2020届内蒙古自治区乌兰察布市集宁一中高三上学期期中数学(理)试题(解析版)

2020届内蒙古自治区乌兰察布市集宁一中高三上学期期中数
学（理）试题
一、单选题
1．下列各组集合中，表示同一集合的是（ ） A ．{(3,2)}M =，{(2,3)}N =
B ．{2,3}M =，{3,2}N =
C ．{(,)|1}M x y x y =+=，1{|}N y x y =+=
D ．{1,2}M =，{(1,2)}N = 【答案】B
【解析】根据集合相等的要求，对四个选项进行判断，得到答案. 【详解】
A 选项中，{(3,2)}M =，{(2,3)}N =，集合M 、N 都是点集，但集合M 里的元素是点()3,2，集合N 里的元素是点()2,3，所以集合M 、N 不是同一集合；
B 选项中，集合M 、N 都是数集，并且它们的元素都相同，所以时同一集合；
C 选项中，集合M 是点集、集合N 是数集，所以集合M 、N 不是同一集合；
D 选项中，集合M 是数集、集合N 是点集，集合M 、N 不是同一集合. 故选：B. 【点睛】
本题考查相同集合的判断，属于简单题. 2．已知复数i 2
i
z -= （其中i 是虚数单位），那么z 的共轭复数是（ ） A ．12i - B ．1+2i
C ．-1-2i
D ．-1+2i
【答案】A 【解析】复数()22i 212i i i z i i
--=
==+ z 的共轭复数是12i -.
故选A.
3．下列命题错误的是
A ．命题“若p 则q ”与命题“若q ⌝，则p ⌝”互为逆否命题
B ．命题“x ∃∈R, 20x x ->”的否定是“R ∀∈,20x x -≤”
C ．∀ 0x >且1x ≠，都有1
2x x
+
>
D ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真 【答案】D
【解析】对给出的四个选项分别进行判断可得结果． 【详解】
对于选项A ，由逆否命题的定义可得，命题“若p 则q ”的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”，所以A 正确．
对于选项B ，由含量词的命题的否定可得，命题“x ∃∈R, 20x x ->”的否定是“R ∀∈,20x x -≤”，所以B 正确．
对于选项C ，当0x >且1x ≠时，由基本不等式可得1
2x x
+
>．所以C 正确． 对于选项D ，命题“若a b <，则22am bm <”当0m =时不成立，所以D 不正确． 故选D ． 【点睛】
由于类似问题考查的内容较多，解题的关键是根据每个命题对应的知识解决，要求对相关知识要有一个整体性的掌握，本题考查综合运用知识解决问题的能力．
4．已知0.5log 5m =，35.1n -=，0.35.1p =，则实数m ，n ，p 的大小关系为（ ）． A ．m n p << B ．m p n <<
C ．n m p <<
D ．n p m <<
【答案】A
【解析】∵0.50.5log 5log 10m =<=，
30.30 5.1 5.1n p -<=<=，
∴m n p <<， 故选A ．
5．设向量(1,1)a x =-，(1,3)b x =+，则“2x =”是“//a b ”的 A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】利用充要条件的判断方法进行判断即可. 【详解】
若2x =，则()1,1a =，()3,3b =，则//a b ；但当//a b 时，2,x =±
故“2x =”是“//a b ”的充分但不必要条件. 选A. 【点睛】
本题考查充分不必要条件条件的判断，属基础题.
6．要得到3sin(2)4
y x π
=+的图象，只需将32y sin x =的图象 ( )
A ．向左平移4π
个单位 B ．向右平移
4π
个单位 C ．向右平移8
π
个单位
D ．向左平移8
π
个单位
【答案】D
【解析】先明确变换前后的解析式，然后按照平移规则可求. 【详解】
将3sin 2y x =的图象向左平移8π个单位后，得到3sin 2()3sin(2)84
y x x ππ=+=+的图象，故选D. 【点睛】
本题主要考查三角函数图象的变换，注意x 的系数对平移单位的影响. 7．函数sin()0,0,||2y A x A πωϕωϕ⎛⎫
=+>>< ⎪⎝
⎭
的图象如图所示，则y 的表达式为（ ）
A ．102sin 116x y π⎛⎫
=+
⎪⎝⎭ B ．2sin 26y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
C ．2sin 26y x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
D ．102sin 116x y π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
【答案】B
【解析】根据图像最大值和最小值可得A ，根据最大值和最小值的所对应的x 的值，可
得周期T ，然后由2T π
ω
=，得到ω，代入点,26π
⎛
⎫
⎪⎝⎭
，结合ϕ的范围，得到答案. 【详解】
根据图像可得2A =，22362T πππ=-=，即T π=， 根据2T π
ω=，得22πωπ
=
=， 所以()2sin
2y x ϕ=+，
代入,26π⎛⎫
⎪⎝⎭
，得()22sin 2x ϕ=+， 所以226
2
k π
π
ϕπ⨯
+=
+，k Z ∈，
所以26
k π
ϕπ=+，k Z ∈
又因||2ϕπ<
，所以得6
π
=ϕ， 所以得到()2sin 26f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
， 故选：B. 【点睛】
本题考查根据函数图像求正弦型函数的解析式，属于简单题.
8．函数()f x 在R 上单调递减，且为奇函数．若(1)1f =-，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ） A ．[2,2]- B ．[1,1]-
C ．[0,4]
D ．[1,3]
【答案】D
【解析】根据奇函数()f x ，可得()()111f f -=-=，再由()f x 单调性，求得2x -的范围，解得x 的范围. 【详解】
因为()f x 为奇函数，且()11f =-， 所以()()111f f -=-=， 因为函数()f x 在R 上单调递减， 所以1(2)1f x -≤-≤，
可得121x -≤-≤， 所以13x ≤≤，
故满足要求的x 的取值范围为[]1,3. 故选：D. 【点睛】
本题考查奇函数的性质，根据函数的单调性解不等式，属于简单题. 9．若3
tan 4
α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） A ．
1625 B ．1
C ．
6425
D ．3
【答案】C
【解析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos 2α+sin 2
α），再将“弦”化“切”即可得到答案．
【详解】 tanα3
4
=
， ∴cos 2
α+2sin2α222
22cos sin cos sin cos ααα
αα+⨯=+ 2
141
tan tan α
α+=
+ 2
3144
314+⨯=
⎛⎫+ ⎪⎝⎭
6425
=
． 故选：C ． 【点睛】
本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题．
10．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且148a a =，236+=a a ，则数列{}n a 的前n 项和n S =（ ） A ．2n B ．12n -
C ．21n -
D ．121n --
【答案】C
【解析】根据等比数列的下标公式，得到14238a a a a ==，结合23=6a a +，解得2a 和
3a 的值，然后得到公比q 和首项1a ，从而得到其前n 项和n S .
【详解】
等比数列{}n a 中，有14238a a a a ==， 而23=6a a +，
可得232,4a a ==或者234,2a a == 根据公比1q >可知｛n a ｝是递增数列， 所以232,4a a ==， 可得422a q a =
=，211a
a q
==， 所以{}n a 的前n 项和()()1111221112
n n n n a q q
S -⨯-==
=---，
故选：C. 【点睛】
本题考查等比数列下标公式，等比数列通项基本量计算，等比数列求和公式，属于简单题.
11．函数()2
62x
f x x x e =-+的极值点所在的区间为（ ）
A ．()0,1
B ．()1,0-
C ．()1,2
D ．()2,1--
【答案】A
【解析】求出导函数()262x
f x x e =-+'，然后运用函数零点存在性定理进行验证可
得所求区间． 【详解】
∵()2
62x
f x x x e =-+，
∴()262x
f x x e =-+'，且函数()f x '单调递增．
又()()0
06240,1420f e f e ''=-+=-=-+，
∴函数()f x '在区间()0,1内存在唯一的零点， 即函数()f x 的极值点在区间()0,1内． 故选A ． 【点睛】
本题考查函数零点存在性定理的应用，解答本题时要弄清函数的极值点即为导函数的零
点，同时还应注意只有在导函数零点左右两侧的函数值变号时，该零点才为极值点，否则导函数的零点就不是极值点．
12．定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，且当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()lg g x x =，则函数
()()()h x f x g x =-的零点的的个数是（ ）
A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
【答案】C
【解析】由()0h x =，得出()()f x g x =，转化为函数()y f x =与函数()y g x =图象的交点个数，然后作出两个函数的图象，观察图像即可。

【详解】
由于()()11f x f x -=+，所以，函数()y f x =的周期为2，且函数()y f x =为偶函数，
由()0h x =，得出()()f x g x =，问题转化为函数()y f x =与函数()y g x =图象的交点个数，作出函数()y f x =与函数()y g x =的图象如下图所示，
由图象可知，()01f x ≤≤
，当10x >时，()lg 1g x x =>， 则函数()y f x =与函数()y g x =在()10,+∞上没有交点，
结合图像可知，函数()y f x =与函数()y g x =图象共有11个交点，故选：C. 【点睛】
本题考查函数的零点个数，有两种做法：一是代数法，解代数方程；二是图象法，转化为两个函数的公共点个数，在画函数的图象是，要注意函数的各种性质，如周期性、奇偶性、对称性等性质的体现，属于中等题。

二、填空题
13．已知数列{}n a 满足11a =，132n n a a +=+，则数列{}n a 的通项公式为________． 【答案】1231n -⋅-
【解析】待定系数得到()13n n a a λλ++=+，得到λ 【详解】
因为{}n a 满足132n n a a +=+， 所以()13n n a a λλ++=+， 即132n n a a λ+=+，得到1λ=， 所以()1131n n a a ++=+， 而112a +=，
故{}1n a +是以2为首项，3为公比的等比数列，
所以1
123n n a -+=⋅，
故1
231n n a -=⋅-.
故答案为：1231n -⋅-. 【点睛】
本题考查由递推关系求数列通项，待定系数法构造新数列求通项，属于中档题.
14．已知)
221f
x =+，则()f x =_______
【答案】()()2
2212x x -+≥
【解析】换元法:2(2)t t =≥,解出2(2)x t =-,再将2
(2)x t =-代入
)
221f
x =+,得()f t ,从而可得()f x .
【详解】
2(2)t t =≥,则2
(2)x t =-,
所以2
()2(2)1f t t =-+(2)t ≥, 所以2
()2(2)1(2)f x x x =-+≥.
故答案为:2
()2(2)1(2)f x x x =-+≥.
【点睛】
本题考查了用换元法求函数解析式,换元时,一定要注意新元的取值范围,属中档题.
15．若函数2
log (43)a y kx kx =++的定义域是R, 则k 的取值范围是.
【答案】30,4⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【解析】函数(
)
2
log 43a y kx kx =++的定义域是R ，则2430kx kx ++>在R 上恒成立，
当0k =时满足题意；
当0k ≠时，2
016120
k k k >⎧⎨=-<⎩，解得3
04k <<. 综上：k 的取值范围是30,4⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
. 16．函数在上单调递增，则实数的取值范围是________.
【答案】
或
【解析】首先根据单调性及最值可得
，分为
和
两种情形，求出函数
的导数，根据函数的单调性得到关于的不等式，解出取并集即可. 【详解】 由题意得，
，
①时，
，
即，
， 因此； ②时，
，
即，
因此
，
综上可得， 故答案为.
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，分类讨论的数学思想，是一道综合题．
三、解答题
17．已知函数()2sin cos 244f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫
=--+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上的最大最小值及相应的x 值.
【答案】(1)π；(2)当6
x π
=时，()max 2f x =；当2
x π=
时，()min 1f x =-。

【解析】【详解】
分析：（1直接利用二倍角公式变形，再由辅助角公式化简即可求函数()f x 的最小正周期；
（II ）结合已知条件求出
726
6
6x π
π
π≤+
≤
，进而可求出函数()f x 在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大最小值及相应的x 值． 详解：
（1）(
)sin 2cos22sin 226f x x x x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=-=+=+
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
所以()f x 的最小正周期是π （2）因为02
x π
≤≤，
所以02x ≤≤π， 所以
726
6
6
x π
π
π
≤+≤
当6
x π
=时，()max 2f x = 当2
x π=
时，()min 1f x =-
点睛：本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查y=Asin （ωx+φ）型函数的图象和性质，是基础题．
18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且530S =，10110S =. （1）求n S ； （2）记12
111
n n
T S S S =
+++
，求n T . 【答案】（1）2n S n n =+；（2）1
11
n
T n =-
+. 【解析】试题分析：（1）由基本量法，得到5110
1510301045110S a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得12
2a d =⎧⎨=⎩，
所以2n S n n =+；（2）()111111n S n n n n ==-++，利用裂项相消法，求得111
n T n =-+。

试题解析：
（1）51101510301045110
S a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得12
2a d =⎧⎨=⎩，所以2n S n n =+；
（2）
()1111
11n S n n n n ==-++， 所以1111
111122311n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-
+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝
⎭⎝⎭
⎝⎭。

点睛：本题考查等差数列的基本性质与裂项相消求和。

等差数列的基本题型中，熟悉掌握基本量法的应用，求得基本量1,a d ，得到相关求解答案。

裂项相消求和主要掌握其基本结构，知道哪些求和可以利用裂项来处理的。

19．已知A 、B 、C 分别为C ∆AB 的三边a 、b 、c 所对的角，向量()sin ,sin m =A B ，
()cos ,cos n =B A ，且sin 2C m n ⋅=．
（1）求角C 的大小；
（2）若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且()
C C 18A⋅AB -A =，求边c 的长． 【答案】（1）
3
π
；（2）6 【解析】【详解】试题分析：（1）利用两个向量的数量积公式求得()m n sin A B ⋅=+，再由已知sin 2C m n ⋅=可得1
22
sin C sinC cosC ==
，从而求得C 的值；（2）由s i n A ，sin C ，sin B 成等差数列，得2sinC sinA sinB =+，由条件利用正弦定理、余弦定理
求得c 边的长． 试题解析：（1）
()m n sinAcosB sinBcosA sin A B ⋅=+=+,
0A B C C sin A B sinC m n sinC ππ+=-<<∴+=∴⋅=，，（），，
12223
m n sin C sin C sinC cosC C π⋅=∴=∴=∴=，，，；
（2）由sinA sinC sinB ，，成等差数列，得2sinC sinA sinB =+，由正弦定理得
2c a b =+．
181836CA CB abcosC ab ⋅∴==＝，，，
由余弦定理2222
23c a b abcosC a b ab =+-=+-（），
2224336366c c c c ∴=-⨯∴=∴=，，．
【考点】等差数列的性质；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
20．已知函数()2
x f x e x a =-+， x ∈R ，曲线()y f x =的图象在点()()
0,0f 处的
切线方程为y bx =.
（1）求函数()y f x =的解析式；
（2）当x ∈R 时，求证： ()2
f x x x ≥-+；
【答案】（1）()2
1x
f x e x =--；（2）证明见解析；
【解析】试题分析：
(1)利用导函数研究函数切线的方法可得函数的解析式为()2
1x
f x e x =--.
(2)构造新函数()()2
1x
g x f x x x e x =+-=--.结合函数的最值和单调性可得
()2f x x x ≥-+.
试题解析：（1）根据题意，得()'2x
f x e x =-，则()'01f b ==.
由切线方程可得切点坐标为()0,0，将其代入()y f x =，得1a =-， 故()2
1x
f x e x =--.
（2）令()()2
1x
g x f x x x e x =+-=--.
由()'10x
g x e =-=，得0x =，
当(),0x ∈-∞， ()'0g x <， ()y g x =单调递减； 当()0,x ∈+∞， ()'0g x >， ()y g x =单调递增. 所以()()min 00g x g ==，所以()2
f x x x ≥-+.
21．已知函数2
1()ln 12
a f x a x x +=++. （1）当12a =-
时，求()f x 在区间1,e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最值； （2）讨论函数()f x 的单调性； （3）当10a -<<时，有()()1ln 2
a
f x a >+
-恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）最小值为54，最大值为2
124
e +；
（2）见解析； （3）（﹣1，0）
【解析】（1）求出函数在区间1
,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的极值和端点值，比较后可得最值；（2）根据a
的不同取值进行分类讨论，得到导函数的符号后可得函数的单调性；（3）当10a -<<
时，求出函数()f x 的最小值为()min f x f =，故问题转化为当10a -<<时
()1ln 2a
f a >+-恒成立，整理得到关于a 的不等式，解不等式可得所求范围． 【详解】
（1）当12a =-时，()21ln 1,(0)24
x f x x x =-++>，
∴()()()211112222x x x x f x x x x
+--='=-+=． ∴当()0,1x ∈时，()()0,f x f x '<单调递减；当()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增．
∴当1x =时，函数取得极小值，也为最小值，且最小值为()5
14
f =
． 又213124f e e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()2
124
e f e =+，
∴()2
max
124
e f x =+． 所以函数在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为54，最大值为2
124
e +．
（2）由题意得()
()21'a x a f x x
++=
，()0,x ∈+∞． ①当10a +≤，即1a ≤-时，()'0f x <恒成立， ∴()f x 在()0,∞+上单调递减． ②当0a ≥时，()'0f x >恒成立， ∴()f x 在()0,∞+上单调递增．
③当10a -<<时，011a <+<，
由()'0f x =得x =
x =，
∴()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫∞⎪⎪⎭
上单调递增．
综上可得，当0a ≥，()f x 在()0,∞+上单调递增；
当10a -<<时，()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫∞⎪⎪⎭
单调递增；
当1a ≤-时，()f x 在()0,∞+上单调递减．
（3）由（2）可得，当10a -<<时，()min f x f =，
若不等式()()1ln 2
a
f x a >+-恒成立，则只需
()1ln 12a f a >+-，
即()111ln 212
a a a
a a a +-+>+-+， 整理得()ln 11a +>-， 解得1
1a e
+>， ∴1
1a e
>
-， 又10a -<<， ∴
1
10a e
-<<． ∴实数a 的取值范围为11,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭
． 【点睛】
（1）涉及含参数的单调性或单调区间的问题，一定要弄清参数对导数在某一区间内的符号是否有影响．若有影响，则必须分类讨论．
（2）解决关于恒成立问题时，一般转化为求函数最值的问题处理．对于含有多个变量的恒成立问题，则可采取逐步消去变量的方法求解，此时需要分清谁是主变量谁是次变量，一般情况下，知道谁的范围谁就是主变量，求谁的范围谁就是参数． 22．已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠．
（Ⅰ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （Ⅱ）若531
32
S =
，求λ． 【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）1λ=-．
【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用公式11,1{,2
n n n S n a S S n -==-≥，得到数列{}n a 的递推
公式，即可得到{}n a 是等比数列及{}n a 的通项公式；（Ⅱ）利用（Ⅰ），用λ表示前n 项和n S ，结合n S 的值，建立方程可求得λ的值． 试题解析：（Ⅰ）由题意得，故
，，
. 由
，
得
，即
.由
，
得，所以.
因此{}n a 是首项为，公比为
的等比数列，于是
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得.由
得
，
即
.
解得1λ=-.
【考点】数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系，等比数列的定义、通项公式及前n 项和. 【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明
1
n n
a q a +=（常数）；（2）中项法，即证明2
12n n n a a a ++=．根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变
形，转化为等比数列或等差数列来求解．。