4-1-1有理数指数幂-22-23学年高一上学期数学湘教版(19)必修第一册

=
现在我们将学习
把整数指数幂推
广到有理数指数
幂。
新课讲授
【根式】
若一个实数x的n次方 ∈ , ≥ 等于a，即 = ，则称x是a的n次
方根。
(1)当n是奇数的时，数a的n次方根记作 .
当a>0 n a >0 ;
3
例如： 8 = 2
a=0
3
n
a=0 ; a<0
根叫作算数根，记作 n a。
[2]



=
[3]当n为奇数时

=
[4] 当 > 0, , ∈ 且 ≥ 2时
当n时偶数时



=

= ||




−
=
作业布置
课本97页练习题3和4；
完成对应大小册子；
( )




1 −3
3
(3)
=
=

=
(4)


2
125 −3
64
(4)
(2)

−


−

=
−



=
−


=
=
−

−
=


( )
=


=


巩固练习
例三、用分数指数幂表示下列格式（a>0)
a2
3
(1)a ∙ a
4
a∙ 3 a
∙ a3





=
−


规定0的正分数指数幂为0，0没有负分数指数幂，则对于任意有理数
m,n任然有下列运算法则: (a>0,b>0,m,n是有理数)
∙ = +


=


=
巩固练习
例二、求值
3
4
1
−2
(2) 25
(1)16


解: (1) =
(3)
−

Байду номын сангаас
=


(1)
∙
解：(1)


∙


∙
=
3
(2)
3

(2)
2 ∙

∙

∙

−

=
∙





− ÷ = −
(3)


=





3
−

−

6
÷
=







−



2


÷ =
n
a<0
−8 = −2 ； 3 = −3 =
3
−3
新课讲授
(2)当n是偶数时，整数a的n次方根有2个，它们互为相反数。其中
正的n次方根叫作算数根，记作 。
n
当a>0时，如x = a，则 = ± ; x 2 = 3

x=± 3

再规定 = 负数没有偶次方根。

n ∈ N, n ≥ 2 叫作根式，n叫作根指数，a叫作被开方数。
− = − =

(3) ( − ) = −
(4) − = − = −
− ≤

(5) ( − ) = − =
− >
−
2
<
新知讲授
【分数指数幂】
当 > , , ∈ 且 ≥ 时

=




∙ =

= ∙ − =


−−
3
2


1
1
−4 3
−4
∙


÷ −


=
1
2
÷ −6

− −

∙
5
6

+ −

=
巩固练习
例五、用分数指数幂的形式表示下列根式的化简结果（式子中的字
母都是正数）
3
4.1实数指数幂和幂函数
4.1.1有理数指数幂
新课导入
在初中阶段，我们已经学习过正整数指数幂的概念，把n(正整数)
个实数a连乘记作 ∈ ，后来把幂指数的概念扩大到整数范
0
围内，规定： ≠ 0 = 1
整数指数幂的运算法则：
−
=
1

∈
∙ = +


=
新课讲授
3
例：
2
3
=3
−7
3
= −7

一般我们有：
例：
3
73
=7
3
−7
3
4
= −7

所以我们有：当n为奇数时
当n时偶数时



=
74
=7
=
= ||
4
−7
4
=7
巩固练习
例一、化简下列各式
(1)
3
−2
3
(2)
4
−2
4
(3)
3
(3 − )3 (4)
(5) (3 − )2



解 (1) − = − (2)


(3)
3



−

−
= =






= −

3
课堂小结
[1]若一个实数x的n次方 n ∈ N, n ≥ 2 等于a，即 = ，则称x是a的n次方根。
(1)当n是奇数的时，数a的n次方根记作 .
(2)当n是偶数时，整数a的n次方根有2个，它们互为相反数。其中正的n次方

解: (1) ∙ = ∙ =

(2) ∙ = ∙ =

(3) ∙ =





+




=


∙ = ∙ =


巩固练习
例四、计算下列各式
1
3
(1)
6
5
−
6


3
4
2 3

−

解：(1)




(2) ∙