高中数学人教B版选修2—2第一章1.1.2《瞬时速度与导数》优秀教案

1.1.2 《瞬时速度》教案
教学目的：理解函瞬时速度及导数的概念. 重点难点：导数的极限数学符号语言的理解.
学科素养：用所学探索未知，通过数学定义的教学，体会数学研究的手段方法. 一、引入与新课： 提出问题】
在物理学中，我们知道物体作匀速直线运动，速度是路程与时间之比：s
v t
=。

而自由落体、竖直向上发射火箭、一段平直轨道上行驶的高铁列车、一段平直高速路上行驶的汽车都是变速直线运动，这类运动路程随时间变化，速度也随时间变化。

问题1：物体作变速直线运动时，速度与路程、时间有什么样的关系呢？ 【抽象概括】
设物体运动路程与时间的关系是()s f t =（图一），
问题2：在区间00[,]t t t +∆，物体运动的速度与路程、时间有什么样的关系呢？ 由上节课知识可知，从0t 到0t t +∆这段时间内，物体运动的平均速度是
000()()f t t f t s
v t t
+∆-∆=
=
∆∆ 所以，平均速度0v 就是函数()s f t =在区间00[,]t t t +∆的平均变化率 问题3：在某一时刻0t ，物体运动的速度与路程、时间有什么样的关系呢？
图一
联想二分法，计算值的逼近法，上节课的分割法，时刻0t 我们也采用分割逼近的方法。

看一个实例，我们来研究怎样实现逼近。

跳台跳水运动员在时刻t 距离水面的高度函数
2()10 6.5 4.9h t t t =+-
求运动员在2t s =时竖直向上的速度？
我们先求运动员在[2,2.1]这段时间内的平均速度为：
22(2.1)(2)(10 6.5 2.1 4.9 2.1)(10 6.52 4.92)
13.59(/)2.120.1
h h m s -+⨯-⨯-+⨯-⨯==--
用同样的方法，我们运用计算器得到下列平均速度表：
由此表可以看出，当时间间隔越来越小时，平均速度趋于常数13.1-，这个常数就是该运动员在2t s =时的速度，我们称为在2t s =时的瞬时速度。

【解决问题】
一般地，对任一时刻0t ，也可以计算出瞬时速度：
002200000()()
(10 6.5() 4.9())(10 6.5 4.9)
9.8 6.5 4.9h t t h t t
t t t t t t t
t t
+∆-∆+⨯+∆-⨯+∆-+⨯-⨯=
∆=-+-∆ 当t ∆趋近于0时，上式趋近于09.8 6.5t -+。

所以，对任一时刻0t ，运动员的瞬时速度是09.8 6.5t -+（/m s ）。

【获得新知】
设物体运动的路程与时间的关系是s ＝f (t )，当Δt 趋近于0时，函数f (t )在t 0到t 0＋Δt 之间的平均变化率
f (t 0＋Δt )－f (t 0)
Δt
趋近于一个常数l ，
这个常数l 称为t 0时刻的瞬时速度．
二、例题与练习：
【经典例题】
例1 物体的位移为s (t )＝t 2＋2t ，求物体在2s 时的瞬时速度． 解：因为(2)(2)s s t s ∆=+∆-
所以22[(2)2(2)][(2)2(2)]s t t ∆=+∆++∆-+
(4)2t t t =+∆∆-∆
(2)t t =+∆∆ 所以
2s
t t
∆=+∆∆ 当Δt 趋近于0时，
s
t
∆∆趋近于2 ∴物体在2s 时的瞬时速度2/m s . 【规律技巧】求瞬时速度的步骤： 第一步：求00()()s s t t s t ∆=+∆-； 第二步：求Δs
Δt
；
第三步：当Δt 趋近于0时，求
s
t
∆∆趋近值。

例2．物体N 做直线运动，其运动方程为s (t )＝at 2 (位移单位：m ，时间单位：s)．若物体N 在t ＝3s 时的瞬时速度为9 m/s ，求常数a 的值.
解析：因为Δs ＝s (3＋Δt )－s (3) ＝a (3＋Δt )2－a ·32
所以Δs
Δt
＝6a ＋a Δt ，
即当t ＝3时，瞬时速度为9，即6a ＝9. 所以a ＝
32
. 【规律技巧】求参数的值一般通过列方程解决。

例3．已知物体的运动方程为s (t )＝5t 2. (1)求t 从2秒到2.1秒的平均速度； (2)求t 从2秒到2.01秒的平均速度； (3)求t 在2秒时的瞬时速度． 解：(1)Δt ＝2.1－2＝0.1 (s)； Δs ＝s (2.1)－s (2) ＝5·2.12－5·22＝2.05 m.
v 1＝
Δs
Δt
＝20.5(m/s)． (2)Δt ＝2.01－2＝0.01 (s)． Δs ＝s (2.01)－s (2)＝5·2.012－5·22 ＝0.200 5 m.
v 2＝Δs
Δt ＝20.05(m/s)．
(3)由瞬时速度的定义可知： Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)
＝20Δt ＋5(Δt )2， Δs
Δt
＝20＋5Δt ， ∴当Δt 趋近于0时，
s
t
∆∆趋近于20 ∴t 在2秒时的瞬时速度为20 m/s 【规律技巧】平均速度是
s t ∆∆。

瞬时速度是当Δt 趋近于0时，s t
∆∆的趋近值。

【总结提炼】这节内容我们从匀速直线运动开始研究，通过分割、逼近的方法从平均速度得出
变速直线运动的瞬时速度的概念。

我们是怎样实现逼近的要深入体会 【巩固练习】
1. 如果一个函数的导数处处为0，这个函数是什么函数.
2. 求函数2y ax bx c =++在1x =和2x =处的导数.
3. 已知某物体作直线运动．其运动规律方程为：t t S 432+=（单位：路程：m 时间：s ）
（1）求物体前3s 内的平均速率；（2）求物体在2s ～3s 内的平均速率．
三、小结与作业： 见本案所附的课后练习题.。