河南科技大学线性代数试题总汇【完整版】

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线性代数

历年试题及参考答案

河南科技大学

2000年-2004年

1999级线性代数试题

一、 判断题：〔共24分〕

1 假设A ，B 均为n 阶方阵，那么必有： （1） AB ＝BA ( ) （2） |AB|＝|BA| ( ) （3） |A+B|＝|A|＋|B| ( ) （4） ()T T T

B A AB = ( )

（5） ()222

2B AB A B A ++=+ ( )

（6） R 〔AB 〕＝R 〔BA 〕 ( ) （7） 假设 A 2＝0，那么A ＝0 ( ) （8） 假设A T A ＝0，那么A ＝0 ( ) 2〔8分〕假设A 是m ×n 矩阵，且m ≠n ，那么

（1） 当A 的列向量组线性无关时，A 的行向量组也线性无关 ( ) （2） 当R(A)=n 时，齐次线性方程组AX ＝0只有零解 ( ) （3） 当R(A)=n 时，非齐次线性方程组AX ＝b ，有唯一解 ( ) （4） 当R(A)=m 时，非齐次线性方程组AX ＝b ，有无穷多解 ( ) 3〔8分〕假设A 是实对称矩阵，那么 （1） A 的特征值全为实数 ( )

（2） A 为正定矩阵的充要条件是A 的特征值全为正 ( ) （3） 假设|A|＞0，那么A 为正定的 ( )

（4） 在二次型f ＝X T AX 中，假设经实满秩线性变换X ＝CY ，可将f 化

为

标准形2

222211n

n y k y k y k f +++= 那么n k k k ,,,21 全为A 的特征值( ) 二、 填空题〔19分〕

1 〔4分〕设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=v x C y v u B y x A 43,2,70且A ＋2B ＝C ，

那么x=_____, y=______, u=_____, v=_______

2 〔6分〕假设A 为四阶方阵，且|A|＝3，A ＊为A 的伴随矩阵，那么 |－2A|＝＿＿，|A －1|＝＿＿， |A ＊|＝＿＿

3 〔3分〕方阵⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=402030201A 的特征值为＿＿，＿＿，＿＿

4 〔4分〕四元非线性方程组的系数矩阵A 的秩为3，321,,ηηη是它

的三个解向量，且T T )5,4,3,2(,)4,3,2,1(321=+=ηηη，那么对应齐次方程组AX ＝0的根底解系是＿＿＿＿ ，AX ＝b 的通解是＿＿＿

5 二次型3231212

322212222x x x x x x x x x f --+++=所对应的矩阵是＿＿

三、 〔10分〕1、计算0

321

10322103

3

210 2 、A =⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡--10

41000034

0043

求1

-A 及8A 四、 〔10分〕设⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-=311011322A ，且B A AB +=，求B

五、 〔15分〕验证二次型3231212

32221662355x x x x x x x x x f -+-++=的

特征值为4，9，0，求一个正交变换，将此二次型化为标准形。〔要

求写出正交变换矩阵及f 的标准形〕

六、 (12分)设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4111α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=5122α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1023a α，⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=b 01β

试问当a ，b 满足什么条件时，

〔1〕β可由321,,ααα线性表示，且表示式唯一； 〔2〕β不可由321,,ααα线性表示

〔3〕β可由321,,ααα线性表示，但表示式不唯一写出一般表达式 七、 〔10分〕证明题

1 假设A ，B 均为n 阶正交矩阵，试证明AB 也是正交矩阵。

2 假设1ξ和2ξ是齐次线性方程组AX=0的根底解系， 211ξξη+=，

212ξξη-=,试证明21,ηη也是AX=0的根底解系。

1999级线性代数参考答案

一、1、×√×××××√ 2、×√×√

3、√√××

二、1、-5，-6，4，-2

2、48，3

1

，27

3、3，0，5

4、⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=3210η，1ηη+k

5、⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛----111121

111 三、解：1、

1

21012101

23011116

03211032210311

11603211032210366660321103221033210------===

964

00004001

2101111

6-=---=

2、记⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3443B 、⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=1041C 那么：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-34432511

B 、⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=-10411C , 25=B 、1-=C

故：⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛--=

⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛=---1000

41000025325400254253111C B

A ， 888

25)(==C B A

四、解：由B A AB +=可得：()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=-331342011

1

A E A B

五、解：该二次型的矩阵为：⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛----=333351315A

由特征方程0)9()4(333351

3

1

5=--=-------=-λλλλ

λλ

λE A 得特征值0,9,4321===λλλ 当41=λ，解齐次方程0)4(=-x E A

⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-4000003111333113114E A 根底解系()T

0111=ξ

单位化：⎪

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛==011211111ξξp 当92=λ，解齐次方程0)9(=-x E A