2009年考研数学(二)真题及解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学（二）
（科目代码：302）
（考试时间：上午8:30-11:30）
考生注意事项
1.答题前，考生须在试题册指定位置填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。

2.选择题答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。

3.填（书）写部分必须使用黑色签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。

4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。

1
()
f x O
2
3
x
-11
22009年全国硕士研究生入学统一考试
数学（二）试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．
指定位置上．（1）函数3()sin πx x f x x
-=的可去间断点的个数为
（A ）1．
（B ）2．
（C ）3．
（D ）无穷多个．
（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2
()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小量，则
（A ）11,6a b ==-．（B ）11,6a b ==
．（C ）1
1,6
a b =-=-．
（D ）1
1,6
a b =-=．
（3）设函数(,)z f x y =的全微分为d d d z x x y y =+，则点(0,0)
（A ）不是(,)f x y 的连续点．（B ）不是(,)f x y 的极值点．（C ）是(,)f x y 的极大值点．（D ）是(,)f x y 的极小值点．
（4）设函数(,)f x y 连续，则
2
2
2
41
1
d (,)d d (,)d y x
y x f x y y y f x y x -+=⎰
⎰⎰⎰
（A ）2
411d (,)d x
x f x y y -⎰⎰．（B ）2
41d (,)d x x x f x y y -⎰
⎰
．
（C ）
2
411
d (,)d y
y f x y x -⎰
⎰
．
（D ）
2
2
1
d (,)d y
y f x y x ⎰
⎰．
（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点(1,1)处的曲率圆为22
2x y +=，则函数
()f x 在区间(1,2)内
（A ）有极值点，无零点．（B ）无极值点，有零点．（C ）有极值点，有零点．
（D ）无极值点，无零点．
（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形如图所示，则函数
()()d x
F x f t t =⎰的图形为
()
F x O
23
x
1-1
-1
1
()
F x O
23
x
1
-11()
F x O
23
x
1-1
-1
1
（A ）（B ）
（C ）
（D ）
（7）设,A B 均为2阶矩阵，*
*
,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若2,3==A B ，则分块矩
阵⎛⎫ ⎪⎝⎭O A B O 的伴随矩阵为
（A ）**
32⎛⎫ ⎪⎝⎭O B A O ．（B ）**23⎛⎫
⎪⎝⎭O
B A
O ．（C ）**32⎛⎫ ⎪⎝⎭O A B O ．（D ）**
23⎛⎫
⎪⎝⎭
O A B
O ．（8）设,A P 均为3阶矩阵，T P 为P 的转置矩阵，且T
100=010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
P AP ，若
1231223(,,),(,,)==+P Q ααααααα，则T Q AQ 为
（A ）210110002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．（B ）110120002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．（C ）200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．（D ）100020002⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
．
二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．
指定位置上．()
F x O
2
3
x
1
-11
（9）曲线210
22
e d ,ln(2)
t u x u y t t --⎧=⎪⎨⎪=-⎩⎰在(0,0)处的切线方程为
．
（10）已知+e d 1k x
x ∞
-∞
=⎰
,则k =
．（11）1
n lim
e
sin d x
nx x -→∞=
⎰．
（12）设()y y x =是由方程e 1y
xy x +=+确定的隐函数，则22
d d x y
x
==
．
（13）函数2x
y x
=在区间(0,1]上的最小值为
．
（14）设,αβ为3维列向量，T β为β的转置，若矩阵T
αβ相似于200000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，
则T
=
βα．
三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答
案写在答题纸．．．指定位置上．（15）（本题满分9分）
求极限[]
40
(1cos )ln(1tan )lim
sin x x x x x
→--+．
（16）（本题满分10分）
计算不定积分ln(1x +
⎰
(0)x >．（17）（本题满分10分）
设(),,z f x y x y xy =+-，其中f 具有二阶连续偏导数，求d z 与
2z
x y
∂∂∂．（18）（本题满分10分）
设非负函数()y y x =(0)x 满足微分方程20xy y '''-+=．当曲线()y y x =过原点时，其与直线1x =及0y =围成的平面区域D 的面积为2，求D 绕y 轴
旋转所得旋转体的体积．（19）（本题满分10分）
计算二重积分
()d d D
x y x y -⎰⎰，其中{}2
2(,)(1)
(1)2,D x y x y y x =-+- ．
（20）（本题满分12分）
设()y y x =是区间(π,π)-
内过(的光滑曲线．当π0x -<<时，曲线上任
一点处的法线都过原点，当0πx < 时，函数()y x 满足0y y x ''++=．求函数()y x 的表达式．
（21）（本题满分11分）
（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，则存在
(,)a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-；
（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在(0,)(0)δδ>内可导，且()0
lim x f x A +
→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=．
（22）（本题满分11分）
设111111042--⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，1112-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
ξ，
（Ⅰ）求满足21=A ξξ，2
31=A ξξ的所有向量23,ξξ；
（Ⅱ）对（I ）中的任意向量23,ξξ，证明123,,ξξξ线性无关．（23）（本题满分11分）
设二次型2
2
2
1231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-．
（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；
（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2
212y y +，求a 的值．
2009年考研数学（二）试卷答案速查
一、选择题（1）C （2）A （3）D （4）C （5）B （6）D
（7）B （8）A
二、填空题（9）2y x =（10）2-（11）0（12）3
-（13）2e
e
-（14）2
三、解答题（15）
14
．
（16）1ln(12x C +
+-+．（17）123123d ()d ()d z f f yf x f f xf y ''''''=+++-+，
211223313233()()z
f f xyf x y f x y f f x y
∂'''''''''''=-++++-+∂∂．（18）
17π6．（19）8
3
-．
（20）π0,
πcos sin ,0π.x y x x x x -<<=+-<⎪⎩
（21）略．
（22）（Ⅰ）21101021k -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪
⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ξ，其中1k 为任意常数．323101/2100010k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
ξ，其中23,k k 为任意常数.（Ⅱ）略．
（23）（Ⅰ）特征值为1232,,1a a a λλλ=-==+.（Ⅱ）2a =．
2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学（二）参考答案
一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．（1）【答案】C ．
【解答】当x 取任何整数时，sin π0x =，()f x 均无意义，所以()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点．由3
0x x -=解得0,1,1x =-．因为
3200131lim lim sin ππcos ππx x x x x x x →→--==，3211132lim lim sin ππcos ππ
x x x x x x x →→--==，3211132lim lim sin ππcos ππ
x x x x x x x →-→---==，故可去间断点为3个，即0,1,1x =-．故选C ．（2）【答案】A ．【解答】2220
000()sin sin 1cos lim
lim lim lim 1()ln(1)()3x x x x f x x ax x ax
a ax g x x bx x bx bx
→→→→---====-⋅--，因为2
lim(3)0x bx →-=，所以0
lim(1cos )0x a ax →-=，从而 1.
a =再有，2
220001()1cos 12lim lim lim 1
()336x x x x f x x g x bx bx b
→→→-===-=--，得16b =-．故选A ．（3）【答案】D ．
【解答】因为d d d z x x y y =+，所以,z z x y x y ∂∂==∂∂.因为，2221,0z z A B x x y ∂∂====∂∂∂，
221z
C y
∂==∂，所以20,0B AC A -<>，故，(0,0)是(,)f x y 的极小值点．故选D ．
（4）【答案】C ．【解答】
2
2241
1
d (,)d d (,)d y x
y
x f x y y y f x y x -+⎰
⎰⎰⎰
的积分区域为两部分：
{}1(,)12,2D x y x x y = ，{}2(,)12,4D x y y y x y =- ，
合并可得，{}
(,)12,14D x y y x y =- ，故二重积分可以表示为
2
41
1
d (,)d y
y f x y x -⎰
⎰
．故选C ．
（5）【答案】B ．
【解答】因为曲率圆为22
2x y +=在点(1,1)处有()0f x ''<，而()f x ''不变号，所以曲线
()y f x =是一个凸函数，于是()f x '单调递减.又因为在(1,2) 内，()(1)10f x f ''<=-<，
所以()f x 单调减少，故没有极值点．对()f x 在[1,2] 上应用拉格朗日中值定理，得
(2)(1)'()1(1,2)f f f ξξ-=<- , ∈ ，
因为(1)10f =>，(2)0f <，由零点定理()f x 在(1,2) 内有零点，故选B ．（6）【答案】D ．【解答】0
()()d x
F x f t t =
⎰
，0()F x 表示()y f x =与x 轴、y 轴及0x x =所围的图形的代
数面积．由()y f x =的图形可知，
①因为()y f x =只有有限个第一类间断点，所以()F x 连续．②当[]1,0x ∈-时，()0F x ．③当[]0,1x ∈时，()0F x
，且单调递减．④[]1,2x ∈时，()F x 单调递增，且(1)0,(2)0F F <>．⑤[]2,3x ∈时，()F x 为常函数．故选D ．
（7）【答案】B ．
【解答】因为当A 可逆时，1
*
-=A A A ，所以
1
122
11*
--⨯-⎛⎫
⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）O A O A O A O B A B B O B O B O A
O 11
23-**-*
*⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝
⎭⎝⎭
O A B B O
A B O B A B A O B A O A
O ，故选B ．（8）【答案】A ．
【解答】因为1223123100100(,,)(,,)110110001001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q P ααααααα，所以T
T
T T 100100100100110110110110001001001001⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
==⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
Q AQ P AP P AP
110100100210010010110110001002001002⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪
== ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，故选A ．二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（9）【答案】2y x =．
【解答】当0x y ==时，1t =．
2(1)
1
1
d e 1d t t t x
t --===-=-，
222
11
d 22ln(2)2d 2t t y t
t t t t t ===--⋅=--，所以
(0,0)
d 2d y
x =，切线方程为2y x =．
（10）【答案】2-．【解答】0
22
e d 2e d e lim e 1)k x
kx kx
kx x x x k
k +∞
+∞
+∞-∞
→+∞
==
=
-⎰
⎰，因为极限存在，所以0k <，从而
22
(lim e 1)1kx x k k
→+∞-=-=，2k =-．（11）【答案】0．【解答】设1
e
sin d x
n I nx x -=
⎰，因为
11
10
sin de e sin e cos d x
x
x n I nx nx n nx x
---=-=-+⎰⎰1
1
10
e sin (e cos e sin d )x x n n nx n nx x ---=--+⎰112e sin e cos ,
n n n n n n I --=--+-所以，22sin cos (1)e 1n n n n n
I n n +=-
+++．故22sin cos lim lim 0(1)e 1n n n n n n n I n n →∞→∞⎡⎤+=-+=⎢⎥++⎣
⎦．（12）【答案】3-．
【解答】由题设方程两边对x 求导得，e 1y
y xy y ''++=，①
再次对x 求导得，2
2e ()e 0y
y
y xy y y ''''''+++=，
②
由已知0x =，0y =，代入①式得1y '=，进而可得(0)3y ''=-（13）【答案】2
e
e
-．
【解答】由22ln e x
x x y x
==可得()22ln 2x y x x '=+，令0y '=，得唯一驻点1
e
x =．
又()2
2222ln 2x
x
y x x x x ''=++⋅，得21e 1()2e 0e
y -+''=>，故1e x =为2x
y x =的极小值点.
又因为0(1)1,(0)lim 1x y y ++
→===，所以最小值为2
e 1
()e e
y -=．
（14）【答案】2．
【解答】因为T αβ相似于200000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，所以T
αβ的特征值为2,0,0，因此
T T ()2tr ==βααβ．
三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答
案写在答题纸．．．指定位置上．（15）（本题满分9分）
解：原式[]2
4
2001ln(1tan )ln(1tan )
2lim lim 2x x x x x x x x x →→-+-+==
222000sec 11tan sec tan tan 1tan lim lim lim
44(1tan )4x x x x
x x x x x x x x x →→→-
+--+===+0tan (1tan )1
lim
44
x x x x →-==.
（16）（本题满分10分）
t =，得2
1
1x t =-，则原式2221ln(1)11ln(1)d(
)d 1111
t t t t t t t +=+=----+⎰
⎰2
ln(1)111ln 1412(1)
t t C t t t ++=
+-+--
+1ln(12x C =+
+-+．
（17）（本题满分10分）解：因为，123123,z z f f yf f f xf x y
∂∂''''''=++=-+∂∂，所以，123123d ()d ()d z f f yf x f f xf y ''''''=+++-+．故，21112132122233132333()z f f xf f f xf y f f xf f x y
∂'''''''''''''''''''=-++-++-++∂∂11223313233()()f f xyf x y f x y f f '''''''''''=-++++-+．
（18）（本题满分10分）
解：由题可令p y '=，原方程可化为20xp p '-+=，解得2p Cx =+.则原方程通解为
2122y C x x C =++，其中12,C C 为任意常数．
因为，()y y x =过原点，所以20C =．又因为，1
11232111000()d (2)d ()1233C C D y x x C x x x x x ==+=+==⎰⎰，从而13C =．于是可得非负函数为2
3(0)y x x x =+2 ≥．D 绕y 轴旋转所得旋转体的体积为
1
1124300032172πd 2π(3)d 2π()π436V xy x x x x x x ==+2=+=⎰⎰．（19）（本题满分10分）
解：在极坐标系下积分区域可化为2(sin cos )r θθ≤+，则
3π2(sin cos )4π04()d d d (cos sin )d D x y x y r r r r
θθθθθ+-=-⎰⎰⎰⎰3π34π48(cos sin )(sin cos )d 3θθθθθ=-+⎰334π4
8(sin cos )d(sin cos )3θθθθ=++⎰3π4
4π4818(sin cos ).34
3
θθ=⋅+=-（20）(本题满分12分)
解：当π0x -<<时，曲线上任一点(,)x y 处的法线得斜率为d d x k y
=-，又法线过原点，则有d d x y k y x
=-=，即d d y y x x =-.解方程可得得22y x C =-+
.由于曲线过点(，可得2πC =
，带入可得y =．当0πx <
时，()y x 满足二阶微分方程0y y x ''++=，其对应的齐次方程0y y ''+=的通解为12cos sin y C x C x =+.设y y x ''+=-的特解为*
y Ax B =+，解得，1,0A B =-=，从而0y y x ''++=的通解为12cos sin y C x C x x =+-．
由于()y y x =是(π,π)-内的光滑曲线，故()y x 和()y x '在0x =处连续．于是
100
lim ()π,lim ()x x y x y x C -+→→= = ，得1πC =．(0)0y -'=，2(0)1y C +'=-，得21C =．所以()y y x =
的表达式为π0πcos sin ,0πx y x x x x -<<=+-<⎪⎩
．（21）（本题满分11分）
证明：（Ⅰ）作辅助函数()()()()()()f b f a F x f x f a x a b a
-=--
--，有()()F a F b =，且()()()()f b f a F x f x b a -''=--．由罗尔定理存在(,)a b ξ∈，使得()0F ξ'=，即()()()()f b f a F b a ξ'-=-，结论成立．
（Ⅱ）由拉格朗日中值定理，得
()000()0()(0)lim lim lim ()x x x f x f f x f f x
x ξξ++++→→→-'''===，0x ξ<<.因为()0
lim x f x A +→'=，所以0lim ()x f A ξ+→'=，故'(0)f +存在，且'(0)f A +=．（22）(本题满分11分)
解：（Ⅰ）因为111111100(|)1111021104220000---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭
A ξ，
解得21101021k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
ξ，其中1k 为任意常数．因为2220220440⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭A ，有2122012201(|)2201000044020000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
A ξ，解得3231102100010k k ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭
ξ，其中23,k k 为任意常数．（Ⅱ）由于1212
1311
21102
221k k k k k k ----=-≠--+，故123,,ξξξ线性无关．（23）（本题满分11分）
解：（Ⅰ）二次型f 的矩阵为0101111a a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭
A ，由01
||01()(2)(1)111
a a a a a a λλλλλλλ---=-=--+----+E A ，解得A 的特征值
为1232,,1a a a λλλ=-==+．
（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +时，可知二次型相似于矩阵100010000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，则该二次型必有一个特征值为0，其余均大于0，故20a -=，2a =．。