学案3：17.2勾股定理的逆定理

17.2勾股定理的逆定理

学习目标：

1．掌握勾股定理的逆定理，并会用它判断一个三角形是不是直角三角形. 2．探究勾股定理的逆定理的证明方法. 3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系. 学习重点：勾股定理的逆定理及其实际应用. 学习难点：勾股定理逆定理的证明. 学习过程： 一、知识回顾

1.直角三角形有哪些性质?

2.如何判断三角形是直角三角形?

二、自主探究：

猜想：命题2 该猜想的题设和结论与勾股定理的题设和结论正好 .

如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这样的两个命题叫做 命题，若把其中一个叫做原命题．．．

，那么另一个叫做它的 命题.譬如： ①原命题：若a ＝b ,则a 2＝b 2；逆命题： .（正确吗？答 ） ②原命题：对顶角相等；逆命题： . （正确吗？答 ）

由此可见：原命题正确，它的逆命可能 也可能 .正确的命题叫真命题．．．，不正确的命题叫假命题．．． 三、自主提升：

1.命题2：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形.

已知：在△ABC 中，AB =c ，BC =a ，CA =b ，且222c b a =+ 求证：∠C =90°

思路：构造法——构造一个直角三角形，使它与原三角形 全等，利用对应角相等来证明．

C

B

A

b a

c

C'

B'

A'

a

b

通过证明，我发现勾股定理的逆命题是 的，它也是一个 ，我们把它叫做勾股定理的 .

注：(1)每一个命题都有逆命题.

(2)一个命题的逆命题是否成立与原命题是否成立没有因果关系. (3)每个定理都有逆命题，但不一定都有逆定理.

2.例1、判断由线段a ，b ，c 组成的△ABC 是不是直角三角形. (1) a =15，b =8，c =17； (2) a =13，b =14，c =15. 分析：①首先确定最大边；

②验证最大边的平方与最短的两边平方和是否相等.

3.例2、某港口位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里. 如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

分析：“远航”号航行方向已知，只要求出“海天”号与它的航向的夹角就可以知道“海天”号的航行方向.

四、自我检测：

1、 分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）8，15，17； （4）4，5，6. 其中能构成直角三角形的有（ ） A.4组 B.3组 C.2组 D.1组

2、 三角形的三边长分别为a 2＋b 2、2ab 、a 2－b 2（a 、b 都是正整数），则这个三角形是（ ）

远航号

海岸线

A ．直角三角形

B ．钝角三角形

C ．锐角三角形

D ．不能确定

3、已知两条线段的长为5c m 和12c m ，当第三条线段的长为 c m 时，这三条线段能组成一个直角三角形。

4、已知：如图，四边形ABCD 中，AB =3，BC =4，CD =5，AD =25，

∠B =90°，求四边形ABCD 的面积.

5、如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A 、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C 地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西n °，问：甲巡逻艇的航向？

五、小结与反思

目前判定三角形是直角三角形的方法有哪些？

D

A

B

C

参考答案：

一、1.直角三角形的两锐角互余；勾股定理. 2.勾股定理的逆定理.

二、如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形；相反；互逆；逆命题；①若a 2＝b 2,则a ＝b ，（不正确）；②相等的角是对顶角（不正确）；正确；不正确.

三、1.提示：作一个直角三角形A¹B¹C¹，使A¹C¹=b ，B¹C¹=a ，∠C¹=90°，由勾股定理得： A¹B¹=√A¹C¹2+B¹C¹2=√a 2+b 2=√c 2=c =AB ，根据SSS 可以判断△ABC ≌△A¹B¹C¹， 从而∠C=∠C¹=90°.

通过证明，我发现勾股定理的逆命题是 正确 的，它也是一个 定理 ，我们把它叫做勾股定理的 逆定理 .

2.（1）是直角三角形；（2）不是直角三角形.

3. 沿西北方向航行.

四、1、B ；2、A ；3、13或√119；4、181

2（提示：根据勾股定理得到AC=5，再根据勾股

定理的逆定理可以判定△ACD 是直角三角形，从而求得四边形ABCD 的面积）