相似三角形综合题精选

九年级数学提升练习--相似三角形的综合题
1．如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，二次函数
经过点，且与一次函数的图象交于点.
（1）求一次函数与二次函数的解析式.
（2）在轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与
相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
2．将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A 分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B（﹣3，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与（2）中△APE的最大面积相等？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图
（1）（感知）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：
=.
（2）（探究）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的
延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，连接BG交CD于点H.求证：BH=GH.
（3）（拓展）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且=，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G.求证：BG=CG.
4．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E.
（1）特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB=AC=，分别求出线设BD、CE和DE的长；
（2）规律探究：
（Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α（0＜α＜45°），请探究线段BD、CE和DE 的数量关系并说明理由；
（Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°），与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；
．（3）尝试应用：在图③中，延长线设BD交线段AC于点F，若CE=3，DE=1，求S
△BFC
5．如图，在Rt ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形
BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CF.
（1）如图1所示，求证ABE∼CBF，并直接写出的值；
（2）在正方形BDEF绕点B旋转过程中，当A、E、F三点共线时，求CF的长；
（3）如图2所示，在正方形BDEF旋转过程中，设AE的中点为M，连接FM，请直接写出FM 长度的最大值.
6．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”.如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连结AD，
若，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”.
（1）如图2，△ABC的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“好点”.
（2）△ABC中，BC=9，，，点D是BC边上的“好点”，求线段BD 的长.
（3）如图3，△ABC是的内接三角形，OH⊥AB于点H，连结CH并延长交于点D.
①求证：点H是△BCD中CD边上的“好点”.
②若的半径为9，∠ABD=90°，OH=6，请直接写出的值.
7．已知：如图，在△ABC中，AB=BC=10，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接DE和DB，过点E作EF⊥AB，垂足为F，交BD于点P．
（1）求证：AD=DE；
（2）若CE=2，求线段CD的长；
（3）在（2）的条件下，求△DPE的面积．
8．如图，已知AC为⊙O的直径，连接AB，BC，OB，过点O作OE⊥AB于点E，点F是半径OC 的中点，连接EF，BF.
（1）如图1，设⊙O的半径为2，若∠BAC＝30°，求线段EF的长.
（2）如图2，设BO交EF于点P，延长BO交⊙O于点D，连接DF.
①求证：PE＝PF；
②若DF＝EF，求∠BAC的度数.
9．如图1，矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD，使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB＝8，AD＝10，并设点B坐标为（m，0），其中m＜0.
（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；
（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；
（3）如图2，设抛物线y＝a（x﹣m+6）2+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM
＝90°，求a、h、m的值.
10．综合与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆.该小组继续利用上述结论进行探究.
提出问题：
如图1，在线段同侧有两点B，D，连接，，，，如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上.
探究展示：
如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合），连接，则（依据1）
点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
点B，D在点A，C，E所确定的上（依据2）
点A，B，C，E四点在同一个圆上
（1）反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：；依据2：.
（2）图3，在四边形中，，，则的度数为.
（3）展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点D在上（不与的中点重合），连接.作点C关于的对称点E，连接并延长交的延长线于F，连接
，.
①求证：A，D，B，E四点共圆；
②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由.
11．如图，和均为等腰直角三角形，.现
将绕点C旋转.
（1）如图1，若三点共线，，求点B到直线的距离；
（2）如图2，连接，点F为线段的中点，连接，求证：；
（3）如图3，若点G在线段上，且，在内部有一点O，
请直接写出的最小值.
12．如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC 于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．
（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证：AB•AC＝2R•h；
（3）设∠BAC＝2α，求的值（用含α的代数式表示）．
13．抛物线经过点和，与x轴交于另一点B.
（1）则抛物线的解析式为；
（2）点P为第四象限内抛物线上的点，连接，，，设点P的横坐标为
.
①如图1，当时，求的值；
②如图2，过点P作x轴的垂线，垂足为点D，过点C作的垂线，与射线交于点
E，与x轴交于点F.连接，当时，求m的值.
14．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-5与x轴交于A(-1，0)，B(5，0)两点，与y 轴交与点C.
（1）求抛物线的函数表达式;
（2）若点D是y轴上的点，且以B、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标;
（3）如图2，CE//x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y 轴平行的直线与BC、CE分别相交于点F，G，试探求当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积.
15．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD上一动点，设DE＝nEA，连接CE并延长，交AB 于点F.
（1）尝试探究：如图1，当∠BAC＝90°，∠B＝30°，DE＝EA时，BF，BA之间的数量关系是；
（2）类比延伸：如图2，当△ABC为锐角三角形，DE＝EA时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展迁移：如图3，当△ABC为锐角三角形，DE＝nEA时，请直接写出BF，BA之间的数
量关系.
16．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连
线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”.如图1，中，点是边上一点，连接，
若，则称点是中边上的“好点”.
（1）如图2，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出（或在图中直接描
出）边上的“好点”；
（2）中，，，，点是边上的“好
点”，求线段的长；
（3）如图3，是⊙O的内接三角形，点在上，连结并延长交
⊙O于点.若点是中边上的“好点”.
①求证：；
②若，⊙O的半径为，且，求的值.
答案解析部分
1．【答案】（1）∵一次函数的图象与轴交于点，∴当x=0时，y=-2，B（0，-2），
∵一次函数的图象过点，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为，
∵经过点，点，
代入得，
解方程组得，
∴二次函数解析式为：；
（2）存在，理由如下，
∵已知一次函数的图象与轴交于点，
∴y=0，x=2，
∴A(2,0),B(0,-2),
∴OA=2,OB=2,∠AOB=90°，
在Rt△AOB中，由勾股定理AB=，
由勾股定理BC=，
①当点M为直角顶点时，CM⊥y轴，CM∥OA，
∴∠MCB=∠OAB，∠MBC=∠OBA，
∴△CMB∽△AOB，
∴即，
∴，
∴OM=MB-OB=6-2=4，
∴M（0，4），
②当点C为直角顶点时，
∴CM⊥BC，
∴∠MCB=∠AOB=90°，∠MBC=∠ABO，
∴△MCB∽△AOB，
∴即，
∴，
∴OM=MB-OB=12-2=10，
∴M（0，10），
∴以点，，为顶点的三角形与相似点的坐标为M（0，4）或（0，10）. 2．【答案】（1）解：如图，
∵抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象经过点A （0，6），∴c=6．∵抛物线的图象又经过点（﹣3，0）
和（6，0），∴，解之得，故此抛物线的解析式为：y=﹣x 2+x+6．
（2）解：设点P 的坐标为（m ，0），则PC=6﹣m ，S △ABC =BC•AO=×9×6=27；∵PE ∥AB ，∴△CEP ∽△CAB ；∴
，
即=（）2，∴S △CEP =（6﹣m ）2，∵S △APC =PC•AO=（6﹣m ）×6=3（6﹣m ），
∴S △APE =S △APC ﹣S △CEP =3（6﹣m ）﹣
（6﹣m ）2=﹣（m ﹣）2+；当m=时，S △APE 有
最大面积为；
此时，点P 的坐标为（
，0）．（3）解：如图，过G 作GH ⊥BC 于点H ，设点G 的坐标为G （a ，b ），
连接AG 、GC ，
∵S 梯形AOHG =
a （b+6），S △CHG =（6﹣a ）
b ，∴S 四边形AOCG =a （b+6）+（6﹣a ）b=3（a+b ）．∵S △AGC =S
四边形AOCG ﹣S △AOC ，∴=3（a+b ）﹣18，∵点G （a ，b ）在抛物线y=﹣x 2+x+6的图象上，∴b=
﹣a 2+a+6，∴=3（a ﹣
a 2+a+6）﹣18，化简，得4a 2﹣24a+27=0，解之得a 1=，a 2=；故
点G 的坐标为（，）或（，）．3．【答案】（1）证明：∵∠C=∠D=∠AEB=90°，
∴∠BEC+∠AED=∠AED+∠EAD=90°，
∴∠BEC=∠EAD ，
∴Rt △AED ∽Rt △EBC ，
∴；
（2）证明：如图1，过点G作GM⊥CD于点M，
同（1）的理由可知：，
∵，，
∴，
∴CB=GM，
在△BCH和△GMH中，
，
∴△BCH≌△GMH（AAS），
∴BH=GH；
（3）证明：如图2，在EG上取点M，使∠BME=∠AFE，
过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则∠N=∠BMG，
∵∠EAF+∠AFE+∠AEF=∠AEF+∠AEB+∠BEM=180°，∠EFA=∠AEB，∴∠EAF=∠BEM，
∴△AEF∽△EBM，
∴，
∵∠AEB+∠DEC=180°，∠EFA+∠DFE=180°，
而∠EFA=∠AEB，
∴∠CED=∠EFD，
∵∠BMG+∠BME=180°，
∴∠N=∠EFD，
∵∠EFD+∠EDF+∠FED=∠FED+∠DEC+∠CEN=180°，∴∠EDF=∠CEN，
∴△DEF∽△ECN，
∴，
又∵，
∴，
∴BM=CN，
在△BGM和△CGN中，
，
∴△BGM≌△CGN（AAS），
∴BG=CG.
4．【答案】（1）解：∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB==45°，
∵l∥BC，
∴∠DAB=∠ABC=45°，∠EAC=∠ACE=45°，
∴BD⊥AE，CE⊥DE，
即∠BDA=∠CEA=90°，
∴∠ABD=90°-45°=45°，∠ACE=90°-45°=45°，
∴∠DAB=∠ABD=∠EAC=∠ACE=45°，
∴AD=BD=ABsin∠DAB==1，
∴AE=CE=ACsin∠EAC==1，
∴DE=AD+AE=2；
（2）解：（Ⅰ）DE=CE+BD；理由如下：
∵BD⊥AE，CE⊥DE，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∴∠DAB+∠DBA=90°，
∴∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠DBA=∠CAE，
∴AB=AC，
∴△ABD≌△CAE，
∴AD=CE，BD=AE，
∴DE=AD+AE=CE+BD，
即DE=CE+BD；
（Ⅱ）BD=CE+DE，理由如下：∵BD⊥AE，CE⊥DE，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∴∠DAB+∠DBA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠DBA=∠CAE，
∵AB=AC，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD=CE，BD=AE，
∴BD=AE=AD+DE=CE+DE，
即BD=CE+DE.
（3）解：由(2)可知，AD=CE=3，∴AE=AD+DE=3+1=4，
在Rt△AEC中，
AC==5，
∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴DF∥CE，
∴，
即，
解得：AF=，
∴CF=AC-AF=5-=，
∵AB=AC=5，
=CF×AB=××5=.
∴S
△BFC
5．【答案】（1）解：=，
Rt△ABC中，AC=BC，
∴AB=CB，∠ABC=45°，
∵四边形BDEF是正方形，
∴BE=BF，∠EBF=45°，
∴＝，∠ABC=∠EBF=45°，
∴∠ABE=∠CBF，
∴△ABE∽△CBF，
∴＝；
（2）解：①如图2-1，当点F在A、E之间时，
∵AC=BC=6，∠ACB=90°，
∴AB=6，
又∵∠AFB=90°，
∴AF==8，
∴AE=8+2，
由（1）知，AE＝CF，
∴CF=4+2；
②如图2-2，当点E在A、F之间时，
同理可得AF=8，AE=8−2，
∴CF=4−2；
综上所述：CF=4+2或4-2；
（3）3+2
6．【答案】（1）解：如图所示：D点及为AB边上的“好点”
（2）解：作AE⊥BC于点E，由，可设AE=4x，则BE=3x，CE=6x，
∴BC=9x=9，∴，
∴BE=3，CE=6，AE=4，
设DE=a，
①若点D在点E左侧，
由点D是BC边上的“好点”知，，
∴，即，
解得，（舍去），
∴.
②若点D在点E右侧，
由点D是BC边上的“好点”知，，
∴，即，
解得，（舍去）
∴.
∴或5.
（3）解：①∵∠CHA=∠BHD，∠ACH=∠DBH
∴△AHC∽△DHB
∴，即
∵OH⊥AB
∴AH=BH
∴
∴点H是△BCD中CD边上的“好点”.
②连接AD.
∵∠ABD=90°
∴AD为直径，
∵OH⊥AB，OH=6
∴，BD=2OH=12
∴BH=AH=
∴
由①得：
即
∴CH=
∴.
7．【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即BD⊥AC
∵AB=BC，∴△ABD≌△CBD∴∠ABD=∠CBD在⊙O中，AD与DE分别是∠ABD与∠CBD所对的弦
∴AD=DE；
（2）解：∵四边形ABED内接于⊙O，∴∠CED=∠CAB，
∵∠C=∠C，∴△CED∽△CAB，∴，
∵AB=BC=10，CE=2，D是AC的中点，
∴CD=；
（3）解：延长EF交⊙O于M，
在Rt △ABD 中，AD=
，AB=10，
∴BD=3，∵EM ⊥AB ，AB 是⊙O 的直径，∴，
∴∠BEP=∠EDB ，
∴△BPE ∽△BED ，∴
，
∴BP=
，
∴DP=BD-BP=，
∴S △DPE ：S △BPE =DP ：BP=13：32，
∵S △BCD =××3=15，S △BDE ：S △BCD =BE ：BC=4：5，∴S △BDE =12，
∴S △DPE =．
8．【答案】（1）解：∵OE ⊥AB ，∠BAC ＝30°，OA ＝2，∴∠AOE ＝60°，OE ＝OA ＝1，AE ＝EB ＝OE ＝，∵AC 是直径，
∴∠ABC ＝90°，
∴∠C ＝60°，
∵OC ＝OB ，
∴△OCB 是等边三角形，
∵OF ＝FC ，
∴BF⊥AC，
∴∠AFB＝90°，
∵AE＝EB，
∴EF＝AB＝.
（2）解：①证明：如图2中，过点F作FG⊥AB于G，交OB于H，连接EH.
∵∠FGA＝∠ABC＝90°，
∴FG∥BC，
∴△OFH∽△OCB，
∴＝，同理＝，
∴FH＝OE，
∵OE⊥AB.FH⊥AB，
∴OE∥FH，
∴四边形OEHF是平行四边形，
∴PE＝PF.
②解：∵OE∥FG∥BC，
∴＝1，
∴EG＝GB，
∴EF＝FB，
∵DF＝EF，
∴DF＝BF，
∵DO＝OB，
∴FO⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°.
解法二：可以过E点作EG∥OB交AC于点G，连接DG.
∵EG∥OB，AE＝EB，
∴AG＝OG
∵OF＝FC，
∴OG＝OF，
∴OD﹣FG，
∵AE⊥OE，AG＝OG，
∴EG＝AO＝OG，
∵∠DOG＝∠FGE，
∴DOG≌△FGE（SAS），
∴DG＝EF，
∵DF＝EF，
∴DG＝DF，
∴DO⊥FG，
∴EG⊥AO，
∴EA＝EO，
∴∠BAC＝45°
9．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝10，∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，∠D＝∠DCB＝∠ABC＝90°，由折叠对称性：AF＝AD＝10，FE＝DE，
在Rt△ABF中，BF＝＝6，
∴FC＝4，
设DE＝x，则CE＝8﹣x，
在Rt△ECF中，42+（8﹣x）2＝x2，得x＝5，
∴CE＝8﹣x＝3，
∵点B的坐标为（m，0），
∴点E的坐标为（m﹣10，3），点F的坐标为（m﹣6，0）（2）解：分三种情形讨论：
若AO＝AF，
∵AB⊥OF，BF＝6，
∴OB＝BF＝6，
∴m＝﹣6；
若OF＝AF，则m﹣6＝﹣10，得m＝﹣4；
若AO＝OF，
在Rt△AOB中，AO2＝OB2+AB2＝m2+64，
∴（m﹣6）2＝m2+64，得m＝﹣；
由上可得，m＝﹣6或﹣4或﹣
（3）解：由（1）知A（m，8），E（m﹣10，3），
∵抛物线y＝a（x﹣m+6）2+h经过A、E两点，
∴，
解得，，
∴该抛物线的解析式为y＝（x﹣m+6）2﹣1，
∴点M的坐标为（m﹣6，﹣1），
设对称轴交AD于G，
∴G（m﹣6，8），
∴AG＝6，GM＝8﹣（﹣1）＝9，
∵∠OAB+∠BAM＝90°，∠BAM+∠MAG＝90°，
∴∠OAB＝∠MAG，
又∵∠ABO＝∠MGA＝90°，
∴△AOB∽△AMG，
∴，
即，
解得，m＝﹣12，
由上可得，a＝，h＝﹣1，m＝﹣12.
10．【答案】（1）圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等（2）45°
（3）解：①，
，
点与点关于对称，
，
，
四点共圆；
②，理由如下，
如图，四点共圆，
，
关于对称，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
.
11．【答案】（1）解：∵，，∴，
∴，
又∵，，
∴（SAS），
∴，，
∵，，
∴，
∵若三点共线，
∴，
如图，过B点作BH⊥CE交CE延长线于点H，
∴，
∴，
即：点B到直线的距离为；
（2）解：延长CF到N，使FN=CF，连接BN，
∵FD=FB，，
∴（SAS）
∴，
∵，
∴，又∵，
∴，
∴，
又∵，，∴
（SAS ），∴
，又∵
，∴
，
∴，即，
（3）解：的最小值为
；
过程如下：如解图3，过点G 作
，且，过点G 作，且，
连接OC 、、，
∴，，∴
，∵
，∴
，
∴，即，∵
，∴
，
∵，仅当C 、O 、、在同一条直线上等号成立；
如解图4，过点作，垂足为H，过点作，垂足为P，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
，
∴，
∴，
∴的最小值为：，
∴的最小值为. 12．【答案】（1）解：证明：如图1，连接OD，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，
又∵OD是半径，∴OD⊥BC，
∵MN∥BC，∴OD⊥MN，∴MN是⊙O的切线；
（2）证明：如图2，连接AO并延长交⊙O于H，
∵AH是直径，∴∠ABH＝90°＝∠AFC，
又∵∠AHB＝∠ACF，
∴△ACF∽△AHB，
∴，
∴AB•AC＝AF•AH＝2R•h；
（3）解：如图3，过点D作DQ⊥AB于Q，DP⊥AC，交AC延长线于P，连接CD，
∵∠BAC＝2α，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝α，∴＝，∴BD＝CD，
∵∠BAD＝∠CAD，DQ⊥AB，DP⊥AC，∴DQ＝DP，
∴Rt△DQB≌Rt△DPC（HL），∴BQ＝CP，
∵DQ＝DP，AD＝AD，
∴Rt△DQA≌Rt△DPA（HL），∴AQ＝AP，
∴AB+AC＝AQ+BQ+AC＝2AQ，
∵cos∠BAD＝，∴AD＝，∴＝＝2cosα．
13．【答案】（1）
（2）解：①∵，，，
∴，，，∵，
∴，
∴，
化简得：，
解得或，
∵，
∴，
∴，
作轴于点如图1，在中，
；
②∵，
∴，
∴.
∴，轴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，设直线为，
解得直线的解析式为，
，
∴，∴，
解得，12，，
经检验知，，12，都是原方程的解，
∵，
∴，.
14．【答案】（1）解：把A(-1，0)，B(5，0)代入y=ax2+bx-5可得
，解得
二次函数的解析式为y=x2-4x-5.
（2）解：如图1,令x=0，则y=−5，
∴C(0,−5)，
∴OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴AB=6,BC=5，
要使以B,C,D为顶点的三角形与△ABC相似,则有或，
当时，
CD=AB=6，
∴D(0,1)，
当时，
∴，
∴CD=，
∴D(0,)，
即：D的坐标为(0,1)或(0,)；
（3）解：设H(t，t2-4t-5)
∥x轴，，
又因为点E在抛物线上，即，解得（舍去）
∴BC所在直线解析式为y=x-5,
∴则，
而CE是定值，
∴当HF的值最大时，四边形CHEF有最大面积。

当时，HF取得最大值，四边形CHEF的最大面积为
,
此时H(，)
15．【答案】（1）
（2）解：结论仍然成立，
理由如下：
如图，过点作，交于
∵是中线,
∴
∵，
∴，
∴
∴
∴
∴
∴
（3）解：如图，过点作，交于
∵，且
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
16．【答案】（1）如图①，取格点且连接交于如
图②，取格点且连接交于则两种情况都满足
即为中边上的“好点”.
理由如下：如图①，
如图②，矩形
（2）如图③，作边上的高，
设，
则
，
，
或，
经检验：或都符合题意，
所以的长为或
（3）①∵
∴
∴即，
∵点是中边上的“好点”,
②
理由如下：如图④，连接
∴是直径，所以共线，
设则。