新课标2016届高考数学大一轮复习课时跟踪检测二十三正弦定理和余弦定理文含解析

课时跟踪检测(二十三) 正弦定理和余弦定理
(分A 、B 卷，共2页)
A 卷：夯基保分
一、选择题
1．(2015·昆明调研)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π
3
，
b ＝2a cos B ，
c ＝1，则△ABC 的面积等于( )
A.
3
2
B.
3
4 C.3
6
D.
38
2．(2015·贵州安顺二模)若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( )
A ．一定是锐角三角形
B ．一定是直角三角形
C ．一定是钝角三角形
D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
3．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解
C ．无解
D ．有解但解的个数不确定
4．(2014·江西高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2
＝(a －
b )2＋6，C ＝π3
，则△ABC 的面积是( )
A ．3 B.93
2
C.33
2
D ．3 3
5．(2015·辽宁五校联考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋
c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝( )
A.2π3
B.π3
C.3π4
D.5π6
6．(2015·东北三校联考)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
c －b
c －a
＝
sin A
sin C ＋sin B
，则B ＝( )
A.π6
B.π4
C.π3
D.3π4
二、填空题
7．(2014·湖北高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π
6，a
＝1，b ＝3，则B ＝ ________.
8．(2015·苏北四市联考)在△ABC 中，已知AB ＝3，A ＝120°，且△ABC 的面积为153
4
，则BC 边的长为________．
9．(2015·云南第一次检测)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若cos B ＝45，a ＝10，△ABC 的面积为42，则b ＋a sin A
的值等于________．
10．(2015·广东重点中学联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －3cos C cos B ＝3c －a b ，则sin C
sin A
的值为________．
三、解答题
11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知(b －2a )cos C ＋c cos B ＝0. (1)求C ；
(2)若c ＝7，b ＝3a ，求△ABC 的面积．
12．(2015·江西七校联考)已知在△ABC 中，C ＝2A ，cos A ＝34，且2BA ·CB ＝－27.
(1)求cos B 的值； (2)求AC 的长度．
B 卷：增分提能
1．(2014·陕西高考)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．
2．(2015·洛阳统考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2C ＋22cos C ＋2＝0.
(1)求角C 的大小；
(2)若b ＝2a ，△ABC 的面积为
2
2
sin A sin B ，求sin A 及c 的值． 3．(2015·湖北部分重点中学联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对边的边长，且C ＝π
3
，a ＋b ＝λc (其中λ>1)．
(1)若λ＝3时，证明：△ABC 为直角三角形； (2)若AC ·BC ＝98λ2
，且c ＝3，求λ的值．
答 案
A 卷：夯基保分
1．选B 由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π
3＝3，又B
∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝B ＝π3，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝1
2
×1×1×
32＝34
. 2．选C 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c
sin C
＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)及已知条件sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，
可设a ＝5x ，b ＝11x ，c ＝13x (x >0)． 则cos C ＝
5x
2
＋11x 2－13x 2
2·5x ·11x
＝－23x 2
110x
2<0， ∴C 为钝角．∴△ABC 为钝角三角形． 3．选C 由正弦定理得b sin B ＝c
sin C ，
∴sin B ＝b sin C
c ＝40×
3220
＝3>1.
∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在． 4．选C 由c 2
＝(a －b )2
＋6， 可得a 2
＋b 2
－c 2＝2ab －6.① 由余弦定理及C ＝π
3
，
可得a 2＋b 2－c 2
＝ab .②
所以由①②得2ab －6＝ab ，即ab ＝6. 所以S △ABC ＝12ab sin π3＝12×6×32＝33
2
.
5．选A 因为3sin A ＝5sin B ，所以由正弦定理可得3a ＝5b .因为b ＋c ＝2a ，所以c ＝2a －35a ＝75a .令a ＝5，b ＝3，c ＝7，则由余弦定理c 2＝a 2＋b 2
－2ab cos C ，得49＝25＋9
－2×3×5cos C ，解得cos C ＝－12，所以C ＝2π
3
.
6．选C 根据正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，得c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B ＝a
c ＋b ，
即a 2
＋c 2
－b 2
＝ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1
2
，
故B ＝π
3
，故选C.
7．解析：由正弦定理a sin A ＝b
sin B ，得sin B ＝
b sin A a ＝32，又B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6
，5π6，且b >a ，
所以B ＝π3或2π
3.
答案：π3或2π
3
8．解析：由S △ABC ＝1534得12×3×AC sin 120°＝1534
，所以AC ＝5，因此BC 2＝AB 2
＋
AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×1
2
＝49，解得BC ＝7.
答案：7
9．解析：依题可得sin B ＝3
5，
又S △ABC ＝1
2ac sin B ＝42，则c ＝14.
故b ＝a 2
＋c 2
－2ac cos B ＝62， 所以b ＋a sin A ＝b ＋b
sin B ＝16 2.
答案：16 2
10．解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c
sin C
得
cos A －3cos C cos B ＝3c －a b ＝3sin C －sin A
sin B
，
即(cos A －3cos C )sin B ＝(3sin C －sin A )·cos B ， 化简可得，sin(A ＋B )＝3sin(B ＋C )， 又知A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝3sin A ， 因此sin C sin A ＝3.
答案：3
11．解：(1)由已知及正弦定理得： (sin B －2sin A )cos C ＋sin C cos B ＝0， sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin A cos C ， sin(B ＋C )＝2sin A cos C ， ∴sin A ＝2sin A cos C . 又sin A ≠0，得cos C ＝1
2.
又C ∈(0，π)，∴C ＝π
3
.
(2)由余弦定理得：c 2
＝a 2
＋b 2
－2ab cos C ，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 2
＋b 2
－ab ＝7，b ＝3a ，
解得a ＝1，b ＝3.
故△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×1×3×32＝334.
12．解：(1)∵C ＝2A ，
∴cos C ＝cos 2A ＝2cos 2
A －1＝18，
∴sin C ＝378，sin A ＝7
4
.
∴cos B ＝－cos(A ＋C )＝sin A sin C －cos A ·cos C ＝9
16
.
(2)∵AB sin C ＝BC sin A ，∴AB ＝3
2
BC .
∵2BA ·CB ＝－27，cos B ＝916，
∴|BA ||CB |＝24， ∴BC ＝4，AB ＝6，
∴AC ＝BC 2
＋AB 2
－2BC ·AB ·cos B
＝
16＋36－2×4×6×9
16
＝5.
B 卷：增分提能
1．解：(1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列， ∴a ＋c ＝2b .
由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )． (2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2
＝ac . 由余弦定理得
cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac
2ac
≥
2ac －ac 2ac ＝12
， 当且仅当a ＝c 时等号成立． ∴cos B 的最小值为12
.
2．解：(1)∵cos 2C ＋22cos C ＋2＝0， ∴2cos 2
C ＋22cos C ＋1＝0， 即(2cos C ＋1)2
＝0，∴cos C ＝－22
. 又C ∈(0，π)，∴C ＝3π
4
.
(2)∵c 2
＝a 2
＋b 2
－2ab cos C ＝3a 2
＋2a 2
＝5a 2
， ∴c ＝5a ，即sin C ＝5sin A ， ∴sin A ＝
15sin C ＝
1010
. ∵S △ABC ＝1
2ab sin C ，
且S △ABC ＝
2
2
sin A sin B ， ∴12ab sin C ＝2
2sin A sin B ， ∴
ab
sin A sin B
sin C ＝2，
由正弦定理得：⎝
⎛⎭
⎪⎫c sin C 2sin C ＝2，
解得c ＝1.
3．解：(1)证明：∵λ＝3，∴a ＋b ＝3c ， 由正弦定理得sin A ＋sin B ＝3sin C ， ∵C ＝π3，∴sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝32，
sin B ＋
32cos B ＋12sin B ＝3
2
， ∴32sin B ＋32cos B ＝3
2， 则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝32，
从而B ＋π6＝π3或B ＋π6＝2π
3
，
B ＝π6或B ＝π2
.
若B ＝π6，则A ＝π
2，△ABC 为直角三角形；
若B ＝π
2，△ABC 亦为直角三角形．
(2)若AC ·BC ＝98λ2，则12a ·b ＝98λ2
，
∴ab ＝94λ2
.
又a ＋b ＝3λ，
由余弦定理知a 2
＋b 2
－c 2
＝2ab cos C ， 即a 2
＋b 2
－ab ＝c 2
＝9，即(a ＋b )2
－3ab ＝9， 故9λ2－274λ2＝9，94
λ2＝9，λ2
＝4，即λ＝2.。