平行四边形单元自检题检测试卷

平行四边形单元自检题检测试卷
一、选择题
1．已知点A （4，0），B （0，﹣4），C （a ，2a ）及点D 是一个平行四边形的四个顶点，则线段CD 的长的最小值为（ ）
A ．65
B ．125
C ．32
D ．42
2．如图， ABCD 为正方形， O 为 AC 、 BD 的交点，在RT DCE 中，DEC ∠= 90︒， DCE ∠= 30︒，若OE =622
+，则正方形的面积为（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
3．如图，正方形ABCD 中，4AB =，点E 在BC 边上，点F 在CD 边上，连接AE 、EF 、AF ，下列说法：①若E 为BC 中点，1CF =，则90AEF ∠=︒；②若E 为BC 中点，90AEF ∠=︒，则1CF =；③若90AEF ∠=︒，1CF =，则点E 为BC 中点，正确的有（ ）个
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4．如图，正方形纸片ABCD ，P 为正方形AD 边上的一点(不与点A ，点D 重合)．将正方形纸片折叠，使点B 落在点P 处，点C 落在点G 处，PG 交DC 于点H ，折痕为EF ，连接,,BP BH BH 交EF 于点M ，连接PM ．下列结论：①BE PE =；
②BP EF =；③PB 平分APG ∠；④PH AP HC =+；⑤MH MF =，其中正确结论的个数是( )
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
5．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC 和CD 上，过点A 作GA AE ⊥，CD 的延长线交AG 于点G ，BE DF EF +=，若30DAF ∠=︒，则BAE ∠的度数为（ ）
A ．15°
B ．20°
C ．25°
D ．30°
6．如图，直角梯形ABCD 中AD ∥BC ，∠D ＝90°．∠A 的平分线交DC 于E ，EF ⊥AB 于F ．已知AD ＝3.5cm ，DC ＝4cm ，BC ＝6.5cm ．那么四边形BCEF 的周长是（ ）
A ．10cm
B ．11cm
C ．11.5cm
D ．12cm
7．如图，矩形ABCD 和矩形CEFG ，AB ＝1，BC ＝CG ＝2，CE ＝4，点P 在边GF 上，点Q 在边CE 上，且PF ＝CQ ，连结AC 和PQ ，M ，N 分别是AC ，PQ 的中点，则MN 的长为（ ）
A ．3
B ．6
C ．37
D ．172
8．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，2BD AD =，点E ，F ，G 分别是OA ，OB ，CD 的中点，EG 交FD 于点H ，下列4个结论中说法正确的有（ ）
①ED CA ⊥；②EF EG =；③12FH FD =；④12
EFD ACD S S =△△．
A ．①②
B ．①②③
C ．①③④
D ．①②③④
9．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，AE AF =，AC 与EF 相交于点G ．下列结论：①AC 垂直平分EF ；②BE DF EF +=；③当15DAF ∠=︒时，AEF 为等边三角形；④当60EAF ∠=︒时，AEB AEF ∠=∠．其中正确的结论是（ ）
A ．①③
B ．②④
C ．①③④
D ．②③④
10．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 为边BC 上一点，且12
BD CD =．点
E ，
F 分别在边,AB AC 上，且90,EDF M ︒∠=为边EF 的中点，连接CM 交DF 于点N ．若//DF AB ，则CM 的长为( )
A ．233
B ．334
C ．536
D ．3
二、填空题
11．如图，正方形ABCD 中，AB=4，E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，则PE+PB 的最小值为 ．
12．如图，在正方形ABCD 中，点,E F 将对角线AC 三等分，且6AC =．点P 在正方形的边上，则满足5PE PF +=的点P 的个数是________个．
13．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，P 为边BC 上一动点（P 不与B 、C 重合），PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的取值范围是__．
14．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4，∠A ＝120°，E 是AB 的中点，点F 在平行四边形ABCD 的边上，若△AEF 为等腰三角形，则EF 的长为_____．
15．如图，在等边ABC 和等边DEF 中，FD 在直线AC 上，33,BC DE ==连接,BD BE ，则BD BE +的最小值是______．
16．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，E 为BC 边上一动点，作EF ⊥AE ，且EF ＝AE ．连接DF ，AF ．当DF ⊥EF 时，△ADF 的面积为_____．
17．在锐角三角形ABC 中，AH 是边BC 的高，分别以AB ，AC 为边向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接CE ，BG 和EG ，EG 与HA 的延长线交于点M ，下列结论：①BG=CE ；②BG ⊥CE ；③AM 是△AEG 的中线；④∠EAM=∠ABC ．其中正确的是_________．
18．如图，在矩形ABCD 中，∠ACB =30°，BC =3E 是边BC 上一动点（点E 不与B ，C 重合），连接AE ，AE 的中垂线FG 分别交AE 于点F ，交AC 于点G ，连接DG ，GE ．设AG =a ，则点G 到BC 边的距离为_____（用含a 的代数式表示），ADG 的面积的最小值为_____．
19．如图，长方形ABCD 中AB ＝2，BC ＝4，正方形AEFG 的边长为1．正方形AEFG 绕点A 旋转的过程中，线段CF 的长的最小值为_____．
20．如图所示，在四边形ABCD 中，顺次连接四边中点E 、F 、G 、H ，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD 添加一个条件，使四边形EFGH 成一个菱形，这个条件是__________．
三、解答题
21．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，过点C 的直线//MN AB ，D 为AB 边上一点，过点D 作DE BC ⊥，交直线MN 于E ，垂足为F ，连接CD 、BE
（1）当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形?说明你的理由； （2）当D 为AB 中点时，A ∠等于 度时，四边形BECD 是正方形．
22．在等边三角形ABC 中，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边在AD 的上方作菱形ADEF ，且∠DAF=60°，连接CF ．
（1）（观察猜想）如图（1），当点D 在线段CB 上时，
①BCF ∠= ；
②,,BC CD CF 之间数量关系为 ．
（2）（数学思考）：如图（2），当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）中两个结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）（拓展应用）：如图（3），当点D 在线段BC 的延长线上时，若6AB =，13
CD BC =，请直接写出CF 的长及菱形ADEF 的面积．
．
23．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC BD 、交于点O ，分别过点C D 、作//,//CF BD DF AC ，连接BF 交AC 于点E ．
(1)求证: FCE BOE ≌；
(2)当ADC ∠等于多少度时，四边形OCFD 为菱形?请说明理由．
24．如图， 平行四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =，60B ∠=， G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连接CE ，DF ． （1） 求证：四边形CEDF 是平行四边形；
（2） ①当AE 的长为多少时， 四边形CEDF 是矩形；
②当AE = cm 时， 四边形CEDF 是菱形， （直接写出答案， 不需要说明理由）．
25．如下图1，在平面直角坐标系中xoy 中，将一个含30的直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，若点A 的坐标为()1,0-，30ABO ∠=︒．
（1）旋转操作：如下图2，将此直角三角板绕点O 顺时针旋转30时，则点B 的坐标为 ．
（2）问题探究：在图2的基础上继续将直角三角板绕点O 顺时针60︒，如图3，在AB 边上的上方以AB 为边作等边ABC ，问：是否存在这样的点D ，使得以点A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形构成为菱形，若存在，请直接写出点D 所有可能的坐标；若不存在，请
说明理由．
（3）动点分析：在图3的基础上，过点O 作OP AB ⊥于点P ，如图4，若点F 是边OB 的中点，点M 是射线PF 上的一个动点，当OMB △为直角三角形时，求OM 的长．
26．如图1，AC 是平行四边形ABCD 的对角线，E 、H 分别为边BA 和边BC 延长线上的点，连接EH 交AD 、CD 于点F 、G ，且//EH AC .
（1）求证：AEF CGH ∆≅∆
（2）若ACD ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=，F 是AD 的中点，8AD =，求BE 的长：
（3）在（2）的条件下，连接BD ，如图2，求证：22222()AC BD AB BC +=+
27．已知，在△ABC 中，∠BAC =90°，∠ABC =45°，D 为直线BC 上一动点（不与点B ，C 重合），以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．
（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，BC 与CF 的位置关系是 ，BC 、CF 、CD 三条线段之间的数量关系为 ；
（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请猜想BC 与CF 的位置关系BC ，CD ，CF 三条线段之间的数量关系并证明；
（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，点A ，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变．若正方形ADEF 的对角线AE ，DF 相交于点O ，OC =
132
，DB =5，则△ABC 的面积为 ．（直接写出答案）
28．已知如图1,四边形ABCD 是正方形，45EAF ︒∠= ．
()1如图1,若点,E F 分别在边BC CD 、上,延长线段CB 至G ,使得BG DF =,若3,2BE BG ==，求EF 的长；
()2如图2，若点,E F 分别在边CB DC 、延长线上时，求证： .EF DF BE =-
()3如图3,如果四边形ABCD 不是正方形，但满足
,90,45,AB AD BAD BCD EAF ︒︒=∠=∠=∠=且7, 13,5BC DC CF ===，请你直接写出BE 的长．
29．猜想与证明：如图①摆放矩形纸片ABCD 与矩形纸片ECGF ，使B ，C ，G 三点在一条直线上，CE 在边CD 上．连结AF ，若M 为AF 的中点，连结DM ，ME ，试猜想DM 与ME 的数量关系，并证明你的结论．
拓展与延伸：
(1)若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，其他条件不变，则DM 和ME 的关系为__________________；
(2)如图②摆放正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，使点F 在边CD 上，点M 仍为AF 的中点，试证明(1)中的结论仍然成立．[提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半]
①②
∆是边长为3的等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与30．如图，ABC
∆是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，交直线点B、C重合），ADE
AC于点F，连接BE．
（1）判断四边形BCFE的形状，并说明理由；
（2）当DE AB
⊥时，求四边形BCFE的周长；
（3）四边形BCFE能否是菱形？若可为菱形，请求出BD的长，若不可能为菱形，请说明理由．
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据题意可判定此题需分两种情况讨论，如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC⊥直线y＝2x时，CD最小，根据垂直及F点坐标可先求的直线FC的函数解析式，进而通过求得点C坐标来求CD；如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝42，对比两种情况即可求得CD最小值.
【详解】
解：如图，由题意点C在直线y＝2x上，
如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC⊥直线y＝2x时，CD最小，
易知直线AB为y＝x﹣4，∵AF＝FB，
∴点F坐标为（2，﹣2），∵CF⊥直线y＝2x，
设直线CF为y＝﹣1
2
x+b′F（2，﹣2）代入得b′＝﹣1
∴直线CF为y＝﹣1
2
x﹣1，
由
2
1
1
2
y x
y x
=
⎧
⎪
⎨
=--
⎪⎩
解得
2
5
4
5
x
y
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
，
∴点C坐标（
2
5
-，
4
5
-）．
∴CD＝2CF＝2
．
如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB
＝
，
∴CD
故选：B．
【点睛】
本题考查了一次函数与平行四边形的综合题，解本题的关键是找到何时CD最短.
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，判断出四边形OMEN是矩形，根据矩形的性质可得∠MON=90°，再求出∠COM=∠DON，根据正方形的性质可得
OC=OD，然后利用“角角边”证明△COM和△DON全等，根据全等三角形对应边相等可得OM=ON，然后判断出四边形OMEN是正方形，设正方形ABCD的边长为2a，根据直角三
角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得DE=1
2
CD，再利用勾股定理列式求出CE，根
据正方形的性质求出
a，然后利用四边形OCED的面积列出方程求出2a，再根
据正方形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】
解：如图，过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，
∵∠CED=90°，
∴四边形OMEN 是矩形，
∴∠MON=90°，
∵∠COM+∠DOM=∠DON+∠DOM ，
∴∠COM=∠DON ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴OC=OD ，
在△COM 和△DON 中，
==CMO=90COM DON N OC OD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩
，
∴△COM ≌△DON （AAS ），
∴OM=ON ，
∴四边形OMEN 是正方形，
设正方形ABCD 的边长为2a ，则222a a = ∵∠CED=90°，∠DCE=30°，
∴DE=12
CD=a ， 由勾股定理得，2222(2)3CD DE a a a -=-= ，
∴四边形OCED 的面积=
2111623(2)(2)()222a a a a ++=⨯， 解得21a =，
所以，正方形ABCD 的面积=22(2)4414a a ==⨯=．
故选B ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 3．D
解析：D
【解析】
【分析】
正方形的边长相等，因为AB=4，所以其他三边也为4，正方形的四个角都是直角，①若E 为BC 中点，1CF =，则能求出AE 2+EF 2=AF 2，用勾股定理可得90AEF ∠=︒．②若E 为BC 中点，90AEF ∠=︒，用勾股定理列方程可求得CF ，
③若90AEF ∠=︒，1CF =，用勾股定理列方程可求得BE ，
【详解】
解：①若E 为BC 中点，1CF =，
∵AB=4，
∴BE=CE=2，DF=3，
∴AE 2=42+22=20，EF 2=22+12=5，AF 2=42+32=25，
∴AE 2+ EF 2=AF 2，
∴90AEF ∠=︒；
故①正确，
②若E 为BC 中点，90AEF ∠=︒，
设CF x =；则DF=4-x.
∴AE 2=42+22=20，EF 2=4+x 2，AF 2=42+（4-x ）2，
∵90AEF ∠=︒∴
∴AE 2+ EF 2=AF 2，
∴20+4+ x 2=42+（4-x ）2
解得x=1；即CF=1.
③若90AEF ∠=︒，1CF =，则DF=3,设BE=x ，
∴AE 2+ EF 2=AF 2，
即42+x 2+1+（4-x ）2=42+32
解得x=2，即BE=2，E 为BC 的中点.
故①②③正确，答案选D.
【点睛】
本题考查了正方形的性质及勾股定理及勾股定理逆定理的应用，解题关键是应用勾股定理列方程并求解.
4．B
解析：B
【分析】
①③利用正方形的性质、翻折不变性即可解决问题；
②构造全等三角形即可解决问题；
④如图2，过B 作BQ ⊥PH ，垂足为Q ．证明△ABP ≌△QBP （AAS ），以及△BCH ≌△BQH 即可判断；
⑤利用特殊位置，判定结论即可；
【详解】
解：根据翻折不变性可知：PE ＝BE ，故①正确；
∴∠EBP ＝∠EPB ．
又∵∠EPH＝∠EBC＝90°，
∴∠EPH−∠EPB＝∠EBC−∠EBP．
即∠PBC＝∠BPH．
又∵AD∥BC，
∴∠APB＝∠PBC．
，故③正确；∴∠APB＝∠BPH，即PB平分APG
如图1中，作FK⊥AB于K．设EF交BP于O．
∵∠FKB＝∠KBC＝∠C＝90°，
∴四边形BCFK是矩形，
∴KF＝BC＝AB，
∵EF⊥PB，
∴∠BOE＝90°，
∵∠ABP＋∠BEO＝90°，∠BEO＋∠EFK＝90°，
∴∠ABP＝∠EFK，
∵∠A＝∠EKF＝90°，
∴△ABP≌△KFE（ASA），
∴EF＝BP，故②正确，
如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．
由（1）知∠APB＝∠BPH，
在△ABP和△QBP中，
∠APB＝∠BPH，∠A＝∠BQP，BP＝BP，
∴△ABP≌△QBP（AAS）．
∴AP＝QP，AB＝BQ．
又∵AB＝BC，
∴BC＝BQ．
又∵∠C＝∠BQH＝90°，BH＝BH，
∴△BCH≌△BQH（HL）
∴QH=HC，
∴PH=PQ+QH=AP+HC，故④正确；
当点P与A重合时，显然MH＞MF，故⑤错误，
故选：B．
【点睛】
本题考查正方形的性质、翻折变换、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题属于中考选择题中的压轴题．
5．A
解析：A
【分析】
根据已知条件先证明△ABE≌△ADG，得到AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，得到
⊥得到方程求出x即可求EAF GAF
∠=︒，设BAE
DAF
∠=∠,根据30
∠=x,利用GA AE
解．
【详解】
在正方形ABCD 中，AB=AD,90ABE ADG BAD ∠=∠=∠=︒
∵GA AE ⊥
∴90EAD DAG ∠+∠=︒
又90EAD BAE ∠+∠=︒
∴DAG BAE ∠∠=
∴△ABE ≌△ADG （ASA ）
∴AE=AG ，BE=DG,
∵BE DF EF +=
∴BE DF DG DF EF +=+=
∴EF=GF
∴△AEF ≌△AGF （SSS ）
∴EAF GAF ∠=∠
∵30DAF ∠=︒，设BAE ∠=x,
∴EAF GAF ∠=∠=x+30°
∵GA AE ⊥
∴90EAF GAF ∠+∠=︒
故x+30°+ x+30°=90°
解得x=15°
故选A ．
【点睛】
此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知正方形的性质及全等三角形的判定定理．
6．D
解析：D
【分析】
根据角平分线性质得出AD=AF ，根据勾股定理求出EF=DC ，求出AB 长，求出BE ，即可求出答案．
【详解】
∵AE 平分∠DAB ，∠D=90°，EF ⊥AB ，
∴AF=AD=3.5cm ，EF=DE ，
∴DC=CE+DE=CE+EF=4cm ，
过A 作AM ⊥BC 于M ，则四边形AMCD 是矩形，
∴AM=DC=4cm，AD=CM=3.5cm，
∵BC=6.5cm，
∴BM=6.5cm-3.5cm=3cm，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：22
435
AB（cm），
∴BF=AB-AF=5cm-3.5cm=1.5cm，
∴四边形BCEF的周长是BC+BF+CE+EF=6.5cm+1.5cm+CD=8cm+4cm=12cm，
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理，矩形的性质和判定，角平分线性质等知识点，能求出各个边的长度是解此题的关键．
7．C
解析：C
【分析】
连接CF，交PQ于R，延长AD交EF于H，连接AF，则四边形ABEH是矩形，求出FH＝1，AF2237
+=
AH FH ASA证得△RFP≌△RCQ，得出RP＝RQ，则点R与点M 重合，得出MN是△CAF的中位线，即可得出结果．
【详解】
解：连接CF，交PQ于R，延长AD交EF于H，连接AF，如图所示：
则四边形ABEH是矩形，
∴HE＝AB＝1，AH＝BE＝BC+CE＝2+4＝6，
∵四边形CEFG是矩形，
∴FG∥CE，EF＝CG＝2，
∴∠RFP＝∠RCQ，∠RPF＝∠RQC，FH＝EF﹣HE＝2﹣1＝1，
在Rt△AHF中，由勾股定理得：AF2222
6137
+=+=
AH FH，
在△RFP和△RCQ中，
RFP RCQ PF CQ
RPF RQC ∠=
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=
⎩
，
∴△RFP≌△RCQ（ASA），∴RP＝RQ，
∴点R与点M重合，
∵点N是AC的中点，
∴MN是△CAF的中位线，
∴MN＝1137
37
222
=⨯=
AF，
故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；作辅助线构建全等三角形是解题的关键．
8．B
解析：B
【分析】
由等腰三角形“三线合一”得ED⊥CA，根据三角形中位线定理可得EF=1
2
AB；由直角三角
形斜边上中线等于斜边一半可得EG=1
2
CD，即可得EF=EG；连接FG，可证四边形DEFG是
平行四边形，即可得FH=1
2
FD，由三角形中位线定理可证得S△OEF=
1
4
S△AOB，进而可得
S△EFD=S△OEF+S△ODE=
3
16
S▱ABCD，而S△ACD=
1
2
S▱ABCD，推出S△EFD
1
2
≠S△ACD，即可得出结论．
【详解】
连接FG，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AD=BC，AD∥BC，AB=CD，AB∥CD，∵BD=2AD，
∴OD=AD，
∵点E为OA中点，
∴ED⊥CA，故①正确；
∵E、F、G分别是OA、OB、CD的中点，
∴EF∥AB，EF=1
2 AB，
∵∠CED=90°，G是CD的中点，
∴EG=1
2 CD，
∴EF=EG，故②正确；
∵EF∥AB，AB∥CD，
∴EF∥CD，EF=EG=DG，
∴四边形DEFG是平行四边形，∴FH=DH，
即FH=1
2
FD，故③正确；
∵△OEF∽△OAB，
∴S△OEF=1
4
S△AOB，
∵S△AOB=S△AOD=1
4
S▱ABCD，S△ACD=
1
2
S▱ABCD，
∴S△OEF=
1
16
S▱ABCD，
∵AE=OE，
∴S△ODE=1
2
S△AOD=
1
8
S▱ABCD，
∴S△EFD=S△OEF+S△ODE=
1
16
S▱ABCD+
1
8
S▱ABCD
3
16
=S
▱ABCD
，
∵1
2
S△ACD
1
4
=S
▱ABCD
，
∴S△EFD
1
2
≠S△ACD，故④错误；
综上，①②③正确；
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，三角形面积，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形性质等知识；熟练运用三角形中位线定理、等腰三角形的性质是解题关键．
9．A
解析：A
【分析】
①通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，
②设BC=x，CE=y，由勾股定理就可以得出EF与x、y的关系，表示出BE与EF，即可判断BE+DF与EF关系不确定；
③当∠DAF=15°时，可计算出∠EAF=60°，即可判断△EAF 为等边三角形，
④当∠EAF=60°时，可证明△AEF 是等边三角形，从而可得∠AEF=60°，而△CEF 是等腰直角三角形，得∠CEF=45°，从而可求出∠AEB=75°，进而可得结论．
【详解】
解：①四边形ABCD 是正方形，
∴AB ═AD ，∠B=∠D=90°．
在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，
AE AF AB AD ⎧⎨⎩
＝＝， ∴Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），
∴BE=DF
∵BC=CD ，
∴BC-BE=CD-DF ，即CE=CF ，
∵AE=AF ，
∴AC 垂直平分EF ．（故①正确）．
②设BC=a ，CE=y ，
∴BE+DF=2（a-y ）
EF=y ，
∴BE+DF 与EF 关系不确定，只有当y=（
）a 时成立，（故②错误）．
③当∠DAF=15°时，
∵Rt △ABE ≌Rt △ADF ，
∴∠DAF=∠BAE=15°，
∴∠EAF=90°-2×15°=60°，
又∵AE=AF
∴△AEF 为等边三角形．（故③正确）．
④当∠EAF=60°时，由①知AE=AF ，
∴△AEF 是等边三角形，
∴∠AEF=60°,
又△CEF 为等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°
∴∠AEB=180°-∠AEF-∠CEF=75°,
∴∠AEB≠∠AEF ，故④错误．
综上所述，正确的有①③，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．
10．C
解析：C
【分析】
根据等边三角形边长为2，在Rt BDE ∆中求得DE 的长，再根据CM 垂直平分DF ，在Rt CDN ∆中求得CN ，利用三角形中位线求得MN 的长，最后根据线段和可得CM 的长．
【详解】 解：等边三角形边长为2，12BD CD =， ∴23BD =，43
CD =， 等边三角形ABC 中，//DF AB ，
60FDC B ∴∠=∠=︒，
90EDF ∠=︒，
30BDE ∴∠=︒，
DE BE ∴⊥，
1123BE BD ∴==，2
222213()33DE BD BE ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， 如图，连接DM ，则Rt DEF ∆中，12
DM EF FM ==，
60FDC FCD ∠=∠=︒，
CDF ∴∆是等边三角形，
43
CD CF ∴==， CM ∴垂直平分DF ，
30DCN ∴∠=︒，
Rt CDN ∴∆中，43
DF =，32DN =，23CN =， ∵EM =FM ，DN =FN ，
∴132MN ED =， 23353CM CN MN ∴=+．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了三角形的综合应用，解决问题的关键是掌握等边三角形的性质、勾股定理、平行线的性质、线段垂直平分线的判定等．熟练掌握这些性质是解题的关键．
二、填空题
11．25
【详解】
由于点B与点D关于AC对称，所以如果连接DE，交AC于点P，那PE+PB的值最小．在Rt△CDE中，由勾股定理先计算出DE的长度，即为PE+PB的最小值．连接DE，交AC于点P，连接BD．
∵点B与点D关于AC对称，
∴DE的长即为PE+PB的最小值，
∵AB=4，E是BC的中点，
∴CE=2，
在Rt△CDE中， DE=25．
考点：(1)、轴对称-最短路线问题；(3)、正方形的性质．
12．8个
【分析】
作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H，可得点H到点E和点F的距离之和最小，可求最小值，即可求解．
【详解】
如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H，
∵点E，F将对角线AC三等分，且AC＝6，
∴EC＝4，FC＝2＝AE，
∵点M与点F关于BC对称，
∴CF＝CM＝2，∠ACB＝∠BCM＝45°，
∴∠ACM＝90°，
∴EM2222
EC+CM=4+2=25
则在线段BC存在点H到点E和点F的距离之和最小为55，
在点H右侧，当点P与点C重合时，则PE＋PF＝4＋2＝6，
∴点P在CH上时，5PE＋PF≤6，
在点H左侧，当点P与点B重合时，∵FN⊥BC，∠ABC＝90°，
∴FN∥AB，
∴△CFN∽△CAB，
∴FN CN CF1
===
AB CB CA3
，
∵AB＝BC＝
2
2
AC＝32，
∴FN＝1
3
AB＝2，
CN＝1
3
BC＝2，
∴BN＝BC－CN＝22，
BF＝22
FN+BN=2+8=10，
∵AB＝BC，CF＝AE，∠BAE＝∠BCF，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴BE＝BF＝10，
∴PE＋PF＝210，
∴点P在BH上时，25＜PE＋PF＜210，
∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE＋PF＝5，
同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE＋PF＝5．
即共有8个点P满足PE＋PF＝5，
故答案为8．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，最短路径问题，在BC上找到点H，使点H到点E和点F的距离之和最小是本题的关键．
13．30
13
≤AM<6
【分析】
由勾股定理得BC=13从而得到点A 到BC 的距离, M 为EF 中点，所以AM=12EF ，继而求得AM 的范围． 【详解】 因为∠BAC=90°，AB=5，AC=12，
所以由勾股定理得BC=13，
则点A 到BC 的距离为
AC 512BC 13AB ⨯⨯==6013， 所以AM 的最小值为6013÷2=3013
， 因为M 为EF 中点，所以AM=
12EF ， 当E 越接近A ，F 越接近C 时，EF 越大，
所以EF ＜AC ，则AM ＜6，
所以3013
≤AM＜6， 故答案为3013
≤AM＜6. 14．33或3或
572 【分析】
△AEF 为等腰三角形，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和30°直角三角形性质、平行四边形的性质可求解．
【详解】
解：当AE AF =时，如图，过点A 作AH EF ⊥于H ，
E 是AB 的中点，
132
AE AB ∴==， =AE AF ，AH EF ⊥，120A ∠=︒，
30AEF AFE ∴∠=∠=︒，FH EH =，
1322AH AE ∴==，333EH AH =， 233EF EH ∴==
当AF EF =时，如图2，
过点A 作AN CD ⊥于N ，过点F 作FM AB ⊥于M ，
图2
在平行四边形ABCD 中，6AB =，4BC =，120A ∠=︒，
4AD BC ∴==，60ADC ∠=︒，
30DAN ∴∠=︒， 122DN AD ∴==，323AN DN ==， //AB CD ，AN CD ⊥，FM AB ⊥，
23AN MF ∴==，
AF EF =，FM AB ⊥，
32
AM ME ∴==， 22957124EF ME MF ∴=+=+
=； 当3AE EF ==时，如图3，
图3
3EF ∴=，
综上所述：EF 的长为3
3357． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
1537
【分析】
如图，延长CB 到T ，使得BT=DE ，连接DT ，作点B 关于直线AC 的对称点W ，连接TW ，DW ，过点W 作WK ⊥BC 交BC 的延长线于K ．证明BE=DT ，BD=DW ，把问题转化为求DT+DW 的最小值．
【详解】
解：如图，延长CB 到T ，使得BT=DE ，连接DT ，作点B 关于直线AC 的对称点W ，连接TW ，DW ，过点W 作WK ⊥BC 交BC 的延长线于K ．
∵△ABC，△DEF都是等边三角形，BC=3DE=3，∴BC=AB=3，DE=1，∠ACB=∠EDF=60°，
∴DE∥TC，
∵DE=BT=1，
∴四边形DEBT是平行四边形，
∴BE=DT，
∴BD+BE=BD+AD，
∵B，W关于直线AC对称，
∴CB=CW=3，∠ACW=∠ACB=60°，DB=DW，
∴∠WCK=60°，
∵WK⊥CK，
∴∠K=90°，∠CWK=30°，
∴CK=1
2
CW=
3
2
，3
33
2
，
∴TK=1+3+3
2
=
11
2
，
∴
2
2
22
1133
22
TK WK
⎛⎫
⎛⎫
+=+ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
37
∴DB+BE=DB+DT=DW+DT≥TW，
∴37
∴BD+BE37，
37．
【点睛】
本题考查轴对称-最短问题，等边三角形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
16．3﹣32 2
【分析】
作辅助线，构建全等三角形和矩形，利用面积法可得AE的长，根据勾股定理可得BE的长，设AE＝x，证明△ABE≌△EQF（AAS），得FQ＝BE2，最后根据三角形面积公式可得结论．
【详解】
解：如图，过D作DH⊥AE于H，过E作EM⊥AD于M，连接DE，
∵EF⊥AE，DF⊥EF，
∴∠DHE＝∠HEF＝∠DFE＝90°，
∴四边形DHEF是矩形，
∴DH＝EF＝AE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BAD＝90°，
∵∠AME＝90°，
∴四边形ABEM是矩形，
∴EM＝AB＝2，
设AE＝x，
则S△ADE＝11
AD EM AE DH 22
⋅=⋅，
∴3×2＝x2，
∴x6，
∵x＞0，
∴x6，
即AE6，
由勾股定理得：BE22
(6)2
-2，
过F作PQ∥CD，交AD的延长线于P，交BC的延长线于Q，∴∠Q＝∠ECD＝∠B＝90°，∠P＝∠ADC＝90°，
∵∠BAE＋∠AEB＝∠AEF＝∠AEB＋∠FEQ＝90°，
∴∠FEQ＝∠BAE，
∵AE＝EF，∠B＝∠Q＝90°，
∴△ABE≌△EQF（AAS），
∴FQ＝BE2，
∴PF＝22，
∴S△ADF＝1
AD PF
2
⋅＝
1
3(22)
2
⨯⨯＝3﹣32
2
．
【点睛】
此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，有难度，正确作辅助线构建全等三角形是关键，并用方程的思想解决问题．
17．①②③④
【分析】
根据正方形的性质和SAS可证明△ABG≌△AEC，然后根据全等三角形的性质即可判断①；设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1，根据全等三角形对应角相等可得
∠ACE＝∠AGB，然后根据三角形的内角和定理可得∠CNG＝∠CAG＝90°，于是可判断②；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，如图2，根据余角的性质即可判断④；利用AAS即可证明△ABH≌△EAP，可得EP＝AH，同理可证GQ＝AH，从而得到EP ＝GQ，再利用AAS可证明△EPM≌△GQM，可得EM＝GM，从而可判断③，于是可得答案．
【详解】
解：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，
即∠CAE＝∠BAG，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴BG＝CE，故①正确；
设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1，
∵△ABG≌△AEC，
∴∠ACE＝∠AGB，
∵∠AKG＝∠NKC，
∴∠CNG＝∠CAG＝90°，
∴BG⊥CE，故②正确；
过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，如图2，
∵AH ⊥BC ，
∴∠ABH +∠BAH ＝90°，
∵∠BAE ＝90°，
∴∠EAP +∠BAH ＝90°，
∴∠ABH ＝∠EAP ，即∠EAM ＝∠ABC ，故④正确；
∵∠AHB =∠P =90°，AB =AE ，
∴△ABH ≌△EAP （AAS ），
∴EP ＝AH ，
同理可得GQ ＝AH ，
∴EP ＝GQ ，
∵在△EPM 和△GQM 中，
90P MQG EMP GMQ EP GQ ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△EPM ≌△GQM （AAS ），
∴EM ＝GM ，
∴AM 是△AEG 的中线，故③正确．
综上所述，①②③④结论都正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、三角形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，作辅助线构造出全等三角形是难点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键．
18．42a -
3
【分析】
先根据直角三角形含30度角的性质和勾股定理得AB =2，AC =4，从而得CG 的长，作辅助线，构建矩形ABHM 和高线GM ，如图2，通过画图发现：当GE ⊥BC 时，AG 最小，即a 最小，可计算a 的值，从而得结论．
【详解】
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠B =90°，
∵∠ACB =30°，BC =
，
∴AB =2，AC =4，
∵AG =a ，
∴CG =4a -，
如图1，过G 作MH ⊥BC 于H ，交AD 于M ，
Rt△CGH中，∠ACB=30°，
∴GH=1
2
CG=
4
2
a
-
，
则点G到BC边的距离为4
2
a
-
，
∵HM⊥BC，AD∥BC，
∴HM⊥AD，
∴∠AMG=90°，
∵∠B=∠BHM=90°，
∴四边形ABHM是矩形，∴HM=AB=2，
∴GM=2﹣GH=
4
2
2
a
-
-=
2
a
，
∴S△ADG
113
23
222
a a
AD MG
=⋅=⨯⨯=，
当a最小时，△ADG的面积最小，
如图2，当GE⊥BC时，AG最小，即a最小，
∵FG是AE的垂直平分线，
∴AG=EG，
∴4
2
a
a -
=，
∴
4
3
a=，
∴△ADG 3423
3
=，
故答案为：4
2
a
-
，
23
3
．
【点睛】
本题主要考查了垂直平分线的性质、矩形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，确定△ADG的面积最小时点G的位置是解答此题的关键．
19．25﹣2
【分析】
连接AF，CF，AC，利用勾股定理求出AC、AF，再根据三角形的三边关系得到当点A，F，C在同一直线上时，CF的长最小，最小值为25﹣2.
【详解】
解：如图，连接AF，CF，AC，
∵长方形ABCD中AB＝2，BC＝4，正方形AEFG的边长为1，
∴AC＝25，AF＝2，
∵AF+CF≥AC，
∴CF≥AC﹣AF，
∴当点A，F，C在同一直线上时，CF的长最小，最小值为25﹣2，
故答案为：25﹣2．
【点睛】
此题考查矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形的三边关系.
20．答案不唯一，例AC=BD 等
【分析】
连接AC、BD，先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据菱形的特点添加条件即可.【详解】
连接AC，
∵点E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AC，EF=1
2 AC，
同理HG∥AC，HG=1
2 AC,
∴EF∥HG，EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
连接BD ,同理EH=FG,EF ∥FG ，
当AC=BD 时，四边形EFGH 是平行四边形，
故答案为：答案不唯一，例AC=BD 等.
【点睛】
此题考查三角形中位线性质，平行四边形的判定及性质，菱形的判定.
三、解答题
21．（1）四边形BECD 是菱形，理由见解析；（2）45︒
【分析】
（1）先证明//AC DE ，得出四边形BECD 是平行四边形，再“根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证出CD BD =，得出四边形BECD 是菱形；
（2）先求出45ABC ∠=︒，再根据菱形的性质求出90DBE ∠=︒，即可证出结论．
【详解】
解：当点D 是AB 的中点时，四边形BECD 是菱形；理由如下：
∵DE BC ⊥，
90DFE ∴∠=︒，
∵90ACB ∠=︒，
ACB DFB ∴∠=∠，
//AC DE ∴，
∵//MN AB ，即//CE AD ，
∴四边形ADEC 是平行四边形，
CE AD ∴=； D 为AB 中点，
AD BD ∴=，
BD CE ∴=，
∵//BD CE ，
∴四边形BECD 是平行四边形，
∵90ACB ∠=︒，D 为AB 中点，
12
CD AB BD ∴==， ∴四边形BECD 是菱形；
（2）当45A ∠=︒时，四边形BECD 是正方形；理由如下：
∵90ACB ∠=︒，45A ∠=︒，
45ABC ∴∠=︒，
∵四边形BECD 是菱形，
12
ABC DBE ∴∠=∠， 90DBE ∴∠=︒，
∴四边形BECD 是正方形．
故答案为：45︒．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定、正方形的判定以及直角三角形的性质；根据题意证明线段相等和直角是解决问题的关键．
22．（1）①120°；② BC ＝CD +CF ；（2）不成立，见解析；（3）8，【分析】
（1）①根据菱形的性质以及等边三角形的性质，推出△ACF ≌△ABD ，根据全等三角形的性质即可得到结论；②根据全等三角形的性质得到CF=BD ，再根据BD+CD=BC ，即可得出CF+CD=BC ；
（2）依据△ABD ≌△ACF ，即可得到∠ACF+∠BAC=180°，进而得到AB ∥CF ；依据△ABD ≌△ACF 可得BD=CF ，依据CD-BD=BC ，即可得出CD-CF=BC ；
（3）依据≅△△ADB AFC ，即可得到8==+=CF BD BC CD ，利用ABC ∆是等边三角形，AH BC ⊥，可得132
==
=BH HC BC ，即可得出HD 的长度，利用勾股定理即可求出AD 的长度，即可得出结论．
【详解】
解：（1） 在等边△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°
∴∠BAD+∠DAC=60°
在菱形ADEF 中
AD=AF
∵∠DAF=∠DAC+∠FAC=60°
∴∠CAF=∠DAB
又∵AC=AB ，AF=AD
∴△ACF ≌△ABD
∴∠ACF=∠ABD=60°，CF=BD
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=120°
故答案为：120°
②∵BC=BD+CD ，BD=CF
∴BD=CF+CD
故答案为：BC=CD+CF
（2）不成立
理由：∵ABC ∆是等边三角形
∴60BAC ABC ACB ∠=∠=∠=，AB AC =
又∵60DAF ∠=
∴BAC BAF DAF BAF ∠-∠=∠-∠
∴FAC DAB ∠=∠
∵四边形ADEF 是菱形
∴AD AF =
∴≅△△ADB AFC
∴DB FC =，18060120ACF ABD ∠=∠=-=
∴1206060BCF ACF ACB ∠=∠-∠=-=
∵BC CD BD =-
∴BC CD CF =-
（3）8=CF ，菱形ADEF 的面积是263
∵60BAC DAF ∠=∠=
∴BAD CAF ∠=∠
又∵AB AC =，AD AF =
∴≅△△ADB AFC
∴16683
CF BD BC CD ==+=+⨯=
∴如图，
过点A 作AH BC ⊥于点H ，连接FD
∵ABC 是等边三角形，AH BC ⊥ ∴116322
BH HC BC ===⨯= ∴325HD HC CD =+=+=
∵22236927AH AB BH =-=-=
∴222725213AD AH DH ++=∴132221321326322AFD ADEF S S ∆==⨯
⨯=菱形 【点睛】
此题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形
的判定和性质的综合运用，利用已知条件判定△DAB ≌△FAC 是解本题的关键．
23．（1）见解析；（2）当ADC 满足90ADC ∠=︒时，四边形OCFD 为菱形，证明详见解析
【分析】
（1）证明四边形OCFD 是平行四边形，得出OD=CF ，证出OB=CF ，再证明全等即可（2）证出四边形ABCD 是矩形，由矩形的性质得出OC=OD ，即可得出四边形OCFD 为菱形.
【详解】
(1)证明:∵//,//CF BD DF AC ，
∴四边形OCFD 是平行四边形， OBE CFE ∠=∠，
∴OD CF =，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OB OD =，
∴OB CF =，
在FCE △和BOE △中， OBE CFE BEO FEC OB CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()FCE BOE AAS ≌．
(2)当ADC 满足90ADC ∠=︒时，四边形OCFD 为菱形.理由如下:
∵90ADC ∠=︒，四边形ABCD 是平行四边形，
∴四边形ABCD 是矩形
∴,,,OA OC OB OD AC BD ===
∴OC OD =，
∴四边形OCFD 为菱形
【点睛】
本题考查全等三角形判定与性质，平行四边形和菱形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和性质和菱形的判定是解题的关键.
24．（1）证明见解析；（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF 是矩形；②2
【分析】
（1）证明△FCG ≌△EDG （ASA ），得到FG=EG 即可得到结论；
（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF 是矩形.过A 作AM ⊥BC 于M ，求出BM=1.5，根据平行四边形的性质得到∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，求出DE=1.5=BM ，证明△MBA ≌△EDC(SAS)，得到∠CED=∠AMB=90°，推出四边形CEDF 是矩形；
②根据四边形CEDFCEDF 是菱形，得到CD ⊥EF ，DG=CG=1212CD=1.5，求出∠DEG=30°，得到DE=2DG=3，即可求出AE=AD-DE=5-3=2.
【详解】
（1）证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
∴ CF ∥ED ，
∴ ∠FCG ＝∠EDG ，。