解斜三角形

1 2 sin B sin C = a 2 sin A
求证：a = b cos C + c cos B(课本18页第三题).
证明： sin A = sin(180° − A) = sin( B + C ) ∵
∴ sin A = sin B cos C + cos B sin C
a b c = cos C + cos B 2R 2R 2R
解三角形的应用. 解三角形的应用.
南偏西50°相距12海里 海里B处 例2、我舰在敌岛 南偏西 °相距 海里 处， 、我舰在敌岛A南偏西 发现敌舰正由岛沿北偏西10°的方向以10海里 海里/ 发现敌舰正由岛沿北偏西 °的方向以 海里 时的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰 小时追上敌舰， 时的速度航行，我舰要用 小时追上敌舰，则需 C 要的速度大小为 。
B D A C
分析：在四边形ABCD中欲求AB长 分析：在四边形ABCD中欲求AB长，只能去解三 ABCD中欲求AB 角形， AB联系的三角形有 ABC和 ABD， 联系的三角形有△ 角形，与AB联系的三角形有△ABC和△ABD，利 用其一可求AB AB。 用其一可求AB。
略解：Rt △ACD中，AD=1/cos30o ACD中
基本概念和公式.
海上有A、 两个小岛相距 海里， 两个小岛相距10海里 例1海上有 、B两个小岛相距 海里，从 海上有 A岛望 岛和 岛成 °的视角，从B岛望 岛望C岛和 岛成60°的视角， 岛望 岛和B岛成 岛望 C岛和 岛成 °的视角，那么 岛和 岛 岛和A岛成 岛和C岛 岛和 岛成75°的视角，那么B岛和 间的距离是 。
B间的距离？ 间的距离？
B A
想一想： 如何测定河两岸两点A、 想一想： 如何测定河两岸两点A
解三角形的应用---解三角形的应用---实地测量举例
B间的距离？ 间的距离？
A
αห้องสมุดไป่ตู้
β
C
B
想一想： 如何测定河两岸两点A、 想一想： 如何测定河两岸两点A
解三角形的应用---解三角形的应用---实地测量举例 A
解：应用正弦定理，C=45 ° 应用正弦定理， BC/sin60°=10/sin45° ° ° BC=10sin60 °/sin45° °
答： A C
60° ° 75° °
B
5 6 海里
基本概念和公式
练习.如图 一艘船以 海里/时的 练习 如图,一艘船以 海里 时的 如图 一艘船以32海里 速度向正北航行,在 处看灯塔 处看灯塔S 速度向正北航行 在A处看灯塔 在船的北偏东20 在船的北偏东 0, 30分钟后航行 分钟后航行 处看灯塔S在船的北偏 到B处,在B处看灯塔 在船的北偏 处 在 处看灯塔 方向上,求灯塔 求灯塔S和 处的距 东650方向上 求灯塔 和B处的距 离. 解：AB=16，由正弦定理知： ，由正弦定理知： BS/sin20°=AB/sin45° ° ° 可求BS= 16 2 ⋅ sin 20°海里。 海里。 可求
分析： 小时敌舰航行距离 小时敌舰航行距离AC=20， 分析：2小时敌舰航行距离 ， 10 °
由AB=12，∠BAC=120°， ， ° 余弦定理可解我舰航行距离 BC。 。
50 ° B 南
A
想一想： 如何测定河两岸两点A、 想一想： 如何测定河两岸两点A
解三角形的应用---解三角形的应用---实地测量举例
即：a = b cos C + c cos B
△BCD中，1/sin45=BD/sin60，可求BD。 BCD中 1/sin45=BD/sin60，可求BD BD。
) 由余弦定理在△ABD中可求AB。 由余弦定理在△ABD中可求AB。(AB ≈ 0.913 中可求AB
B D A C
∠ACD=90o，∠BCD=60o， ACD=90 BCD=60 BDC=75 ADC=30 ∠BDC=75o，∠ADC=30o，
1 2 sin B sin C 证明三角形的面积公式：S = a .(课本20页B组第一题) 2 sin A
b a a sin B 证明：由正弦定理得： = , ∴b = , sin B sin A sin A
∴三角形的面积公式为 1 a sin B 1 ⋅ sin C S = ab sin C = a ⋅ 2 sin A 2
B间的距离？ 间的距离？
α βa
C B
简解： 简解：由正弦定理可 得 AB/sinα=BC/sinA =a/sin(α+β) A
α
β
a C
B
例3、 如何测定河对岸两点A、B 如何测定河对岸两点A
解三角形的应用---解三角形的应用---实地测量举例
间的距离？如图在河这边取一点， 间的距离？如图在河这边取一点， 构造三角形ABC 能否求出AB? ABC， AB?为 构造三角形ABC，能否求出AB?为 什么？？ 什么？？
B A C
例3、 为了测定河对岸两点A、B 为了测定河对岸两点A
解三角形的应用---解三角形的应用---实地测量举例
间的距离，在岸边选定1公里长 间的距离，在岸边选定1 的基线CD，并测得∠ACD=90 的基线CD，并测得∠ACD=90o， BCD=60 BDC=75 ∠BCD=60o，∠BDC=75o， ADC=30 两点的距离. ∠ADC=30o，求A、B两点的距离.
a +b sin A + sin B 求证： 2 = 2 c sin C
2 2 2 2
（2 R sin A） + 2 R sin B） （ 证明：左边 = 2 （2 R sin C）
2 2
（2 R ) (sin A + sin B) = (2 R ) 2 sin 2 C
2 2 2
sin 2 A + sin 2 B = = 右边 2 sin C
解斜三角形理论应用于实际问题应注意： 解斜三角形理论应用于实际问题应注意： 1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素。 、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素。 2、要明确题目中一些名词、术语的意义。如 、要明确题目中一些名词、术语的意义。 仰角，俯角，方位角等等。 仰角，俯角，方位角等等。 3、动手画出示意图，利用几何图形的性质， 、动手画出示意图，利用几何图形的性质， 将已知和未知集中到一个三角形中解决。 将已知和未知集中到一个三角形中解决。 4、计算要认真。 、计算要认真。