人教A版必修四 正余弦函数的单调性与最值 课时作业

第2课时正、余弦函数的单调性与最值
A 级 基础巩固
一、选择题
1.函数y ＝－23
cos x ，x ∈(0，2π)，其单调性是( ) A.[ZK (#]在(0，π)上是增函数，在[π，2π)上是减函数
B.在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π2，2π上是增函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2
，3π2上是减函数 C.在[π，2π)上是增函数，在(0，π)上是减函数
D.在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上是增函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，⎣⎢⎡⎭
⎪⎫3π2，2π上是减函数 解析：y ＝－23
cos x 在(0，π)上是增函数，在[π，2π)上是减函数. 答案：A
2．y ＝sin x －|sin x |的值域是( )
A ．[－1，0]
B ．[0，1]
C ．[－1，1]
D ．[－2，0]
解析：y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧0，0≤sin x ≤1，2sin x ，－1≤sin x <0，因此函数的值域为[－2，0]． 答案：D
3．下列关系式中正确的是( )
A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°
B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°
C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°
D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°
解析：由诱导公式，得cos 10°＝sin 80°，sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，由正弦函数y ＝sin x 在[0°，90°]上是单调递增的，所以sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.
答案：C
4.函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在区间[0，π]上的一个单调递减区间是( ) A.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12 C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤5π12，11π12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2
解析：由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Ｚ)得k Ｔπ＋π12≤x ≤k π＋7π12
(k ∈Ｚ)， 取k ＝0，则一个单调递减区间为⎣⎢
⎡⎦⎥⎤Ｔπ12
，7π12. 答案：B
5．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1
B ．－22 C.22 D ．0 解析：因为x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以－π4≤2x －π4≤34π， 所以当2x －π4＝－π4
时， f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4有最小值－22
. 答案：B
二、填空题
6．函数y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π6的值域是________． 解析：因为－π6≤x ≤π6，所以0≤2x ＋π3≤23
π， 所以0≤sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， 所以y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值域为[0，2]． 答案：[0，2]
7.当x ＝_________时，函数f (x )＝cos2x ＋sin x ⎝
⎛⎭⎪⎫|x |≤π4取最大值. 解析：当|x |≤
π4时，－22≤sin x ≤22，f (x )＝cos2x ＋sin x ＝1－sin2x ＋sin x ＝－⎝
⎛⎭⎪⎫sin x －122])＋54，所以sin x ＝12，即x ＝π6时，f (x )取得最大值54. 答案：π6
8.函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6－2x 的单调递增区间是 .
解析：由题意得，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝－sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6， 令π2＋2k π≤2x －π6≤3π2
＋2k π，k ∈Ｚ， 解得k Ｔπ＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Ｚ，所以函数的递增区间是⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k Ｔπ＋π3，k π＋5π6，k ∈Ｚ.
答案：⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k Ｔπ＋π3，k π＋5π6，k ∈Ｚ 三、解答题
9.已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围.
解：由－π2＋2k π≤ωx ≤π2＋2k π(k ∈Ｚ)得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω
(k ∈Ｚ). 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω (k ∈Ｚ).
据题意得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4⊆⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Ｚ). 从而⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω＞0，解得0＜ω≤32
. 故ω的取值范围是⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，32. 10.求下列函数的值域：
(1)y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 2x ＋π3，x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6，π6； (2)y ＝cos2x －3cos x ＋2.
解：(1)因为－π6＜x ＜π6，所以0＜2x ＋π3＜2π3
. 所以－12＜cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＜1. 所以y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6，π6的值域为(－1，2). (2)令t ＝cos x ，因为x ∈R ，所以t ∈[－1，1].
所以原函数化为y ＝t 2－3t ＋2＝(t －32)2－14. 所以二次函数图象开口向上，直线t ＝32
为对称轴. 所以[－1，1]为函数的单调减区间.
所以当t ＝－1时，y max ＝6；当t ＝1时，y min ＝0.
所以y ＝cos2x －3cos x ＋2的值域为[0，6].
[B 级 能力提升]
1.已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则b －a 的值不可能是( ) A.π3 B.2π3 C.π D.4π3
解析：画出函数y ＝sin x 的草图，可以取a ＝5π6，则b ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2
，13π6，则b －a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3
，4π3.
答案：A
2．若函数f (x )＝sin ωx (0<ω<2)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω等于________．
解析：根据题意知f (x )在x ＝π3
处取得最大值1， 所以sin
ωπ3＝1， 所以ωπ3＝2k π＋π2，k ∈Z ，即ω＝6k ＋32
，k ∈Z. 又0<ω<2，所以ω＝32
. 答案：32
3.已知函数f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋b 的定义域是⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，值域是[－5，1]，求a ，b 的值.
解：因为0≤x ≤π2，所以π6≤2x ＋π6≤7π6
，
所以－12≤sin( 2x ＋π6
)≤1. 当a ＞0时，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5，3a ＋b ＝1，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－5. 当a ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，3a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.
因此a ＝2，b ＝－5或a ＝－2，b ＝1.。