2002年IMO中国国家集训队选拔赛试题
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利用高斯函数求某些难度大的数列项之和往往能起到常规方法无能为力的作用但有时还要用到一特殊的方法与技巧才能使问题快速获解
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中 等 数 学
2002 年 IMO 中国国家集训队选拔赛试题
(2002203231 8 :00～12 :30)
一、 设凸四边形 ABCD 的两组对边所在的直线分 别交于 E 、 F 两点 ,两对角线的交点为 P ,过 P 作 PO ⊥EF 于 O . 求证 : ∠BOC = ∠AOD . ( 冷岗松 命题) 肖振纲 1 1 2 (1 + an - 1 ) , n ≥ 二、 设 a1 = , an = 2. 求最小 4 4 实数 λ,使得对任意非负实数 x1 , x2 , …, x2 002 ,都有
=
n- i
10
40・
n- i
3
求函数 g ( r , s , t ) 的最小值 .
( 黄玉民 命题)
( 上接第 20 页) ∴ 数列{ an }的前 n 项之和为 2 n + n +2 Sn = . 4 注 : 运用 “多退少补” 的试算方法 , 把 ① 折 成 ②,即 S n = f ( n ) - f ( i , k ) 的形式 , 使不等 2 i - 3i - 4k +2 式0≤ < 1 成立而符合要求 ,从 4 而使问题获解 . 例9 设数列{ an } 的前十项为 1 ,1 ,2 ,3 , ). 4 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 , 且 an + 10 = a n + 8 ( n = 1 ,2 , … 求 S n ,并计算 S 2 002 之值 . 解 :设待定常数 i ∈ {1 ,2 ,3 , …,10} , m 为 分段顺序数 , k 为非负整数 , 使 n = 10 m + i ,
2 002
k =1
(2002204201 8∶ 00～12∶ 30) ( a) 求所有自然数 n ( n ≥2) , 使得存在实数 四、 a1 , a2 , …, an ,满足 {| ai - aj | | 1 ≤i < j ≤n} n ( n - 1) ( 许以超 = 1 ,2 , …, . 命题) 2 ( b) 设 A = {1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6} , B = {7 ,8 ,9 , …, n}. 在 A 中取三个数 、 B 中取两个数组成五个元素的集合 A i , i = 1 ,2 , …,20. 使得 | A i ∩A j | ≤ 2 ,1 ≤i < j ≤ 20. ( 裘宗沪 求 n 的最小值 . 命题) 五、 设 k 为给定的整数 , f ( n) 是定义在负整数集 上且取值为整数的函数 ,满足 : 2 f ( n) f ( n + 1) = ( f ( n) + n - k ) , n= - 2,- 3,- 4,… . ( 陈永高 求函数 f ( n) 的表达式 . 命题) 3 3 2 六、 设 f ( x 1 , x2 , x3 ) = - 2 ( x 3 1 + x2 + x3 ) + 3 [ x1 ・ 2 2 ( x2 + x3 ) + x2 ( x3 + x1 ) + x3 ( x1 + x2 ) ] - 12 x1 x2 x3 , 对任意实数 r 、 s、 t ,记 g ( r , s , t ) = max | f ( r , r + 2 , x3 ) + s | .
t ≤x ≤t + 2
∑A
k
λ ≤ a2 002 ,
xk - k k ( k - 1)
2
其中 A k =
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
,k ≥ 1.
x k + …+ x2 002 +
2
+1
( 李胜宏 命题) 三、 17 名球迷计划去韩国观看世界杯足球赛 ,他 们共选定 17 场球赛 ,预订门票的情况满足下列条件 : (i) 每人每场至多预订一张门票 ; (ii ) 每两人所预订的门票中 ,至多有一场相同 ; (iii) 预订了 6 张门票的只有一人 . 问这些球迷最多共能预订多少张门票 ? 说明理 由. ( 李成章 命题)
则
S n = 41 + 121 + 201 + …+ ( 80 m - 39)
+ ( 8 m + 1) i + k = m ( 40 m + 1) + ( 8 m + 1) i + k
n- i + 1 + 8・ +1 i + k 10 10 2 2 4 n + n - 4 i + 9 i + 10 k = 10 2 2 4 n + n + 5 5 + 4 i - 9 i - 10 k = 10 10 2 5 + 4 i - 9 i - 10 k ∵ 0≤ < 1 ( i = 1 ,2 ,3 ,4 , 10 5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 , k = 0 ,0 ,1 ,3 ,6 ,9 ,13 ,18 ,24 ,31) ∴ 数列{ an }的前 n 项的和为 2 4n + n +5 Sn = . 10 2 4× 2 002 + 2 002 + 5 故 S 2 002 = 10 = 1 603 402. 利用高斯函数 [ x ] 求某些难度大的数列 通项公式与前 n 项之和 , 往往能起到常规方 法无能为力的作用 , 但有时还要用到一些特 殊的方法与技巧 ,才能使问题快速获解 .
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中 等 数 学
2002 年 IMO 中国国家集训队选拔赛试题
(2002203231 8 :00～12 :30)
一、 设凸四边形 ABCD 的两组对边所在的直线分 别交于 E 、 F 两点 ,两对角线的交点为 P ,过 P 作 PO ⊥EF 于 O . 求证 : ∠BOC = ∠AOD . ( 冷岗松 命题) 肖振纲 1 1 2 (1 + an - 1 ) , n ≥ 二、 设 a1 = , an = 2. 求最小 4 4 实数 λ,使得对任意非负实数 x1 , x2 , …, x2 002 ,都有
=
n- i
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求函数 g ( r , s , t ) 的最小值 .
( 黄玉民 命题)
( 上接第 20 页) ∴ 数列{ an }的前 n 项之和为 2 n + n +2 Sn = . 4 注 : 运用 “多退少补” 的试算方法 , 把 ① 折 成 ②,即 S n = f ( n ) - f ( i , k ) 的形式 , 使不等 2 i - 3i - 4k +2 式0≤ < 1 成立而符合要求 ,从 4 而使问题获解 . 例9 设数列{ an } 的前十项为 1 ,1 ,2 ,3 , ). 4 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 , 且 an + 10 = a n + 8 ( n = 1 ,2 , … 求 S n ,并计算 S 2 002 之值 . 解 :设待定常数 i ∈ {1 ,2 ,3 , …,10} , m 为 分段顺序数 , k 为非负整数 , 使 n = 10 m + i ,
2 002
k =1
(2002204201 8∶ 00～12∶ 30) ( a) 求所有自然数 n ( n ≥2) , 使得存在实数 四、 a1 , a2 , …, an ,满足 {| ai - aj | | 1 ≤i < j ≤n} n ( n - 1) ( 许以超 = 1 ,2 , …, . 命题) 2 ( b) 设 A = {1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6} , B = {7 ,8 ,9 , …, n}. 在 A 中取三个数 、 B 中取两个数组成五个元素的集合 A i , i = 1 ,2 , …,20. 使得 | A i ∩A j | ≤ 2 ,1 ≤i < j ≤ 20. ( 裘宗沪 求 n 的最小值 . 命题) 五、 设 k 为给定的整数 , f ( n) 是定义在负整数集 上且取值为整数的函数 ,满足 : 2 f ( n) f ( n + 1) = ( f ( n) + n - k ) , n= - 2,- 3,- 4,… . ( 陈永高 求函数 f ( n) 的表达式 . 命题) 3 3 2 六、 设 f ( x 1 , x2 , x3 ) = - 2 ( x 3 1 + x2 + x3 ) + 3 [ x1 ・ 2 2 ( x2 + x3 ) + x2 ( x3 + x1 ) + x3 ( x1 + x2 ) ] - 12 x1 x2 x3 , 对任意实数 r 、 s、 t ,记 g ( r , s , t ) = max | f ( r , r + 2 , x3 ) + s | .
t ≤x ≤t + 2
∑A
k
λ ≤ a2 002 ,
xk - k k ( k - 1)
2
其中 A k =
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
,k ≥ 1.
x k + …+ x2 002 +
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( 李胜宏 命题) 三、 17 名球迷计划去韩国观看世界杯足球赛 ,他 们共选定 17 场球赛 ,预订门票的情况满足下列条件 : (i) 每人每场至多预订一张门票 ; (ii ) 每两人所预订的门票中 ,至多有一场相同 ; (iii) 预订了 6 张门票的只有一人 . 问这些球迷最多共能预订多少张门票 ? 说明理 由. ( 李成章 命题)
则
S n = 41 + 121 + 201 + …+ ( 80 m - 39)
+ ( 8 m + 1) i + k = m ( 40 m + 1) + ( 8 m + 1) i + k
n- i + 1 + 8・ +1 i + k 10 10 2 2 4 n + n - 4 i + 9 i + 10 k = 10 2 2 4 n + n + 5 5 + 4 i - 9 i - 10 k = 10 10 2 5 + 4 i - 9 i - 10 k ∵ 0≤ < 1 ( i = 1 ,2 ,3 ,4 , 10 5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 , k = 0 ,0 ,1 ,3 ,6 ,9 ,13 ,18 ,24 ,31) ∴ 数列{ an }的前 n 项的和为 2 4n + n +5 Sn = . 10 2 4× 2 002 + 2 002 + 5 故 S 2 002 = 10 = 1 603 402. 利用高斯函数 [ x ] 求某些难度大的数列 通项公式与前 n 项之和 , 往往能起到常规方 法无能为力的作用 , 但有时还要用到一些特 殊的方法与技巧 ,才能使问题快速获解 .