专题4.4 立体几何中最值问题(解析版)

一．方法综述 高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力。最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面。

此类问题多以规则几何体为载体，涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从三个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解.

二．解题策略

类型一 空间角的最值问题

【例1】（2020·浙江高三期末）如图，四边形ABCD ，4AB BD DA ===

，BC CD ==现将ABD ∆沿BD 折起，当二面角A BD C --的大小在2[

,]33ππ时，直线AB 和CD 所成角为α，则cos α的最大值

为（ ）

A

B

C

D

【答案】C

【解析】

【分析】取BD 中点O ，连结AO ，CO ，以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，过点O 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB 与CD 所成角的余弦值取值范围．

【详解】解：取BD 中点O ，连结AO ，CO ，

专题4.4 立体几何中最值问题

∵AB ＝BD ＝DA ＝4．BC ＝

CD =CO ⊥BD ，AO ⊥BD ，且CO ＝2，

AO =，

∴∠AOC 是二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角，

以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，

过点O 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，

B （0，﹣2，0），

C （2，0，0），

D （0，2，0），

设二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角为θ，则2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣

⎦， 连AO 、BO ，则∠AOC ＝θ，A

（0θθ，）

，

∴()

2BA θθ=u u u r ，

，()220CD =-u u u r ，，， 设AB 、CD 的夹角为α，则

cosαAB CD AB CD ⋅==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ∵2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴cos 1122θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，∴

|1θ|∈[0，

1+2

]． ∴cos α

．故选：C ．

【指点迷津】空间的角的问题，只要便于建立坐标系均可建立坐标系，然后利用公式求解.解本题要注意，空间两直线所成的角是不超过90度的.几何问题还可结合图形分析何时取得最大值.

【举一反三】

1．（2020·广东高考模拟）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是侧面11ADD A 内的动点，且1B E //平面1BDC ，则直线1B E 与直线AB 所成角的正弦值的最小值是( )

A ．13 B

C ．12 D

．2

【答案】B

【解析】

【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系利用向量法求出直线1B E

与直线AB 所成角的正弦值的最小值．

【详解】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，

设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为1，

设E(a,0，c)，0a 1≤≤，0c 1≤≤，

1B (1,1，1)，B(1,1，0)，D(0,0，0)，1C (0,1，1)，

()1B E a 1,1,c 1=---u u u v ，DB (1,=u u u v 1，0)，1DC (0,=u u u u v 1，1)，

设平面1DBC 的法向量n (x,=v

y ，z)， 则1n DB 0n DC 0

x y y z u u u v v u u u u v v ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取x 1=，得()n 1,1,1=-v ， 1B E //Q 平面1BDC ，1B E n a 11c 10∴⋅=-++-=u u u v v ，解得a c 1+=，

()222a c a c 2ac 12ac ∴+=+-=-，2

a c 1ac 24+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭， 设直线1B E 与直线AB 所成角为θ，

AB (0,=u u u Q v 1，0)，

11AB B E cos θAB B E

⋅∴==⋅u u u v u u u v u u u v u u u v 2a c 1ac 24

+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭Q ，322ac 2∴-≥，1222ac 3∴≤-，

sin θ∴==

===． ∴直线

1B E 与直线AB 所成角的正弦值的最小值是3

．故选B ． 2．（2020·河南高三月考（理））如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，现将△ABC 沿着对角线AC 翻折，则直线EF 与平面ACD 所成角的正切值最大值为(

)

A

B

C ．

3 D ．2

【答案】D

【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设二面角B AC D --为θ，用含θ的式子表示B 点坐标，利用向量法表示出线面角α的正弦值的平方，构造函数利用函数的单调性求出()2max

sin

α，即可求出线面角α的正切值的

最大值。

【详解】解：如图，