《精编》江西省新余一中高一数学下学期第一次段考试题新人教A版.doc2

2021-2021学年江西省新余一中高一〔下〕第一次段考数学试卷〔4
月份〕
参考答案与试题解析
一、选择题〔本大题共10小题，每题5分，共计50分．在每题给出的四个选项中只有一项为哪一项符合题目要求的．〕
1．〔5分〕sin〔﹣1290°〕等于〔〕
A．
﹣B．C．
﹣
D．
考
点：
诱导公式的作用．
专
题：
三角函数的求值．
分析：利用诱导公式把要求的式子化为sin150°，再利用诱导公式化为sin30°，从而得到结果．
解
答：
解：sin〔﹣1290°〕=sin〔﹣4×360°+150°〕=sin150°=sin30°=，
应选 D．
点
评：
此题主要考查利用诱导公式进行化简求值，特殊角的三角函数值，属于根底题．
2．〔5分〕〔2021•广东〕函数y=2cos2〔x﹣〕﹣1是〔〕
A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数
C．
最小正周期为的奇函数D．
最小正周期为的偶函数
考
点：
三角函数的周期性及其求法；函数奇偶性的判断．
专
题：
计算题；压轴题．
分
析：
利用二倍角公式化简为一个角的一个三角函数的形式，求出周期，判定奇偶性．解
答：
解：由y=2cos2〔x﹣〕﹣1=cos〔2x﹣〕=sin2x，
∴T=π，且y=sin2x奇函数，即函数y=2cos2〔x﹣〕﹣1是奇函数．
应选A．
点
评：
此题考查三角函数的周期性及其求法，函数奇偶性的判断，是根底题．
3．〔5分〕以下命题：
〔1〕假设向量||=||，那么与的长度相等且方向相同或相反；
〔2〕对于任意非零向量假设||=||且与的方向相同，那么=；〔3〕非零向量与非零向量满足，那么向量与方向相同或相反；〔4〕向量与是共线向量，那么A，B，C，D四点共线；
〔5〕假设，且，那么
正确的个数〔〕
A．0B．1C．2D．3
考
点：
命题的真假判断与应用；平行向量与共线向量．
专
题：
平面向量及应用．
分析：〔1〕根据模相等的定义即可判断出；〔2〕根据相等向量的定义即可得出；〔3〕根据共线向量的定义即可判断出；〔4〕根据共线向量的定义即可判断出；
〔5〕当时，不一定有．
解
答：
解：〔1〕假设向量||=||，那么与的长度相等而方向可以任意，故不正确；
〔2〕根据相等向量的定义可知：正确；
〔3〕根据共线向量的定义可知：正确；
〔4〕向量与是共线向量，那么A，B，C，D四点共线或AB∥CD，故不正确；
〔5〕假设，那么与不一定共线，故不正确．
综上可知：只有〔2〕〔3〕正确．
应选C．
点
评：
正确理解模相等的定义、相等向量的定义、共线向量的定义是解题额根据．
4．〔5分〕圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，那么其圆心角弧度数为〔〕A．B．C．D．2
考
点：
弧度制的应用．
专
题：
数形结合．
分析：等边三角形ABC是半径为 r的圆O的内接三角形，那么线AB所对的圆心角
∠AOB=，求出AB的长度〔用r表示〕，就是弧长，再由弧长公式求圆心角弧度数．
解答：解：解：如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，那么线AB所对的圆心角∠AOB=，
作OM⊥AB，垂足为M，在rt△AOM中，AO=r，∠AOM=，
∴AM=r，AB=r，
∴l= r，由弧长公式l=|α|r，
得，α===．
应选 C．
点评：此题考查圆心角的弧度数的意义，以及弧长公式的应用，表达了数形结合的数学思想．
5．〔5分〕定义在R上的函数f〔x〕满足，且f〔﹣2〕=f〔﹣1〕=
﹣1，f〔0〕=2，那么f〔1〕+f〔2〕+f〔3〕+…+f〔2021〕等于〔〕
A．﹣2 B．﹣1 C．0D．1
考
点：
函数的周期性；函数的值．
专
题：
计算题．
分
析：
通过换元确定函数周期，利用函数的周期性求值
解
答：
解：∵，∴f〔x〕=f〔x+3〕，∴f〔x〕是周期为3的周期函数，
∵f〔﹣2〕=f〔﹣1〕=﹣1，f〔0〕=2，∴f〔1〕=f〔﹣2〕=﹣1，
f〔2〕=f〔﹣1〕=﹣1，f〔3〕=f〔0〕=2，
∴f〔1〕+f〔2〕+f〔3〕+…+f〔2021〕=669×[f〔1〕+f〔2〕+f〔3〕]+f〔1〕=669×〔﹣1﹣1+2〕+〔﹣1〕=﹣1．
故答案选 B
点
评：
此题考查函数的周期性，表达换元的思想．
6．〔5分〕〔2021 •朝阳区一模〕设a=cos6°﹣，b=，
c=，那么有〔〕
A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a
考
点：
三角函数的恒等变换及化简求值；不等关系与不等式．
专
题：
计算题；三角函数的求值．
分析：由辅助角公式和两角差的正弦公式算出a=sin24°，由二倍角的正切公式算出
b=tan26°，再由二倍角的余弦公式化简出c=sin65°．然后结合特殊角的三角函数值和同角三角函数的关系，对a、b、c分别加以比较，可得a＜b＜c．
解
答：
解：a=cos6°﹣=sin30°cos6°﹣cos30°sin6°=sin〔30°﹣6°〕=sin24°，
b==tan26°，
c===cos25°=sin65°，
∵sin24°＜=tan24°，而tan24°＜tan26°，∴a＜b
又∵tan26°＜tan30°=，而sin65°＞sin60°=
∴tan26°＜sin65°，可得b＜c
综上所述，可得a＜b＜c
应选：B
点评：此题给出3个三角函数式分别记为a、b、c，比较a、b、c的大小关系，着重考查了同角三角函数的关系、特殊角的三角函数值和二倍角公式等知识，属于中档题．
7．〔5分〕〔2021•惠州模拟〕为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x 的图象〔〕
A．
向左平移个长度单位B．
向右平移个长度单位
C．
向左平移个长度单位D．
向右平移个长度单位
考
点：
函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．
专
题：
计算题．
分
析：
先根据诱导公式将函数化为正弦的形式，再根据左加右减的原那么进行平移即可得到答案．
解
答：
解：∵，
只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象．
应选A．
点
评：
此题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属根底题．
8．〔5分〕〔2021•广元三模〕在△ABC中，sinA=，cosB=，那么cosC=〔〕
A．
﹣B．
﹣
C．
±
D．
±
考
点：
两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的根本关系．专
题：
计算题．
分析：由B为三角形的内角，以及cosB的值大于0，可得出B为锐角，由cosB的值，利用同角三角函数间的根本关系求出sinB的值，由sinB的值大于sinA的值，利用正弦定理得到b大于a，根据大角对大边可得B大于A，由B为锐角可得出A为锐角，再sinA，利用同角三角函数间的根本关系求出cosA的值，最后利用诱导公式得到cosC=﹣cos〔A+B〕，再利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．
解
答：
解：∵B为三角形的内角，cosB=＞0，∴B为锐角，
∴sinB==，又sinA=，
∴sinB＞sinA，可得A为锐角，
∴cosA==，
那么cosC=cos[π﹣〔A+B〕]=﹣cos〔A+B〕=﹣cosAcosB+sinAsinB=﹣×+×=
﹣．应选A
点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，诱导公式，同角三角函数间的根本关系，以及正弦定理，熟练掌握定理及公式是解此题的关键．
9．〔5分〕△ABC为锐角三角形，假设角θ的终边过点P〔sinA﹣cosB，cosA﹣sinC〕，那么y=〔〕
A．1B．﹣1 C．3D．﹣3
考
点：
任意角的三角函数的定义．
专
题：
计算题．
分析：由题意△ABC为锐角三角形，可知，sinA﹣cosB＞0，cosA﹣sinC＜0，推出θ的象限，确定三角函数的符号，然后求出表达式的值．
解
答：
解：△ABC为锐角三角形，所以A+B＞，所以sinA＞cosB，cosA＜sinC；所以θ是第二象限角，
所以y==1﹣1﹣1=﹣1
应选B
点评：此题是根底题，考查锐角三角形的性质，角的终边与三角函数的符号，三角函数表达式的化简，考查计算能力，逻辑推理能力．
10．〔5分〕假设函数f〔x〕=asinx+bcosx，〔ab≠0〕的图象向左平移个单位后得到的图
象对应的函数是奇函数，那么直线ax﹣by+c=0的斜率为〔〕
A．B．C．﹣D．
﹣
考
点：
函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换；直线的斜率．
专
题：
三角函数的图像与性质．
分
析：
利用辅助角公式将f〔x〕化为 sin〔x+∅〕，〔tanφ=〕，将此图象平移后得到的图象对应的函数解析式为 g〔x〕= sin〔x++∅〕，再由g〔x〕是奇函数可得=k π，k∈z，再根据tan∅=tan〔kπ﹣〕=﹣，求得的值，即可求得直线ax﹣by+c=0的斜率的值．
解
答：
解：∵函数f〔x〕=asinx+bcosx= sin〔x+∅〕，〔tanφ=〕，
把函数f〔x〕的图象向左平移个单位后得到的图象对应的函数是g〔x〕= sin〔x++∅〕，
再由g〔x〕是奇函数可得=k π，k∈z．
∴tan∅=tan〔kπ﹣〕=﹣，即=﹣．
故直线ax﹣by+c=0的斜率为=﹣，
应选D．
点评：此题主要考查辅助角公式，函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，函数的奇偶性，直线的斜率，属于中档题．
二、填空题〔本大题共5小题，每题5分，共计25分．请将正确答案直接填在答题卡的相应位置．〕
11．〔5分〕cos36°cos96°+sin36°sin84°的值是．
考
点：
两角和与差的正弦函数；诱导公式的作用．
专
题：
计算题；三角函数的求值．
分
析：
利用诱导公式先对式子化简，然后利用两角和的余弦公式进行化简即可求解
解答：解：∵cos36°cos96°+sin36°sin84°=﹣cos36°cos84°+sin36°sin84°
=﹣cos〔36°+84°〕
=﹣cos120
故答案为：
点
评：
此题主要考查了诱导公式及两角和的余弦公式的简单应用，属于根底试题12．〔5分〕假设f〔cosx〕=cos2x，那么f〔sin15°〕= ．
考
点：
三角函数中的恒等变换应用；二倍角的余弦．
专
题：
计算题．
分
析：
用三角函数中的诱导公式进行转化，可转化问题条件直接代入求解即可．
解
答：
解：f〔sin15°〕=f〔cos〔900﹣150〕〕=f〔cos75°〕=cos〔2×750〕=cos150°=故答案为：．
点评：此题主要通过求函数值来考查三角函数中的诱导公式，在三角函数中公式的灵活运用是研究三角函数的重要方面．考查函数的定义的理解．
13．〔5分〕不等式tan〔2x﹣〕≥﹣1的解集是[，〕〔k∈Z〕．
考
点：
其他不等式的解法；正切函数的图象；正切函数的单调性．
专
题：
三角函数的图像与性质；不等式的解法及应用．
分
析：
利用正切函数的单调性和周期性即可得出．
解
答：
解：∵不等式tan〔2x﹣〕≥﹣1，∴，解得
〔k∈Z〕．
∴不等式tan〔2x﹣〕≥﹣1的解集是．
故答案为．
点
评：
熟练掌握正切函数的单调性和周期性是解题的关键．
14．〔5分〕〔2021 •上海〕函数f〔x〕=sinx+2|sinx|，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，那么实数k的取值范围是〔1，3〕．
考
点：
正弦函数的图象．
专
题：
压轴题；数形结合．
分析：根据sinx≥0和sinx＜0对应的x的范围，去掉绝对值化简函数解析式，再由解析式画出函数的图象，由图象求出k的取值范围．
解
答：解：由题意知，，
在坐标系中画出函数图象：
由其图象可知当直线y=k，k∈〔1，3〕时，
与f〔x〕=sinx+2|sinx|，
x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点．故答案为：〔1，3〕．
点评：此题的考点是正弦函数的图象应用，即根据x的范围化简函数解析式，根据正弦函数的图象画出原函数的图象，再由图象求解，考查了数形结合思想和作图能力．
15．〔5分〕〔2021•南昌模拟〕关于函数f 〔x〕=4sin〔2x+〕〔x∈R〕，有以下命题：
①y=f〔x〕的表达式可改写为y=4cos〔2x﹣〕；
②y=f 〔x〕是以2π为最小正周期的周期函数；
③y=f 〔x〕的图象关于点对称；
④y=f 〔x〕的图象关于直线x=﹣对称．
其中正确的命题的序号是①，③．
考
点：
函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换；三角函数的周期性及其求法．
专
题：
压轴题；分析法．
分析：先根据诱导公式可判断①，再由最小正周期的求法可判断②，最后根据正弦函数的对称性可判断③和④，得到答案．
解
答：
解：∵f 〔x〕=4sin〔2x+〕=4cos〔〕=4cos〔﹣2x+〕=4cos〔2x ﹣〕，故①正确；
∵T=，故②不正确；
令x=﹣代入f 〔x〕=4sin〔2x+〕得到f〔﹣〕=4sin〔﹣〕=0，故y=f 〔x〕的图象关于点对称，③正确④不正确；
故答案为：①③．
点此题主要考查正弦函数的根本性质﹣﹣周期性、对称性，考查诱导公式的应用．三
评：角函数的根底知识是解题的关键．
三、解答题〔本大题共6小题，共计75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．〕
16．〔12分〕求解以下函数的定义域
〔1〕y=
〔2〕y=lgsinx+．
考
点：
函数的定义域及其求法．
专
题：
函数的性质及应用．
分析：〔1〕由根数内部的代数式大于等于0，直接求解关于x的三角不等式即可得到函数的定义域；
〔2〕由对数式的真数大于0，解x的范围，由分母中根式内部的代数式大于0，求解x的范围，对数式的真数大于0得到的x有无数个区间，代入k后与后面解得的x的范围取交集即可．
解
答：
解：〔1〕要使原函数有意义，那么1﹣2cosx≥0，即，解得：
，〔k∈Z〕
所以，原函数的定义域为[]，〔k∈Z〕；
〔2〕要使原函数有意义，那么，
解①得：2kπ＜x＜2kπ+π〔k∈Z〕，解②得：﹣4＜x＜4．
当k=﹣1时，不等式2kπ＜x＜2kπ+π化为﹣2π＜x＜﹣π，
当k=0时，不等式2kπ＜x＜2kπ+π化为0＜x＜π．
如图，
所以，函数的定义域为{x|﹣4＜x＜﹣π或0＜x＜π}．
点评：此题考查了函数的定义域及其求法，考查了三角不等式的解法，解答此题的关键是〔2〕中交集的选取，是中档题．
17．〔12分〕函数f〔x〕=2，〔其中0＜w＜1〕，假设直线x=是
函数f〔x〕图象的一条对称轴．
〔1〕试求w的值；
〔2〕先列表再作出函数f〔x〕在区间[﹣π，π]上的图象．
考
点：
五点法作函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦．
专
题：
三角函数的图像与性质．
分析：〔1〕根据两角和差的正弦公式、二倍角公式化简函数f〔x〕的解析式为 1+2sin
〔2wx+〕，再由直线x=是函数f〔x〕图象的一条对称轴可得 sin〔2w•+〕
=±1，由此求得w的值．
〔2〕用五点法作出函数在区间[﹣π，π]上的图象．
解
答：
解：〔1〕函数f〔x〕=2=1+cos2wx+sin2wx=1+2sin 〔2wx+〕，〔其中0＜w＜1〕，
由直线x=是函数f〔x〕图象的一条对称轴可得 sin〔2w•+〕=±1，故
2w•+=kπ+，k∈z．
∴w=+，k∈z．∴w=．
〔2〕由〔1〕可得函数f〔x〕=1+2sin〔x+〕，列表：
x+﹣﹣
0 π
x ﹣π
﹣﹣
π y 0 ﹣1 1 3 1 0
作图如下：
点评：此题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，用五点法作出函数y=Asin 〔ωx+∅〕在一个周期上的简图，属于中档题．
18．〔12分〕在△ABC中，cosA=，cos〔A﹣B〕=，．
〔1〕求tan2A的值；
〔2〕求角B．
考
点：
二倍角的正切；两角和与差的余弦函数．
专
题：
三角函数的求值．
分析：〔1〕由条件利用同角三角函数的根本关系求出tanA=4，再利用二倍角的正切公式求出 tan2A 的值．
〔2〕由条件利用同角三角函数的根本关系求出 sinA，再根据A﹣B的范围求出 cos 〔A﹣B〕和 sin〔A﹣B〕的值，由 cosB=cos[A﹣〔A﹣B〕]，利用两角和差的余弦公式求得结果．
解
答：
解：〔1〕∵cosA=且 A∈〔0，〕，∴tanA=4．
故 tan2A==．
〔2〕∵A∈〔0，〕，cosA=，∴sinA=．
又 B＜A＜，∴0＜A﹣B＜，∵cos〔A﹣B〕=，∴sin〔A﹣B〕=．∴cosB=cos[A﹣〔A﹣B〕]=cosAcos〔A﹣B〕+sinAsin〔A﹣B〕=．
∵B∈〔0，〕，
∴B=．
点评：此题主要考查两角和差的余弦公式，同角三角函数的根本关系的应用，二倍角的正切公式的应用，属于中档题．
19．〔12分〕函数f〔x〕=．
〔1〕f〔α〕=3，且α∈〔0，π〕，求α的值；
〔2〕当x∈[0，π]时，求函数f〔x〕的单调递增区间；
〔3〕假设对任意的x∈，不等式f〔x〕＞m﹣3恒成立，求实数m的取值范围．
考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性．
专
题：
三角函数的图像与性质．
分
析：
〔1〕利用三角函数的恒等变换化简函数f〔x〕的解析式为 2sin〔2x+〕+2，再由f〔α〕=3，且α∈〔0，π〕，求得α的值．
〔2〕由2kπ﹣≤2α+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可得到函数的单调增区间．再根据x∈[0，π]，可得函数f〔x〕的具体的单调递增区间．
〔3〕由x∈，可得≤2x+≤，从而求得函数的值域．要使f〔x〕＞m﹣3恒成立，只要函数f〔x〕的最小值大于m﹣3，故有1＞m﹣3，由此求得实数m 的取值范围．
解
答：
解：〔1〕由于函数f〔x〕==sin2x+cos2x+2=2sin 〔2x+〕+2，
∵f〔α〕=3，且α∈〔0，π〕，∴2sin〔2α+〕+2=3，解得 sin〔2α+〕=．故有2α+=2kπ+，或2α+=2kπ+，k∈z．
∴α=．
〔2〕由2kπ﹣≤2α+≤2kπ+，k∈z，可得kπ﹣≤α≤kπ+，
故函数f〔x〕的单调递增区间为[kπ﹣≤α≤kπ+]，k∈z．
再由 x∈[0，π]，可得函数f〔x〕的单调递增区间为[0 ]、[π]．
〔3〕对任意的x∈，≤2x+≤，﹣≤sin〔2x+〕≤，1≤f〔x〕≤2+．
要使f〔x〕＞m﹣3恒成立，只要函数f〔x〕的最小值大于m﹣3，故有1＞m﹣3，m ＜4，
故实数m的取值范围为〔﹣∞，4〕．
点评：此题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的单调区间，正弦函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，
属于中档题．
20．〔13分〕如以下列图，在Rt△ABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC上，设AB=a，∠ABC=θ
〔1〕求△ABC的面积f〔θ〕与正方形面积g〔θ〕；
〔2〕当θ变化时，求的最小值．
考
点：
根本不等式；函数最值的应用．
专
题：
解三角形．
分
析：
〔1〕设正方形边长为x，求出BG=，AC=atanθ，x，即可求出三角形ABC的面积f〔θ〕与正方形面积g〔θ〕；
〔2〕利用〔1〕推出的表达式，利用根本不等式，求出比值的最小值即可．
解答：解：〔1〕由题得：AC=atanθ
∴f〔θ〕=a2tanθ〔0＜θ＜〕
设正方形的边长为x，那么BG=，由几何关系知：∠AGD=θ
∴AG=xcosθ 由BG+AG=a⇒⇒x=
∴g〔θ〕=〔0＜θ＜〕
〔2〕==1++令：t=sin2θ∵0＜θ＜
∴t∈〔0，1]∴y=1+=1+〔t+〕∵函数y=1+〔t+〕在〔0，1]递减∴y min=〔当且仅当t=1即θ=时成立〕
∴当θ=时，的最小值为．
点评：此题主要考查三角函数的根本关系式，根本不等式的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．
21．〔14分〕函数f〔x〕=﹣sin2x+2asinx+5
〔1〕假设x∈R，有1≤f〔x〕≤8，求a的取值范围；〔2〕当f〔x〕=0有实数解时，求a的取值范围．
考
点：
复合三角函数的单调性．
专
题：
计算题；三角函数的图像与性质．
分析：〔1〕利用t=sinx，换元，化简函数表达式，通过对于a讨论，利用函数的单调性与对称轴，结合1≤f〔x〕≤8，即可求a的取值范围；
〔2〕通过f〔x〕=0有实数解，对a讨论，利用函数的单调性以及零点判定定理分别求a的取值范围．
解答：解：〔1〕令t=sinx，那么原函数变为y=f〔t〕=﹣t2+2at+5，t∈[﹣1，1]，其对称轴为t=a．
①a＞1时，函数在t∈[﹣1，1]上单调递增，所以函数值为[4﹣2a，4+2a]．因此有
⇒．
②当﹣1≤a≤1时，有⇒﹣1≤a≤1．
③当a＜﹣1时，函数在t∈[﹣1，1]上单调减函数，有，解得
，
综上．
〔2〕①a＞1时，函数在t∈[﹣1，1]上单调递增，所以函数值为[4﹣2a，4+2a]．因此有⇒a≥2．
②当﹣1≤a≤1时，有，⇒a≥2或a≤﹣2，所以此时无解．
③当a＜﹣1时，函数在t∈[﹣1，1]上单调减函数，有，解得a≤﹣2，综上a≥2或a≤﹣2．
点评：此题考查复合函数的单调性以及换元法、零点判定定理，分类讨论思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．。