立体几何和圆锥曲线
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透析高考立体几何试题,可以看出本专题的热点为: (1) 直线和平面平行、垂直的判定与性质; (2) 两个平面垂直的判定与性质;
(3) 异面直线所成的角、直线和平面所成的角及二面角;
(4) 考查求空间距离及求距离时的等面积(或等体积)转化的思想方法;
(5) 利用空间向量来证明平行和垂直关系(包括线线垂直、平行;线面垂直、平行;面面垂直、平行)及利用空间向量解决求空间角及空间距离问题;
(6) 棱柱、棱锥、球的概念和性质,棱柱、棱锥的复现率较高,在迎考中应继续关注; (7) 寻找截面形状,多面体的外切球、内接球,计数问题,折叠问题渐成新热点; (8) 从与新课标的关系看,08年高考命题不同程度体现了三视图的思想方法。 复习建议:
1、回归课本,抓好基础落实
系统地掌握每一章节的概念、性质、法则、公式、定理、公理及典型例题,这是高考复习必须做好的第一步,高考题“源于课本,高于课本”,这是一条不变的真理,所以复习时万万不能远离课本,必要时还应对一些课本内容进行深入探究、合理延伸和拓展。 2、注重规范,力求颗粒归仓
网上阅卷对考生的答题规范提出更高要求,填空题要求:数值准确、形式规范、表达式(数)最简;解答题要求:语言精练、字迹工整、完整规范。 考生答题时常见问题:如立几论证中的“跳步”,缺少必要文字说明,忽视分类讨论,或讨论遗漏或重复等等。这些都是学生的“弱点”,自然也是考试时的“失分点”,平时学习中,我们应该引起足够的重视。 3、加强计算,提高运算能力 “差之毫厘,缪以千里”,“会而不对,对而不全”,计算能力偏弱,计算合理性不够,这些在考试时有发生,对此平时复习过程中应该加强对计算能力的培养;学会主动寻求合理、简捷运算途径;平时训练应树立“题不在多,做精则行”的理念。 4、整体把握,培养综合能力
对于综合能力的培养,我们坚持整体着眼,局部入手,重点突破,逐步深化原则;适度关注创新题。高考数学考查学生的能力,势必设计一定的创新题,以增加试题的区分度,平时复习应注重数学建模、直觉思维能力、合情推理能力、策略创造能力的培养。 1、江西卷的第20题,如图,正三棱锥O -ABC 的三条侧棱
OA 、OB 、OC 两两垂直,且长度均为2,
E 、
F 分别是AB 、AC 的中点,H 是EF 的中点,
过EF 的一个平面与侧棱OA 、OB 、OC 或其延长线分别相交于
A 1、
B 1、
C 1,已知OA 1=3
2
.
(1)证明:B 1C 1⊥平面OAH ;(2)求二面角O -A 1B 1-C 1的大小.
只要学生把图倒置,问题就很容易解,考查到了学生的灵活度。 综合性、开放性立体几何题成为命题者的试验田,这些改革尝试的目的在于激发学生独立思考,从数学的角度去发现和提出问题,并加以探索和研究,有利于提高学生的思维能力和创新意识。
2、广东四棱锥ABCD P -的底面是边长为a 的正方形,⊥PB 平面ABCD 。 (1)若面PAD 与面ABCD 所成的二面角为︒60,求这个四棱锥的体积;
(2)证明无论四棱锥的高怎样变化。面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于︒90
解(1)∵⊥PB 平面ABCD ,∴BA 是PA 在面ABCD 上的射影,∴DA PA ⊥
∴PAB ∠是面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角,︒=∠60PAB
C 1
CE ⊥面PAM } A B
C
D
E
M P
H
而PB 是四棱锥ABCD P -的高,a tg AB PA 360=︒⋅=
∴323
3331a a a V ABCD P =⋅⋅=
- (2)证:不论棱锥的高怎样变化,棱锥侧面PAD 与PCD 恒为全等三角形.
作DP AE ⊥,垂足为E ,连结EC ,则CDE ADE ∆≅∆.
∴EC AE =,︒=∠90CED ,故CFA ∠是面PAD 与面PCD 所成的二面角的平面角.
设AC 与DB 相交于点O ,连结EO ,则AC EO ⊥.
a AD AE OA a =<<=2
2
在△AEC 中,0)
2)(2(2)2(cos 2
222<-+=⋅⋅-+=∠AE
OA AE OA AE EC AE OA EC AE AEC 所以,面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于︒90
3、如图,已知∠C=90°,AC=BC ,M 、N 分别为BC 和AB 中点,沿直线MN 将△BMN 折起,使二面角B ′—MN —B 为60°,则斜线B ′A 与平面ABC 所成角的正切值为( )A.
52 B.
53 C.5
4
D.
5
3
(第3题图)
解析:作B ′H ⊥BC 于H ,连结AH ,则∠B ′MB =60°.设B ′M =a =BM ,则B ′H =
2
3a ,MH =
2a ,CH =23a , ∴AH =22
)23()2(a a +=25a ,故tan B ′AH =AH H B '=5
3.答案:B
4、已知直角△ABC 的斜边AB 在平面α内,AC 、BC 分别与α成30°、45°角,则α与△ABC 所在平面所成二面角的度数为( ) A.30° B.45° C.60° D.60°或120°
解析:作CD ⊥平面α于D ,作DE ⊥AB 于E ,连结CE ,则∠CED 为二面角C —AB —D 的平面角,设为θ,即平面α与△ABC 所在平面所成二面角的度数为θ.又可知∠CAD =30°,∠CBD =45°.设CD =x ,则AC =2x ,BC =2x ,AB =6x .利用△ABC 的面积公式,得CE =
x AB BC AC 32
=⋅。在Rt △CDE 中,sin.θ=
233
2==x x CE CD .∴θ=60°或120°.答案:D
6、已知PA ⊥正方形ABCD ,PA=AB=2,M ,N 为BC ,CD 中点, ⑴求C 到面PAM 的距离,⑵求BD 到面PMN 的距离。 解:延长AM ,作CE ⊥AM 于E
∵PA ⊥正方形ABCD , ∴PA ⊥CE
∵CE ⊥AM
∵AB=2,BM=1,CM=1 ∴AM=5,
A
B C
P
M
N O F
H