上海市格致中学2019届高三数学三模试题卷附答案解析

上海市格致中学2019届高三数学三模试题
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为2cos 1sin x t y t α
α
=+⎧⎨
=-+⎩，当()[ ,)0ααπ∈为常数，t 为参数，方程表示的曲
线为1C :当α为参数，() 0t
t >为常数时，方程表示的曲线为2C .下列关于1C ，2C 叙述正确的是（ ）.
A ．1C 与2C 没有公共点
B ．1
C 与2C 有且只有一个公共点 C ．1C 与2C 有且只有两个公共点
D ．1C 与2C 至少有三个公共点
2．明代数学家程大位(1533-1606 年)所著《算法统宗》中有这样一个问题:“旷野之地有个桩，桩上系着一腔羊，团团踏破三亩二。

试问羊绳几丈长”意思是“一条绳索系着一只羊，羊踏坏一块面积为3.2亩的圆形庄稼，试求绳的长度(即圆形半径)”(明代度量制:1步=5尺，1亩=240平方步，1丈=10尺，圆周率3.) （ ）. A ．6丈
B ．8丈
C ．12丈
D ．16丈
3．一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为（ ）. A
． B
．arcsin
C
． D
． 4．已知函数()1 2f x x x x =++--, 则函数()()()1g x f f x =+的零点有（ ）.
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．多于3个
二、填空题 5．已知集合
{}
{}13,A x x B x x a =-<=<, 若A B ⋂≠∅,则实数a 的取值范围是__________．
6．已知直线1:210l x y ++=与2: 240l x by +-=平行，则1l 与2l 的距离为__________．
7．已知点
()3,9在函数()1x f x a =+的图像上，() y f x =的反函数为()1y f x -=,则()111f -=_____．
8．已知,x y 满足22036040x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪+-≤⎩
,则2z x y =-的最小值等于__________．
9．一圆柱的主视图与左视图都是长为4,高为3的矩形，则此圆柱的表面积为__________． 10．已知
()
2
34a bi i +=+，其中a ，b R ∈，i 是虚数单位，则22a b +的值为________.
11．在23n
x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的二项式中，有且只有第五项的二项式系数最大，则()0
121111242
n n
n
n n n n C C C C -+-+-=L _________．
12．某工厂生产某种零件需要经过两道工序，在第一、二道工序中生产出废品的概率分别为0.01与0.03，每道工序生产废品相互独立，那么经过两道工序后得到的零件是合格品的概率等于__________．(精确到0.01)
13．已知PA 垂直于ABC ∆所在平面,D α为BC 的中点，又, PB PD PC ，与平面α所成的角分别为604530︒o o ，，，
若6BC
=,则PA = __________．
14．已知集合
,A B 都含有12个元素，A B 含有4个元素，集合C 含有3个元素，且满足:,C A B C A ⊆≠∅U I ，
则满足条件的集合C 共有__________个 15．设函数
()142
x x f x x -=-，则不等式()
()2
1570f x f x -+-<的解集为________.
16．在边长为8的正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，N 是DA 边上的一点，且3DN NA =,若对于常数m ,在
正方形ABCD 的边上恰有6个不同的点P 满足: PM PN m ⋅=uuu r uuu r
,则实数m 的取值范围是__________．
三、解答题 17．如图，正方体
1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,BD B C 上的点.
(1)若,E F 分别是1,BD B C 上的中点，求证:BC EF ⊥;
(2)若112
3
BE B F B C ==
,求直线EF 与CD 所成角的大小.
18．已知函数()()
21,f x cosx cosx x R =+-∈.
(1)求函数()f x 的最大值及取得最大值时x 的取值集合;
(2)设点()(),1,2,3...n
n n P x y n =都在函数()y f x =的图像上，且满足:16
x π
=,()*
13
n n
x x n N π
+-=
∈，求:122018.....y y y +++的值.
19．已知某种气垫船的最大航速是48海里小时，船每小时使用的燃料费用和船速的平方成正比.若船速为30海里小时,则船每小时的燃料费用为600元，其余费用(不论船速为多少)都是每小时864元。

甲乙两地相距100海里，船从甲地匀速航行到乙地.
(1)试把船从甲地到乙地所需的总费用y ，表示为船速x (海里小时)的函数，并指出函数的定义域;
(2)当船速为每小时多少海里时，船从甲地到乙地所需的总费用最少?最少费用为多少元?
20．双曲线22
:145
x y C -=的左右焦点分别为12,F F ,左右项点分别为,A B ,点P 是C 上的动点.
(1)若点P 在第一象限， 且12
2PF PF =,求点P 的坐标;
(2)点P 与
,A B 不重合，直线,PA PB 分别交y 轴于,M N 两点，求证: MN >
(3)若点P 在左支上，是否存在实数t ,使得P 到直线x t =的距离与1
PF 之比为定值?若存在，求出t 的值，若不存在，
说明理由.
21．对于给定的正整数k ，若无穷数列
{}n a 对于任意的()*n k n N >∈都满足:
11112n k n k n n n k n k n a a a a a a ka --+-++-++++++++=L L ,则称数列{}n a ,是()H k 数列.
(1)若2(,,0)n
a tn sn t s R t =+∈≠,判断{}n a 是否为()2H 数列,说明理由;
(2)若数列
{}n a 既是()2H 数列又是()3H 数列，求证:数列{}n a 是等差数列.
解析
上海市格致中学2019届高三数学三模试题
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为2cos 1sin x t y t α
α
=+⎧⎨
=-+⎩，当()[ ,)0ααπ∈为常数，t 为参数，方程表示的曲
线为1C :当α为参数，() 0t
t >为常数时，方程表示的曲线为2C .下列关于1C ，2C 叙述正确的是（ ）.
A ．1C 与2C 没有公共点
B ．1
C 与2C 有且只有一个公共点 C ．1C 与2C 有且只有两个公共点
D ．1C 与2C 至少有三个公共点
【答案】C
【解析】由题意当t 为参数时曲线1C 为直线, α
为参数时曲线2C 为圆,再根据直线过的定点与圆心进行判断即可.
【详解】
由题得当t 为参数时曲线1C 为过点(2,1)-倾斜角为α直线,
当α为参数时曲线2C 为以(2,1)-为圆心,半径为t 的圆.因为直线过圆心,所以1C 与2C 有且只有两个公共点. 故选：C 【点睛】
本题主要考查直线与圆的标准参数方程,属于基础题型.
2．明代数学家程大位(1533-1606 年)所著《算法统宗》中有这样一个问题:“旷野之地有个桩，桩上系着一腔羊，团团踏破三亩二。

试问羊绳几丈长”意思是“一条绳索系着一只羊，羊踏坏一块面积为3.2亩的圆形庄稼，试求绳的长度(即圆形半径)”(明代度量制:1步=5尺，1亩=240平方步，1丈=10尺，圆周率3.) （ ）. A ．6丈 B ．8丈
C ．12丈
D ．16丈
【答案】B
【解析】由题得已知圆的面积,求圆的半径即可,注意单位的转换即可. 【详解】
由题得面积为3.2亩,即3.2240768⨯=平方步,由圆的面积设半径r 步,则2768r π=,
取3π
=则2256r =,16r =步,又1丈=10尺, 1步=5尺,故1丈=2步,故16r =步8=丈,
故选：B 【点睛】
本题主要考查圆的面积公式,注意单位转换即可,属于简单题.
3．一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为（ ）.
A ．1
arccos 2
B ．1
arcsin
2
C ．1
arccos
2
D ．1arcsin
2
【答案】B
【解析】由题意设Rt
ABC 中2
C π
=
,且
A 最小内角,由题可得2sin sin
B A =,根据,A B 互余求出sin A ,进而求得
A
【详解】 设Rt
ABC 中2
C π
=
,且
A 最小内角,由题可得2sin sin
B A =,
2222sin ()sin cos sin 1sin sin sin sin 102
A A A A A A A A π
-=⇒=⇒-=⇒+-=
故sin
A =
又sin 0A >,
故sin A =
故A =
故选：B 【点睛】
本题主要考查了三角函数同角公式与诱导公式等,属于基础题型. 4．已知函数()1 2f x x x x =++--, 则函数()()()1g x f f x =+的零点有（ ）.
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．多于3个
【答案】C 【解析】由()1 2f x x x x =++--可写成分段函数的形式,再画图数形结合进行分析即可.
【详解】
由题得
()3,(1)
1,(10)31,(02)3,(2)
x x x x f x x x x x --≤-⎧⎪--<≤⎪=⎨-<≤⎪⎪+>⎩,则可画出图像
若()()()10g
x f f x =+=,令()t f x =
则()1f t =-,由图得2,0t =-,
由图像得2t =-与0t =与()f x 共有3个交点.即()()()
1g x f f x =+有三个零点.
故选：C 【点睛】
本题主要考查绝对值函数的方法,同时注意数形结合的思想.属于中等题型.
二、填空题
5．已知集合
{}
{}13,A x x B x x a =-<=<, 若A B ⋂≠∅,则实数a 的取值范围是__________．
【答案】(2,)-+∞ 【解析】先求出集合A 中的取值范围.,再根据数轴分析a 的取值范围即可.
【详解】 由13x -<可得313,24x x -<-<-<<,所以{}|24A x x =-<<
又
A B ⋂≠∅,观察数轴可知,2a >-,即(2,)a ∈-+∞
故答案为：(2,)-+∞ 【点睛】
本题主要考查集合之间的关系求参数范围,属于简单题型. 6．已知直线1:210l x y ++=与2
: 240l x by +-=平行，则1l 与2l 的距离为__________．
【解析】取2:240l x by +-=上一点(2,0)再计算(2,0)到1:210l x y ++=的距离即可.
【详解】 由2
:240l x by +-=过(2,0),且平行线间的距离处处相等,故1l 与2l 的距离
d =
=
=
故答案为：5
【点睛】
本题主要考查线线间的距离,可直接在一条线上取点求到另一直线的距离即可. 7．已知点
()3,9在函数()1x f x a =+的图像上，() y f x =的反函数为()1y f x -=,则()111f -=_____．
【答案】21log 5+ 【解析】先代入()3,9求得()f x 表达式,再根据反函数的性质求()111f -即可.
【详解】 因为点()3,9在函数()1x f x a =+的图像上,故391,2a a =+=,所以()21x f x =+,
又当
()2111x f x =+=时,2210,log 10x x ==,所以()21x f x =+过2(log 10,11)
故
()1y f x -=过2(11,log 10),故()221log 101log 511f -=+=.
故答案为：21log 5+ 【点睛】
本题主要考查反函数的应用,若原函数过(,)a b 则反函数过(,)b a 属于基础题型.
8．已知,x y 满足22036040x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪+-≤⎩
,则2z x y =-的最小值等于__________．
【答案】6-
【解析】画出可行域分析取最小值的点再代入计算即可. 【详解】
画出对应三条直线分析可得可行域为ABC △
由2z
x y =-有11
22
y x z =
-,故2z x y =-在B 处取得最小值. 所以22203
4010
3x x y x y y ⎧
=
⎪-+≥⎧⎪⇒⎨⎨+-≤⎩⎪=⎪⎩
,即210(,)33B ,故最小值2102633z =-⨯=-
故答案为：6- 【点睛】
本题主要考查简单的线性规划问题,属于基础题型.
9．一圆柱的主视图与左视图都是长为4,高为3的矩形，则此圆柱的表面积为__________． 【答案】20π
【解析】分析可得圆柱底面半径为2,高为3,再计算上下底面与侧面积之和即可. 【详解】
由题得该圆柱底面为4,高为3,故底面半径为2,则表面积22222320S πππ=⨯+⨯⨯=
故答案为：20π 【点睛】
本题主要考查圆柱的表面积问题,属于基础题型. 10．已知
()
2
34a bi i +=+，其中a ，b R ∈，i 是虚数单位，则22a b +的值为________.
【解析】【详解】 由
()
2
34a bi i +=+得2
34a bi i
+=+，即225a b +=.
故答案为：5
11．在23n
x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的二项式中，有且只有第五项的二项式系数最大，则()0
121111242
n n
n
n n n n C C C C -+-+-=L _________． 【答案】
1
256
【解析】先根据只有第五项的二项式系数最大求得n , 再根据()0
1211111(1)2422
n n n n n n n n C C C C -+-+-=-L 求解即可. 【详解】
由题意得第五项的二项式系数为4
n C ,又只有第五项的二项式系数最大则8n =,
又因为()0
12111111(1)24222n n n n
n n n n n C C C C -+-+-=-=L ,当8n =时
811
2256
=
故答案为：
1256
【点睛】
本题主要考查二项展开式及其最值问题,属于中等难度问题.
12．某工厂生产某种零件需要经过两道工序，在第一、二道工序中生产出废品的概率分别为0.01与0.03，每道工序生产废品相互独立，那么经过两道工序后得到的零件是合格品的概率等于__________．(精确到0.01) 【答案】0.96
【解析】根据在第一、二道工序中生产出废品的概率分别为0.01与0.03可以计算出不产出废品的概率,再利用乘法原理计算即可. 【详解】
由第一、二道工序中生产出废品的概率分别为0.01与0.03,且每道工序生产废品相互独立可得,经过两道工序后得到的零件是合格品的概率为(10.01)(10.03)0.96030.96--=≈ 故答案为：0.96 【点睛】
本题主要考查互相独立事件概率乘法公式,属于简单题.
13．已知PA 垂直于ABC ∆所在平面,D α为BC 的中点，又, PB PD PC ，与平面α所成的角分别为604530︒o o ，，，
若6BC
=,则PA = __________．
【答案】
2
【解析】画图分析线面垂直的关系,再设AB 长为x 算出底面的所有线段长度,再利用,ADB ADC 行
互补利用余弦关系求解即可.
画出图像,
易得,,PBA PDA PCA ∠∠∠分别为604530︒o o ，，.
设
AB 长为x ,则tan PA AB PBA =⋅∠=,设,ADB ADC θπθ∠=∠=-
tan PA AD PDA =
=∠, 3tan PA
AC x PCA
==∠,
故在,ABD ACD ∆∆中,
222
cos 2AD BD AB AD BD
θ+-=
⋅ ,
222
cos()cos 2AD CD AC AD CD
πθθ+--==-⋅
代入得22cos
θ=
,22
cos θ-=
22220
=,故2222393990x x x x +-++-=,
得2
92x
=
,2x =所以PA ==
【点睛】
本题主要考查立体几何中的解三角形问题,底面分成两个三角形,故可以利用互补的两个角度的余弦值互为相反数,再利用余弦定理求解即可. 14．已知集合
,A B 都含有12个元素，A B 含有4个元素，集合C 含有3个元素，且满足:,C A B C A ⊆≠∅U I ，
则满足条件的集合C 共有__________个 【答案】1084
【解析】先分析,A B 的元素总数为20,再利用总的情况3
20C 减去只在B 中选取的总情况数3
8C 即可. 【详解】
,A B 都含有12个元素,A B 含有4个元素,故,A B 共有12+12420-=个元素,
又C
A B ⊆⋃,故C 中的元素也来自于,A B 共有的20个元素.若不考虑C A ≠∅I 则一共有3
20
C 种组合,其中包含了C A =∅I 的情况,共有33
20128C C -=
故共有3
3
20
8201918876
1084123123
C C ⨯⨯⨯⨯-=
-=⨯⨯⨯⨯
故答案为：1084 【点睛】
本题主要考查排列组合中求事件反面的方法,对于C A ≠∅I 类似的情况可以先求总的情况数,再减去C A =∅I 的情
况简化计算.属于基本题型. 15．设函数
()142
x x f x x -=-，则不等式()
()2
1570f x f x -+-<的解集为________.
【答案】
()2,3
【解析】【详解】 因为
()()1441
22
x x x x f x x x f x -----=+=+=-，所以()f x 是奇函数。

()142
x x f x x -=-=1()22x x
x --，由于1(),2,2x x y y y x ==-=-都是定义域上的减函数， 所以函数f(x)是R 上的减函数，（减函数+减函数=减函数）. 由
()
()21570f x f x -+-<，得()()2571
f x f x -<-，所以2
571x x
->-.即2560x x -+<，解之得：
23x <<.
故答案为：
()2,3
16．在边长为8的正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，N 是DA 边上的一点，且3DN NA =,若对于常数m ,在
正方形
ABCD 的边上恰有6个不同的点P 满足: PM PN m ⋅=uuu r uuu r
,则实数m 的取值范围是__________．
【答案】(1,8)-
【解析】本题有正方形,故可以建系计算平面向量数量积,将PM PN ，uuu r uuu r
转换为向量坐标运算,再数形结合转换为圆与正方形的交点,再分析实数m 的取值范围即可. 【详解】 以点
A 为坐标原点,建立如图平面直角坐标系
则(8,4)M ,(0,2)N ,设(,)P x y 则(,2)PN
x y =--,(8,4)PM x y =--
又 PM PN m ⋅=uuu r uuu r 有22868x x y y m -+-+=化简得22
(4)(3)17x y m -+-=+
其几何意义为以(4,3)为圆心,半径的平方为17m +的圆. 又在正方形
ABCD 的边上恰有6个不同的点P 满足: PM PN m ⋅=uuu r uuu r
,
则圆2
2(4)
(3)17x y m -+-=+与正方形ABCD 的边有6个不同点.
临界条件为圆与
,AD BC 相切时半径取最小值4,圆过,A B
故圆的半径r 满足45r << ,即224175m <+<,即18m -<<
故答案为：(1,8)- 【点睛】
本题主要考查平面向量的坐标用法以及数形结合的思想等,属于中等题型.
三、解答题 17．如图，正方体
1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,BD B C 上的点.
(1)若,E F 分别是1,BD B C 上的中点，求证:BC EF ⊥;
(2)若112
3
BE
B F B
C ==
,求直线EF 与CD 所成角的大小. 【答案】(1)见解析；
(2)
【解析】(1)由正方体,可以直接以D 为坐标原点建立空间直角坐标系,再证明0BC EF ⋅=即可.
(2)根据112
3
BE B F B C ==
求得EF 再计算EF 与CD 所成角的大小即可. 【详解】
(1)证明：以D 为坐标原点,1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立如图空间直角坐标系.
设正方体棱长为a ,则(
,,0),(,,)2222a a a a E F a ,故(0,,)22a a
EF =.又(,0,0)BC a =- 则0()00022
a a
EF BC a ⋅=⨯-+⨯+⨯=,故BC EF ⊥.
(2)由(1)的坐标系有当112
3BE
B F B
C ==
时,12133
EF EB BC CF DB BC CB =++=++, 又1(0,0,0),(,,0),(0,,0),(,,)D B a a C a B a a a , 故1(,,0),(,0,0),(,0,)DB a a BC a CB a a ==-=
所以
1212121
(,,0)(,0,0)(,0,)(0,,)333333
DB BC CB a a a a a a a ++=+-+=, 即21
(0,,)33
EF a a =,又(0,,0)CD a =-,故EF 与CD 所成角的大小θ满足
2222cos 5
a a
EF CD EF EF
θ⋅====
故夹角arccos
5
θ=
【点睛】
本题主要考查建立空间直角坐标系进行空间角度的计算的方法,属于中等题型.
18．已知函数()()
21,f x cosx cosx x R =+-∈.
(1)求函数()f x 的最大值及取得最大值时x 的取值集合;
(2)设点()(),1,2,3...n
n n P x y n =都在函数()y f x =的图像上，且满足:16
x π
=,()*
13
n n
x x n N π
+-=
∈，求:122018.....y y y +++的值.
【答案】(1) ()f x 的最大值为2,取得最大值时x 的取值集合为|6x x k ππ⎧
⎫=+⎨⎬⎩
⎭,()k ∈Z ;
(2) 1
【解析】(1)利用降幂公式将()()
21f x cosx cosx =-化简为2sin(2)6
x π
+,再分析最大值时x 的取值集合
即可. (2)将点()(),1,2,3...n
n n P x y n =代入2sin(2)6
x π+求得,n n x y 的关系,再根据正弦函数周期性求得
122018.....y y y +++即可.
【详解】
(1)
()()
2212cos 1cos cos 22f x cosx cosx x x x x x =+-=-+=+
12(cos 22)2sin(2)26
x x x π
=+=+,故()2sin(2)6f x x π=+,最大值为2,
当
()f x 的最大值时226
2
x k π
π
π+
=+
,即223
6
x k x k π
π
ππ=+
⇒=+
,()k ∈Z
即
()f x 的最大值为2,取得最大值时x 的取值集合为|6x x k ππ⎧
⎫=+⎨⎬⎩
⎭,()k ∈Z
(2) 点()(),1,2,3...n n n P x y n =在()f x 上则2sin(2)6
n n
y x π
=+, 又16x π=,()*
13n n x x n N π+-=∈,故n x 是以16
x π=为首项,3π为公差的等差数列.
故(1)6336
n x n n ππππ=+-=-,
故22sin(2)2sin[2()]2sin()636636
n n n y x n ππππππ
=+=-+=-
所以
122018.....y y y +++
246220182sin()2sin()2sin()...2sin()36363636ππππππππ⨯=-+-+-++-
711220182sin 2sin 2sin ...2sin()26636
πππππ⨯=++++-
分析可得
1234562,1,1,2,1,1y y y y y y ==-=-==-=-,所以函数2sin(2)6
n n y x π
=+
周期为3.故122018.....y y y +++672(211)211=⨯--+-=
【点睛】
本题主要考查二倍角公式与三角函数周期性,属于中等题型.
19．已知某种气垫船的最大航速是48海里小时，船每小时使用的燃料费用和船速的平方成正比.若船速为30海里小时,则船每小时的燃料费用为600元，其余费用(不论船速为多少)都是每小时864元。

甲乙两地相距100海里，船从甲地匀速航行到乙地.
(1)试把船从甲地到乙地所需的总费用
y ，表示为船速x (海里小时)的函数，并指出函数的定义域;
(2)当船速为每小时多少海里时，船从甲地到乙地所需的总费用最少?最少费用为多少元? 【答案】(1)
20086400
,(048)3y x x x
=
+<≤ ； (2)当船速为每小时36海里时,船从甲地到乙地所需的总费用最少为4800元 【解析】(1)由题意先设船速为x ,则每小时燃料费2E ax =,求得参数a ,再写出自变量取值范围即可.
(2)由(1)中的表达式可知利用基本不等式求最小值. 【详解】
(1) 设船速为x ,则每小时燃料费2
E ax
=,根据题意有260030a =,故2
3
a
=
,223E x =,
则从甲地到乙地所需时间为
100
x
小时. 故总费用2210010020086400
86433y x x x x x
=⨯+⨯=+
. 又最大航速是48海里小时故048x <≤
(2)由(1) 20086400
,(048)3y x x x
=+<≤；
故
2008640048003y x x =
+≥==, 当且仅当
20086400
3x x
=
即36x =时取得最小值. 故当船速为每小时36海里时,船从甲地到乙地所需的总费用最少为4800元 【点睛】
本题主要考查函数的实际运用,注意分析自变量与因变量的关系,同时注意取值范围.本题也考查了基本不等式的用法,属于中等题型.
20．双曲线22
:145
x y C -=的左右焦点分别为12,F F ,左右项点分别为,A B ,点P 是C 上的动点.
(1)若点P 在第一象限， 且
12
2PF PF =,求点P 的坐标;
(2)点P 与
,A B 不重合，直线,PA PB 分别交y 轴于,M N 两点，求证
: MN >
(3)若点P 在左支上，是否存在实数t ,使得P 到直线x t =的距离与1
PF 之比为定值?若存在，求出t 的值，若不存在，
说明理由.
【答案】
(1)P ；(2)见解析；(3) 43
t =-
【解析】(1)根据
12
2PF PF =与
1224PF PF a -==可算得2
PF 再设点列式求得P 的坐标即可.
(2)设00(,)P x y 再利用三点共线斜率相等求得,M N 的坐标,
再表达证明MN >.
(3) 设00(,)P x y 再表达出P 到直线x t =的距离与1
PF 之比,化简求得对应的表达式再分析t 的取值即可.
【详解】
(1)双曲线22
:145x y C -=中2,24a a ==,故121
224PF PF PF PF ⎧=⎪⎨
-=⎪⎩,算得24PF =, 设00(,)P x y 则将2
2
00(3)16x y -+=,带入2200145
x y -=22
00(3)5(1)164x x ⇒-+-=
即2
038160x x --=,00(4)(34)0x x -+=,因为P 在第一象限,所以02x ≥故04x =
代入22
:145
x y C -=
可得y =
故P
(2) 由(2,0),(2,0)A B -,设00(,)P x y ,(0,)M M y ,(0,)N N y 则由题意
0000220(2)2M
M y y y y x x =⇒=+--+ , 000022022
N N y y y y x x -=⇒=---
故002(0,
)2y M x +,002(0,)2y N x --,所以00002000224+224y y x y x x x MN =+-=-,又因为2200145
x y -=, 所以2
20
0445x y -=
,0y =
代入得
2
0424M N x x ==-=
,因为20
4
1(0,1)x -
∈,所以
>
即MN >(3) 设00(,)P x y ,因为2200145
x y -=所以2
2005(4)4y x =-
所以
2222
02
00002
222221
001
0000
()()()()()59(3)(3)(4)6444
x t x t x t x t x t PF x y PF x x x x -----=
===
++++-++
2
22
0002220000()()()49944964()()4433
x t x t x t x x x x ---===++++为定值,则4
3
t =-
故存在4
3
t
=-
使得P 到直线x t =的距离与1PF 之比为定值.
【点睛】
本题主要考查双曲线中设点表达题目所给条件的方法,主要是根据所设的点00(,)P x y 在双曲线上满足双曲线的方程从而进行对题目条件的翻译与化简等.属于综合题型. 21．对于给定的正整数k ，若无穷数列
{}n a 对于任意的()*n k n N >∈都满足:
11112n k n k n n n k n k n a a a a a a ka --+-++-++++++++=L L ,则称数列{}n a ,是()H k 数列.
(1)若2(,,0)n
a tn sn t s R t =+∈≠,判断{}n a 是否为()2H 数列,说明理由;
(2)若数列
{}n a 既是()2H 数列又是()3H 数列，求证:数列{}n a 是等差数列.
【答案】(1)
{}n a 不为()2H 数列；(2)见解析
【解析】(1)直接根据()2H
数列的定义写出满足的关系式,再分析是否成立即可.
(2)根据等差数列的定义以及题目所给的()2H
数列()3H 数列满足的条件,拼凑出112,(4)n n n a a a n -+=+≥再分析
12,a a 的情况即可.
【详解】 (1)由题意1222
12(2)(2)(1)(1)n n n n t n s n a a a t n s n a --++-+-+-++=-+++
22(1)(1)(2)(2)t n s n t n s n +++++++=24104tn t sn ++
又2444n
a tn sn =+,又因为0t ≠,所以224144404n a tn sn tn t sn =+≠++
故
{}n a 不是()2H 数列.
(2)由题得当4n
≥时,因为 {}n a 是()3H 数列故
3211236n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=①
又
{}n a 是()2H 数列故
32114n n n n n a a a a a --+-+++=② 12314n n n n n a a a a a -++++++=③
②+③-①得112446n n n n a a a a -+=+-,即112,(4)n n n a a a n -+=+≥
故
{}n a 从第3项其为等差数列,设公差为d .则因为235644a a a a a +++=,
则243564444434()4(2)2a a a a a a a d a d a d a d a d =-++=--++++=-=-, 又1
24534a a a a a +++=故1324524()a a a a a a d
=-++=-,
故12,a a 也满足等差数列通项公式. 所以
{}n a 是等差数列.
【点睛】
本题主要考查新定义与数列结合的问题.直接根据题目给的数列递推公式代入化简求证是否为()2H 数列即可.同时第二问
要证明等差需要构造出112n n n a a a -+=+的结构,注意结合题目中所给信息即可.同时注意n 的取值范围,属于难题.。