广东省华附、省实、广雅三校2011届高三广州一模后联合适应性考试（数学理）

广东省华附、省实、广雅三校2011届高三广州一模后联合适
应性考试（数学理）
2011届华附、省实、广雅三校广州一模后联合适应性考试
理科数学 2011.3.21
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{1,2,3,4},{1,2},{2,4},()U U A B C A B ===?=则（）
A ．}2{
B ．}3{
DC ．}4,2,1{
D.}4,1{
2．已知函数()12f x x =-，若3(log 0.8)a f =，13
1
[()]2
b f =，1
2(2)c f -=，则（）
A ．a b c <<
B ．b c a <<
C ．c a b <<
D ．a c b <<
3.下列命题不正确．．．
的是A ．如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线，则两平面垂直；B ．如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则两平面平行；C ．如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直，则这两条直线垂直；
D ．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行
4.函数x
=(01)
a <<的图象的大致形状是（）
5. 设A 1、A 2为椭圆
)0(12
22
2>>=+
b a b
y a
x 的左右顶点，若在椭圆上存在异于A 1、A 2的
点P ，使得02=?PA PO ，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是（） A 、)2
1,0( B 、 )2
2,
0( C 、)1,2
1(
D 、)1,2
2(
x
x
y 1 －1 B.
x
y 1 －1 A.
x
y 1 －1 C.
y 1 －1 D.
O
O O O
开始
1 , 0==k s
否输出s
结束
图1
)
1(1++
=k k s s
是
6在直三棱柱111A B C A B C -中，2
B A
C π
∠=
，11AB AC AA ===. 已知Ｇ与Ｅ分别为
11A B 和1C C 的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段AC 和A B 上的动点（不包括端点）. 若
GD EF ⊥，则线段D F 的长度的取值范围为
A. 1
, 15
B.1, 25??
C. )
1, 2?? D. 1, 25
7. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为
A. 0.0324
B.0.0434
C.0.0528
D.0.0562
8.任意a 、R b ∈，定义运算>-≤?=*.0 , ,0 , ab b
a a
b b a b a ，则x
e x x
f *=)(的
A.最小值为e -
B.最小值为e
1- C.最大值为e
1-
D.最大值为e
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分。

本大题分为必做题和
选做题两部分．
（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答。

9. 若框图（图1）所给程序运行的结果2010
2009>
s ，那么
判断框中可以填入的关于k 的判断条件是_ ____． 10.
已知定义域为
R
的函数
()
f x 满足①
2
()(2)242f x f x x x ++=-+，②(1)(1)f x f x +-- 4(2)x =-，若1(1),,()2
f t f t --
成等差数列，则t 的值为．
11.若对一切θ∈R ，复数(cos )(2sin )i z a a θθ=++-的模不超过2，则实数a 的取值范围为 .
12.设O 点在ABC ?内部，且有230O A O B O C ++=uur uu u r uuu r r
，则ABC ?的面积与AOC ?的面积
的比为 .
13.记集合}6,5,4,3,2,1,0{=T ，
=∈+
+
+=4,3,2,1,77
7
7
44
3
32
21i T a a a a a M i ，将M 中的元素按从大到小顺序排列，则第2005个数是 .
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计前一题的得分
14．（几何证明选讲选做题）如图，半径为2的⊙O 中，90AO B ∠=?，D 为OB 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E ，则线段D E 的长为_______.
15．（坐标系与参数方程选做题）曲线C 的极坐标方程2cos ρθ=，直角坐标系中的点M 的坐标为（0，2），P 为曲线C 上任意一点，则M P 的最小值是 .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和
演算步骤.
16.（本小题12分）已知()2312sin 2cos 3cos sin 322+
-+-=πωωωωx x x x x f （其中0>ω）的最小正周期为π.
(1) 求()x f 的单调递增区间;
(2) 在ABC ?中,c b a ,,分别是角C B A ,,的对边,已知(),1,2,1==
=A f b a 求角C .
17.（本小题满分12分）在甲、乙等7个选手参加的一次演讲比赛中，采用抽签的方式随机确定每个选手的演出顺序（序号为1,2,……7），求：
（1）甲、乙两个选手的演出序号至少有一个为奇数的概率；（2）甲、乙两选手之间的演讲选手个数ξ的分布列与期望.
A B O D E
18.（本小题14分）
如图2,在四面体ABOC 中,,120,,0=∠⊥⊥AOB OB OC OA OC 且.1===OC OB OA (1)设P 为AC 的中点,证明:在AB 上存在一点Q ,使OA PQ ⊥,并计算AQ
AB 的值;
(2)求二面角B AC O --的平面角的余弦值.
19.（本小题14分）
在平面直角坐标系xoy 中，给定三点4
(0,),(1,0),(1,0)3
A B C -，
点P 到直线BC 的距离是该点到直线AB ，AC 距离的等比中项。

（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线L 经过ABC ?的内心（设为D ），且与P 点的轨迹恰好有3个公共点，求L 的斜率k 的取值范围。

20.（本小题14分）
已知,αβ是方程2
4410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数2
2()1
x t f x x -=
+的定义域为
[],αβ。

（Ⅰ）求()m ax ()m in ()g t f x f x =-；（Ⅱ）证明：对于(0,
)(1,2,3)2
i u i π
∈=，若123sin sin sin 1,u u u ++= 12311136(tan )
(tan )
(tan )
4
g u g u g u +
+
<
则。

21.（本小题14分）
（I ）已知数列{}n a 满足111,2n n a a a n +==+ ()
1,2,3n =L ，{}n b 满足11b =，
2
1n n n b b b n
+=+
()1,2,3n =L ，求证：
1
1111
12
n
k k k k k a b ka b k =++≤
<+--∑。

．
（II) 已知数列{}n a 满足：a 1=1且)2(2
1322
1≥=
---n a a n n n 。

设m ∈N +，m ≥n ≥2，证明
（a n +
n
2
1）m
1
（m-n+1）≤
m
m 12
-
A
P
B
C
O
图2
2011届华附、省实、广雅三校广州一模后联合适应性考试数学试题（理科）参考答案和评分标准
一、选择题：（每题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项
D
B
C
D
D
A
B
B
二、填空题（每题5分，共30分）
9．2010<="" bdsfid="272" p="">
, 5
5??- 12．3 13．396
2401
14．
355
15. 51-
三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算
步骤.
16.解:(1)()()333
sin 1cos 21cos 22
2
122
f x x x x πωωω?
=
-
++--
+ ?
162cos 2cos 23
2sin 2
3+??? ?
---
=
πωωωx x x 132sin 2+??? ?
-=πωx …………2分
1,22,0,===
∴>=ωπω
πωπT T
()132sin 2+??? ?
-=∴πx x f …………4分
故递增区间为Z k k k ∈??
+
-
125,12
πππ
π …………6分 (2)()1132sin 2=+??
-
=πA A f
032sin =??? ?
-∴πA
523
3
3
A π
π
π-
<-
<
Q
ππ
π
=-
∴3
2A 或03
2A
即6
A π
=
或3
2A π=
又,,B A b a <∴<故3 2A π=
舍去，∴6
A π
=
. …………9分
由B
b A
a sin sin =得,2
2sin =
B 4
π
=
∴B 或4
3π=B ,
若4π
=B ,则12
7π=C .
若4
3π
B ,则12
π
=
C . …………12分
注意：没有说明 "523
3
3
A π
π
π-<-
<
Q "扣两分
17.解：(1)设A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则
A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数”.由等可能性事件的概率计算公式得
()()
7
6112
7
23
=
-
=-=C C A P A P .…………4分
(2)ξ的可能取值为5,4,3,2,1,0,…………5分
(),72602
7
=
=
=C
P ξ (),21
55127
=
=
=C
P ξ (),21
44227
=
=
=C
P ξ
(),21
3
3327
=
=
=C
P ξ (),21
22427
=
=
=C
P ξ ().21
11527
=
=
=C
P ξ…………8分
从而ξ的分布列为ξ1
3
4
5
P
7
2
21
5
21
4
21
3
21
2
21
1 …………10分所以,3 521
1521 2421 3321 4221
517
20=
+?
+?
+?
+?=ξE . …………12分
18.
解法一:（1）在平面OAB 内作ON OA ⊥交A B 于N ，连接NC .…………1分又OA OC ⊥，O A O N C ∴⊥平面
N C O N C ? 平面，
O A N C ∴⊥。

取Q 为AN 的中点，则NC PQ // P Q O A
∴⊥ …………4分在等腰AOB ?中，120AO B ∠=
，30O AB O BA ∴∠=∠=
在AON Rt ?中，30OAN ∠= ， 12
O N A N A Q ∴=
=
…………4分在ONB ?中，1209030N O B N BO ∠=-==∠
， .N B O N A Q
∴== …………5分 3
A B A Q
∴
=
…………8分
（2）连接 PNPO ，
由OC OA ⊥，OC OB ⊥知：O C O AB ⊥平面. 又OAB ON 平面?，OC ON ∴⊥ 又由ON OA ⊥，O N A O C ⊥平面. 又 AOC AC 平面?,AC ON ⊥∴ 又 P 是AC 的中点,OC OA =
∴O ON OP OP AC =?⊥,,
PON AC 平面⊥∴,PON PN 平面?, PN AC ⊥∴
O P N ∴∠为二面角O AC B --的平面角…………10分在等腰COA Rt ?中，1OC OA ==，22
O P ∴=
在AON Rt ?中， 3tan 303
O N O A ==
，
∴在PON Rt ?中, 2
2
306
P N O P
O N
=+=
. …………12分
2
152cos 5
306
P O O P N P N
∴∠=
=
=
…………14分
解法二：在平面AOB 中,过点O ,作OA ON ⊥交AB 于N ,取O 为坐标原点，分别以O A ，ON ,OC 所在的直线为x 轴，y 轴,z 轴，建立空间
直角坐标系O xyz - （如图所示）…………1分
则 13(1,0,0),(0,0,1),(,,0)22A C B -
P 为AC 中点，1
1
2
2P ∴
…………2分
设((0,1)),AQ AB λλ=∈ 33
(,
,0)22
A B =- .
1331(,,).2222P Q O Q O P λλ∴=-=--
,PQ O A ⊥ 0OA PQ =?∴ 即
1302
2
λ-
=，13
λ=
. …………6分
所以存在点13(,
,0)2
6
Q 使得P Q O A ⊥ 且3A B A Q
=. …………8分
（2）记平面ABC 的法向量为123(,,)n n n n =,则由n CA ⊥ ，n AB ⊥ ，且(1,0,1)C A =-
，
得1323033022
n n n n -=??
-+
=??，故可取 3n =（1,,1）…………10分
又平面OAC 的法向量为(0,1,0)e =. …………11分
3333(1,0,0)(,,0)(1,,0),
O Q O A AQ λλλ∴=+=+-=- N
(1,3,1)(0,1,0)
3cos ,51
5
n e ?∴≥
=
. …………13分
二面角O AC B --的平面角是锐角，记为θ，则15cos 5
θ=
…………14分
19.解：（Ⅰ）直线AB 、AC 、BC 的方程依次为44(1),(1),03
3
y x y x y =+=-
-=。

点(,)P x y 到AB 、AC 、BC 的距离依次为12311|434|,|434|,||5 5
d x y d x y d y =
-+=
+-=。

依设，
2
2
2
2
123,|16(34)|25d d d x y y =--=得，即
222222
16(34)250,16(34)250x y y x y y --+=---=或，化简得点P 的轨迹方程为
圆S ：222
22320171280x y y y y ++-=-+-=2与双曲线T:8x
…………5分（Ⅱ）由前知，点P 的轨迹包含两部分圆S ：2
2
22320x y y ++-= ① 与双曲线T ：2
171280y y -+-=2
8x
②
ABC ?的内心D 也是适合题设条件的点，
由123d d d ==，解得1
(0,)2
D ，且知它在圆S 上。

直线L 经过D ，且与点P 的轨迹有3个公共点，所以，L 的斜率存在，设L 的方程为 12
y kx =+
③
（i ）当k=0时，L 与圆S 相切，有唯一的公共点D ；此时，直线12
y =平行于x 轴，表明L
与双曲线有不同于D 的两个公共点，所以L 恰好与点P 的轨迹有3个公共点。

…………8分（ii ）当0k ≠时，L 与圆S 有两个不同的交点。

这时，L 与点P 的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况：
情况1：直线L 经过点B 或点C ，此时L 的斜率12
k =±
，直线L 的方程为(21)x y =±-。

代入方程②得(34)0y y -=，解得54(,)33
E 54
或F(-,)33。

表明直线BD 与曲线T 有2个交点B 、E ；直线CD 与曲线T 有2个交点C 、F 。

故当12
k =±时，L 恰好与点P 的轨迹有3个公共点。

…………11分
情况2：直线L 不经过点B 和C （即12
k ≠±），因为L 与S 有两个不同的交点，所以
L 与双曲线T 有且只有一个公共点。

即方程组2281712801 2
x y y y kx ?-+-=?
=+??有且只有一组实数解，消去y 并化简得22
25(817)504
k x kx ---
=
该方程有唯一实数解的充要条件是2
8170k -=
④
或22
25(5)4(817)
04
k k -+-=
⑤
解方程④得23417
k =±，解方程⑤得22
k =±。

综合得直线L 的斜率k 的取值范围12342{0,,,}2
17
2
±±
±。

………14分
20.解:（Ⅰ）设22
121122,4410,4410,x x x tx x tx αβ≤<≤--≤--≤则
2
2
1212121214()4()20,2()02
x x t x x x x t x x ∴+-+-≤∴-+-
<
则[]
211212212122222
1
2
1
()()2222()()1
1
(1)(1)x x t x x x x x t x t f x f x x x x x -+-+---= -
=
++++
又12121212211()22()20()()02
t x x x x t x x x x f x f x +-+>+-+>∴->
故()f x 在区间[],αβ上是增函数。

………3分
1,,4t αβαβ+==-
[]
2222
()()22()m ax ()m in ()()()1
t g t f x f x f f βααβαββααβαβ-+-+∴=-=-= +++2
222
2
2
5181(25)225162516
t t t t t t ??++ ?++?
=
=++
………6分
（Ⅱ）证：
2
2
2
8
2
16(
3)
24cos cos cos cos (tan )16169cos 9 cos i
i i
i
i i
i
u u u u g u u u ++=
=
++
2
2
21624166(1,2,3)169cos 169cos i
i i u u ?≥
=
=++ ………9分
3
3
3
2
2
1
1
1
11
1(169cos
)(163939)sin )(tan )
166
166
i i i i i i u u g u ===∴≤
+=
+?-∑
∑∑....15分
3
3
3
2
2
1
1
1
sin 1,(0,
),1,2,3
3sin (sin )12
i i i i i i i u u i u u π
====∈=∴≥=∑∑∑ 且，而均值不等式与柯西不等式中，等号不能同时成立，1231111
13
(759)6(tan )
(tan )
34166g u g u g u ∴
+
+
<
-?=
………14分
21.证明：
（I ）记∑
=++--+=
n
k k k k k n k b ka b a I 1
111
，则
1212
n
I I I =
<<<="" bdsfid="722" p="" ……="" 。

=""> 而∑
=++-=
n
k k k n k b a I 1
1)
)(1(1
∑
∑
==++?-≤
n
k k n
k k k
1
111
1。

……………… 4分
因为n a a a n n 2,111+==+，所以)1(11+=-+k k a k 。

………………… 5分
从而有
11
11)
1(11
11
1
1<+-
=+=
-∑
∑
==+n k k a n
k n
k k 。

①
又因为k
k b b k b b b k k k k k )
(2
1+=
+
=+，所以
k
b b k b b k
b k k
k k k +-
=+=
+11)(11，
即
1
1
11+-
=+k k
k b b k
b 。

从而有
111111
1
1
1
=≤-
=
++=∑
b b b k
b n n
k k 。

② … 6分
由（1）和（2）即得 1<="">
12
1<≤n I 。

左边不等式的等号成立当且仅当 n=1时成立。

……… 7分（II ）不妨设)2)(2
(2
32
1
1≤+
=+
--n x a x a n n n
n 即1
2
3--+
=n n n c a a 与1
12
12
3--+
=
n n n a a 比
较系数得c=1.即n n n a )23(21
=+
)2
1
(232111--+=+n n n n a a 又2
3211=+a ,故{n n a 21+}是首项为23公比为23
的等比数列，
故n
n
n a 2
1)2
3
(-
= ……… 10分
这一问是数列、二项式定理及不等式证明的综合问题.综合性较强. 即证(
m
m n m m
n
1)1()2
32
+-，当m=n 时显然成立。

易验证当且仅当m=n=2时，等号成立。

设)1()23
(+-=n m b m n
n 下面先研究其单调性。

当m >n
时，
1
11
11113
4)11(32)11()23()
(
),
11()
2
3
()1
(
)23
(+-+-
-
+>∴>=?+>-+=∴-+
=-+-=n n m
m
n n
m
m
n n b b m m n m b b n
m n m n m b b ……… 12分
即数列{n b }是递减数列.因为n ≥2，故只须证,12
m b -≤
即证m
m m
1)
2
3
(2+≤。

事实上，
4
9212
5111)
1(2
2
1
>
-
=
+?
+>+m
m
C m
C m
m m m
m
故上不等式成立。

综上，原不等式成立。

……… 14分。