湖南省长沙一中2016届高三上学期第二次月考数学试卷(文科) 含解析

2015—2016学年湖南省长沙一中高三(上）第二次月考数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合A=｛（x，y）|y=e x｝,B={(x,y)｜y=a}，若A∩B=∅,则实数a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤1 C．a＜0 D．a≤0
2．设命题p:函数f(x）=x3在R上为增函数；命题q：函数f（x）=cosx为奇函数．则下列命题中真命题是（）
A．p∧q B．p∧(￢q）C．（￢p）∧（￢q) D．（￢p）∨q
3．已知向量=（2,4），=(﹣1，1)，则2﹣=（）
A．（3，7) B．(3,9）C．（5，7) D．（5，9）
4．函数f（x)=log2（x2+5x﹣6）的定义域是（）
A．［﹣2，3]B．（﹣6，1］C．（﹣∞，﹣1）∪（6，+∞）D．（﹣∞,﹣6)∪（1，+∞) 5．执行如图所示的程序框图，则输出s的值为(）
A．B．C．D．
6．将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍,所得图象的一条对称轴方程可能是（）
A．B．C．D．
7．设a=log36,b=2﹣2，c=log2,则（）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b
8．已知向量,满足|+｜=｜|=|｜，则向量与+夹角的余弦值为（）A．B．﹣C．0 D．1
9．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a=c且满足cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0,则△ABC是（）
A．钝角三角形B．等边三角形C．直角三角形D．不能确定
10．设函数f（x）=，若f[f(）]=4，则b=（）
A．1 B．﹣C．﹣或1 D．﹣1
11．若点P是函数f（x）=x2﹣lnx上任意一点,则点P到直线x﹣y﹣2=0的最小距离为（）A．B．C．D．3
12．已知P(2，）在双曲线﹣=1上，其左、右焦点分别为F1、F2，三角形PF1F2的内切圆切x轴于点M，则•的值为（）
A．2﹣1 B．2+1 C．2﹣2 D．2﹣
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分．）
13．已知复数z1=1+i，z2=1﹣i，若z=,则｜z｜=．
14．已知数列｛a n｝满足a1=1,（2n﹣1）a n+1=2（2n+1)a n，则a6=．
15．如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F．若P为劣弧上的动点，则的最小值为．
16．直线y=m与y=2x﹣3及曲线y=x+e x分别交于A、B两点，则AB的最小值为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在等差数列{a n｝中,a1=1，其前n项和为S n=n2．
(1）求数列｛a n}的通项公式a n;
（2）若b n=，求数列{b n}中的最小项及取得最小项时n的值．
18．已知向量=（sin2x+2，cosx），=（1，2cosx），设函数f（x）=•．
（1)求f（x)的最小正周期与[0,2π］上函数的单调递减区间；
(2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若A=，b=1,△ABC的面积为,求a的值．
19．已知函数f（x)=x2﹣4x+2a+3，a∈R．
（1）若函数f（x）在[﹣1,1］上有零点，求a的取值范围;
（2）设函数g(x）=mx﹣2m，m∈R,当a=0时，∀x1∈［1,4]，总存在x2∈［1,4］，使f（x1）=g（x2），求m的取值范围．
20．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b,c,已知A=，a=bcosC．
(Ⅰ）求角C的大小；
(Ⅱ)如图，在△ABC的外角∠ACD内取一点P，使PC=2，过点P作PM⊥CA于M，PN⊥CD于N，设线段PM，PN的长分别为m,n，∠PCM=x,且，求f（x）=mn的最大值及相应x的值．
21．已知椭圆=1(a＞b＞0)的中心为O,它的一个顶点为（0，1)，离心率为,过其右焦点的直线交该椭圆于A，B两点．
（1)求这个椭圆的方程；
(2)若OA⊥OB,求△OAB的面积．
22．已知函数f（x)=alnx﹣x+2，其中a≠0．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意的x1∈［1，e]，总存在x2∈［1，e］,使得f（x1）+f（x2）=4，求实数a值．
2015-2016学年湖南省长沙一中高三(上）第二次月考数学试卷
(文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合A={(x，y）|y=e x｝，B={（x，y）|y=a｝，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是(）A．a＜1 B．a≤1 C．a＜0 D．a≤0
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．
【分析】根据A∩B=∅，结合曲线x=a与y=y=e x的位置关系，即可得到结论．
【解答】解：集合A对应的图象为y=e x,
要使A∩B=∅，则直线x=a，与y=e x没有交点,
∵y=e x的值域为（0，+∞），
∴要使A∩B=∅，
则a≤0，
故选:D．
【点评】本题考查集合的运算,考查学生的计算能力，属于基础题．
2．设命题p:函数f（x）=x3在R上为增函数；命题q：函数f（x）=cosx为奇函数．则下列命题中真命题是（)
A．p∧q B．p∧（￢q）C．(￢p）∧（￢q）D．(￢p）∨q
【考点】复合命题的真假．
【专题】简易逻辑．
【分析】先判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．
【解答】解：命题p：函数f(x）=x3在R上为增函数，是真命题，
命题q：函数f（x）=cosx为奇函数，是假命题,
故p∧（￢q）是真命题，
故选：B．
【点评】本题考查了复合命题的判断，考查考查函数的奇偶性和单调性，是一道基础题．
3．已知向量=（2，4)，=(﹣1,1），则2﹣=(）
A．（3，7) B．（3，9） C．（5，7) D．（5，9）
【考点】平面向量的坐标运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】直接利用向量的坐标运算求解即可．
【解答】解:向量=（2，4），=（﹣1，1），
则2﹣=2（2，4）﹣（﹣1，1）=(5，7）．
故选:C．
【点评】本题考查向量的坐标运算，考查计算能力．
4．函数f(x)=log2（x2+5x﹣6)的定义域是（)
A．［﹣2,3］B．（﹣6,1］C．（﹣∞,﹣1）∪（6，+∞）D．（﹣∞,﹣6)∪(1,+∞)
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由x2+5x﹣6＞0，解得x范围即可得出函数f（x)的定义域．
【解答】解：由x2+5x﹣6＞0，解得x＞1或x＜﹣6．
∴函数f（x）=log2（x2+5x﹣6）的定义域是（﹣∞，﹣6）∪（1,+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的定义域的求法、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．执行如图所示的程序框图,则输出s的值为（）
A．B．C．D．
【考点】程序框图．
【专题】算法和程序框图．
【分析】根据已知的框图，可知程序的功能是利用循环累加循环变量的值到累加变量S，并在循环变量k值大于等于8时，输出累加结果．
【解答】解:模拟执行程序框图,可得
s=0，k=0
满足条件k＜8,k=2,s=,
满足条件k＜8,k=4，s=+，
满足条件k＜8，k=6，s=++，
满足条件k＜8,k=8，s=+++=，
不满足条件k＜8,退出循环，输出s的值为．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多时,我们多采用模拟程序运行的方法得到程序的运行结果．
6．将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是（)
A．B．C．D．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】根据三角函数的图象变换关系进行求解即可．
【解答】解：将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=sin（)，
由=+kπ,
即+2kπ,k∈Z，
∴当k=0时，函数的对称轴为，
故选:D．
【点评】本题主要考查三角函数的图象变换关系以及三角函数对称轴的计算，求出函数的解析式是解决本题的关键．
7．设a=log36，b=2﹣2，c=log2，则（）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b
【考点】对数值大小的比较．
【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【解答】解:∵a=log36＞1，0＜b=2﹣2＜1，c=log2＜0，
∴a＞b＞c，
故选:A．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．已知向量，满足｜+|=|｜=｜|，则向量与+夹角的余弦值为（) A．B．﹣C．0 D．1
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【专题】平面向量及应用．
【分析】由题意可得，即，再由已知||=｜|，可得向量与+夹角为，夹角的余弦值为．
【解答】解：由｜+｜=||=｜|,得：
,即，
解得：,
∵|｜=||，且，
∴向量与+夹角为，夹角的余弦值为．
故选：A．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，关键是对数量积公式的记忆与运用,是基础题．
9．在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a=c且满足cosC+(cosA﹣sinA）cosB=0,则△ABC是（）
A．钝角三角形B．等边三角形C．直角三角形D．不能确定
【考点】正弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinAsinB=sinAcosB，由sinA≠0，可解得tanB=，结合范围B∈（0，π），可求B=，由a=c及三角形内角和定理可得A=B=C=,从而得解．
【解答】解:∵cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0，
⇒﹣cos（A+B）+cosAcosB﹣sinAcosB=0,
⇒﹣cosAcosB+sinAsinB+cosAcosB=sinAcosB,
⇒sinAsinB=sinAcosB，（sinA≠0）
⇒sinB=cosB，
⇒tanB=,
又∵B∈（0，π），
∴解得：B=．
又∵a=c，即A=C，且A+B+C=π，
∴解得：A=B=C=．三角形是等边三角形．
故选:B．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了三角形内角和定理的应用,三角形形状的判定，属于基本知识的考查．
10．设函数f（x）=，若f［f（)］=4,则b=（）
A．1 B．﹣C．﹣或1 D．﹣1
【考点】分段函数的应用．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】直接利用分段函数，通过解方程求解函数值即可．
【解答】解：函数f（x）=，若f[f（）]=4，
f（1﹣b）=4．
当1﹣b＜1即b＞0时,3（1﹣b）﹣b=4，解得b=﹣,（舍去)；
当b≤0时，21﹣b=4，解得b=﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点以及方程根的关系，考查计算能力．
11．若点P是函数f（x）=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线x﹣y﹣2=0的最小距离为（）A．B．C．D．3
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;点到直线的距离公式．
【专题】转化思想；导数的综合应用．
【分析】由题意知，当曲线上过点P的切线和直线x﹣y﹣2=0平行时,点P到直线x﹣y﹣2=0的距离最小,求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1,可得且点的坐标，此切点到直线x﹣y﹣2=0的距离即为所求．
【解答】解:点P是曲线f（x）=x2﹣lnx上任意一点，
当过点P的切线和直线x﹣y﹣2=0平行时，
点P到直线x﹣y﹣2=0的距离最小．
直线x﹣y﹣2=0的斜率等于1，
由f（x）=x2﹣lnx,得f′（x）=2x﹣=1，解得:x=1，或x=﹣（舍去)，
故曲线f（x）=x2﹣lnx上和直线x﹣y﹣2=0平行的切线经过的切点坐标（1，1），
点(1，1）到直线x﹣y﹣2=0的距离等于,
故点P到直线x﹣y﹣2=0的最小距离为．
故选:A．
【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用,函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化的数学思想，是中档题．
12．已知P（2,）在双曲线﹣=1上，其左、右焦点分别为F1、F2，三角形PF1F2的内切圆切x轴于点M，则•的值为（）
A．2﹣1 B．2+1 C．2﹣2 D．2﹣
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】综合题；数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据题意，利用切线长定理，再利用双曲线的定义，把｜PF1|﹣｜PF2|=4，转化为｜AF1｜﹣|HF2｜=4，从而求得点M的横坐标，即可得出结论．
【解答】解：P(2，）在双曲线﹣=1上，可得b=，
∴F1（﹣3，0）、F2（3，0)，
如图，设M(x，0），内切圆与x轴的切点是点M，PF1、PF2与内切圆的切点分别为N、H，
∵由双曲线的定义可得|PF1｜﹣|PF2|=2a=4，
由圆的切线长定理知，|PN｜=|PH｜，故｜NF1｜﹣｜HF2 |=8，
即｜MF1|﹣｜HF2｜=4，
设内切圆的圆心横坐标为x,则点M的横坐标为x，
故（x+3）﹣（3﹣x）=4，∴x=2．
∴•=（2﹣2，）•（3﹣2,0)=2﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的定义、切线长定理，体现了转化的数学思想以及数形结合的数学思想，正确运用双曲线的定义是关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分．）
13．已知复数z1=1+i，z2=1﹣i，若z=,则|z｜=1．
【考点】复数求模；复数代数形式的乘除运算．
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
【解答】解：z=====i,
则|z|=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力,属于基础题．
14．已知数列{a n}满足a1=1，（2n﹣1）a n+1=2（2n+1）a n，则a6=352．
【考点】数列递推式．
【专题】点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】根据数列的递推公式，利用累积法即可得到结论．
【解答】解：由（2n﹣1）a n+1=2（2n+1）a n,得
，
∴，，
…
，
则==25×11=352．
故答案为：352．
【点评】本题主要考查数列的递推公式的应用,利用累积法是解决本题的关键,考查学生的计算能力，是中档题．
15．如图，已知正方形ABCD的边长为2,点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，作弧交AD 于点F．若P为劣弧上的动点，则的最小值为5﹣2．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】首先以A为原点，直线AB，AD分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，可设P(cosθ，sinθ），从而可表示出,根据两角和的正弦公式即可得到=5﹣
2sin（θ+φ），从而可求出的最小值．
【解答】解:如图，以A为原点，边AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则：
A（0，0），C(2，2)，D(0，2），设P（cosθ，
sinθ）；
∴•（﹣cosθ，2﹣sinθ）
=(2﹣cosθ）（﹣cosθ)+（2﹣sinθ)2
=5﹣2（cosθ+2sinθ）=sin（θ+φ)，tanφ=；
∴sin（θ+φ)=1时，取最小值．
故答案为:5﹣2．
【点评】考查建立平面直角坐标系，利用向量的坐标解决向量问题的方法，由点的坐标求向量坐标，以及数量积的坐标运算，两角和的正弦公式．
16．直线y=m与y=2x﹣3及曲线y=x+e x分别交于A、B两点,则AB的最小值为2．
【考点】两点间的距离公式．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】设A（x1，a），B（x2，a)，则2x1﹣3=x2+e x2，表示出x1，求出|AB|，利用导数求出｜AB|的最小值
【解答】解：设A（x1，a），B（x2，a），
则2x1﹣3=x2+e x2,
∴x1=（x2+e x2+3),
∴｜AB|=|x2﹣x1｜=|(x2﹣e x2﹣3）｜，
令y=（x﹣e x﹣3）,
则y′=（1﹣e x),
∴函数在（0，+∞）上单调递减，在(﹣∞，0)上单调递增，
∴x=0时，函数y的最大值为﹣2，
即有|AB｜的最小值为2．
故答案为:2．
【点评】本题考查导数知识的运用,考查学生分析解决问题的能力，正确求导确定函数的单调性是关键．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在等差数列{a n｝中，a1=1，其前n项和为S n=n2．
（1）求数列{a n}的通项公式a n;
（2)若b n=，求数列｛b n}中的最小项及取得最小项时n的值．
【考点】数列递推式．
【专题】等差数列与等比数列．
，即可得出a n．
【分析】（1)由S n=n2，可得当n≥2时，a n=S n﹣S n
﹣1
（2）b n===，可得当n≤12时，数列｛b n}单调递减；当n≥13时，数列｛b n}单调递增．即可得出．
=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1．
【解答】解：（1）∵S n=n2，∴当n≥2时，a n=S n﹣S n
﹣1
当n=1时，上式也成立．
∴a n=2n﹣1．
(2）b n===，
当n≤12时，数列{b n}单调递减；当n≥13时，数列{b n}单调递增．
而b12==b13．
∴当n=12或13时，数列{b n｝取得最小项．
【点评】本题考查了递推关系的应用、数列的单调性,考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．已知向量=（sin2x+2，cosx），=（1，2cosx）,设函数f（x）=•．
(1）求f（x）的最小正周期与[0，2π]上函数的单调递减区间；
（2）在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边，若A=,b=1，△ABC的面积为,求a的值．
【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数的周期性及其求法．
【专题】三角函数的图像与性质；解三角形；平面向量及应用．
【分析】（1）利用平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用化简可求f(x）=2sin（2x+）+3,由周期公式可求T，由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z,解得f（x）的在[0,2π］上函数的单调递减区间．
（2)利用三角形面积公式可求c，根据余弦定理即可求得a的值．
【解答】（本题满分为12分）
解：(1）∵=（sin2x+2，cosx），=（1，2cosx），
∴f（x）=•===2sin（2x+）+3．
∴T=，
∴由2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,解得：k，k∈Z，
∴f（x）的在［0，2π]上函数的单调递减区间为：［，]，［，］…6分
（2）∵b=1，△ABC的面积为，
∴,解得c=2,
∴a2=b2+c2﹣2bccosA=4+1﹣2×=3，
∴解得：a=…12分
【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，三角形面积公式，余弦定理的应用，属于基本知识的考查．
19．已知函数f（x)=x2﹣4x+2a+3，a∈R．
（1）若函数f（x）在[﹣1,1］上有零点，求a的取值范围;
(2）设函数g（x）=mx﹣2m，m∈R，当a=0时，∀x1∈［1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）=g（x2),求m的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】(1）由题意结合二次函数的性质可得，由此求得a的范围；
（2)求出a=0时函数f（x）的值域A，然后分m＞0和m＜0求出函数g（x）的值域B，由题意可得A⊆B,然后利用两集合端点值间的关系列不等式组得答案．
【解答】解：（1)由已知得，，即，解得﹣4≤a≤0;
（2）当a=0时，函数f(x）在[1,4］上的值域为A=［﹣1,3]．
当m＞0时，函数g(x）在［1，4］上的值域B=[﹣m，2m]．
当m＜0时，函数g（x）在［1，4］上的值域B=［2m，﹣m］．
由已知可得A⊆B，
∴当m＞0时，,解得m；
当m＜0时，，解得m≤﹣3．
综上可知，m或m≤﹣3．
【点评】本题考查函数恒成立问题，考查了二次函数的性质,考查数学转化思想方法，是中档题．
20．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A=，a=bcosC．
(Ⅰ）求角C的大小;
（Ⅱ)如图，在△ABC的外角∠ACD内取一点P，使PC=2,过点P作PM⊥CA于M，PN⊥CD于N，设线段PM，PN的长分别为m,n，∠PCM=x,且，求f（x）=mn的最大值及相应x的值．
【考点】三角形中的几何计算;两角和与差的正弦函数；三角函数的最值．
【专题】三角函数的求值;三角函数的图像与性质;解三角形．
【分析】（Ⅰ)用正弦定理把a=bcosC化为sinA=sinBcosC,再用三角形的内角和定理与三角恒等变换，求出C的值;
（Ⅱ）根据直角三角形中的边角关系，求出m、n，写出f（x)的解析式，利用三角函数求出f（x）的最大值以及对应的x的值．
【解答】解:（Ⅰ）△ABC中,A=，a=bcosC，
∴sinA=sinBcosC,
即sin（B+C）=sinBcosC，
∴sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC，
∴cosBsinC=0;
又B、C∈（0，π），∴sinC≠0，cosB=0，
∴B=，C=；
（Ⅱ）△ABC的外角∠ACD=π﹣=，PC=2，
且PM⊥CA，PN⊥CD，PM=m，PN=n，∠PCM=x，；
∴m=2sinx，n=2sin（﹣x），
∴f（x）=mn
=4sinxsin（﹣x)
=4sinx（sin cosx﹣cos sinx）
=2sinxcosx+2sin2x
=sin2x+(1﹣cos2x）
=sin2x﹣cos2x+1
=2sin（2x﹣)+1；
∵＜x＜,∴＜2x＜π,
∴＜2x﹣＜，
∴sin(2x﹣）≤1，
∴f（x）≤2+1=3,
当2x﹣=，即x=时，f(x)取得最大值3．
【点评】本题考查了三角形中的边角关系的应用问题，也考查了三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．
21．已知椭圆=1（a＞b＞0）的中心为O,它的一个顶点为（0，1），离心率为,过其右焦点的直线交该椭圆于A，B两点．
（1）求这个椭圆的方程；
(2）若OA⊥OB，求△OAB的面积．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）通过离心率,结合椭圆的几何量的关系,求解即可得到椭圆的方程．
（2）判断直线AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k,写出直线AB的方程为y=k（x﹣1）与椭圆联立，设A(x1，y1），B(x2，y2），线段AB的中点为M(x0，y0)，利用韦达定理结合OA⊥OB求出k的值，求出｜AB|,求出直角△OAB斜边高为点O到直线AB的距离d，然后求解面积．
【解答】解：（1）∵∴，…
依题意b=1，∴a2﹣c2=1,…
∴∴a2=2，…
∴椭圆的方程为；…
（2）椭圆的右焦点为(1，0）,当直线AB与x轴垂直时，A,B的坐标为, 此时∴直线AB与x轴不垂直，…
设直线AB的斜率为k,则直线AB的方程为y=k（x﹣1），
与联立得(2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0,…
设A（x1,y1），B（x2，y2）,线段AB的中点为M（x0,y0）,
∴，．…
∵OA⊥OB，∴k OA×k OB=0，∴x1x2+y1y2=0，
∴x1x2+k（x1﹣1）k（x2﹣1）=,
∴,∴k2=2∴，…
∴|AB|2=4|OM|2=，∴．…
直角△OAB斜边高为点O到直线AB的距离d=，…
∴△OAB的面积为．…
【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的综合应用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力．
22．已知函数f（x）=alnx﹣x+2，其中a≠0．
(Ⅰ）求f（x)的单调区间；
(Ⅱ）若对任意的x1∈[1，e]，总存在x2∈［1，e],使得f（x1）+f（x2）=4,求实数a值．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）先求出函数f(x)的导数，通过讨论①当a＜0时，②当a＞0时的情况，从而求出函数的单调区间;
（Ⅱ）通过讨论a的范围，结合函数的单调性找到函数的最值，从而求出a的值．
【解答】解：（Ⅰ），
当a＜0时,对∀x∈(0,+∞）,f′(x）＜0，所以f（x）的单调递减区间为(0,+∞）;
当a＞0时，令f′（x）=0,得x=a，
因为x∈（0，a）时,f′（x）＞0；x∈（a，+∞）时,f′（x)＜0，
所以f（x）的单调递增区间为(0，a）,单调递减区间为（a，+∞)．
（Ⅱ）用f（x）max,f（x)min分别表示函数f（x）在[1，e］上的最大值，最小值，
当a≤1且a≠0时,由（Ⅰ）知：在[1，e]上，f（x）是减函数，
所以f（x）max=f(1）=1;
因为对任意的x1∈[1，e]，x2∈［1,e],f（x1）+f(x2）≤2f(1）=2＜4,
所以对任意的x1∈[1，e］,不存在x2∈［1，e],使得f（x1）+f(x2）=4；
当1＜a＜e时，由（Ⅰ)知：在［1，a］上，f(x）是增函数，在［a，e]上,f（x）是减函数，
所以f(x）max=f（a）=alna﹣a+2；
因为对x1=1，∀x2∈［1，e］，f(1）+f（x2)≤f（1）+f（a)=1+alna﹣a+2=a(lna﹣1)+3＜3，
所以对x1=1∈[1,e］，不存在x2∈[1，e],使得f（x1）+f（x2）=4;
当a≥e时，令g(x)=4﹣f(x)（x∈[1,e]），
由(Ⅰ）知：在［1，e]上，f（x)是增函数,进而知g（x）是减函数，
所以f（x）min=f(1）=1，f（x)max=f（e)=a﹣e+2，g（x）max=g(1)=4﹣f（1），g（x）min=g（e)=4﹣f（e）；
因为对任意的x1∈[1，e］，总存在x2∈［1,e]，使得f（x1）+f（x2)=4，即f（x1）=g(x2），
所以即，
所以f（1）+f（e）=a﹣e+3=4，解得a=e+1，
综上所述，实数a的值为e+1．
【点评】本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道难题．。