二项分布及其应用小结
二项分布及其应用
二项分布及其应用一、学习目标：1、了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念；2、理解n 次独立重复试验模型及二项分布，并能解决一些简单问题。
二、重点、难点：独立重复试验及二项分布三、导读、导思：1、条件概率及其性质（1）对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做 ，用符号 来表示，其公式为()A B P 在古典概型中，若用)(A n 表示事件A 中基本事件的个数,则(P . （2）条件概率具有的性质：① ；②如果B 与C 是两互斥事件，则=⋃)(A C B P . 2、相互独立事件（1）对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称 （2）若A 与B 相互独立，则()=A B P ，=)(AB P = （3）若A 与B 相互独立，则 ， ， 也都相互独立。
（4）若()()()B P A P AB P =,则 。
3、二项分布（1）独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有 种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的。
（2）在n 次独立重复试验中，事件A 发生k 次的概率为 （p 为事件A 发生的概率），事件A 发生的次数是一个随机变量X ，其分布列为 ，记为 。
四、导练展示：1、在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分布从不同方位对同一目标发动攻击（各放射一枚导弹），由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为,8.0,9.0,9.0若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为（ ） A 、0.998 B 、0.046 C 、0.002 D 、0.9542、在口袋中有不同编号的3个白球和2个黑球，如果不放回地依次取两个球，在第1次取到白球的条件下，第2次也取到白球的概率。
3、甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：（1）2人都射中目标的概率；(2)2人中恰有1人射中目标的概率； （3）2人至少有1人射中目标的概率； （4）2人至多有1人射中目标的概率。
二项分布知识点整理
二项分布知识点整理二项分布是概率论中一种离散概率分布，用于描述在n次重复的独立二分类试验中，成功的次数的概率分布情况。
在二项分布中，每次试验的结果只有两种可能的结果，一种是成功，另一种是失败。
下面，将对二项分布的定义、性质和相关公式进行整理:1.二项分布的定义:在n次重复的独立二分类试验中，假设每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，则成功的次数X服从二项分布。
记为X~B(n,p)。
2.二项分布的概率函数:二项分布的概率函数表示为P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)表示组合数，表示从n个不同元素中取出k个元素组成一个集合的方案数。
3.二项分布的期望和方差:二项分布的期望为E(X) = np，方差为Var(X) = np(1-p)。
4.二项分布的性质:(1)在二项分布中，成功的概率p是恒定不变的，与试验次数n无关。
(2)在试验次数固定的情况下，成功的次数越多，失败的次数越少。
(3)当试验次数n增加时，二项分布的形状逐渐向正态分布靠近。
5.二项分布的相关公式:(1)二项系数的计算公式:C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)(2) 二项分布的期望和方差的计算公式: E(X) = np, Var(X) =np(1-p)(3) 二项分布的累积分布函数: P(X≤k) = Σ(i=0 to k) C(n,i) * p^i * (1-p)^(n-i)(4)二项分布的正态近似:当n足够大时，可以用正态分布来近似二项分布的概率。
6.二项分布的应用:二项分布在实际生活中有广泛应用，例如:(1)投硬币的结果：每次投掷硬币，出现正面或反面的概率为0.5(2)制造业的质量控制：每个产品是否合格的概率为p，可以通过抽样检测来判断合格品的比例。
(3)市场调查的结果：例如一项调查中，问卷调查的结果中满意度的比例。
(4)疾病的传播：可以使用二项分布来估计其中一种疾病在人群中传播的比例。
二项分布知识点
二项分布知识点关键信息项：1、二项分布的定义2、二项分布的参数3、二项分布的概率计算公式4、二项分布的期望与方差5、二项分布的适用条件6、二项分布的实例应用11 二项分布的定义二项分布是一种离散概率分布，用于描述在 n 次独立重复的伯努利试验中，成功的次数X 的概率分布。
在每次试验中，成功的概率为p，失败的概率为 1 p 。
111 伯努利试验的特点伯努利试验具有以下两个特点：每次试验只有两种可能的结果，即成功或失败；每次试验的结果相互独立，即前一次试验的结果不会影响后一次试验的结果。
112 二项分布的概率质量函数二项分布的概率质量函数为：P(X ＝ k) ＝ C(n, k) p^k （1 p)＾（n k) ，其中 C(n, k) 表示从 n 个元素中选取 k 个元素的组合数。
12 二项分布的参数二项分布有两个参数：试验次数 n 和每次试验成功的概率 p 。
121 试验次数 nn 表示独立重复进行的伯努利试验的总数。
122 成功概率 pp 表示每次伯努利试验中成功的概率，0 ＜ p ＜ 1 。
13 二项分布的概率计算公式131 组合数的计算组合数 C(n, k) ＝ n! ／（k! （n k)！），其中 n! 表示 n 的阶乘。
132 概率的具体计算示例例如，在 5 次独立重复的试验中，每次成功的概率为 04，求成功 3 次的概率。
首先计算组合数 C(5, 3) ＝ 5! ／（3! 2!）＝ 10 ，然后计算概率P(X ＝ 3) ＝ 10 04^3 06^2 。
14 二项分布的期望与方差141 期望二项分布的期望 E(X) ＝ np 。
142 方差二项分布的方差 Var(X) ＝ np(1 p) 。
15 二项分布的适用条件151 独立试验每次试验的结果相互独立，不受其他试验的影响。
152 固定概率每次试验成功的概率 p 保持不变。
153 二分类结果试验结果只有两种互斥的类别，如成功和失败、是和否等。
二项分布与泊松分布的应用
二项分布与泊松分布的应用二项分布与泊松分布是概率论中常见的两种分布，它们在实际生活中有着广泛的应用。
本文将分别介绍二项分布与泊松分布的概念及特点，并结合实际案例探讨它们在不同领域的具体应用。
一、二项分布二项分布是离散型概率分布的一种，描述了在一系列独立重复的同类试验中成功次数的概率分布。
在每次试验中，事件发生的概率保持不变且相互独立。
二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，n表示试验的次数，k表示成功的次数，p表示每次试验成功的概率，C(n,k)表示组合数。
二项分布的应用非常广泛，例如在工业生产中，可以用来描述产品合格率；在医学实验中，可以用来描述药物疗效；在市场营销中，可以用来描述广告点击率等。
二、泊松分布泊松分布是描述单位时间（或单位面积、单位体积）内随机事件发生次数的概率分布。
泊松分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，λ表示单位时间（或单位面积、单位体积）内事件平均发生率，k表示事件发生的次数。
泊松分布常用于描述稀有事件在一定时间内发生的概率，例如在电话交换机中描述单位时间内收到的电话数、在保险业描述车辆事故发生的次数等。
三、二项分布与泊松分布的应用案例1. 电商平台广告点击率预测假设某电商平台在进行广告投放时，希望预测用户点击广告的概率。
可以利用二项分布来描述每次广告曝光后用户点击的概率，通过统计多次广告曝光和点击的数据，估计用户点击广告的整体概率。
2. 交通拥堵预测城市交通拥堵是一个复杂的问题，可以利用泊松分布来描述车辆在单位时间内通过某一路段的数量。
通过分析历史数据，可以预测未来某一时段交通流量的波动情况，从而采取相应的交通管理措施。
3. 医院急诊就诊量预测医院急诊就诊量的波动较大，可以利用泊松分布来描述单位时间内的就诊人数。
通过建立泊松分布模型，医院可以合理安排医护人员的工作时间，提高急诊服务的效率。
二项分布及其应用
α = 0 . 05
（2）直接计算概率P 值 当 p < π 0 时， P = P ( 0 ) + P (1) + L + P ( X ) 当 p > π 0 时， P = P( X ) + P( X +1) +L= 1−[P(0) + P(1) +L+ P( X −1)] （3）做出推断结论 =0.05检验水准拒绝 当 P <α，在=0.05检验水准拒绝 H 0 ，接受H 1 ，可以认 为两总体率不同。 为两总体率不同。 =0.05检验水准不拒绝 当 P >α，在=0.05检验水准不拒绝 H ，尚不能认为两 总体率不同。 总体率不同。
p( x = k ) =
n! π k (1 − π )n −k k!(n − k )!
例题： 例题：
已知用某种药物治疗某一非传染疾病的有效率为60％，今 已知用某种药物治疗某一非传染疾病的有效率为60％，今 60％， 用该药治疗该病患者20 20人 试计算其中12人有效的概率。 12人有效的概率 用该药治疗该病患者20人，试计算其中12人有效的概率。 解： 根据题意， 表示“所用药物治疗该病有效的人数” 根据题意，以X表示“所用药物治疗该病有效的人数”,X服 从二项分布，已知n=20, =0.6,x=12。 n=20,π 从二项分布，已知n=20,π=0.6,x=12。
0
抗生素治疗小儿上呼吸道感染、支气管炎，有效率为85%。问在5 抗生素治疗小儿上呼吸道感染、支气管炎，有效率为85%。问在5人 85% 二人有效的概率是多少？ 中，二人有效的概率是多少？
甲 无效 0.15 无效 0.15 无效 0.15 无效 0.15 有效 0.85
二项分布知识点
二项分布知识点
嘿，朋友们！今天咱来聊聊二项分布这个知识点哈。
咱就说扔硬币吧，你扔一次，不是正面就是反面，这就有点像二项分布的简单例子哟。
比如你想知道连续扔 10 次硬币，有 3 次正面朝上的概率到底是多少呢？这就得用二项分布来算算啦！
再比如射击比赛，选手每次射击只有射中或没射中两种结果，那在很多次射击后，射中特定次数的概率用二项分布就能搞清楚呀！
二项分布不就像是一个神奇的工具，能帮我们弄明白这些只有两种可能结果的事情中各种情况发生的概率嘛！它能让我们更清楚地了解这些看似随机的现象背后的规律呢！所以说，二项分布可重要啦，咱得好好掌握它呀！
我的观点结论就是：二项分布超有用，一定要学会哟！。
二项分布及其应用
本例0=0.01，n=400，x=1，根据题意需求最多有1例染
色体异常的概率，按二项分布的概率函数得
(3) 做出推断结论: P >0.05，按 =0.05检验水准不拒绝H0，尚 不能认为该地新生儿染色体异常率低于一般。
1、样本率与已知总体率的比较：
(2) 正态近似法: 当 n0 和 n(1-0) 均大于5时,
用n=20和x=8查附表7.2百分率的可信区间得该 法近期有效率的95%可信区间为19%64%。
由于附表7百分率的可信区间中值只列出了x n/2的部分，当x>n/2时，应以n -x查表，再从100
中减去查得的数值即为所求可信区间。
2、总体率的区间估计
三、二项分布的应用
（2）正态近似法
当样本含量足够大，且样本率p和 1-p均不太小，一般 np与 n(1-p)均大于5时，样本率的抽样分布近似正态分布，即
此时, 总体率的可信区间可按下式进行估计:
其中,
布的应用
（二）假设 检验1、样本率与已知总体率的比较：
(1)直接计算概率法: 例1 根据以往长期的实践，证明某常用药的治 愈率为65%。现在某种新药的临床试验中，随机观 察了10名用该新药的患者，治愈8人。问该新药的 疗效是否比传统的常用药好？
（1）建立假设，确定检验水准。
（2） 计算检验统计量 。
B( , n ）。
例 抛硬币（正/反），患者治疗后的结局（治愈/未愈），实验 动物染毒后结局（生存/死亡），……。
一、二项分布的概念及应用条件
2、应用条件：
① n次试验相互独立 （ n 个观察单位相互独立）。 ② 每次试验只有两种可能结果中的某一种（适用
二项分布的应用实例
二项分布的应用实例二项分布是概率论中的一种离散概率分布，常用于描述在n次独立重复试验中成功次数的概率分布。
它在实际生活中有着广泛的应用。
本文将介绍二项分布的应用实例。
一、质量控制在生产过程中，为了保证产品的质量，通常需要进行抽样检验。
假设某产品的不合格率为p，每次抽取一个产品进行检验，成功表示合格，失败表示不合格。
如果进行n次独立重复的抽样检验，那么成功的次数就是一个服从二项分布的随机变量。
通过对二项分布进行分析，可以确定在给定的不合格率和抽样次数下，产品合格的概率，从而评估产品的质量水平。
二、投资决策在投资决策中，往往需要考虑到风险和收益的平衡。
假设某投资项目的成功率为p，每次投资的结果只有成功和失败两种可能。
如果进行n次独立重复的投资，那么成功的次数就是一个服从二项分布的随机变量。
通过对二项分布进行分析，可以确定在给定的成功率和投资次数下，投资成功的概率，从而帮助投资者做出决策。
三、市场调研在市场调研中，经常需要对样本进行调查，以了解人群的特征和偏好。
假设某特定特征的人群比例为p，每次调查抽取一个样本，成功表示具备该特征，失败表示不具备该特征。
如果进行n次独立重复的调查，那么成功的次数就是一个服从二项分布的随机变量。
通过对二项分布进行分析，可以确定在给定的特征比例和样本数量下，样本中具备该特征的概率，从而推断整个人群中具备该特征的比例。
四、医学诊断在医学诊断中，经常需要进行实验或观察，以确定某种疾病的发生率或治疗效果。
假设某种疾病的发生率为p，每次实验或观察只有发生和不发生两种可能。
如果进行n次独立重复的实验或观察，那么发生的次数就是一个服从二项分布的随机变量。
通过对二项分布进行分析，可以确定在给定的发生率和实验或观察次数下，疾病发生的概率，从而帮助医生做出诊断或评估治疗效果。
五、运输调度在物流运输中，经常需要考虑货物的损失率或延误率。
假设某种货物的损失率或延误率为p，每次运输只有损失或延误和未损失或未延误两种可能。
二项分布及应用
10．7 二项分布及其应用班级姓名一、学习目标：了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．二、学习建议：1．把握基本题型；2．强化方法选择．三、自主预习：（请用7分钟左右的时间完成，如若困难可先解决知识链接再解题）1．甲、乙两市位于长江下游，根据一百多年的记录知道，一年中雨天的比例，甲市为20%，乙市为18%，两市同时下雨的天数占12%.求：(1)乙市下雨时甲市也下雨的概率；(2)甲市下雨时乙市也下雨的概率．知识链接1．条件概率的定义与性质(1)定义一般地，设A、B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，一般把P(B|A)读作A发生的条件下B的概率．(2)性质条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即．如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝2．甲、乙、丙打靶，射击命中的概率分别为0.5、0.6、0.7 ，若他们各人射击及各次射击之间相互独立．求：（1）三人各射击一次，恰有一人命中的概率；（2）甲射击三次，恰有一次命中的概率；（3）乙射击三次，恰有一次命中的概率；（4）丙射击三次，恰有一次命中的概率；（5）乙射击三次，求射击次数§的分布列．知识链接2．2．事件的相互独立性设A，B为两个事件，如果，则称事件A与事件B相互独立；如果事件A与B相互独立，那么A 与 B ，A 与B ，A 与 B ．3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，即若用A i (i ＝1,2…，n )表示第i 次试验的结果，则P (A 1A 2…A n )＝ ．(2)二项分布一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，则在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝ (k ＝0,1,2，…，n )．此时称随机变量X 服从二项分布，记作 ，并称p 为成功概率．四、课堂互助区例1．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次取一件．试求在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率．[点评] 条件概率P (B |A )与概率P (B )，它们都以样本空间Ω为总样本，但它们取概率的前提是不相同的，概率P (B )是指在整个样本空间Ω的条件下事件B 发生的可能性大小，而条件概率P (B |A )是 在 发生的条件下，事件B 发生的可能性大小．例2．[2010·北京卷] 某同学参加3门课程的考试，假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p ，q (p >q )，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为(1)求该生至少有1求a ，b 的值．类题演练 [2010·四川卷] 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．(1)求三位同学都没有中奖概率；(2)求三位同学中至少有两位没有中奖的概率．[点评] 在解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．已知两个事件A 、B ，它们的概率分别为P (A )、P (B )，则A 、B 中至少有一个发生的事件为 ；A 、B 都发生的事件为 ；A 、B 都不发生的事件为 ；A 、B 恰有一个发生的事件为 ；A 、B 至多有一个发生的事件为 .对于求“至少”“至多”有关的事件时，常常先求其对立事件的概率. 有时也可以从对立事件入手求解．例3．某单位举办2010年广州亚运会知识宣传活动，进行现场抽奖．盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“亚运会会徽”5张或“乐羊羊”(亚运会吉祥物)图案4张；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“乐羊羊”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．求4位参加者进行现场抽奖中奖的人数．类题演练：在2010年“两会”期间，保就业成为代表委员以及公众关注的焦点．就业不仅被致公党中央提交为今年政协的“一号提案”，而且在温家宝总理与网民交流时也指出，“就业不仅关系一个人的生计，而且关系一个人的尊严”．面对新形势，某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力．每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列．六、课堂小结：1．“相互独立”与“事件互斥”的区别两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响(如有放回的抽取模型)．两事件相互独立不一定互斥．2．条件概率的求法(1)利用定义，分别求出P(A)，P(AB)，得P(B|A)＝；(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B 包含的基本事件数n(AB)，即P(B|A)＝.3．相互独立事件同时发生的概率的求法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；(2)正面计算较繁或难于入手时，可以从其对立事件入手进行计算．4．独立重复试验独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．10．7 二项分布及其应用班级姓名一、学习目标：了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．二、学习建议：1．把握基本题型；2．强化方法选择．三、自主预习：（请用7分钟左右的时间完成，如若困难可先解决知识链接再解题）1．甲、乙两市位于长江下游，根据一百多年的记录知道，一年中雨天的比例，甲市为20%，乙市为18%，两市同时下雨的天数占12%.求：(1)乙市下雨时甲市也下雨的概率；(2)甲市下雨时乙市也下雨的概率．[解答] 记“甲市下雨”为事件A，“乙市下雨”为事件B.按照题意有，P(A)＝20%，P(B)＝18%，P(AB)＝12%.(1)乙市下雨时甲市也下雨概率为P(A|B)＝P(AB)P(B)＝23.(2)甲市下雨时乙市也下雨的概率为P(B|A)＝P(AB)P(A)＝35.知识链接1．条件概率的定义与性质(1)定义一般地，设A、B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝P ABP A为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，一般把P(B|A)读作A发生的条件下B的概率．(2)性质条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1．如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝0≤P(B|A)≤12．甲、乙、丙打靶，射击命中的概率分别为0.5、0.6、0.7 ，若他们各人射击及各次射击之间相互独立．求：（1）三人各射击一次，恰有一人命中的概率；（2）甲射击三次，恰有一次命中的概率；（3）乙射击三次，恰有一次命中的概率；（4）丙射击三次，恰有一次命中的概率；（5）乙射击三次，求射击次数§的分布列．（1）0.5×（1-0.6）×（1-0.7）+（1-0.5）×0.6×（1-0.7）+（1-0.5）×（1-0.6）×0.7=0.29 （2）0.5×（1-0.5）×（1-0.5）+（1-0.5）×0.5×（1-0.5）+（1-0.5）×（1-0.5）×0.5=0.375（3）0.6×（1-0.6）×（1-0.6）+（1-0.6）×0.6×（1-0.6）+（1-0.6）×（1-0.6）×0.6=0.288（4）0.7×（1-0.7）×（1-0.7）+（1-0.7）×0.7×（1-0.7）+（1-0.7）×（1-0.7）×0.7=0.189（5）§~B （3，0.6）30034.06.0C ，21134.06.0C ，4.06.0223C ，03334.06.0C知识链接2．2．事件的相互独立性设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立；如果事件A 与B 相互独立，那么A 与 B ，A 与B ，A 与 B 也都相互独立．3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，即若用A i (i ＝1,2…，n )表示第i 次试验的结果，则P (A 1A 2…A n )P (A 1)P (A 2)…P (A n )．(2)二项分布一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，则在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n -k (k ＝0,1,2，…，n )．此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．四、课堂互助区例1．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次取一件．试求在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率．[解答] 方法一：设事件A 为第一次取到不合格品，事件B 为第二次取到不合格品．根据条件概率的定义计算，需要先求出事件AB 的概率：P (AB )＝5100×499＝1495，所以有P (B |A )＝P AB P A ＝5100×4995100＝499.方法二：第一次取到不合格品后，样本空间的个数变为99，还有不合格品4件，所以概率为499.[点评] 条件概率P (B |A )与概率P (B )，它们都以样本空间Ω为总样本，但它们取概率的前提是不相同的，概率P (B )是指在整个样本空间Ω的条件下事件B 发生的可能性大小，而条件概率P (B |A )是在事件A 发生的条件下，事件B 发生的可能性大小．例2．[2010·北京卷] 某同学参加3门课程的考试，假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p ，q (p >q )，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为(1)求该生至少有1求a ，b 的值． [思路] (1)“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“ξ＝0”是对立的，利用对立事件求解；(2)利用P (ξ＝0)＝6125，P (ξ＝3)＝24125，通过解方程组求解；(3)利用a ＝P (ξ＝1)，b ＝P (ξ＝2)求解． [解答] 事件A i 表示“该生第i 门课程取得优秀成绩”，i ＝1,2,3.由题意知P (A 1)＝45，P (A 2)＝p ，P (A 3)＝q .(1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“ξ＝0”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是1－P (ξ＝0)＝1－6125＝119125. (2)由题意知，P (ξ＝0)＝P (A 1A2A 3)＝15(1－p )(1－q )＝6125，P (ξ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＝45pq ＝24125，整理得pq ＝625，p ＋q ＝1，由p >q ，可得p ＝35，q ＝25. (3)由题意知a ＝p (ξ＝1)＝p (A 1A2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A1A 2A 3)＝45(1－p )(1－q )＋15p (1－q )＋15(1－p )q ＝37125，b ＝P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝58125.类题演练[2010·四川卷] 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．(1)求三位同学都没有中奖概率；(2)求三位同学中至少有两位没有中奖的概率．[思路] 三位同学是否中奖是相互独立的，使用P (AB )＝P (A )P (B )进行计算．本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等概率计算，考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力．[解答] (1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A 、B 、C ，那么P (A )＝P (B )＝P (C )＝16. P (A ·B ·C )＝P (A )P (B )P (C )＝⎝⎛⎭⎫563＝125216. 答：三位同学都没有中奖的概率是125216.(2)1－P (A ·B ·C ＋A ·B ·C ＋A ·B ·C ＋A ·B ·C )＝1－3×⎝⎛⎭⎫162×56－⎝⎛⎭⎫163＝2527， 或P (A ·B ·C ＋A ·B ·C ＋A ·B ·C ＋A ·B ·C )＝2527.答：三位同学中至少有两位没有中奖的概率为2527.[点评] 在解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．已知两个事件A 、B ，它们的概率分别为P (A )、P (B )，则A 、B 中至少有一个发生的事件为A ∪B ；A 、B 都发生的事件为AB ；A 、B 都不发生的事件为A B ；A 、B 恰有一个发生的事件为A B ∪A B ；A 、B 至多有一个发生的事件为AB ∪A B ∪A B .对于求“至少”“至多”有关的事件时，常常先求其对立事件的概率. 有时也可以从对立事件入手求解．例3．某单位举办2010年广州亚运会知识宣传活动，进行现场抽奖．盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“亚运会会徽”5张或“乐羊羊”(亚运会吉祥物)图案4张；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“乐羊羊”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．求4位参加者进行现场抽奖中奖的人数．ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，16的分布列为P (ξ＝k )＝C k4⎝⎛⎭⎫16k⎝⎛⎭⎫564－k(k ＝0,1,2,3,4)；P (ξ＝0)＝C 04160564＝6251296， P (ξ＝1)＝C 1416563＝125324，P (ξ＝2)＝C 24162562＝25216，P (ξ＝3)＝C 3416356＝5324， P (ξ＝4)＝C 44164＝11296类题演练：在2010年“两会”期间，保就业成为代表委员以及公众关注的焦点．就业不仅被致公党中央提交为今年政协的“一号提案”，而且在温家宝总理与网民交流时也指出，“就业不仅关系一个人的生计，而且关系一个人的尊严”．面对新形势，某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力．每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列．[解答] 任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且P (A ) ＝0.6，P (B )＝0.75.(1)解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是P 1＝P (A ·B )＝P (A )·P (B ) ＝0.4×0.25＝0.1，所以该人参加过培训的概率是P 2＝1－P 1＝1－0.1＝0.9.解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是P 3＝P (A ·B )＋P (A ·B )＝0.6×0.25＋0.4×0.75＝0.45，该人参加过两项培训的概率是P 4＝P (A ·B )＝0.6×0.75＝0.45.所以该人参加过培训的概率是P 5＝P 3＋P 4＝0.45＋0.45＝0.9.(2)因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数ξ服从二项分布B (3,0.9)，P (ξ＝k )＝C k3×0.9k ×0.13－k ，k ＝0,1,2,3，即ξ的分布列是六、课堂小结：1．“相互独立”与“事件互斥”的区别两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响(如有放回的抽取模型)．两事件相互独立不一定互斥．2．条件概率的求法(1)利用定义，分别求出P(A)，P(AB)，得P(B|A)＝P ABP A；(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n(AB)，即P(B|A)＝n ABn A.3．相互独立事件同时发生的概率的求法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；(2)正面计算较繁或难于入手时，可以从其对立事件入手进行计算．4．独立重复试验独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．。
二项分布知识点范文
二项分布知识点范文二项分布是概率论中的一种离散概率分布，它描述了在n次独立重复实验中，成功事件发生k次的概率。
在二项分布中，每次实验只有两个可能的结果，通常被称为成功和失败。
成功事件的概率为p，失败事件的概率为q=1-p。
n次实验中成功事件发生k次的概率可以用二项系数来表示：P(X=k)=C(n,k)*p^k*q^(n-k)其中，C(n,k)表示组合数，表示从n个元素中选取k个元素的组合数。
二项分布的期望值和方差可以通过公式计算：E(X)=n*pVar(X) = n * p * q二项分布常常用于描述二元事件的概率。
例如，投掷一颗硬币n次，出现正面朝上的次数符合二项分布。
又如，生产线上的一个工人的错误率为p，对于一个产品的检查次数符合二项分布。
在实际应用中，二项分布有许多重要的性质和应用。
1.性质：-二项分布是离散分布，取值为非负整数。
-k可以是0到n之间的任意整数。
-二项分布的概率质量函数是对称的，即P(X=k)=P(X=n-k)。
2.参数估计：对于二项分布的参数估计，有多种方法可以使用。
其中最常见的方法是极大似然估计。
通过观测到的数据，我们可以建立似然函数，然后求出使得似然函数达到最大的参数估计值。
3.近似性质：当n较大时，二项分布可以用正态分布来近似。
这是由于当n趋于无穷大时，二项分布逐渐趋近于正态分布。
利用这个近似性质，我们可以使用正态分布的性质来估计二项分布的参数和进行统计推断。
这种近似在实际应用中经常被使用。
4.假设检验：二项分布也可以用于假设检验。
例如，在制药业中，我们可以将一个药物治疗群体的治愈率与安慰剂群体的治愈率进行比较。
如果治愈率的差异显著大于随机差异，就可以拒绝零假设。
5.置信区间：二项分布可以用于构建置信区间。
例如，对于一个新产品的市场推广，我们可以通过二项分布的性质来计算产品成功的置信区间，即我们对产品成功率的估计值所在的区间。
6.偏差校正：当样本的大小不同于总体大小时，估计的参数可能存在偏差。
二项分布的应用
二项分布的应用一、二项分布的基本概念在概率论和统计学中，二项分布是一种离散概率分布，用于描述在重复进行n次独立的伯努利试验中成功次数的概率分布。
这里的伯努利试验指的是只有两种可能结果的试验，例如投硬币的正面和反面。
二项分布的概率函数可以表示为：P(X=k)=C n k⋅p k⋅(1−p)n−k其中，X表示成功的次数，k表示成功的次数的取值，n表示试验的次数，p表示每次试验成功的概率，C n k表示组合数，即从n个元素中选择k个元素的组合数。
二、二项分布的应用场景二项分布在实际生活和科学研究中有广泛的应用。
下面我们将介绍几个常见的二项分布应用场景。
2.1 针头质量检验假设一家医疗器械公司生产了10,000支注射器，每支注射器的针头都通过了质量检验的成功率为0.95。
我们可以使用二项分布来估计在10,000支注射器中，合格的注射器数量的概率分布。
2.2 投资决策假设我们正在考虑投资一家初创公司，该公司有50%的概率在第一年实现盈利，如果盈利，则投资会有2倍的回报。
我们可以使用二项分布来计算投资成功的概率以及预期回报。
2.3 产品质量控制假设一家电子产品制造商在生产过程中有5%的概率出现某一组件错误。
为了保证产品质量，制造商进行了100次独立的质量检验。
我们可以使用二项分布来估计在100次质量检验中出现不合格产品的概率。
三、二项分布的计算方法对于二项分布的计算，可以使用Excel或统计软件进行求解。
下面我们将介绍使用Excel进行二项分布计算的方法。
3.1 Excel函数BINOM.DISTExcel中的BINOM.DIST函数可以用来计算二项分布的概率。
该函数的语法如下：BINOM.DIST(x, n, p, cumulative)其中，x表示成功的次数，n表示试验的次数，p表示每次试验成功的概率，cumulative表示是否计算累积概率。
通过调整这些参数，我们可以得到相应的二项分布概率值。
3.2 Excel示例假设我们有一个包含10个硬币的袋子，每个硬币正面的概率为0.6。
二项分布的原理及应用
二项分布的原理及应用1. 什么是二项分布？二项分布是概率论中的一种离散概率分布，描述了在一系列独立的伯努利试验中成功的次数。
在每次试验中，只有两个可能结果，成功（记为S）和失败（记为F），且这两个结果的概率是固定不变的。
二项分布将这些独立的试验作为一系列重复的伯努利试验，并计算在给定试验次数和成功概率下，成功次数的概率分布。
2. 二项分布的概率计算公式设每次伯努利试验中成功的概率为p，失败的概率为q=1-p。
进行n次独立的伯努利试验，成功的次数X服从二项分布。
其概率计算公式为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k)其中，C(n, k)表示从n个元素中取出k个元素的组合数。
3. 二项分布的特征与性质•期望：二项分布的期望为n*p，即试验次数乘以成功的概率。
•方差：二项分布的方差为n p q，其中q=1-p。
•归一性：二项分布的概率和为1，即所有可能的事件的概率之和等于1。
•对称性：若p=0.5，则二项分布是对称的，即成功和失败的概率相等。
4. 二项分布的应用二项分布在实际中有广泛的应用，并且具有很高的实用性。
以下列举了几个常见的应用场景：4.1 质量控制在质量控制领域，二项分布被广泛用于评估和控制产品的质量。
例如，一家医药公司生产的药丸中，有5%的概率出现无效的药丸（成功），95%的概率是有效的药丸（失败）。
为了控制产品质量，公司每次从生产线上随机抽取50个药丸进行检验。
利用二项分布，可以计算出在这50个样本中出现指定个数的成功（无效药丸）的概率。
如果成功的个数超过了一定的阈值，就需要进一步调查和控制生产过程。
4.2 市场调研二项分布还可以用于市场调研中，用来确定产品推广的成功率。
例如，一个公司推出了一个新产品，通过市场调研得知每个潜在客户购买该产品的概率为0.2。
为了确定在推广活动中需要投入的资源和费用，可以利用二项分布来计算在不同投入条件下，达到指定销量目标的概率。
这样可以帮助公司制定合适的推广策略，并为销售预期做出合理的评估。
二项分布性质及应用
二项分布性质及应用二项分布是一种概率分布，主要用来描述在进行一系列独立重复试验中，成功事件发生的次数在固定次数试验中出现的概率分布。
二项分布具有以下一些性质：1. 试验结果只有两种可能的结果，称为成功和失败，记为S和F。
2. 每次试验都是独立的，一次成功试验的结果不影响下一次试验的结果。
3. 每次试验的成功概率相同，并且在不同试验中保持不变。
根据以上性质，二项分布可以用来回答以下问题：1. 成功事件在一定次数试验中发生的概率：在进行一定次数的试验中，成功事件发生的概率可以用二项分布来计算。
例如，在投掷硬币的试验中，成功事件为正面朝上，可以根据硬币正反面的概率来计算在若干次投掷中，正面朝上的次数的概率。
2. 成功事件在某特定次数发生的概率：在进行若干次试验中，计算特定次数（例如恰好出现2次、3次等）成功事件发生的概率。
例如，在连续进行5次二项分布试验中，计算正面朝上出现2次的概率。
3. 成功事件在一定次数范围内发生的概率：在进行若干次试验后，计算成功事件在某个范围内（例如至少出现3次、最多出现4次等）发生的概率。
例如，在连续进行10次二项分布试验中，计算正面朝上至少出现3次的概率。
二项分布的应用非常广泛，以下是一些具体的应用场景：1. 市场调查：对于一个新产品的市场调查可以使用二项分布来判断在一定数量的受访者中，有多少人会购买该产品。
2. 投票预测：在选举前，可以使用二项分布来预测每个候选人获得特定票数的概率，以便进行选情分析。
3. 品质控制：在生产过程中，可以使用二项分布来判断产品在一定数量检验中有多少个不合格品。
4. 策略：在场景中，可以使用二项分布来计算在一定回合中成功的概率，以制定更有效的策略。
5. 统计推断：在进行A/B测试时，可以使用二项分布来计算不同测试组中成功事件的概率，以评估不同策略的效果。
总之，二项分布作为一种概率分布，可以用来描述成功事件在一定次数试验中的概率分布，并在许多领域中具有广泛的应用。
二项分布的应用
二项分布的应用二项分布是概率论中的一种离散概率分布，常用来描述二项试验中成功次数的分布情况。
在实际生活中，二项分布有着广泛的应用，涉及到多个领域，包括工程、医学、金融等。
本文将以几个典型的二项分布应用为例，介绍二项分布在实际问题中的作用。
我们来看一个简单的例子。
假设某电子产品的生产车间中有一台机器，每天生产的产品数量是固定的。
为了保证产品质量，该机器会以一定的概率产生不合格品。
现在我们想知道，在连续生产n个产品后，有多大的概率会出现m个不合格品。
这个问题可以用二项分布来解决。
二项分布的概率函数可以用来计算在n次独立重复试验中成功次数为m的概率。
在这个例子中，每次生产产品的结果都是独立的，且成功的概率是固定的。
因此，我们可以使用二项分布的概率函数来计算出在n次生产中出现m个不合格品的概率。
除了生产过程中的质量控制，二项分布还可以应用于一些金融问题。
例如，在股票市场中，我们常常关注某只股票在未来一段时间内的涨跌概率。
假设某只股票在每个交易日中以一定的概率上涨，以另一定的概率下跌。
我们可以用二项分布来模拟这个过程，并计算出在未来若干个交易日中，股票上涨次数超过某个特定值的概率。
这对于投资者来说是非常有价值的信息，可以帮助他们制定投资策略。
二项分布还可以应用于医学研究中。
例如，在进行药物临床试验时，研究人员常常需要知道某种药物对患者的治疗效果。
他们会将患者分为两组，一组服用药物，另一组不服用药物（作为对照组）。
然后，研究人员会记录每组患者的治疗结果，比较两组之间的差异。
这个比较过程可以用二项分布来描述。
假设治疗组中有一定比例的患者获得治愈，而对照组中的患者获得治愈的比例略低。
通过对两组患者进行统计分析，可以计算出治疗组的治愈率超过对照组的概率，从而判断该药物的疗效。
二项分布在实际生活中有着广泛的应用。
无论是质量控制、金融问题还是医学研究，二项分布都能提供有价值的信息。
通过对二项分布的应用，我们可以更好地理解和解决实际问题，为决策提供科学依据。
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专题：二项分布及其应用1． 条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号P (B |A )来表示，其公式为P (B |A )＝P (AB )P (A )(P (A )>0)． 在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则P (B |A )＝n (AB )n (A ). (2)条件概率具有的性质：①0≤P (B |A )≤1；②如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )．2． 相互独立事件(1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 是相互独立事件．(2)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )，P (AB )＝P (B |A )P (A )＝P (A )P (B )．(3)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．(4)若P (AB )＝P (A )P (B )，则A 与B 相互独立．3． 二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有__两__种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k (k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．1. 如图所示的电路，有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率都是12， 且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为_______________．2． 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．3． 某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．—⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪—元件1——元件2——元件3— 4． 把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则P (B |A )等于( ) A.12 B.14 C.16 D.185． 如果X ～B ⎝⎛⎭⎫15，14，则使P (X ＝k )取最大值的k 值为 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．3或4题型一 条件概率例1 在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率为________．如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则(1)P (A )＝________；(2)P (B |A )＝________.题型二 相互独立事件的概率例2 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116. (1)求乙投球的命中率p ；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率；(3)若甲、乙两人各投球2次，求共命中2次的概率．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)．题型三 独立重复试验与二项分布例3 某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后第2位)(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记X 为3人中参加过培训的人数，求X 的分布列．典例：一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13. (1)设X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X 的分布列； (2)设Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y 的分布列．A 组 专项基础训练一、选择题1． 从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( ) A.18 B.14 C.25D.12 2． 如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为 ( )A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.5763． 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.12B.35C.23D.344． 已知随机变量X 服从二项分布X ～B (6，13)，则P (X ＝2)等于 ( ) A.1316B.4243C.13243D.80243二、填空题 5． 明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．6． 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________．7． 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是________．三、解答题8． 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．9． 某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是13. (1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率； (2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率．B 组 专项能力提升一、选择题1． 某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.6，使用寿命超过2年的概率为0.3，则使用寿命超过1年的元件还能继续使用的概率为( ) A ．0.3 B ．0.5 C ．0.6 D ．12． 位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是 ( )A.⎝⎛⎭⎫125 B ．C 25⎝⎛⎭⎫12 5 C ．C 35⎝⎛⎭⎫123 D ．C 25C 35⎝⎛⎭⎫125 3． 两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.12B.512C.14D.16二、填空题4. 在一段线路中并联两个自动控制的常用开关，只要其中有一个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，则这段时间内线路正常工作的概率为_______．5. 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为________．6． 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立；④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．三、解答题7． 某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定，他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张，投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，他们的投票相互没有影响，规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目的投资．(1)求该公司决定对该项目投资的概率；(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率．P (C )＋P (D )＝1327.。
2.2二项分布及其应用
2.1 二项分布及其应用学习目标1.了解条件概率的概念，掌握求条件概率的方法；2. 理解两个事件相互独立的概念，会应用概率的乘法公式解决简单问题；3.理解n 次独立重复试验的模型，理解二项分布，能利用独立重复试验的模型和二项分布解决简单问题.学习过程探究1：条件概率中奖的概率分别是多少？最后一名同学中奖的概率是否比前两名同学小？（2）如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学中奖的概率又是多少？第一名同学的抽奖结果对最后一名同学中奖的概率有影响吗？（3）已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学中奖的概率呢？问题二：我们把“在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率”记作P(B A) ，请以问题一为例，探寻P(B A)与P( A), P(B) 的关系.新知1：阅读课本P52，了解条件概率的概念.反思：（1）P(B A) 与P(A B) 不一样，P(B A) 表示，P( A B) 表示.（2）在条件概率的定义中，强调P( A) 0 .（3）P( A B)P(B A) 可变形为P( AB) = .即在这三个值中可以知二求一.P(A)（4）条件概率的性质：①条件概率的取值范围：②如果 B 和C 是互斥事件，则P(B C A)例1：见课本P53 例1例2：见课本P53 例2方法总结：条件概率的计算方法练习：见课本P54 练习1,2探究2：事件的相互独立性三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学有放回地抽取，事件 A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件 B 为“最后一名同学抽到中奖奖券”，事件 A 的发生会影响事件 B 发生的概率吗？事实上，事件 A 的发生不会影响事件 B 发生的概率.那么，P(B A) = ，P( A B) =.我们称事件 A 与B 相互独立.即如果事件A的发生与否对事件B发生的概率没有影响，那么事件A与B相互独立.新知2：阅读课本P54，了解两个事件相互独立的概念反思：(1)如果事件 A 与 B 相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立.试证明这一结论.（2）比较互斥事件和相互独立事件：例3：见模块测评P34：例 1练习：（1）见课本P55练习1；（2）见模块测评P35 例1 的变式训练方法总结：如何判断两事件是否相互独立？例4; 见课本P54 例3练习：见课本P55 练习2，3探究3：独立重复试验与二项分布（1）新知3：阅读课本P56，了解n 次独立重复试验的概念反思：你如何理解课本中的（1）式：( ) ( ) ( ) ( )P A1A A n P A P A P A n2 1 2事实上，因为试验的条件相同，所以第n 次试验中事件A n 是否发生不受前面n-1 次试验结果的影响，即事件A与事件A1 A2 A n 1 ，从而有nP( A1A2 A n 1A n ) P( A1 A2 A n 1 )P( A n ) ，同样地，P( A1 A2 A n 2 A n 1 ) P( A1 A2 A n 2 )P( A n 1 ),...... ( ) ( ) ( )P A1A P A P A2 1 2因此，( ) ( ) ( ) ( )P A1 A A n P A P A P A n2 1 2。
36747_《二项分布及其应用-独立重复实验与二项分布》教案4(人教A版选修2-3)
2．2．3独立重复实验与二项分布教学目标：知识与技能：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。
过程与方法：能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美,体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题 教学难点：能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率mn总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ．3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率； 4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形5 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()m P A n=8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的10互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=- 12．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么 12()n P A A A +++＝12()()()n P A P A P A +++13．相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立14．相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅一般地，如果事件12,,,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅二、讲解新课：1 独立重复试验的定义：指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验 2．独立重复试验的概率公式：一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率kn kkn n P P C k P --=)1()(．它是[](1)nP P -+展开式的第1k +项3.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k kn n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：由于kn kkn qp C -恰好是二项展开式中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布（binomialdistribution)，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记kn k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．三、讲解范例：例1．某射手每次射击击中目标的概率是0.8.求这名射手在10次射击中， (1)恰有8次击中目标的概率；(2)至少有8次击中目标的概率．（结果保留两个有效数字．) 解：设X 为击中目标的次数，则X ～B(10,0.8). (1)在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为 P(X=8)＝88108100.8(10.8)0.30C -⨯⨯-≈.(2)在10次射击中，至少有8次击中目标的概率为 P(X ≥8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)0.68≈.例2．（2000年高考题）某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．解：依题意，随机变量ξ～B (2，5%)．所以，P (ξ=0)=02C (95%)2=0.9025，P (ξ=1)=12C (5%)(95%)=0.095，P (2=ξ)=22C (5%)2=0.0025．因此，次品数ξ的概率分布是例3．重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数记为ξ，求P(ξ>3)． 解：依题意，随机变量ξ～B ⎪⎭⎫⎝⎛61,5． ∴P (ξ=4)=6561445⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛C =777625，P (ξ=5)=55C 561⎪⎭⎫ ⎝⎛=77761．∴P (ξ>3)=P(ξ=4)+P (ξ=5)=388813例4．某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两个有效数字）：（1）5次预报中恰有4次准确的概率； （2）5次预报中至少有4次准确的概率 解：（1）记“预报1次，结果准确”为事件A ．预报5次相当于5次独立重复试验，根据n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率计算公式，5次预报中恰有4次准确的概率4454455(4)0.8(10.8)0.80.41P C -=⨯⨯-=≈答：5次预报中恰有4次准确的概率约为0.41.（2）5次预报中至少有4次准确的概率，就是5次预报中恰有4次准确的概率与5次预报都准确的概率的和，即答：5次预报中至少有4次准确的概率约为0.74．例5．某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是14，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？（结果保留两个有效数字）解：记事件A ＝“1小时内，1台机器需要人照管”，1小时内5台机器需要照管相当于5次独立重复试验1小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率55513(0)(1)()44P =-=， 1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率145511(1)(1)44P C =⨯⨯-， 所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为答：1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率约为0.37． 点评：“至多”，“至少”问题往往考虑逆向思维法例6．某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？解：设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击n 次 记事件A ＝“射击一次，击中目标”，则()0.25P A =．∵射击n 次相当于n 次独立重复试验， ∴事件A 至少发生1次的概率为1(0)10.75n n P P =-=-．由题意，令10.750.75n -≥，∴31()44n ≤，∴1lg4 4.823lg 4n ≥≈， ∴n 至少取5．答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击5次例7．十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？解：依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次 ∴从低层到顶层停不少于3次的概率设从低层到顶层停k 次，则其概率为k9999111C ()()()222k k k C -=， ∴当4k =或5k =时，9k C 最大，即991()2k C 最大，答：从低层到顶层停不少于3次的概率为233256，停4次或5次概率最大．例8．实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率． （2）按比赛规则甲获胜的概率．解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为12． 记事件A =“甲打完3局才能取胜”，记事件B =“甲打完4局才能取胜”，记事件C =“甲打完5局才能取胜”．①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜 ∴甲打完3局取胜的概率为33311()()28P A C ==． ②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负 ∴甲打完4局才能取胜的概率为2231113()()22216P B C =⨯⨯⨯=． ③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负∴甲打完5局才能取胜的概率为22241113()()()22216P C C =⨯⨯⨯=． (2)事件D ＝“按比赛规则甲获胜”，则D A B C =++， 又因为事件A 、B 、C 彼此互斥，故1331()()()()()816162P D P A B C P A P B P C =++=++=++=． 答：按比赛规则甲获胜的概率为12．例9．一批玉米种子，其发芽率是0.8.（1）问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%？（2）若每穴种3粒，求恰好两粒发芽的概率．（lg 20.3010=）解：记事件A ＝“种一粒种子，发芽”，则()0.8P A =，()10.80.2P A =-=，（1）设每穴至少种n 粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%． ∵每穴种n 粒相当于n 次独立重复试验，记事件B ＝“每穴至少有一粒发芽”，则0()(0)0.8(10.8)0.2n n n n P B P C ==-=．∴()1()10.2nP B P B =-=-．由题意，令()98%P B >，所以0.20.02n<，两边取常用对数得，lg0.2lg0.02n <．即(lg 21)lg 22n -<-，∴lg 22 1.69902.43lg 210.6990n ->=≈-，且n N ∈，所以取3n ≥．答：每穴至少种3粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%． （2）∵每穴种3粒相当于3次独立重复试验，∴每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为2230.80.20.384P C =⨯⨯==， 答：每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为0.384四、课堂练习：1．每次试验的成功率为(01)p p <<，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（）2．10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰有一人中奖的概率为（） 3．某人有5把钥匙，其中有两把房门钥匙，但忘记了开房门的是哪两把，只好逐把试开，则此人在3次内能开房门的概率是（）4．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（）5．一射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，则该射手打3发得到不少于29环的概率为．（设每次命中的环数都是自然数）6．一名篮球运动员投篮命中率为60%，在一次决赛中投10个球，则投中的球数不少于9个的概率为． 7．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8081，则此射手的命中率为． 8．某车间有5台车床，每台车床的停车或开车是相互独立的，若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为31，求：（1）在任一时刻车间有3台车床处于停车的概率；（2）至少有一台处于停车的概率 9．种植某种树苗，成活率为90%，现在种植这种树苗5棵，试求： ⑴全部成活的概率；⑵全部死亡的概率； ⑶恰好成活3棵的概率；⑷至少成活4棵的概率10．（1）设在四次独立重复试验中，事件A 至少发生一次的概率为8081，试求在一次试验中事件A 发生的概率（2）某人向某个目标射击，直至击中目标为止，每次射击击中目标的概率为13，求在第n 次才击中目标的概率答案：1.C 2.D 3.A 4.A 5.0.7846. 0.0467.238.（1）()323551240333243P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()()5552211113243P B P B C ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭9.⑴5550.90.59049C =；⑵5550.10.00001C =；⑶()3325530.90.10.0729P C =⋅=；⑷()()55450.91854P P P =+=10.(1)23P =(2)112()33n P -=⋅ 五、小结：1．独立重复试验要从三方面考虑第一：每次试验是在同样条件下进行第二：各次试验中的事件是相互独立的第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生2．如果1次试验中某事件发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率为k n k kn n P P C k P --=)1()(对于此式可以这么理解：由于1次试验中事件A 要么发生，要么不发生，所以在n 次独立重复试验中A 恰好发生k 次，则在另外的n k -次中A 没有发生，即A 发生，由()P A P =，()1P A P =-所以上面的公式恰为n P P ])1[(+-展开式中的第1k +项，可见排列组合、二项式定理及概率间存在着密切的联系六、课后作业：课本58页练习1、2、3、4第60页习题2.2B 组2、3 七、板书设计（略） 八、课后记： 教学反思：1.理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。
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2.概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系
P( AB) 表示在样本空间 中, 计算 AB发生
的概率, 而 P(B A ) 表示在缩小的样本空间 A 中, 计算 B 发生的概率.用古典概率公式, 则 AB 中样本点数 P( B A ) , A 中样本点数 AB 中样本点数 P( AB) 中样本点数 一般来说, P(B A ) 比 P( AB) 大.
例2
甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能 译出密码的概率分别为1/3和1/4。求 （1）两个人都译出密码的概率。 （2）两个人都译不出密码的概率。 （3）恰有一人译出密码的概率。 （4）至多一人译出密码的概率。 （5）至少一人译出密码的概率。
意义建构
在 n 次独立重复试验中，如果事件 Ａ在其中１次试验中发生的概率是Ｐ， 那么在n次独立重复试验中这个事件恰 好发生 k 次的概率是:
k k n- k Cn pq …
我们称这样的随机变量ξ服从二项分布,记作：
X~B(n,p)
例3 有10台同样的机器，每台机器的 故障率为3%，各台机器独立工作， 今配有2名维修工人，一般情况下， 1台机器出故障，1人维修即可，问 机器出故障无人维修的概率为多少？
二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系？
相互独立事件的概率
设A、B为两个事件，若事件A是否发生对事件B发生的 概率没有影响，即
P( AB) P( A) P( B)
则称事件A与事件B相互独立。 结论1：
结论2：
例1
在某次考试中，要从20道题中随机地 抽出6题，若考生至少能答对其中4道题 即可通过；若至少答对其中5题就获得 优秀，已知某考生能答对其中10题，并 且知道他在这次考试中已经通过，求他 获得优秀成绩的概率。
（其中k = 0，1，2，· · · ，n ）
二项分布
在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次 独立重复试验中这个事件恰发生X次,显然X是一个随机 变量. 于是得到随机变量ξ的概率分布如下： X 0 1 … k … n
n n 0 Cn pq
p
Байду номын сангаас
0 0 n 1 1 n -1 Cn p q Cn pq …
, m) (其中 m min( M , n)
例4
一名学生骑自行车上学，从他家到学校 的路途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗 遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都 是1/3。 （1）设X为这名学生在路途中遇到的红灯的 次数，求X的分布列。 （2）设 Y为这名学生在首次停车前经过的路 口数，求的分布列。 （3）求这名学生在路途中至少遇到一次红灯 的概率。
1．两点分布是特殊的二项分布 (1 p)
2．一个袋中放有 M 个红球，( N - M )个白球，依次从袋中 取 n 个球，记下红球的个数 .
M ⑴如果是有放回地取，则 B( n, ) N ⑵如果是不放回地取 , 则 服从超几何分布.
k n- k CM CN -M P ( k ) (k 0,1, 2, n CN
k k n -k Pn ( k ) C n P (1 P ) ( k 0 ,1, 2 , L n ).
独立重复试验
1).公式适用的条件 2).公式的结构特征
事件 A 发生的概率
k n
事件 A发生的概率
k n- k
Pn ( k ) C p (1 - p)
实验总次数 事件 A 发生的次数
再见