最新高二下学期期中考试数学试题
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一、选择题(本大题共12小题,共60分)
1.已知集合A={x|x2−2x>0},B={x|0<x<√3},则有
A. A⋃B=R
B. A⋂B=⌀
C. B⊆A
D. A⊆B
2.在下列四组函数中,表示同一函数的是()
A. f(x)=2x+1,x∈N,g(x)=2x−1,x∈N
B. f(x)=√x−1⋅
,g(x)=x+3D. f(x)=|x|,√x+1,g(x)=√x2−1C. f(x)=(x−1)(x+3)
x−1
g(x)=√x2
3.已知x>1>y>0,则下列结论正确的是()
A. x>xy>y2
B. x>xy>x2
C. x2>y>xy
D. x>y2>x2y
4.下列说法正确的是()
A. 命题“∀x∈R,均有x2−3x−2≥0”的否定是:“∃x0∈R,使x02−
3x0−2≤0”;B. “x=−1”是“x2−5x−6=0”的必要不充分条件;
C. 命题“若x<y,则x2<y2”的逆否命题是真命题;
D. 若命题p∧q为
真,则命题p∨q一定为真
5.已知极坐标平面内的点P(2,−5π
3
),则P关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为()
A. (2,−2π
3),(−1,−√3)B. (2,−2π
3
),(1,−√3)C. (2,2π
3
),(−1,√3)D.
(2,2π
3
),(1,√3)
6.为激发学生学习兴趣,老师上课时在黑板上写出了三个集合:A=
{x|Δx−2
x
<0},B={x|x2−4x−5≤0},C={x|log0.5x>0},然后请甲、乙、丙三位同学到讲台上,并将“Δ”中的数告诉了他们,要求他们各用一句话来描述“Δ”中的数,以便同学们能确定该数,以下是甲、乙、丙三位同学的描述,甲:此数为小于6的正整数;乙:A是B成立的充分不必要条件;丙:A是C成立的必要不充分条件.若三位同学说的都对,则“Δ”中的数为()
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
7.在下列函数中最小值等于2的函数是()
A. y=x+1
x B. y=cos x x<π
2
)C. y=2
√x2
D. y=e x+4
e x
−2
8.极坐标方程ρsinθ=2sin2θ表示的曲线为()
A. 一条射线和一个圆
B. 两条直线
C. 一条直线和一个圆
D. 一个圆
9. 设函数f(x)在上可导,其导函数f ′(x),且函数f(x)在x =−2处取得极大值,则函数
y =xf ′(x)的图象可能是( ) A. B. C. D.
10. 已知曲线C :x 2
4+
y 29
=1,直线l :{x =2+t
y =2-
2t (t 为参数),过曲线C 上任意
一点P 作与l 夹角为30°的直线,交l 于点A ,求|PA|的最大值为( ) A. 2√55B. √5
5C. 22√55D. 11√55
11. 下列结论不正确的是( )
①.1
210+1
210+1+1
210+2+⋯+1
211−1>1 ②.若|a|<1,则|a +b|−|a −b| >2
③lg9⋅lg11<1 ④.若x >0,y >0,则x+y
1+x+y <
x 1+x
+
y
1+y
A. ①②
B. ②③④
C. ③④
D. ①②③
12. 已知函数f (x )=e x
+
x 22
−lnx 的极值点为x 1,函数ℎ(x )=
lnx 2x
的最大值
为x 2,则( )
A. x 1>x 2
B. x 2>x 1
C. x 1≥x 2
D. x 2≥x 1
二、填空题(本大题共4小题,共20分)
13. 设f(x)={1−√x,x ≥0
2x ,x <0,则f(f(4))等于________
14. 已知函数f(x)=x 2+2f ′(1)ln x ,则曲线y =f(x)在x =1处的切线斜率为________ 15. 已知且,则的最小值是________
16. 若函数f (x )=e x −ax 2在区间(0,+∞)上有两个极值点x 1,x 2(0<x 1<x 2),则实数a 的取值范围是________
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
2xy y x =+2y x +
17.设p:实数x满足x2−(3a+1)x+2a2+a<0,q:实数x满足函数
f(x)=log2
√x−2
有意义.(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;
(2)若a>0,且¬ p是¬ q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.18.在平面直角坐标系中,直线l的方程为x+y+3=0,以直角坐标系中
x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,圆M的极坐标方程为ρ=2sinθ.(1)写出圆M的直角坐标方程及过点P(2,0)且平行于l的直线l1的参数方程;
(2)设l1与圆M的两个交点为A,B,求1
|PA|+1
|PB|
的值.
19.已知函数f(x)=2
x
+alnx.
(1)若f(x)在x=2处取得极值,求f(x)在x=1处的切线方程;
(2)讨论f(x)的单调性.
20.已知函数f(x)=|x−a|−2.
(1)若a=1,解不等式f(x)+|2x−3|>0;
(2)关于x的不等式f(x)>|x−3|有解,求实数a的取值范围.