7.1.2 三角形的高、中线与角平分线

7

7.1.3 三角形的稳固性

基础过关作业

1．以下讲法错误的是（）

A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点

B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点

C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点

D．三角形的三条高可能相交于外部一点

2．如果一个三角形的三条高的交点恰好是那个三角形的一个顶点，•那么那个三角形是（）

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定

3．如图1，BD=1

2BC，则BC边上的中线为______，△A

BD的面积=_____的面积．

(1) (2)

(3)

4．如图2，△ABC中，高CD、BE、AF相交于点O，则△BOC•的三条高分不为线段________．

5．下列图形中具有稳固性的是（）

A．梯形B．菱形C．三角形D．正方形6．如图3，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5c m，AC=3cm，求△ABD•与△ACD的周长之差．

7．如图，∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，垂足为点D，且B D=CD．•可知哪些线段是哪个三角形的角平分线、中线或高？

综合创新作业

8．（综合题）如图5，在等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将那个等腰三角形的周长分为15和6两部分，求该等腰三角形的腰长及底边长．

9．有一块三角形优良品种试验基地，如图所示，•由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的划分方案供选择（画图讲明）．

10．（创新题）如图，在△ABC中，D、E分不是BC、AD 的中点，S△ABC=4cm2，求S△ABE．

11．（2004年，陕西）如图，在锐角△AB

C中，CD、BE分不是AB、AC上的高，•且

CD、BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC

的度数是（）

A．150°B．130°C．120°

D．100°

培优作业

12．（探究题）（1）如图7-1-2-9，AD是△ABC的角平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O．请咨询：DO是△DEF的角平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请讲明理由．

（2）若将结论与AD是△ABC的角平分线、DE∥AB、D F∥AC中的任一条件交换，•所得命题正确吗？

13．（开放题）要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？n边形木架呢？

14．（趣味题）《三国演义》中有关木牛流马的叙述：“孔明即手书一纸，付众观看，众将围绕而视．造木牛之法云：‘方腹曲头，一脚四足；头入领中，舌着于腹．载多而行少，独行者数十里，群行者二十里．曲者为牛头，双者为牛脚，横者为牛领，转者为牛足，覆者为牛背，方者为牛腹，垂者为牛舌，曲者为牛肋，刻者为牛齿，立者为牛角，细者为牛鞅，摄者为牛轴．牛仰双辕，人行六尺，牛行四步．’每牛载十人所食一月之粮，人不大劳，牛不饮食．”

你明白木牛流马中运用了什么数学知识吗？

数学世界

探险家的“难极”

有一个探险家，挖空心思想出一个“难极”来．

什么是探险家的“难极”呢？

一样情形下，如果从某地动身，先往北走100公里，再往东走100公里，然后往南走100公里，这时，终止地总要在动身地正东100公里处．

而若从某地动身，先往北走100公里，再往东走100公里，然后往南走100•公里，能正好回到原先的动身地．那个动身地被探险家称其为“难极”．

你明白探险家的“难极”在哪里吗？

答案:

1．A 点拨：锐角三角形的三条高在三角形内部交于一点，•直角三角形的三条高交于直角顶点，钝角三角形的三条高在三角形外部交于一点．

2．B 3．AD；△ACD 4．BD，CE，OF 5．C

6．解：∵AD为△ABC的中线，

∴BD=CD，

∴△ABD与△ACD的周长之差为：

（AB+BD+AD）-（AC+CD+AD）=AB-AC=5-3=2（c m）．

7．解：∵∠BAD=∠CAD，∴AD是△ABC的角平分线，DE是△BEC的角平分线．

∵AD⊥BC，垂足为点D，∴AD是△ABC的高，DE 是△BEC的高．

∵BD=CD，∴AD是△ABC的中线，DE是△BEC的中线．

点拨：本题是考查三角形的角平分线、中线和高的概念．

8．解：设AB=AC=2x，则AD=CD=x．

（1）AB+AD=15，BC+CD=6时，

有2x+x=15，解得x=5．

∴2x=10，BC=6-5=1．

（2）当BC+CD=15，AB+AD=6时，

有2x+x=6，解得x=2．

∴2x=4，BC=15-2=13．

∵4+4>13，∴现在构不成三角形．

∴那个等腰三角形的腰长及底边长分不为10，1．

点拨：要注意检验结果是否满足三角形三边关系定理．9．解：方案1：如答图1，在BC上取D、E、F，使BD= ED=EF=FC，连接AE、ED、•AF．

(1) (2)

(3)

方案2：如答图2，分不取AB、BC、CA的中点D、E、F，连接DE、EF、DF．

方案3：如答图3，分不取BC的中点D，CD的中点E，A B的中点F，连接AD、AE、DF．同学们，你还有不的方法吗？试试看．

点拨：三角形面积运算公式为1

2×底×高，因此解题

的关键是找出底、高分不相等的四个三角形．10．解：∵AD是△ABC的边BC上的中线，

∴S△ABD=1

2S△ABC=1

2

×4=2（cm2）．

∵BE是△ABD的边AD上的中线，