2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义：第15讲 导数的概念及运算含答案

1．导数的概念及其几何意义 (1)了解导数概念的实际背景．

(2)通过函数图象直观理解导数的几何意义． 2．导数的运算

(1)能根据导数的定义，求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝1

x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数．

(2)能利用以下给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 常见基本初等函数的导数公式和常用的导数运算法则：

C ′＝0(C 为常数)；(x n )′＝nx n －

1，n ∈N *； (sin x )′＝cos x ；(cos x )′＝－sin x ；

(e x )′＝e x ；(a x )′＝a x ln a (a >0，且a ≠1)； (ln x )′＝1x ；(log a x )′＝1

x log a e(a >0，且a ≠1)．

法则1：[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )；

法则2：[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )； 法则3：[u (x )

v (x )]′＝u ′(x )v (x )－u (x )v ′(x )v 2(x )

(v (x )≠0)．

3．导数在研究函数中的应用

(1)了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．

(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．

4．生活中的优化问题

会利用导数解决实际问题．

1．2014～2018年全国卷Ⅰ的考查情况

续表

导数及其应用是高考考查的重点和热点内容，在2014年至2018年全国卷Ⅰ和卷Ⅱ直接考查本部分内容的试题共19道，其中客观题9道，解答题10道，一般是“一小一大”，占17分，多时达到22分．

客观题主要考查导数的运算及其几何意义，利用导数求函数的最值，研究函数的零点，研究不等式的解集，通过导数讨论有关参数的取值范围．一般属于中等难度题或偏难题．

解答题主要是考查导数的综合应用，主要包括两方面的综合：一是导数本身的综合，主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值、最值等；二是和其他知识的综合，主要包括导数与不等式、导数与方程的综合，考查不等式的证明，由不等式求参数的范围及讨论函数的零点等．试题难度大，每年都将导数综合问题作为压轴题，着重考查化归与转化的思想、函数与方程的思想、数形结合的思想和分类讨论的思想，考查考生运算求解能力、综合运用知识的能力和分析问题解决问题的能力．

导数是高中数学中的重要内容，是解决实际问题必不可少的数学工具，导数为解决函数问题、曲线问题提供了一般性的方法．由于求导可以解决函数的单调性、极值和最值等问题，这样既丰富了函数的内容，也增大了函数综合题的难度，因此成为高考命题的热点．

通过对近几年高考试题的分析研究，可以看出高考对导数的考查主要有三个层次： 第一个层次是考查导数的概念、几何意义，求导的公式和求导的法则； 第二个层次是导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性等； 第三个层次是综合考查，主要是将导数内容与传统内容中不等式、方程等有机地结合在一起考查，以函数为载体，以导数为工具，以考查考生综合运用知识为目标，是高考导数与函数交汇试题的显著特点和命题趋向．

在复习过程中，要注意：

1．研究函数的单调性、极值、最值、切线等问题离不开求导，因此要熟练掌握导数的运算法

则和常用函数的导数，这是综合运用的基础．

2．熟练掌握可导函数单调区间的极值、最值的研究方法，尤其重视单调性在研究函数中的作用，从而从“数”和“形”两方面把握函数的特征，为研究不等式、方程等提供方法，为综合应用打下基础．

由于高考重视导数的应用，特别注意利用导数研究不等式及方程的零点等有关问题，在本单元综合应用中，增加了“导数与不等式”“导数与方程”等内容，要求通过复习掌握利用导数处理不等式的基本方法和技巧，掌握利用导数研究函数零点的基本方法．第二轮复习还将进一步深化.

第15讲 导数的概念及运算

1．了解导数概念的实际背景．

2．通过函数图象直观理解导数的几何意义，会求曲线的切线方程． 3．能根据导数的定义，求一些简单函数的导数．

4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．

知识梳理 1．导数的概念

(1)平均变化率： 函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率Δy

Δx ＝ f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .

(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数

函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 li m Δx →

Δy

Δx

通常称为f (x )在x ＝x 0处的导数，并记作f ′(x 0)，即 f ′(x 0)＝li m Δx →

f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx

.

(3)函数f (x )的导函数

如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内每一点都是可导的，就说f (x )在开区间(a ，b )内可导，其导数也是开区间(a ，b )内的函数，称作f (x )的导函数，记作 y ′或f ′(x ) .

2. 导数的几何意义

函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的 切线的斜率 .

曲线在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是 y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0) . 3．导数的运算

(1)基本初等函数的导数公式 ①C ′＝ 0 (C 为常数)；

②(x n )′＝ nx n －

1 (n ∈Q )； ③(sin x )′＝ cos x ； ④(cos x )′＝ －sin x ；

⑤(a x )′＝ a x ln a (a >0且a ≠1)； ⑥(e x )′＝ e x ；

⑦(log a x )′＝

1

x ln a

(a >0且a ≠1)； ⑧(ln x )′＝ 1

x

.