贵州省遵义四中2013-2014学年高一上学期期末考试 数学 含答案

遵义四中2013~2014学年度第一学期期末考试
高一数学
本试卷分为第I 卷和第II 卷两部分，共150分． 考试时间120分
钟．
第I 卷(选择题 共60分）
一、选择题:每小题5分,满分60分,每小题给出的四个选项中只有一项是正确的．（请把所选答案填在答题卡上的相应表格内） 1．若α为钝角，则2
α的终边在( ）
(A)第一象限 （B ）第二象限
（C ）第三象限 (D ）第一象限或第三象限 2．若0
cos165a =，则0tan195=（ )
（A ）
2
1a
-
（B ）2
1a a
--
（C ）
2
1a a
- （D ）
2
1a a
+ 3．下列图象中可以表示以{|01}M x x =≤≤为定义域,以{|01}N y y =≤≤为值域的函数的图象是（ ）
4．在下列给出的函数中，以π为周期且在(0,)2
π内是增函数的是( )
（A ）sin 2
x y = (B ）cos 2y x =
（C ）sin(2)4
y x π=+ （D ）tan()4
y x π=-
5．在下列四组函数中，表示同一函数的是（ ) (A ）1=y ,0
x y = （B)1,112-=+⨯-=
x y x x y
（C ）5
5
,x y x y =
= （D ）2)(
|,|x y x y ==
6． 函数2
sin y x =是（ ）
（A ）周期为2π的偶函数 （B)周期为2π的奇函数 （C ）周期为π的偶函数 （D ）周期为π的奇函数
7．下列四类函数中，具有性质“对任意的实数0>x ，0>y ,函数)(x f 满足)()()(y f x f y x f =+”的是( ）
（A ）幂函数 （B ）对数函数 (C ）指数函数 （D ）余弦函数 8．下列函数中，图象的一部分如右图所示的是
(
）(A)
sin()6
y x π
=+
（B)sin(2)6
y x π=-
(C ）cos(4)3
y x π=- (D)cos(2)6
y x π=-
9． 已知函数x x f x
sin )2
1
()(-=,则)(x f 在]2,0[π上的零点个数为（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 10．已知==-∈x x x 2tan ,5
4cos ),0,2
(则π（ )
（A)24
7
（B)－
24
7 （C ）7
24
(D ）－7
24
11．已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限，则在[0,2)π内α的取值范围是（ ） （A ）35(,)
(,
)244ππππ （B ）5(,)(,)424
ππππ
（C ）353(,)(,)2442ππππ (D ）3(,)(,)424
ππππ
12．给出下列命题,其中正确的有( ） ①存在实数x ，使得3sin cos 2
x x +=；
②若cos 0α>，则α是第一象限角或第四象限角； ③函数3sin()4
2
y x π=+是偶函数;
④若α是第二象限角，且(,)P x y 是α终边上异于坐标原点的一点,则
2
2
cos x y
α=
+
（A)1个 （B)2个 （C)3个 (D)4个
第II 卷 （非选择题 共90分）
二、填空题：每小题5分,满分20分．（请把答案填在答题卡内的相应横线上）
13． 将分针拨快10分钟,则分针转过的弧度数是 ． 14． =+25.0log 10log 255
．
15．
0000tan 20tan 4020tan 40+=
．
16．函数
)
3
2sin(3)(π
-
=x x f 的图象为C ，则以下结论中正确的
是 ． （写出所有正确结论的编号）．
①图象C 关于直线12π=x 对称； ②图象C 关于点)0,3
2(π对
称；
③函数125,
12()(π
π
-在区间x f ）内是增函数; ④由x y 2sin 3=的图象向右平移3
π
个单位长度可以得到图象C ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分（其中17小题满分10分，其余各题满分均为12分)．(解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（满分10分）化简下列各式:
①cos()
2sin(2)cos()5sin()
2
π
ααππαπα-⋅-⋅-+；
α为第二象限角．
18．(满分12分)如图A 、B 是单位圆O 上的点,且B
在第二象限． 点C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，点A
的坐标为)5
4,53(，若△AOB 为正三角形．
(Ⅰ）求COA ∠sin ； (Ⅱ）求COB ∠cos ．
19．（满分12分）函数()sin()16
f x A x πω=-+（0,0A ω>>)的最大值为3，其
图象相邻两条对称轴之间的距离为2
π
，
(1）求函数()f x 的解析式；
（2）设(0,)2
πα∈，则()22
f α=，求α的值。

20．(满分12分）已知函数2
2()sin
2sin cos 3cos f x x x x x =++，x R ∈．求:
（I ） 函数()f x 的最大值及取得最大值时的自变量x 的取值集合； （II ） 函数()f x 的单调递减区间．
21．(满分12分)某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件,订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．
(I ）设一次订购量为x 件，服装的实际出厂单价为P 元,写出函数P f x =()的表达式；
(II ）当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多
少元？
（服装厂售出一件服装的利润＝实际出厂单价－成本）
22．(满分12分）是否存在两个锐角α和β使得两个条件： ①2
3
παβ+=； ②tan tan 22
2
αβ=-
同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．
遵义四中2013~2014学年度第一学期期末考试
高一数学（参考答案)
本试卷分为第I 卷和第II 卷两部分，共150分． 考试时间120分
钟
一、选择题：每小题5分，满分60分，每小题给出的四个选项中只有一项是正确的．（请把所选答案填在答题卡上的相应表格内）
二、填空题：每小题5分，满分20分．（请把答案填在答题卡内的相应横线上） 13。

3
π
-
14. w _w_w 。

k 2 15. 3 16． ②③
三、解答题：本大题共6小题，共70分（其中17小题满分10分，其余各题满分均为12分）．(解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（满分12分)化简下列各式：
①cos()
2sin(2)cos()5sin()
2
π
ααππαπα-⋅-⋅-+
α为第三象限角。

解：①2cos()
sin 2sin(2)cos()sin (cos )sin 5cos sin()
2
π
αααππααααπαα-⋅-⋅-=⋅⋅-=-+。

②因为α为第三象限角，所以0sin 1<<-α，0cos 1<<-α，0sin 1>+α,0sin 1>-α。

=(1sin )(1sin )2sin 2tan |cos |cos ααα
α
αα
+--=
==--。

18. (满分12分）如图A 、B 是单位圆O 上的点，
且B 在第二象限。

C 是圆与x 轴正半轴的
交点,A
点的坐标为)5
4
,53(，△AOB 为正三角形. (Ⅰ）求sin COA ∠； （Ⅱ）求cos COB ∠。

解：（1）因为A
点的坐标为34,55⎛⎫
⎪⎝⎭
，根据三角函数定义可知4sin 5COA ∠=-—---——---—----——4分
（2)因为三角形AOB 为正三角形,所以0
60AOB ∠=,
4sin 5COA ∠=
，3
cos 5
COA ∠=, ---—————--——-—-—-----—-—-—
-—-6分
所以cos COB ∠=0
cos(60)COA ∠+
00cos cos60sin sin 60COA COA =∠-∠ ————-—--—--—-—-———---—-
——10分
=3143343
525210
-⋅-⋅
=。

-------——-—-—-———-----——-—---—-——
——---12分
19．(（满分12分）函数()sin()16
f x A x πω=-+(0,0A ω>>）的最大值为3， 其
图像相邻两条对称轴之间的距离为2
π,
(1）求函数()f x 的解析式；(2）设(0,)2
πα∈，则()22
f α=,求α的值。

20．（满分12分）已知函数2
2()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，x R ∈。

求:
（I) 函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合；
（II) 函数()f x 的单调递减区间。

【解析】（I ） 解法一:
1cos 23(1cos 2)()sin 21sin 2cos 222)224
x x f x x x x x π
-+=
++=++=+ ∴当224
2
x k π
π
π+
=+
，即()8
x k k Z ππ=+∈时，
()f x 取得最大值22
函数()f x 的取得最大值的自变量x 的集合为{|()}8
x x k k Z ππ=+∈.
解法二:
2222()(sin cos )2sin cos 2cos 2sin cos 12cos sin 2cos 22
f x x x x x x x x x x x =+++=++=++22)4
x π
=++
∴当224
2
x k π
π
π+
=+
，即()8
x k k Z ππ=+∈时，
()f x 取得最大值22
函数()f x 的取得最大值的自变量x 的集合为{/,()}8
x x R x k k Z ππ∈=+∈。

(II ）解：
()2)4f x x π=++由题意得: 3222()242
k x k k Z πππ
ππ+≤+≤+∈
即：
5()88k x k k Z ππππ+≤≤+∈因此函数()f x 的单调增区间为5[,]()88
k k k Z ππ
ππ++∈。

21．（满分12分）某服装厂生产一种服装,每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件
（I ）设一次订购量为x 件，服装的实际出厂单价为P 元,写出函数
P f x =()的表达式；
（II ）当销售商一次订购了450件服装时,该服装厂获得的利润是多少元？
(服装厂售出一件服装的利润＝实际出厂单价－成本）
解：（I ）当0100<≤x 时,P =60
当100500<≤x 时,P x x
=--=-600021006250.()
所以P f x x x x x N ==<≤-<≤⎧⎨
⎪⎩
⎪∈()()60
01006250100500 （II)设销售商的一次订购量为x 件时，工厂获得的利润为L 元，则
L P x x x x x x x N =-=<≤-<≤∈⎧⎨⎪
⎩
⎪()()402001002250
1005002
当x =450时,L =5850元。

答：（略）
22．(满分12分) 是否存在两个锐角α和β使得两个条件：①23
παβ+=；
②tan tan 222
αβ=,求出α和β
的值；若不存在，请说
明理由．
解:假设存在两个锐角α和β，使得两个条件：①23
παβ+=；
②
tan
tan
22
2
α
β
=则
2
2
3
α
β
π
+
=
，
即tan()2
2
αβ+=
则
tan
tan
2
21tan
tan
2
2
α
β
α
β
+=-
且
tan tan 222αβ=
则tan tan αβ
+=
所以tan tan 322αβ+=-
解得tan 12
tan 22
α
β⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
或tan 22tan 12αβ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩0
0452152αβ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩或0
0152452
αβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即00
9030αβ⎧=⎪
⎨=⎪⎩或00
3090
αβ⎧=⎪
⎨=⎪⎩。

这与α和β都是
锐角矛盾。

所以不存在两个锐角α和β使得两个条件:①23
παβ+=;
②
tan
tan
22
2
α
β
=。