高一数学立体几何练习题及部分答案汇编

立体几何试题一．选择题（每题 4 分，共40 分）
1.已知AB//PQ，BC//QR,则∠PQP等于（）
A 0
30 B
30 C
150 D 以上结论都不对
2.在空间，下列命题正确的个数为（）
（1）有两组对边相等的四边形是平行四边形,（2）四边相等的四边形是菱形
（3）平行于同一条直线的两条直线平行;（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等
A 1
B 2
C 3
D 4
3.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是
（）
A 平行
B 相交
C 在平面内
D 平行或在平面内
4.已知直线m//平面，直线n 在内，则m 与n 的关系为（）
A 平行
B 相交
C 平行或异面
D 相交或异面
5.经过平面外一点，作与平行的平面，则这样的平面可作（）
A 1 个或 2 个
B 0 个或1 个
C 1 个
D 0个
6.如图,如果MC 菱形ABCD 所在平面,那么MA 与BD 的位置关系是( )
A 平行
B 垂直相交
C 异面
D 相交但不垂直
7.经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有（）
A 0 个
B 1 个
C 无数个
D 1 个或无数个
8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( )
A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面;
B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面
C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
9.对于直线m,n和平面, ,使成立的一个条件是( )
A m // n, n ,m
B m // n,n , m
C m n, m, n
D m n,m // ,n//
10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( )
A 1 个
B 2 个
C 3 个
D 4 个
二．填空题（每题 4 分，共16 分）
10.已知ABC 的两边AC,BC 分别交平面于点M,N，设直线AB 与平面交于点O，则点O 与直线MN 的位置关系为_________
11.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个，过平面外一点与该平面平行的直线
有
_____________条
12.一块西瓜切 3 刀最多能切_________块
13.将边长是a的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,使得折起后BD 得长为a,则三棱锥D-ABC
的体积为___________
三、解答题
15（10 分）如图，已知E,F 分别是正方形A BCD A B C D 的棱
1 1 1 1 AA 和棱
1
CC 上的点，且
1
AE C F 。

求证：四边形EBFD1 是平行四边形1
16（10 分）如图，P 为ABC 所在平面外一点，AP=AC,BP=BC,D 为PC 的中点，
证明：直线PC 与平面ABD 垂直
P
D
C
A
B
17（12分）如图，正三棱锥A-BCD，底面边长为a，则侧棱长为2a，E,F 分别为AC,AD 上的动点，求截面BEF 周长的最小值和这时E,F的位置.
A
F E
D
B
C
18（12 分）如图，长方形的三个面的对角线长分别是a,b,c，求长方体对角线AC 的长D1 C1
A1
a B1
D C
c
b
A
B
答案
14.D 2.B 3.D 4.C 5.C 6.C 7.D 8.D 9.A 10.D
1 三点共线
2 无数无数 3. 7 4
2 12
3
a
1 证明: AE C F
1
AB C D
1 1
EAB FC D
1 1
EAB FC D
1 1
EB FD
1
过A作A
1G // D1F
1
又由A E∥BG 且A1E =BG
1
可知E B // AG
1
EB // D F
1
∴四边形E BFD 是平行四边形
1
2 ∵AP AC
D 为PC 的中点
∴AD PC
∵BP BC
D 为PC 的中点
∴BD PC
∴PC 平面ABD
∴AB PC
3 提示: 沿AB 线剪开, 则BB 为周长最小值. 易求得EF 的值为3
4
a, 则周长最小值为
11
4
a .
4 解:
2 2 2
AC AC CC
2 2 ( )2 AB
BC CC
2 2 2
a b c
15（10分）如图，已知E,F分别是正方形A BCD A B C D的棱
1111AA和棱
1
CC上的点，且
1
AE C F。

求证：四边形EBFD1是平行四边形
1
6（10分）如图，P为ABC所在平面外一点，AP=AC,BP=BC,D为PC的中点，
证明：直线PC与平面ABD垂直
P
D
C
A
B
17（12分）如图，正三棱锥A-BCD，底面边长为a，则侧棱长为2a，E,F 分别为AC,AD 上的动点，求截面BEF 周长的最小值和这时E,F的位置.
A
F E
D
B
C
18（12 分）如图，长方形的三个面的对角线长分别是a,b,c，求长方体对角线AC 的长D1 C1
A1
a B1
D C
c
b
A
B
答案
1 证明: AE C F
1
AB C D
1 1
EAB FC D
1 1
EAB FC D
1 1
EB FD
1
过A作
1 AG D F 1 // 1
又由A E∥BG 且
1 A E=BG 1
可知E B // AG
1
EB // D F
1
∴四边形E BFD 是平行四边形
1
4 ∵AP AC
D 为PC 的中点
∴AD PC
∵BP BC
D 为PC 的中点
∴BD PC
∴PC 平面ABD
∴AB PC
5 提示: 沿AB 线剪开, 则BB 为周长最小值. 易求得EF 的值为3
4
a, 则周长最小值为
11
4
a .
4 解:
2 2 2
AC AC CC
2 2 2
AB BC (CC )
2 2 2
a b c
高一数学必修 2 立体几何测试题
试卷满分：100分考试时间：120 分钟
班级___________ 姓名__________ 学号_________ 分数___________
第Ⅰ卷
一、选择题（每小题 3 分，共30 分）
1、线段AB 在平面内，则直线AB 与平面的位置关系是
A、AB
B、AB
C、由线段AB 的长短而定
D、以上都不对
2、下列说法正确的是
A、三点确定一个平面
B、四边形一定是平面图形
C、梯形一定是平面图形
D、平面和平面有不同在一条直线上的三个交点
3、垂直于同一条直线的两条直线一定
A、平行
B、相交
C、异面
D、以上都有可能
4、在正方体ABCD A1B1C1D1 中，下列几种说法正确的是
A、A1C1 AD
B、D1C1 AB
C、AC1 与DC 成45 角
D、A1C1 与B1C 成60 角
5、若直线l∥平面，直线a ，则l 与a的位置关系是
A、l ∥a
B、l 与a异面
C、l 与a相交
D、l 与a没有公共点
6、下列命题中：（1）平行于同一直线的两个平面平行；（2）平行于同一平面的两个平面平行；（3）垂直
于同一直线的两直线平行；（4）垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有
A、1
B、2
C、3
D、4
7、在空间四边形ABCD 各边AB、BC、CD、DA 上分别取E、F、G、H 四点，如果与EF、GH 能
相交于点P ，那么
A、点P 不在直线AC 上
B、点P 必在直线BD 上
C、点P 必在平面ABC 内
D、点P 必在平面ABC 外
8、a，b，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a∥M ，b∥M，则a∥b；②若 b M，a
∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.其中正确命题的个数有
A、0 个
B、1 个
C、2 个
D、3 个
9、已知二面角AB 的平面角是锐角，内一点C 到的距离为3，点C 到棱AB 的距离为4，那么tan 的值等于
A、3
4
B、
3
5
C、
7
7
D、
37
7 A'
C'
B'
10、如图:直三棱柱ABC—A1B1C1 的体积为V，点P、Q 分别在侧棱AA1 和CC1 上，
P AP=C 1Q，则四棱锥B—APQC 的体积为
Q
C
A
B
A、V
2
B、
V
3
C、
V
4
D、
V
5
二、填空题（每小题 4 分，共16 分）
11、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S球_____ S正方体
(填”大于、小于或等于”).
12、正方体ABCD A1B1C1D1中，平面AB1D1 和平面BC1D 的位置关系为
A
1 D1
13、已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ，平行则四边形
A B C D一定是. B 1
14、如图，在直四棱柱A1B1C1 D1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件
C 1
_________时，有A1 B⊥B1 D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.)
D
C
第Ⅱ卷
A
一、选择题（每小题 3 分，共30 分）
B 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题（每小题 4 分，共16 分）
11、12、13、14、
三、解答题( 共54 分, 要求写出主要的证明、解答过程)
15、已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长. (7 分)
16、已知E、F、G、H 为空间四边形ABCD 的边AB、BC、CD、DA 上的点,且ＥＨ∥ＦＧ．
A 求证：EH∥BD. (8 分)
E H
D
B
G
F
C
17、已知ABC 中ACB 90 , SA 面ABC , AD SC,求证：AD 面SBC ．(8 分)
S
D
B
A
C
18、一块边长为10 cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加
工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积V 与x的函数关系式,并求出函数的定义域. (9 分)
10
5
x
E
D C
O F
19、已知正方体ABCD A1B1C1D1 ，O是底ABCD 对角线的交点.
D1
C1
B
A
B1
求证：(１) C1O∥面ABD ；(2) AC 面AB D ．(10 分)
A1 1 1 1 1 1
D
C
O
A B
20、已知△BCD 中，∠BCD =90°，BC=CD =1，AB⊥平面BCD，
∠ADB =60 °，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且A A E AF
AC AD
(0 1).
（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
E （Ⅱ）当λ为何值时，平面BE
F ⊥平面ACD ？(12 分)
F C
D
B
高一立体几何试题
一、选择题：( 每题5 分)
1. 下列说法中正确的个数为（）
①以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台②用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆
台③各个面都是三角形的几何体是三棱锥④以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥⑤棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥
⑥圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线。

A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
2. 如图, 一几何体的三视图如下：则这个几何体是（）
A. 圆柱
B. 空心圆柱
C. 圆
D. 圆锥
y 正视图侧视图
O 0
45
x
俯视图
/ / /
3．一梯形的直观图是一个如上图所示的等腰梯形，且梯形OAB C 的面积为 2 ，则原梯形的面积为
( )
A. 2
B. 2
C. 2 2
D. 4
15.圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16 2 ，则圆锥的体积是（）
A．64
3
B
128
3
C 64
D 128 2
16.一个圆台的上、下底面面积分别是1
2
cm 和49
2
cm ，一个平行底面的截面面积为25
2
cm ，则这个
截面与上、下底面的距离之比是( )
A 2 : 1 B. 3: 1 C. 2 : 1 D. 3 : 1
17.长方体的一个顶点上三条棱的边长分别为3、4、5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的
表面积是（）
A. 20 2
B. 25 2
C. 50
D. 200
18.下列命题中正确的个数是（）
①若直线l 上有无数个点不在平面内，则l ∥
②若直线l 与平面平行，则l 与平面内的任意一条直线都平行
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
④若直线l 与平面平行，则l 与平面内的任意一条直线都没有公共点
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
19.已知直线l 平面，有以下几个判断：①若m l ，则m// ；②若m ，则m// l ；③若m// ，
则m l ；④若m// l ，则m ．上述判断中正确的是（）
A. ①②③
B. ②③④
C. ①②④
D. ①③④
20.如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，以下四个命题中正确的序号是（）
①BM 与ED 平行．②CN 与BE 是异面直线．
N
③CN 与BM 成60 ?角．④DM 与BN 垂直．D C M
A. ①②③
B. ③④
C. ②④
D. ②③④
E
A B
10．在四面体ABCD 中，E, F 分别是AC, BD 的中点，
F
若AB 2, CD 4, EF AB ，则AB 与CD 所成的角的度数为（）
A．0
o C ．60o D ．90o
30 B ．45
11. 在长方体ABCD-A1B1C1D1 中，AB= 3 ， B
1B=BC=1，则面BD1C 与面AD1D 所成二面角的大小为（）
A．0 o C ．60o D ．90o
30 B ．45 B
21.蚂蚁搬家都选择最短路线行走，有一只蚂蚁沿棱长分别为
1cm,2cm,3cm 的长方体木块的顶点A处沿表面达到顶点 B 处
（如图所示），这只蚂蚁走的路程是（）
A．14cm B ． 3 2cm C ．26cm D ．1+ 13cm
二、填空题（每题 5 分）
22.半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为________________.
14．已知a，b 是一对异面直线，且a，b 成70 角，P 为空间一定点，则在过P 点的直线中与a，b 所成的角为70 的直线有条。

12. 三个平面可将空间分成部分（填出所有可能结果）。

13. 如果直线a，b 和平面满足a∥，b ∥那么直线a，b 的位置关系是
三．解答题。

（17 题10 分，其余每题12 分）
14. 已知：四边形ABCD是空间四边形，E, H 分别是边AB，AD的中点，F, G 分别是边CB，CD上的点，
且 2
, 求证FE和GH的交点在直线AC上. A
BF DG
BC DC 3
H
E
D
B
15. 已知圆台的上、下底面半径分别是2、6，且侧面面积等于两底面面
G
F
C 积之和．
（Ⅰ）求该圆台的母线长；（Ⅱ）求该圆台的体积。

19．如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a, DC=a,
F 是BE的中点，求证：
（1）FD∥平面ABC; （2）AF⊥平面ED B
E
D F
A C
23.如图，在四边形ABCD 中，0
DAB 90 ，
ADC 135 ，AB 5 ，CD 2 2 ，AD 2 ，
求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积.
24.三棱柱中ABC-A1B1C1 中, 侧棱A1A垂直于底面ABC，B1C1 =A1C1, ，AC1⊥A1B, M,N分别为A1B1, AB中点，求证：
（1）平面AMC1∥平面NB1C
（2）A1B⊥AM．
C
A 1
1
M
B 1
C A
N
B
22 如图，在三棱锥P ABC 中，PA 底面ABC, PA AB, ABC 60 , BCA 90 ，
点D ，E 分别在棱PB, PC 上，且DE // BC
（Ⅰ）求证：BC 平面PAC ；
（Ⅱ）当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的大小；
（Ⅲ）是否存在点 E 使得二面角 A DE P 为直二面角？并说明理由. .
高一数学必修 2 立体几何测试题参考答案
一、选择题（每小题 5 分，共60 分）
ACDDD BCBDB 二、填空题（每小
题 4 分，共16 分）
11、小于12、平行13、菱形14、对角线A1C1 与B1D1 互相垂直
三、解答题（共74分,要求写出主要的证明、解答过程）
15、解:设圆台的母线长为l ,则 1 分
圆台的上底面面积为 2
S上 2 分
2 4
圆台的上底面面积为 2
S下 3 分
5 25
所以圆台的底面面积为S S上S下29 4 分
又圆台的侧面积S (2 5)l 7 l
侧 5 分
于是7 l 25 6 分
即
29
l 为所求. 7 分7
16、证明：EH FG, EH 面BCD ，FG 面BCD
∴EH∥面BCD 4 分又EH 面BCD ，面BCD 面ABD BD ，
∴EH∥BD 8 分17、证明：ACB 90 B C A C 1 分
又SA 面ABC S A B C 3 分
BC 面SAC 4 分
BC AD 6 分又SC AD ,SC BC C
AD 面SBC 8 分18、解:如图,设所截等腰三角形的底边边长为xcm .
在Rt△EOF 中 ,
1
EF 5cm, OF xcm, 2 分
2
所以
1
2
EO 25 x , 5 分4
于是
1 1
2 2
V x 25 x 7 分
3 4
依题意函数的定义域为{ x |0x 10} 9 分
19、证明：（1）连结A1C1 ，设A1C1 B1D1 O1
连结A O ，ABCD A1B1C1D1 是正方体A1ACC1 是平行四边形
1
∴A1C1∥AC 且A C AC 1 分
1 1
又O O分别是
1, A1C1, AC的中点，∴O1C1∥AO 且O C AO
1 1
AOC O 是平行四边形 3 分
1 1
C1O AO1, AO1 面AB1D1 ，C1O 面AB1D1
∴C1O∥面A B D 5 分
1 1
（2）C C 面A1B1C1D1 C C1 B1 D! 6 分1
又A C B D ，
1 1 1 1 B D 面 A C C 7 分
1 1 1 1
即8 分AC B D
1 1 1
同理可证A C AB ，9 分
1 1
又D B AB B
1 1 1 1
AC 面1 AB D 10 分
1 1
20、证明：（Ⅰ）∵AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥CD，
∵CD⊥BC 且AB ∩BC=B ，∴CD⊥平面ABC. 2 分AE AF
又(0 1),
AC AD
∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC ，EF 平面BEF,
∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC. 5 分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD ，
∴BE⊥平面ACD ，∴BE⊥AC. 7 分∵BC=CD=1 ，∠BCD=90 °，∠ADB=60 °，
∴BD 2, A B 2 tan 60 6, 9 分
2 BC2
AC AB 7,由AB 2=AE ·AC 得 6 AE 6
AE 11 分
, ,
AC 7
7
故当6
7
时，平面BEF⊥平面ACD. 12 分
高一立几复习题（一）
1．用符号表示“点 A 在直线l 上，l 在平面外”为
A 2．右图所示的直观图，其原来平面图形的面积是
2
3．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的侧面积为。

45
O
B
2
4
3 3
正视图俯视图
侧视图
4．a，b，c 分别表示三条直线，M表示平面，给出下列四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b；②若 b M，a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b. 其中不正确命题的有（填序号）
5．已知正方体外接球的体积是32
3
，那么正方体的棱长等于
25.经过一点和一直线垂直的直线有条；经过一点和一平面垂直的直线有（）
条；经过平面外一点和平面平行的直线有条.
7．在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体, 则截去8 个三棱锥后, 剩下的凸多面体的体积是
16.PA 垂直于⊿ABC 所在的平面，若AB= A C=13，BC=10，PA=12，则P 到BC 的距离为.
17.长方体ABCD - A1B1C1D1 中，AD =a，AB =b，则AA1 到对角面DD 1B1B 的距离是.
18. 下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出
AB // 平面MNP 的图形的序号是.
26.已知, 是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：
（1）如果m ,n,m、n是异面直线，那么n与相交.
（2）m∥β，m⊥n，则n⊥β.
（3）如果点M 是两条异面直线外的一点，则过点M 且与a，b 都平行的平面有且只有一个.
（4）若m,n // m，且n ,n ，则n// 且n // .
其中正确的命题是▲.
27.正方体的全面积是6a2,它的顶点都在球面上，这个球的表面积是______,体积是_______．
28.正四面体的四个顶点都在表面积为36π的一个球面上，则这个四面体的高等于________．
29.棱长为a的正四面体内任意一点到各面距离之和为定值，则这个定值等于_________．
30.某师傅需用合板制作零件，其大致形状的三视图如右图所示(单位长度: cm) ，图中的水平线与竖线垂
直.
（1）作出此零件的直观图；
（2）若按图中尺寸，求做成的零件用去的合板的面积.（制作过程合
板的损耗和合板厚度忽略不计）.
2 2
1 主视图
1
左视图1
1
俯视图
16 已知Rt⊿ABC 中，∠C=90 o，C∈，AB∥平面，AB=8，AC、BC 与平面所成角分别30o、60o，求AB 到平面的距离. A B
C
19.正三棱锥的高为1，底面边长为2 6 ，此三棱锥内有一个球和四个面都相切．
A （１）求棱锥的全面积；
（２）求球的体积．
D B
.
18.在四棱锥P-ABCD 中,侧棱PA⊥底面ABCD, 底面ABCD 是矩形,问底面的边BC 上是否存在点
E,
(1)使得∠PED=90 0; P
(2)使∠PED 为锐角．证明你的结论．
A
D
B Q C
19.三棱锥各侧面与底面成45°角，底面三角形各角成等差数列，而最大边和最小边的长是方程
2 x
3x 27 32 0 两根，求此三棱锥的侧面积和体积．
20.如图，四棱锥P－ABCD 的底面是矩形，PA⊥底面ABCD 于A ，E、F 分别是AB 、PD 之中点．（1）求证：AF ∥平面PCE；
（2）若二面角P－CD－B 为45°，求证：平面PCE⊥平面PCD；
（3）在（2）的条件下，若AD=2 ，CD= 2 2 ，求 F 点到平面PCE 距离．
P
F
A
D E
立体几何测试题
1．[原创]以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是（）
A ．球的三视图总为全等的圆
B．正方体的三个视图总是正三个全等的正方形
C．水平放置的正四面体的三个视图都是正三角形
D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆
2．[原创]圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是（）
2 3
A ．S B．2 S C．4 S D．S
3
3．正方体ABCD A1 B1C1D1 中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、B1C1 的中点．那么，正方体的
过P 、Q 、R 的截面图形是（）。

A ．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
4．[改编]将棱长为 1 的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为（）
A ．
3
2
B．
2
3
C．
6
D．
4
3
5．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（）
A ．75°B．60°C．45°D．30°
6．正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为 2 5 ，则它的侧面积为（）
A ．24 B．12 C．24 2 D．12 2
7．设, , 是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列命题
①若, ，则；②若l 上两点到的距离相等，则l // ；
③若l ,l // ,则④若// ,l,且l // ,则l // .
其中正确的命题是（）
A ．①②B．②③C．②④D．③④
8．在正四面体P－ABC 中，D，E，F 分别是AB，BC，CA 的中点，下面四个结论中不成．立．．的是（）。

A ．BC//平面PDF
B ．DF⊥平面P A E
C ．平面PDF ⊥平面ABC
D ．平面PAE⊥平面ABC
9．[原创]一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45 ，腰和上底边均为 1 的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（）
A . 1
2
2
2
B. 2 2
C. 1 2
D. 1
2
2
10．（文科）如图1，长方体ABCD —A1B1C1D1 中，AA1=AB =2，AD =1，点E、F、G 分别是DD1、AB、
CC1 的中点，则异面直线A1E 与GF 所成的角的余弦值是（）。

A．15 B．5
2 C．
2
10
D． 1
5
（理科）甲烷分子结构是：中心一个碳原子，外围四个氢原子构成
D1 C1
四面体，中心碳原子与四个氢原子等距离，且连成四线段，两两所成角
B 1
A 1
为θ，则cosθ值为（）
1
A．
3 11．在正三棱柱
G
E
1 1 1
B．C．D．
3 2 2
D
C
ABC A1B C 中，若AB=2，AA1 1则点 A 到平
A B
F
1 1
面A BC
1 的距离为（）
图1
A．
3
4
B．
3
2
C．
3 3
4
D ． 3
2 3
12．[改编]已知正方体ABC D－A 1B1C1D1 的棱长为1，在正方体的表面上与点 A 距离是
的点的
3
集合形成一条曲线，这条曲线的长度是（）
A．
3
3
B
2 3 5 3
C．
3 6
D． 3
13．正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两垂直，且侧棱长为 a ，则P 点到面ABC 的距离是
14．[改编] （文科）三个平面两两垂直，它们的三条交线交于一点O，P 到三个面的距离分别是6，8，10，则OP 的长为。

（理科）已长方体的全面积是8，则其对角线长的最小值是
15．如图2，在四棱锥P－ABCD中，PA 底面ABCD，
P 底面各边都相等，M是PC上的一个动点，当点M 满足
时，平面M BD 平面PCD．
16．在空间中：①若四点不共面，则这四点中任何三点M 都不共
A D
线；②若两条直线没有共点，则这两条直线是异面直线．
B
以上两个命题中，逆命题为真命题的是．（把符合要
C
图2
求的命题序号都填上）
17．[原创] 如图 3 所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会
溢出杯子吗？
4cm
12cm
图3
18．矩形ABCD 中，AB 1, BC a(a 0) ，PA 平面AC ，BC 边上存在点Q ，使得PQ QD ，求a的取值范围．
19．如图4，在三棱锥P-ABC 中，AB BC ，
1
AB BC PA ，点Ｏ，Ｄ分别是AC, PC 的2
中点，OP 底面ABC .
（1）求证OD //平面PAB ；
P
（2）求直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值的大小．
D
A C
O
B
图4
20．（文科）如图5，已知直四棱柱ABCD A1B1C1 D1 中，AA1 2，底面ABCD 是直角梯形， A
是直角，AB//CD ，AB=4 ，AD=2 ，DC=1，求异面直线
D1 C
BC 与DC 所
1
1
成角的余弦值。

A1
B1 D
C
A B
图5
D1
A 1
（理科）如图6，在棱长AB AD 2，AA1 3的长方体AC1 中，点E 是平面BCC1B1 上的点，点 F 是CD 的中点．
（1）试求平面AB1F 的法向量；
B1 C
（2）试确定 E 的位置，使 D E
1 平面AB1 F 。

A D
F
B C
图6
21．[改编] 如图7 所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，P、M 、N分别为棱DD1、AB、BC 的中点．（1）求二面角B1 -MN -B 的正切值；
（2）画出一个正方体的表面展开图，使其满足“有 4 个正方形相连成一个长方形”这一条件，并求展开图中P、B 两点间的距离( 设正方体的棱长为1).
D
1 C
1
A 1
B
1
P
D
C
N
22．一只小船以10 m/s 的速度由南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20 米的桥上，一辆汽车由西向
东以20 m/s 的速度前进（如图8），现在小船在水平P 点以南的40 米处，汽车在桥上Q 点以西30 米处（其中PQ⊥水面），求小船与汽车间的最短距离为.（不考虑汽车与小船本身的大小）．
Q
P
图8
参考答案：
1．选A。

画几何体的三视图要考虑视角，对于球无论选择怎样的视角，其三个视图均为全等的圆。

2．选C。

圆柱的底面积为S，则底面半径
S
r ，底面圆的周长是 2 r 2 S ，故侧面积
2
S侧(2 r) 4 S。

3．选D。

通过画图，可以得到这个截面与正方体的六个面都相交，所以截面为六边形。

4．选C。

正方体削成最大的球，即正方体棱长为球的直径，即2R 1，
1
R ，故
2
3
4 1
V 。

球
3 2 6
S
5 ．如图所示，设侧棱与底面所成的角为，则
A
D
O
B C
第5 题图
cos OC
SC
2
2
，所以0
45 。

6．选A。

由底面边长为2，可知底面半径为2，由勾股定理可知侧棱长为2，所以S侧 6 2 2 24。

7．选D。

命题①和可能平行；命题②中l 和相交。

8．选C。

如图所示：取DF的中点O，易证POA 为二面角P DE A 的平面角，因为P点在底面上的射影是底面的中心，故POA 不可能为直角，所以平面PDF 与平面ABC 不垂直。

P
D C
C
A
H
O
A B
B
第9题图第8 题图
9．选B。

还原成平面图形为如图所示的直角梯形，且
1
AB 1 2 ，AD 2，DC 1，故S (1 1 2) 2 2 2 。

2
10．（文科）如图所示，连结B1G 、B1F ，则B1GF 或其补角是异面直线A1E 与GF 所成的角，由
余弦定理：
2 2 2
B G B F GF 2 5 3 10
1 1
B GF ，所以
1
2B1G B1 F 5
2 2 5
10
arccos 。

5
D1
A1 B
1
C1P
G
E
O D
C
C
A
A B
F
H D
第10 题（文）图
B
（理科）选 A 。

第10 题（理）图
即正四面体的各顶点
与中心连线所成的角，如图，设棱长为1，则有：
3 AD ，
2
3
AH ，
3
6
2 AH 2
PH PA ，设
3
A 1
C1
OA OB OC OD OP r ，在Rt O A H中，由B
1
2 OH AH
2 2
OA 得：
6
r ，故
4
cos
r2 r
2r
2
2
1 1
3。

A
C
11 ．设点 A 到平面A BC
1 的距离为h ，则由
B 第11 题图
V A V
A BC
1 A
1
ABC
可得：
S AA 3 3
ABC 1
h 。

1
S 2
A BC 2 1
5
1
2
2 3
12．曲线在过 A 的三个面上都是以 A 为圆心，
为半径的四分之一圆弧，所以曲线的总长度为
3
3 4
2 3
2 3
3。

13．设P 点到面ABC 的距离为h ，由体积公式可得：1
3
2
1 2 3
3
2a h a ，故h a
3
6。

14．如图，构造长方体，其中侧面AO，BO，A1O 所在的平面
Ｃ
Ｂ
即为已知的三个两两垂直的平面，则长方体的长、宽、高分别为6，
Ｐ
8 ，10 ，而OP 的长即为长方体的体对角线的长，所以
Ａ
O
Ｂ 1
OP
2=36+64+100=200．故OP 10 2 。

Ａ1
（理科）设长方体的长、宽、高分别为a,b,c ，则
第14 题图
ab bc ca 4 ，对角线
2 b2 c2 ab bc ca
2a 2 2 2 2 2
2 b c
2 2
l a 2
2 2
15．答案：BM⊥PC（或DM ⊥PC）．底面四边形ABCD 各边都相等，所以四边形ABCD 是菱形，
故AC⊥BD，又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，又PA AC A ，所以BD⊥平面PAC，即有PC⊥BD，故要使平面MBD ⊥平面PCD，只须BM⊥PC，或DM ⊥PC．
16．答案②．①的逆命题是：“若四点中的任何三点都不共线，则这四点不共面”，为假命题，反例
可以找正方形，没有三点共线，但四个顶点共面；②的逆命题是：“若两条直线是异面直线，那么这两条
直线没有公共点”，由异面直线的定义知这个命题正确．
17．解：
1 4 3 128 1 1
2 1 2
V 4 ；Sh r h 4 12 64
V锥。

因为V半球V锥，半球
2 3 3 3 3 3
故冰淇淋融化了，不会溢出杯子。

18．如图，连结AQ，∵PQ⊥QD，PA⊥QD，PQ∩PA= P，∴QD⊥平面PQA，于是QD⊥AQ，∴在
a
线段BC 上存在一点Q，使得QD⊥AQ，等价于以AD为直径的圆与线段BC有交点，∴ 1
, a 2.
2
P
P
D
A
D
F
O C A
B
Q C
E
第19 题图 B
第18 题图
19．（1）Ｏ、Ｄ分别为AC 、PC 的中点．∴OD // PA ，又PA 平面PAB ，OD 面PAB ，
∴OD // 平面PAB .
(2) AB BC ，OA OC ，∴OA OB OC, 又OP 平面ABC ，∴PA PB PC . 取BC 中点Ｅ，连结PE , 则BC 平面POE . 作OF PE 于F, 连结DF , 则OF 平面PBC , ∴ODF 是OD 与平面PBC 所成的角．在Rt ODF 中，sin OF
210
ODF
OD 30
．所以OD 与平面PBC 所成
的角正弦值为210 30
.
20．（文科）由题意AB ∥CD，∴∠C1BA 是异面直线BC 1与DC 所成的角。

连结AC 1 与AC，在Rt △ADC 中，可得AC= 5 。

又在Rt△ACC 1 中，可得AC1=3。

在梯形ABCD 中，过 C 作CH∥AD 交AB 于H,得∠CHB=90°，CH=2 ，HB=3, ∴CB= 13。

又在Rt△CBC 1 中，可得BC1= 17 ，在△ABC 1
3 17 3 17
D1 C1
中,cos∠C1BA= ，∴∠C1BA=arccos ．所以异面直线BC1
17 17
B1
A1
3 17
与DC 所成角的余弦值大小为
．
17
D
C
（理）如图，建立空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），B（1 2，0，
A B
H
第20 题文图
z
3），F（1，2，0），∴AB (2 ,0,3) ，AF （1，2，0）。

1
A 1 D1
（1）设平面AB1F 的一个法向量为n ( x, y, z) ，由
B1 C
z AB
1
AF
n
,
n,
AB
1
AF 2x
3
x
,
2
,
，
x
A
B C
第20 题理图
D
F
y
n
n
0,
0,
2
x
x
3
z
2y
0,
0,
得
即
∴
y
∴可取平面AB1F 的一个法向量为n (6, 3, 4) ．
（2）∵D1（0，2，3），设E（2，y，z），则D1 E (2, y 2, z 3)，由（1）知，平面AB1F 的一个法
6 2k,
向量为n (6, 3, 4) ，∴要使D1E 平面AB1F，只须使D1E // n ，∴令n kD1E ，即
3 ( y 2)k,∴
4 ( z 3)k ,
k y
z 3,
5
1,∴当 E 点坐标为（2，1，)
3
5
.
3
时，D1E 平面AB1F．
21．设棱长为1, 取MN 的中点E, 连结BE, B1 E. 正方体
ABCD-A1B1C1D1 中，M 、N 分别为棱AB 、BC 的中点，∴A
1
D
1
P
B
1
C
1
BM BN ，∴BE MN ，∵B1B MN ，∴
D
C MN
B
B
M
N
B
是
二
面
角
的
平
面
1 1
平面
BE ,
B EB
∴∠
1 角. 且BE=
B B
2 1 2 ME tan 1
2
MB . B EB 2 2.
1 BE
4 2 D
1
E
N
A B
M
第21 题（1）
P D
①
C
4 A
1 A
B ②
(2) 展开图如右图所示. P 、B 两点间的距离共计 4 种情
13
况①, PB=
；②
PB=
2
求得其中一个即可. 89
2
；③PB=
29
2
；④PB=
17
2
.
A
1
D
1
③
B
1
C
1
B
1
P
④
D B
C
第21 题（2）
22．设经过时间t 汽车在 A 点，船在 B 点，如图所示，
则AQ=30–20t，BP=40—10t，PQ=20,且有AQ⊥BP，PQ⊥AQ，PQ⊥PB，设小船所在平面为α,AQ ,QP 确定平面为β,记α∩β= l,由AQ∥α，AQ β得AQ∥l，又AQ⊥PQ，得PQ⊥l，又PQ⊥PB，及l∩PB= P 得PQ⊥α.作AC∥PQ，则AC⊥α.连CB，则AC⊥CB，进而AQ⊥BP，CP∥AQ 得CP⊥BP，∴AB
2= A C2+ B C2=PQ2+PB2+ P C2=202+（40－10t）2+(30—20t)2=100［5(t—2)2+9］，t=2 时AB 最短，最短距
A Q 离为30 m.．
P
l
C
B
备用题：
1．正方体ABCD －A 1B1C1D1 中，E 是BC 的中点，则 A 1C 与DE 所成的角的余弦值为（）
A ．
15
15
B．
10
15
C．
30
6
D．
10
10
解：选A．分别以DA 、DC、DD 1 为x 轴、y轴、z 轴，D 1C1设棱长为2，则A ( 2,0,2) ，E (2,1,0) ，C(0, 2,0) ，故
1
A1B1
有：A1C ( 2, 2, 2) ，DE (2,1, 0) ，由cos A C
1
A C
1
DE
DE
R
D
C
· E
A B
图
2
2
15
15
15。

所以 A 1C 与DE 所成的角的余弦值为
15
15。

2．如图，是几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数
是.
主视图左视图俯视图
解：这种题型最直接的解决方法就是还原法，根据三视图画出它的立体图形。

本题的立体图形如下，所以正确答案应该是 5 个。

3．已知A，B，C，D 为同一球面上的四点，且连接每两点的线段长都等于2，则球心到平面BCD 的距离等于_____________。

解：易知四面体ABCD 是以棱长为 2 的正四面体，球心为正面体的中心，可求得正四面体的高为
6
3
，
球的半径为3
4
6
3
6
4
，所球心到底面的距离为
6
3
6
4
6
12。

4．已知平面与平面交于直线l，P是空间一点，PA⊥，垂足为A，PB⊥，垂足为B，且PA=1，PB =2，若点 A 在内的射影与点 B 在内的射影重合，则点P 到l 的距离为________.
解：因为“点 A 在内的射影与点 B 在内的射影重合”，记为H，则四边形PAHB为矩形，所以点P 到l 的距离为矩形的对角线，对角线的长度为 5 ，所以P 到l 的距离 5 。

5．在ABC 中，BC 21，BAC 1200 ，ABC 所在平面外一点到A、B、C 的距离都是14，则
点P到面ABC的距离为
21
解：由P 到A、B、C的距离知，P点在底面上的射影O 为底面的外心，故2OA 14 3 ，
sin120
即OA 7 3 ，设P 到面ABC的距离为h ，则h PA2 OA2 7 。

6．在梯形ABCD 中，DAB ABC , AB BC 2AD 4, E, F 分别是AB、CD 上的点，
2
AE AB DF
DC
(0 1) ，G是BC 的中点．现沿EF 将四边形AEFD 折起，使AE BE, EG BD
（如
图9－11－4）．
(1)求证：平面AEFD 平面BEFC ；
(2)确定的值并计算二面角 D BF C 的大小；
(3)求点C 到平面BDF 的距离．
A D
A D
E F
E F
B ·G
C B ·
G
C
图9－11－4
(1)在原图中: DAB ABC . AB BC , AB AD .∵
2 AE
EB
DF
FC
，∴EF // BC // AD ，
AE EF ，折起后：由AE BE 及已知AE EF , BE EF E 所以A E 平面 B E, AE 平面AEFD, 平面AEFD 平面BEFC .
z
A D
A D
y
E F
E F
B ·
G
C
x B
·
G
C 图
(2) 知EA, EB, EF 两两垂直, 建立以E 为空间坐标系原点EB ,EF ,EA 分别为x, y, z 轴. 则
E (0,0,0), B(4 4 ,0,0), C(4 4 ,4,0) ，G(4 4 ,2,0), D (0,2,4 ) ，
BD (4 4,2,4 ), EG (4 4 ,2,0) , EG BD , 2
(4 4) 4 0 解得1
2
1 . 即
A(0,0,2), B (2,0,0), D (2,2,0), F (0,3,0) , BF ( 2,3,0), BD ( 2,2,2) .设平面DBF 的一个法向
量为n1 (x, y, z) ,由n 0，n1 BF 0 ,即n1 (3,2,1) ．又平面BCF 的一个法向量n2 (0,0,1) .
1 BD
∴cos n
n
1
2
14
14
,又因为二面角 D BF C 的平面角为钝角,所以为arccos 14
14
.
n1 n
2
(3)C(2,4,0),BC(0,4,0),点C到面BDF的距离为
BC n
1
8414 d．
7
14
n
1。