分式方程的无解与增根

∵原方程有增根 x 2，即2 3 - m ∵原方程无解
小结： 1、分式方程的增根是在分式方程化为整式 方程的过程中，整式方程的解使最简公分母 为0的未知数的值。 2、分式方程无解则包含两种情形：
1）原方程去分母后的整式方程无解， 2）原方程去分母后的整式方程有解，但解 是增根。 3、分式方程有增根和无解时：
（× ）
（× ） ）
x -3 2、无解的分式方程就一定有增根。
中，其值一定为0。
例如： 0； X=-3 ( x 3)(x - 1) 3、分式方程若有增根，增根代入最简公分母
（√ 2 例如： = 0 0X=2 4、使分式方程的分母等 x 0的未知数的值一定
是分式方程的增根。
（× ）
应用升华
1 1- x X=2 1.如果 x - 2 + 3 = 2 - x 有增根,那么增根是__________. 2 k 3 2.关于x的方程 x 2 x 2 4 x 2 有增根,
x -3 m 有增根， 无解， 例4、若关于x的方程 x-2 2-x x -3 m 解：原方程可化为 =x -2 x-2 方程两边同乘以（ x - 2），得 x - 3 = -m 1、化为整式方程 ∴x = 3 - m
求m的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。
解得，m =1 2、把增根代入整式方程 求出字母的值 ∴当m 1时，原方程有增根。 时，原方程无解。
1 k 1 x2 x2
• 有增根，则k= 1 。
xa a 无解，则a的 • 1、若分式方程 a
取值是a=
0
。
m x 0 无 • 2、若分式方程 2m x 1
解，则m的取值是（ A ） • • A、-1或 C、-1
1 2
1 B、 2
1 或0 D、 2
• 3、若关于x的分式方程
m x 1 5 m3 2x 1
无解，则m= 6，10 。
4、若关于x的分式方程
xm 3 1 x 1 x
无解，求m的值．
● x 2 • 分式方程 中的一个 x 1 1- x 分
子被污染成了●，已知这个方程无 解，那么被污染的分子●应该是 。
课堂练习：
x m 1 x 1 2 1.当m为何值时,方程 有增根. x 1 x x x
分式方程无解则是指不论未知数取何值，都 不能使方程两边的值等．它包含两种情形： （1）原方程去分母后的整式方程出现 0x=b（b≠0），此时整式方程无解； （2）原方程去分母后的整式方程有解， 但这个解却使原方程的分母为0，它是原 方程的增根，从而原方程无解．
深入探究 判断：
1、有增根的分式方程就一定无解。
2x a 1 的解是正数，求a的取值范围. 若方程 x2
• 1、若分式方程
m x 1 x 1
-1 。
•
有增根，则m的值为
• 2、分式方程
• •
1 m x 2 x 1
有增根，则增根为（ C ）
• •
A、 2 B、-1 C、2或-1 D、无法确定
• 3、关于x的分式方程
xa 3 2、关于 x的方程 - 1无解，求 a。 x -1 x
方法总结：（1）化为整式方程。（2）确定增根。 （3）把增根代入整式方程求出字母的值。
想一想
2x a 1 的解是正数，求a的取值范围. 若方程 x2
展示交流
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2x a 1 的解是正数，求a的取值范围. 若方程 x2
关于这道题，有位同学作出如下解答： 解：去分母得，2x+a=-x+2. 化简，得 3x=2-a. 故 x= 2 a 因为方程的解为正数，所以
课后作业： 基础题：
1、使分式方程
x m2 2 x3 x3
产生增根的m的值为_____。
2 5 m 2.当m为何值时,解方程 x 1 1 x x 2 1 有增根.
3 - 2 x 2 mx 3、关于 x的方程 -1无解，求 m的值。 x -3 3- x
选做题：
那么增根可能是___________________ X=2或x=-2 ． K=-8或k=-12 则k的值可能为______________
方法总结：1、化为整式方程。2、确定增根。 3、把增根代入整式方程求出字母的值。
例3、当a为何值时，关于x的方程 2 ax 3 2 x-2 x -4 x 2



方程两边同乘以(x+2)(x-2)，得 2(x+2)-4x=3(x-2)． 解得x=2 检验：当x=2时，(x+2)(x-2)=0， 所以x=２不是原分式方程的解． 所以原分式方程无解．
分式方程的增根与无解
分式方程的增根：在分式方程化为整式方程 的过程中，若整式方程的解使最简公分母为0， 那么这个根叫做原分式方程的增根。
分式方程的增根与无解
知识回顾:
解分式方程的一般步骤
分式方程
去分母
整式方程
解整式方程
一化
二解
目标
三检验 检验 X=a是分式 最简公分母不为０ 最简公分母为０ X=a不是分式
方程的解
X=a
方程的解
X=a就是分式 方程的增根
例1 解方程： x - 1 = 3 - x + 2
x +2 x +2
解：方程两边同乘以(x+2),得x-1=3-x+2(x+2) 整理得 0x＝8． 因为此方程无解， 所以原分式方程无解． 例2 【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解， 解方程： 2 24 x 3 x2 x 4 x2 当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式 2 4x 3 解：方程可化为 方程无解不一定就是产生增根 ． x2 x2 x2 x2
①有增根； ②无解。
解：方程两边都乘以(x+2)(x-2) 得2(x＋2)＋ax＝3(x－2) 整理得（a－1）x＝－10
②
（1）当a-1 =0即a=1 时(a-1)x=-10无解，原方程 若原分式方程有增根， 无解。 则增根为x=2或x=-2 （2）当a-1≠0时，x＝2或－2时，原方程无解， 把x＝2或－2代入方程②中， 把x＝2或－2代入方程②中，得a＝－4或6． 解得，a＝－4或6． 综上所述，a＝1或a＝一４或a＝6时，原分式方 程无解．
2x a 所以，当a<2且a≠-4时，方程 1 的解是正数. x2
3 2 a 0 2 a 3 0 ，得a<2.且a≠-4 3 2 a 2 3
关于分式方程解的取值问题的一般步骤：
1、去分母，化分式方程为整式方程。 2、解这个整式方程。 3、根据题意讨论这个解可能出现的 情况，得出有关字母系数的取值。