高一数学暑期预科-初高衔接课讲义

新高一数学必备知识
一、乘法公式
1、完全平方公式和平方差公式
()2222b ab a b a +±=± ()()22b a b a b a -=-+
2、和立方与差立方公式
()3223333b ab b a a b a +++=+ ()3223333b ab b a a b a -+-=-
3、立方和与立方差公式
()()3322b a b ab a b a +=+-+ ()()3322b a b ab a b a -=++-
二、一元二次方程
1、韦达定理
一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
若ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）两根分别是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝b a -
，x 1·x 2＝c
a
．也被称为韦达定理．以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0． 利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：
一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题(相关地，抛物线与x 轴两交点间的距离)，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：
设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)的两根，
则a ac b b x 2421-+-=，a
ac b b x 2422---=，
||4|242||2424|||222221a ac
b a a
c b a ac b b a ac b b x x -=
-=-----+-=-∴|
|a ∆=．
【例题精讲】
例1. 已知方程5x 2＋kx -6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．
例2. 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x -3=0的两根． (1) 求|x 1-x 2|的值； (2) 求2
2
2111x x +的值； (3) 求31x ＋3
2x 的值．
例3. 已知α、β是方程x 2＋2x -5=0的两个实数根，则α2＋αβ＋2α的值为_______．
【巩固练习】
1. 1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式
14
212
1<-+x x x x ，
则实数m 的值范围是 ．
2. 关于x 的方程2
40x x m ++=的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．
3. 已知α、β是方程2
10x x --=的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ．
2、利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等
【例题精讲】
例1. 设a ,b 是相异的两实数，满足a
b b a b b a a 2
22
2
,34,34++=+=求的值
例2. 0519998081999
52
2=++=+-b b a a 及已知，求b
a
的值．
【巩固练习】
1. 如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，求b
a
a b +的值
2. 设实数a ,b 分别满足,01999,01991922=++=++b b a a 且b
a a
b ab 1
4,1++≠求的值．
3. △ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 ．
3、根的分布定理 （1）0分布
一元二次方程()2
00ax bx c a ++=≠的根从几何意义上来说就是二次函数
()c bx ax x f ++=2与x 轴交点的横坐标，所以研究02=++c bx ax 的实根的情况，可从
函数()c bx ax x f ++=2的图象上进行研究.
0∆>⎧0
∆>⎧
【例题精讲】
例1. 已知方程()2
210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围．
例2. 若方程05)2(2
=-+-+m x m x 的根满足下列条件，分别求出实数m 的取值范围． （1）方程两实根均为正数；（2）方程有一正根一负根．
【巩固练习】
已知一元二次方程()()2
21210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范
围．
（2）k分布
【知识梳理】
k
k k
【例题精讲】
例1. 若关于x 的方程02=++a x x 的一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围．
例2. 若关于x 的方程02=++a x x 的两根均小于1，求实数a 的取值范围．
例3.已知二次函数()()()2
22433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，
一个小于1，求实数m 的取值范围．
【巩固练习】
1. 关于x 的方程02)1(22
=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（ ）
12121
||1
1>-<<<-><<-a a D a C
a B a A 或
2. 实数k 为何值时，方程022
=-+-k kx x 的两根都大于
2
1 ．
3. （1）已知：,αβ是方程()2
21420x m x m +-+-=的两个根，且2αβ<<，求m 的
取值范围；
（2）若2
20x ax ++=的两根都小于1-，求a 的取值范围．
（3）m、n分布
()0
⎧>
f m
()0
⎧<
f m
【例题精讲】
例1. 已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0，
（1）若方程有两根，其中一根满足011<<-x ，另一根满足212<<x ，求m 的范围； （2）若方程两根满足1021<≤<x x ，求m 的范围．
例 2. 关于x 的二次方程()2
2
71320x p x p p -++--=的两根βα,满足0
12αβ<<<<，求实数p 的取值范围．
例3. 二次函数6)1(252
2-++-=m x m x y 的图像与x 轴的两个交点满足1121≤<≤-x x ，
且分居y 轴的两侧，求实数m 的取值范围．
例4. 若二次函数y =的图象与两端点为A （0，3），B （3，0）的线段AB 有两
个不同的交点，求m 的取值范围．
2
1x mx -+-
【巩固练习】
1. 关于x 的方程0532=+-a x x 的两根分别满足021<<-x ，312<<x ，求a 的取值范围．
2. 二次方程2210x kx k ++-=的两个根1x 与2x ，当121x -<<-且212x <<时，实数k 的取值范围是 ．
总结：一元二方程根的分布只需考虑三个方面：（1）a 和△的符
号（2）对称轴相对于区间的位置（3）所给区间端点函数值符号
【例题精讲】
例1.当关于x 的方程的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围： （1）方程x 2-ax+a -7=0的两个根一个大于2，另一个小于2； （2）方程ax 2+3x+4=0的根都小于1；
（3）方程x 2-2(a+4)x+2a 2+5a +3=0的两个根都在31-≤≤x 内；
（4）方程7x 2-（a+13）x+2a -1=0的一个根在10<<x 内，另一个根在21<<x 内．
例2.已知函数22()(21)2f x x a x a =--+-与非负x 轴至少有一个交点，求a 的取值范围．
【巩固练习】
已知方程03)3(24
=+--m x m mx 有一个根小于1-，其余三个根都大于1-，求m 的
取值范围．
三、不等式
1、一元二次不等式
例1. 解下列不等式
（1）()()x x x 2531-<--； （2）()()2
1311+>+x x x ；
（3）()()()
233122+>-+x x x ； （4）2
2
2
3133x x x -
>+-； （5）()131
12
->
+-x x x x
（6）x 2＋2x －3≤0； （7）x －x 2＋6＜0； （8）4x 2＋4x ＋1≥0； （9）x 2－6x ＋9≤0； （10）－4＋x －x 2＜0．
例2.设R m ∈，解关于x 的不等式0322
<-+m mx mx ．
2、分式不等式及高次不等式
（1）简单分式不等式的解法：
已知f (x )与g (x )是关于x 的多项式，不等式()0()f x g x >，()0()f x g x <，()0()f x g x ≥，()
0()
f x
g x ≤称为分式不等式．前面介绍过的符号法则可以进行推广，进而可以研究分式不等式．将分式不等式进行同解变形，利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式（组）即可求解．具体如下：
()0()f x g x >①
，即()0()0f x g x >⎧⎨>⎩或()0
()0
f x
g x <⎧⎨<⎩，即()()0f x g x ⋅>；
()0()f x g x <②
，即()0()0f x g x >⎧⎨<⎩或()0
()0f x g x <⎧⎨>⎩，即()()0f x g x ⋅<； ()0()f x g x ≥③
，即()()0
()0f x g x g x ⋅≥⎧⎨≠⎩，即()()0f x g x ⋅>或()0f x =； ()0()f x g x ≤④
，即()()0
()0f x g x g x ⋅≤⎧⎨≠⎩
，即()()0f x g x ⋅<或()0f x =．
（2）简单高次不等式的解法：
不等式的最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式．前面介绍过的符号法则可以进行推广，进而可以研究高次不等式．解高次不等式的方法有两种：
方法1：将高次不等式f (x )＞0(＜0)中的多项式f (x )分解成若干个不可约因式的乘积，根据符号法则等价转化为两个或多个不等式（组）即可求解．但应注意：原不等式的解集是各不等式（组）解集的并集，且次数较大时，此种方法比较烦琐．
方法2：穿针引线法：①将不等式化为标准形式，右端为0，左端为一次因式（因式中x 的系数为正）或二次不可约因式的乘积；②求出各因式的实数根，并在数轴上标出；③自最右端上方起，用曲线自右向左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过（奇过偶不过）；④记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号即可写出解集．
例题解析
（1）求不等式03
2≥-+x x 的解集 （2）求不等式3223x x -≥+的解集
（3）求不等式221x x 的解集
（4）求不等式()()
0236522≤++--x x x x 的解集
3、恒成立与有解问题
一元二次不等式的恒成立问题，即可以看成一个函数()x f y =的图象与x 轴的位置关系问题，若是不等式()0>x f 恒成立，即函数图象恒在x 轴上方，且与x 轴无交点，同理可以得到其他类似情形。

【例题精讲】
例1. 已知不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．
例2. 已知()()4222+-+=x a x x f .
（1）如果对一切R x ∈，()0>x f 恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）如果对()1,3-∈x ，()0>x f 成立，求实数a 的取值范围.
【巩固练习】
1. 已知关于x 的二次不等式: 2(1)10ax a x a +-+-<的解集为R ，求a 的取值范围.
2. 不等式220x mx m --≤有实数解，且对于任意的实数解1212,3x x x x -≤恒有，求实数m 的取值范围
3. 已知函数2
()f x x px q =++，且(2)2f =，若对于任意实数x 恒有()f x x ≥，求实数p,q 的值.
四、二次函数的最值
1、二次函数的最值——轴定区间定
二次函数的最值问题，核心是对函数对称轴与给定x 范围的相对位置关系的讨论． 一般分为：对称轴在取值范围的左边，中间，右边三种情况．
分析：
【例题精讲】
例1.求函数
的最小值；
例2.当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．
例3.当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．
2、轴定区间动、轴动区间定
例1. 已知函数y ＝x 2，－2≤x ≤a ，其中a ≥－2，求该函数的最大值与最小值， 并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值．
例2.当1t x t ≤≤+时，求函数21522
y x x =
--的最小值(其中t 为常数)．
例3.当10≤≤x 时，求函数122++-=ax x y 的最大值（其中a 为常数）．
例4.已知函数2()21f x ax ax =++在23≤≤-x 时的最大值为4，求实数a 的值．．
【巩固练习】
1、已知函数2
142+-+-=a at t y ，在11≤≤-t 时的最大值为2，求a 的值．
2、已知二次函数2()(21)1f x ax a x =+-+在22
3-≤≤x 时的最大值为3，求实数a 的值．。