2021年河北省唐山市丰润区中考数学一模试卷

2021年河北省唐山市丰润区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题有16个小题，共42分．1～10小题各3分，11～16小题各2分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）实数2，0，2-，2中，为负数的是( ) A ．2
B ．0
C ．2-
D ．2
2．（3分）下列几何体中，俯视图是圆的几何体是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
3．（3分）数据0.0125用科学记数法表示为( ) A ．10.12510-⨯
B ．21.2510-⨯
C ．20.12510-⨯
D ．312.510-⨯
4．（3分）正五边形的外角和为( ) A ．180︒
B ．360︒
C ．540︒
D ．720︒
5．（3分）不等式3(1)24x x ->-的解集在数轴上表示正确的是( ) A ． B ．
C ．
D ．
6．（3分）一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为( ) A ．
1
4
B ．13
C ．
12
D ．
23
7．（3分）如图，E 是直线CA 上一点，40FEA ∠=︒，射线EB 平分CEF ∠，GE EF ⊥．则(GEB ∠= )
A．10︒B．20︒C．30︒D．40︒
8．（3分）如图，在ABC
=，点D在AC边上，以CB，CD为边
∠=︒，AB AC
∆中，40
A
作BCDE，则E
∠的度数为()
A．40︒B．50︒C．60︒D．70︒
9．（3分）已知关于x的一元二次方程210
x bx
+-=，则下列关于该方程根的判断，正确的是()
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
10．（3分）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB cm
=，则水的最大深度为()
48
A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm
11．（2分）如图，把ABC
∆，则顶∆先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到DEF
点(0,1)
C-对应点的坐标为()
A ．(0,0)
B ．(1,2)
C ．(1,3)
D ．(3,1)
12．（2分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD 为中线，延长CB 至点E ，使BE BC =，连接DE ，F 为DE 中点，连接BF ．若8AC =，6BC =，则BF 的长为( )
A ．2
B ．2.5
C ．3
D ．4
13．（2分）已知点(2,)a -，(2,)b ，(3,)c 在函数(0)k y k x
=>的图象上，则下列判断正确的
是( ) A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．a c b <<
D ．c b a <<
14．（2分）如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 在AC 上，DBC A ∠=∠．若4AC =，4
cos 5
A =，
则BD 的长度为( )
A ．
94
B ．
125
C ．
154
D ．4
15．（2分）如图，二次函数2(1)y a x k =++的图象与x 轴交于(3,0)A -，B 两点，下列说法错误的是( )
A ．0a <
B ．图象的对称轴为直线1x =-
C ．点B 的坐标为(1,0)
D ．当0x <时，y 随x 的增大而增大
16．（2分）如图，点O 为矩形ABCD 的对称中心，点E 从点A 出发沿AB 向点B 运动，移动到点B 停止，延长EO 交CD 于点F ，则四边形AECF 形状的变化依次为( )
A ．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B ．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C ．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D ．平行四边形→菱形→正方形→矩形
二、填空题（本大题有3个小题，共12分．17～18小题各3分；19小题有2个空，每空3分）
17．（3分）计算：63()a a -÷= ．
18．（3分）如图，在x 轴，y 轴上分别截取OA ，OB ，使OA OB =，再分别以点A ，B 为圆心，以大于1
2
AB 长为半径画弧，两弧交于点P ．若点P 的坐标为(,23)a a -，则a 的值为 ．
19．（6分）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，⋯，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为 ；第 个图案中黑色三角形的个数为300．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20．（8分）计算：011|2|(3)2cos30()123
π--+++︒-+
21．（8分）先化简，再求值：2(23)(2)(2)2(35)x y x y x y y x y +-+--+，其中2x =6
1y =-． 22．（9分）如图，在ABC ∆和DCE ∆中，AC DE =，90B DCE ∠=∠=︒，点A ，C ，D 依次在同一直线上，且//AB DE ．
（1）求证：ABC DCE
∆≅∆．
（2）连接AE，当5
BC=，12
AC=时，求AE的长．
23．（9分）如图，已知点(2,2)
A--在双曲线
k
y
x
=上，过点A的直线与双曲线的另一支交
于点(1,)
B a．
（1）求直线AB的解析式；
（2）过点B作BC x
⊥轴于点C，连接AC，过点C作CD AB
⊥于点D．求线段CD的长．
24．（10分）为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课，按照类别分为，A“剪纸”、B“沙画”、C“葫芦雕刻”、D“泥塑”、E“插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为；
（2）统计图中的a=，b=；
（3）补全条形统计图；
（4）该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数．
25．（10分）黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元． （1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？
（2）设甲商品的销售单价为x （单位：元/件），在销售过程中发现：当1119x 时，甲商品的日销售量y （单位：件）与销售单价x 之间存在一次函数关系，x 、y 之间的部分数值对应关系如表： 销售单价x （元/件） 11 19 日销售量y （件)
18
2
请写出当1119x 时，y 与x 之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w 元，当甲商品的销售单价x （元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？
26．（12分）如图，在ABC ∆中，42AB =，45B ∠=︒，60C ∠=︒． （1）求BC 边上的高线长．
（2）点E 为线段AB 的中点，点F 在边AC 上，连接EF ，沿EF 将AEF ∆折叠得到PEF ∆． ①如图2，当点P 落在BC 上时，求AEP ∠的度数． ②如图3，连接AP ，当PF AC ⊥时，求AP 的长．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有16个小题，共42分．1～10小题各3分，11～16小题各2分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）实数2，0，2-，2中，为负数的是( ) A ．2
B ．0
C ．2-
D ．2
【解答】解：实数2，0，2-，2中，为负数的是2-， 故选：C ．
2．（3分）下列几何体中，俯视图是圆的几何体是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：A 、俯视图是圆，故此选项正确；
B 、俯视图是正方形，故此选项错误；
C 、俯视图是长方形，故此选项错误；
D 、俯视图是长方形，故此选项错误．
故选：A ．
3．（3分）数据0.0125用科学记数法表示为( ) A ．10.12510-⨯
B ．21.2510-⨯
C ．20.12510-⨯
D ．312.510-⨯
【解答】解：20.0125 1.2510-=⨯． 故选：B ．
4．（3分）正五边形的外角和为( ) A ．180︒
B ．360︒
C ．540︒
D ．720︒
【解答】解：任意多边形的外角和都是360︒， 故正五边形的外角和的度数为360︒． 故选：B ．
5．（3分）不等式3(1)24
x x
->-的解集在数轴上表示正确的是()
A．B．
C．D．
【解答】解：去括号，得：3324
x x
->-，
移项，得：3423
x x
-+>-，
合并同类项，得：1
x>-，
故选：A．
6．（3分）一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为()
A．1
4
B．
1
3
C．
1
2
D．
2
3
【解答】解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率
42 423
==
+
．
故选：D．
7．（3分）如图，E是直线CA上一点，40
FEA
∠=︒，射线EB平分CEF
∠，GE EF
⊥．则(
GEB
∠=)
A．10︒B．20︒C．30︒D．40︒
【解答】解：40
FEA
∠=︒，GE EF
⊥，
180********
CEF FEA
∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，180180409050
CEG AEF GEF
∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，
射线EB平分CEF
∠，
∴
11
14070
22
CEB CEF
∠=∠=⨯︒=︒，
705020 GEB CEB CEG
∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，
故选：B．
8．（3分）如图，在ABC
∆中，40
A
∠=︒，AB AC
=，点D在AC边上，以CB，CD为边作BCDE，则E
∠的度数为()
A ．40︒
B ．50︒
C ．60︒
D ．70︒
【解答】解：在ABC ∆中，40A ∠=︒，AB AC =， (18040)270C ∴∠=︒-︒÷=︒，
四边形BCDE 是平行四边形，
70E ∴∠=︒．
故选：D ．
9．（3分）已知关于x 的一元二次方程210x bx +-=，则下列关于该方程根的判断，正确的是( )
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．没有实数根
D ．实数根的个数与实数b 的取值有关 【解答】解：△224(1)40b b =-⨯-=+>， ∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A ．
10．（3分）往直径为52cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽
48AB cm =，则水的最大深度为( )
A ．8cm
B ．10cm
C ．16cm
D ．20cm
【解答】解：连接OB ，过点O 作OC AB ⊥于点D ，交O 于点C ，如图所示：
48AB cm =，
11
4824()22
BD AB cm ∴=
=⨯=， O 的直径为52cm ， 26OB OC cm ∴==，
在Rt OBD ∆中，2222262410()OD OB BD cm =-=-=， 261016()CD OC OD cm ∴=-=-=，
故选：C ．
11．（2分）如图，把ABC ∆先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到DEF ∆，则顶点(0,1)C -对应点的坐标为( )
A ．(0,0)
B ．(1,2)
C ．(1,3)
D ．(3,1)
【解答】解：把ABC ∆先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到DEF ∆，顶点(0,1)C -， (03,12)F ∴+-+，
即(3,1)F ， 故选：D ．
12．（2分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD 为中线，延长CB 至点E ，使BE BC =，连接DE ，F 为DE 中点，连接BF ．若8AC =，6BC =，则BF 的长为( )
A ．2
B ．2.5
C ．3
D ．4
【解答】解：在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8AC =，6BC =，
22228610AB AC BC ∴=+=+=．
又CD 为中线， 1
52
CD AB ∴=
=． F 为DE 中点，BE BC =即点B 是EC 的中点，
BF ∴是CDE ∆的中位线，则1
2.52
BF CD ==．
故选：B ．
13．（2分）已知点(2,)a -，(2,)b ，(3,)c 在函数(0)k
y k x
=>的图象上，则下列判断正确的
是( ) A ．a b c << B ．b a c << C ．a c b << D ．c b a <<
【解答】解：0k >，
∴函数(0)k
y k x
=>的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y 随x 的增大而减小，
2023-<<<， 0b c ∴>>，0a <， a c b ∴<<．
故选：C ．
14．（2分）如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 在AC 上，DBC A ∠=∠．若4AC =，4
cos 5
A =，
则BD 的长度为( )
A ．
94
B ．
125
C ．
154
D ．4
【解答】解：90C ∠=︒，4AC =，4
cos 5A =，
5cos AC
AB A
∴=
=， ∴223BC AB AC =-=，
DBC A ∠=∠．
4
cos cos 5
BC DBC A BD ∴∠=∠==， ∴515344
BD =⨯
=， 故选：C ．
15．（2分）如图，二次函数2(1)y a x k =++的图象与x 轴交于(3,0)A -，B 两点，下列说法错误的是( )
A ．0a <
B ．图象的对称轴为直线1x =-
C ．点B 的坐标为(1,0)
D ．当0x <时，y 随x 的增大而增大
【解答】解：观察图象可知0a <，由抛物线的解析式可知对称轴1x =-， (3,0)A -，A ，B 关于1x =-对称， (1,0)B ∴，
故A ，B ，C 正确，
当10x -<<时，y 随x 的增大而减小， ∴选项D 错误．
故选：D ．
16．（2分）如图，点O 为矩形ABCD 的对称中心，点E 从点A 出发沿AB 向点B 运动，移动到点B 停止，延长EO 交CD 于点F ，则四边形AECF 形状的变化依次为( )
A ．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B ．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C ．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D ．平行四边形→菱形→正方形→矩形
【解答】解：观察图形可知，四边形AECF 形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形． 故选：B ．
二、填空题（本大题有3个小题，共12分．17～18小题各3分；19小题有2个空，每空3分）
17．（3分）计算：63()a a -÷= 3a ． 【解答】解：63633()a a a a a -÷=÷=． 故答案为：3a ．
18．（3分）如图，在x 轴，y 轴上分别截取OA ，OB ，使OA OB =，再分别以点A ，B 为圆心，以大于1
2
AB 长为半径画弧，两弧交于点P ．若点P 的坐标为(,23)a a -，则a 的值为 3 ．
【解答】解：OA OB =，分别以点A ，B 为圆心，以大于1
2
AB 长为半径画弧，两弧交于点P ，
∴点P 在BOA ∠的角平分线上， ∴点P 到x 轴和y 轴的距离相等，
又点P 的坐标为(,23)a a -，
23a a ∴=-，
3a ∴=．
故答案为：3．
19．（6分）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，⋯，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为 15 ；第 个图案中黑色三角形的个数为300．
【解答】解：由图形的变化规律知，④中黑三角的个数为123410+++=，
?中黑三角的个数为1
1234...(1)2
n n n +++++=
+， 第⑤个图案中黑色三角形的个数为：1
5(51)152⨯⨯+=，
1
(1)3002
n n +=， 0n >， 24n ∴=．
故答案为：⑤，?．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20．（8分）计算：011|2|(3)2cos30()123
π--+++︒-+
【解答】解：原式3
212323=++-+213323=++33=
21．（8分）先化简，再求值：2(23)(2)(2)2(35)x y x y x y y x y +-+--+，其中2x =6
1y =-． 【解答】解：原式2222241294610x xy y x y xy y =++-+-- 6xy =，
当2x 61y =
-时，原式662(1)362=-=． 22．（9分）如图，在ABC ∆和DCE ∆中，AC DE =，90B DCE ∠=∠=︒，点A ，C ，D 依
次在同一直线上，且//
AB DE．
（1）求证：ABC DCE
∆≅∆．
（2）连接AE，当5
BC=，12
AC=时，求AE的长．【解答】证明：（1）//
AB DE，
BAC D
∴∠=∠，
又90
B DCE
∠=∠=︒，AC DE
=，
()
ABC DCE AAS
∴∆≅∆；
（2）ABC DCE
∆≅∆，
5
CE BC
∴==，
90
ACE
∠=︒，
222514413
AE AC CE
∴=+=+=．
23．（9分）如图，已知点(2,2)
A--在双曲线
k
y
x
=上，过点A的直线与双曲线的另一支交
于点(1,)
B a．
（1）求直线AB的解析式；
（2）过点B作BC x
⊥轴于点C，连接AC，过点C作CD AB
⊥于点D．求线段CD的长．
【解答】解：（1）将点(2,2)
A--代入
k
y
x
=，得4
k=，
即
4
y
x =，
将(1,)B a 代入4
y x
=，得4a =， 即(1,4)B ，
设直线AB 的解析式为y mx n =+，
将(2,2)A --、(1,4)B 代入y mx n =+，得224m n m n -=-+⎧⎨=+⎩，解得2
2m n =⎧⎨=⎩，
∴直线AB 的解析式为22y x =+；
（2）
(2,2)A --、(1,4)B ，
∴22(21)(24)35AB =--+--=，
11
3
22ABC S AB CD BC ∆=⨯⨯=⨯⨯，
∴34345
535
BC CD AB ⨯⨯=
==． 24．（10分）为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课，按照类别分为，A “剪纸”、 B “沙画”、 C “葫芦雕刻”、 D “泥塑”、 E “插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本容量为 120 ； （2）统计图中的a = ，b = ； （3）补全条形统计图；
（4）该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数． 【解答】解：（1）1815%120÷=（人)，因此样本容量为120； 故答案为：120；
（2）12010%12a =⨯=（人)，12030%36b =⨯=（人)， 故答案为：12，36；
（3）E 组频数：1201812303624----=（人)， 补全条形统计图如图所示：
（4）30
2500625120
⨯
=（人)， 答：该校2500名学生中喜爱“葫芦雕刻”的有625人．
25．（10分）黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元． （1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？
（2）设甲商品的销售单价为x （单位：元/件），在销售过程中发现：当1119x 时，甲商品的日销售量y （单位：件）与销售单价x 之间存在一次函数关系，x 、y 之间的部分数值对应关系如表： 销售单价x （元/件） 11 19 日销售量y （件)
18
2
请写出当1119x 时，y 与x 之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w 元，当甲商品的销售单价x （元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是a 、b 元/件，由题意得： 3260
2365a b a b +=⎧⎨
+=⎩
， 解得：1015a b =⎧⎨=⎩
．
∴甲、乙两种商品的进货单价分别是10元/件、15元/件．
（2）设y 与x 之间的函数关系式为11y k x b =+，将(11,18)，(19,2)代入得： 11111118192k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：11
2
40k b =-⎧⎨
=⎩． y ∴与x 之间的函数关系式为240(1119)y x x =-+．
（3）由题意得： (240)(10)w x x =-+- 2260400x x =-+-
22(15)50(1119)x x =--+．
∴当15x =时，w 取得最大值50．
∴当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元．
26．（12分）如图，在ABC ∆中，42AB =，45B ∠=︒，60C ∠=︒． （1）求BC 边上的高线长．
（2）点E 为线段AB 的中点，点F 在边AC 上，连接EF ，沿EF 将AEF ∆折叠得到PEF ∆． ①如图2，当点P 落在BC 上时，求AEP ∠的度数． ②如图3，连接AP ，当PF AC ⊥时，求AP 的长．
【解答】解：（1）如图1中，过点A 作AD BC ⊥于D ．
在Rt ABD ∆中，2
sin 4524AD AB =⋅︒==．
（2）①如图2中，
AEF PEF
∆≅∆，
AE EP
∴=，
AE EB
=，
BE EP
∴=，
45
EPB B
∴∠=∠=︒，
90
PEB
∴∠=︒，
1809090
AEP
∴∠=︒-︒=︒．
②如图3中，由（1）可知：
83
sin603
AD
AC==
︒
，
PF AC
⊥，
90
PFA
∴∠=︒，
AEF PEF
∆≅∆，
45
AFE PFE
∴∠=∠=︒，AFE B
∴∠=∠，
EAF CAB
∠=∠，
AEF ACB
∴∆∆
∽，
∴AF AE
AB AC
=
=
AF
∴=
在Rt AFP
∆，AF FP
=，
AP
∴==
方法二：AE BE PE
==可得直角三角形ABP，由PF AC
⊥，可得45
AFE
∠=︒，可得
45
FAP
∠=︒，即30
PAB
∠=︒
．cos30
AP AB
=︒=。