 由题意，得f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝ln 1＋1＝1，即切线的斜率为1.因为f (1)＝0，所以所求切线方程为y －0＝x －1，即x －y －1＝0.
[答案] x －y －1＝0
9．(2017·兰州市诊断考试)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横
坐标为________．
[解析] 因为y ′＝x 2－3x (x ＞0)，所以令x 2－3x ＝－1
2，
解得x ＝2或x ＝－3(舍去)，所以x ＝2. [答案] 2
10．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． [解析] 由题意，可知f ′(x )＝3ax 2＋1x ，又存在垂直于y 轴的切线，所以3ax 2＋1
x ＝0，即a
＝－1
3x
3(x ＞0)，故a ∈(－∞，0)．
[答案] (－∞，0) 11．求下列函数的导数： (1)y ＝(3x 3－4x )(2x ＋1)； (2)y ＝x ＋cos x x ＋sin x
；
(3)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
2；
(4)y ＝ln （2x ＋3）
x 2＋1
.
[解] (1)法一：因为y ＝(3x 3－4x )(2x ＋1)＝6x 4＋3x 3－8x 2－4x ，所以y ′＝24x 3＋9x 2－16x －4.
法二：y ′＝(3x 3－4x )′(2x ＋1)＋(3x 3－4x )(2x ＋1)′＝(9x 2－4)(2x ＋1)＋(3x 3－4x )·2＝24x 3＋
9x 2－16x －4.
(2)y ′＝（x ＋cos x ）′（x ＋sin x ）－（x ＋cos x ）（x ＋sin x ）′
（x ＋sin x ）2
＝（1－sin x ）（x ＋sin x ）－（x ＋cos x ）（1＋cos x ）
（x ＋sin x ）2
＝
－x cos x －x sin x ＋sin x －cos x －1
（x ＋sin x ）2
.
(3)因为y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
2
＝12x sin(4x ＋π)＝－1
2x sin 4x ， 所以y ′＝－12sin 4x －1
2x ·4·cos 4x
＝－1
2
sin 4x －2x cos 4x .
(4)y ′＝[ln （2x ＋3）]′（x 2＋1）－（x 2＋1）′ln （2x ＋3）（x 2＋1）2
＝（2x ＋3）′
2x ＋3·（x 2＋1）－2x ln （2x ＋3）
（x 2＋1）2
＝2（x 2＋1）－2x （2x ＋3）ln （2x ＋3）（2x ＋3）（x 2＋1）2.
12．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.
(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－1
4x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
[解] (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． 因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.
所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. 所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)， 即y ＝13x －32.
(2)因为切线与直线y ＝－1
4x ＋3垂直，
所以切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，所以x 0＝±
1. 所以⎩
⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，
y 0＝－18，
即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，
切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18.
即y ＝4x －18或y ＝4x －14.
13．(2017·沈阳检测)已知函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0，1)的图象相切，则x 0必满足( )
A ．0＜x 0＜12
B.12＜x 0＜1
C.22＜x 0＜ 2
D.2＜x 0＜ 3
D [解析] 令f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x ，f (x 0)＝x 20，所以直线l 的方程为y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＝
2x 0x －x 20，因为l 也与函数y ＝ln x (x ∈(0，1))的图象相切，令切点坐标为(x 1，ln x 1)，y ′＝1x
，所以l 的方程为y ＝1x 1x ＋ln x 1－1，这样有⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1x 1，1－ln x 1＝x 20，
所以1＋ln(2x 0)＝x 20，x 0∈(1，＋∞)，令g (x )＝x 2－ln(2x )－1，x ∈(1，＋∞)，所以该函数的零点就是x 0，又因为g ′(x )＝2x －1x
＝2x 2－1x
，所以g (x )在(1，＋∞)上单调递增，又g (1)＝－ln 2＜0，g (2)＝1－ln 22＜0，g (3)＝2－ln 23＞0，从而2＜x 0＜3，选D.
14．(2017·浙江省宁波四中高三月考)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″ (x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )＜
0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝
⎛⎭⎫0，π2上是凸函数的是________(把你认为正确的序号都填上)．
①f (x )＝sin x ＋cos x ；②f (x )＝ln x －2x ；③f (x )＝－x 3＋2x －1；④f (x )＝x e x .
[解析] ①中，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π4＜0在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上恒成立；②中，f ′(x )＝1x －2(x ＞0)，f ″(x )＝－1x 2＜0在区间⎝
⎛⎭⎫0，π2上恒成立；③中，f ′(x )＝－3x 2＋2，f ″(x )＝－6x 在区间⎝
⎛⎭⎫0，π2上恒小于0.故①②③为凸函数．④中，f ′(x )＝e x ＋x e x ，f ″(x )＝2e x ＋x e x ＝e x (x ＋2)＞0在区间⎝
⎛⎭⎫0，π2上恒成立，故④中函数不是凸函数．
[答案] ①②③
15．设函数y ＝x 2－2x ＋2的图象为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图象为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直，求a ＋b 的值．
[解] 对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2，
对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝－2x ＋a ，
设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，
由题意知过交点(x 0，y 0)的两条切线互相垂直．
所以(2x 0－2)·(－2x 0＋a )＝－1，
即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0，①
又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，
故有⎩
⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2，y 0＝－x 20＋ax 0＋b ， ⇒2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0.②
由①②消去x 0，可得a ＋b ＝52
. 16．(2017·河北省唐山一中月考)已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.
(1)求a 的值；
(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．
[解] (1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ，
因为f ′(－1)＝0，所以3a －6－6a ＝0，所以a ＝－2.
(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0，9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0，3x 20＋6x 0＋12)．
因为g ′(x 0)＝6x 0＋6，
所以切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)，
将(0，9)代入切线方程，解得x 0＝±1.
当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9；
当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9.
由(1)知f (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x －11，
①由f ′(x )＝0得－6x 2＋6x ＋12＝0，解得x ＝－1或x ＝2.
在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；
在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，
所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.
②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，
解得x＝0或x＝1.
在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；
在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，
所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.
综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。