2021年江苏省南京市联合体中考数学一模试卷(学生版+解析版)

2021年江苏省南京市联合体中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（2分）比2-小的数是( ) A ．3-
B ．1-
C ．0
D ．1
2．（2分）下列运算正确的是( ) A ．336a a a +=
B ．236a a a ⋅=
C ．624a a a ÷=
D ．329()a a =
3．（2分）当1x =时，下列式子没有意义的是( ) A ．
1
x
x + B ．
1
x x
- C ．1x - D ．
x 4．（2分）如图，数轴上两点M 、N 所对应的实数分别为m 、n ，则m n -的结果可能为( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．0.3-
5．（2分）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，沿DE 翻折使得A 与B 重合，若26CBD ∠=︒，则ADE ∠的度数是( )
A ．57︒
B ．58︒
C ．59︒
D ．60︒
6．（2分）关于x 的方程2(q px p p x
+=，q 为常数，且0)pq ≠的根的情况，下列结论中正
确的是( ) A ．一个实数根
B ．两个实数根
C ．三个实数根
D ．无实数根
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，请把答案填写在答题卡相应位置上）
7．（2分）5的平方根是 ，算术平方根是 ．
8．（2分）华为正在研制厚度为0.000000005m 的芯片，用科学记数法表示0.000000005是 ． 9．（23(123)的结果是 ．
10．（2分）若2470x x --=的两个根为1x 、2x ，则1212x x x x +-的值是 ．
11．（2分）如图①，一个长为2a ，宽为2b 的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块全等的小长方形，然后按照图②那样拼成一个面积为49的大正方形，若中间小正方形的面积为1，则a = ，b = ．
12．（2分）光明中学全体学生参加社会实践活动，从中随机抽取50人的社会实践活动成绩制成如图所示的条形统计图，则这50人的社会实践活动成绩的中位数是 ．
13．（2分）若点A 与点(1,1)B 关于点(1,1)C --对称，则点A 的坐标是 ．
14．（2分）笔记本4元/本，钢笔5元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去162元，那么该同学最多购买钢笔 支．
15．（2分）如图，P 是O 外一点，PB 、PC 是O 的两条切线，切点分别为B 、C ，若P ∠为38︒，点A 在O 上（不与B 、C 重合）
，则BAC ∠= ︒．
16．（2分）如图，在边长为2cm 的正方形ABCD 中，直线l 经过点D ，作BE l ⊥，垂足为E ，连接AE ．若AE BE =，则ABE ∆的面积为 2cm ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）计算
2 21
(1)
a a
a a
+-
+÷．
18．（7分）解不等式组
10
1
3
2
x
x
-
⎧
⎪
⎨+
<
⎪⎩
，并写出不等式组的整数解．
19．（8分）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF AE
⊥，垂足为F．
（1）求证ADF EAB
∆∆
∽；
（2）若12
AB=，10
BC=，求DF的长．
20．（8分）某商场统计了A、B两种品牌洗衣机7个月的销售情况，结果如下：月份
销量
品牌
一月二月三月四月五月六月七月
A品牌16312924242420
B品牌16202425262730
（1）分别求这7个月A、B两种品牌洗衣机销量的方差；
（2）由于库存不足，商场采购部欲从厂家采购A、B两种品牌洗衣机以满足市场需求．请你结合上述两种品牌洗衣机的销售情况，对商场采购部提出建议，并从两个不同角度说明由．21．（8分）甲、乙、丙互相传球．假设他们相互之间传球是等可能的，并且由甲开始传球．（1）经过2次传球后，求球仍回到甲手中的概率；
（2）经过3次传球后，球仍回到甲手中的概率为．
22．（8分）如图，在ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，点M、N在对角线AC 上，且AM CN
=．
（1）求证四边形EMFN是平行四边形；
（2）若AB AC
⊥，求证EMFN是菱形．
23．（8分）为了测量悬停在空中A处的无人机的高度，小明在楼顶B处测得无人机的仰角为45︒，小丽在地面C处测得A、B的仰角分别为56︒、14︒．楼高BD为20米，求此时无人机离地面的高度．（参考数据：tan140.25
︒≈
︒≈，tan56 1.50)
24．（8分）如图，在菱形ABCD中，E是CD上一点，且CAE B
∠=∠，O经过点A、C、E．
（1）求证AC AE
=；
（2）求证AB与O相切．
25．（8分）2020年江苏开通了多条省内高铁，其中一条从南京--镇江--扬州--淮安的高铁线路如图①所示，本线路高铁速度不超过每分钟5千米．现有甲、乙两车按以下方式营运，甲车从南京匀速行驶去淮安，在镇江和扬州两站都停靠5分钟；乙车从南京匀速行驶直达淮安，乙车比甲车晚出发20分钟．设甲车出发x分钟后行驶的路程为
y千米，图②中的
1
折线O A B C D E -----表示在整个行驶过程中1y 与x 的函数图象． （1）甲车速度为 千米/分；
（2）若乙车行驶1小时到达淮安，则乙车出发后多久与甲车相遇？
（3）若乙车行驶的过程中不得与甲车在镇江站与扬州站的站台内相遇，并要在甲之前到达淮安，则乙车速度v 乙的范围为 ．
26．（9分）已知二次函数22(1)4(y mx m x m =-++为常数，且0)m ≠． （1）求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点；
（2）不论m 为何值，该函数的图象都会经过两个定点，这两个定点的坐标分别为 、 ； （3）该函数图象所经过的象限随m 值的变化而变化，直接写出函数图象所经过的象限及对应的m 的取值范围．
27．（9分）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，用直尺与圆规分别作出满足下列条件的O ．（不
写作法，保留作图痕迹）
（1）在图①中，O 过点C 且与AB 相切；（作出一个即可）
（2）在图②中，D 为AB 上一定点，O 过点C 且与AB 相切于点D ； （3）在图③中，E 为AC 上一定点，O 过点C 、E 且与AB 相切．
2021年江苏省南京市联合体中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（2分）比2-小的数是( ) A ．3-
B ．1-
C ．0
D ．1
【解答】解：32101-<-<-<<， ∴比2-小的数是3-．
故选：A ．
2．（2分）下列运算正确的是( ) A ．336a a a +=
B ．236a a a ⋅=
C ．624a a a ÷=
D ．329()a a =
【解答】解：A ．3332a a a +=，故A 选项错误；
B ．235a a a ⋅=，故B 选项错误；
C ．624a a a ÷=，故C 选项正确；
D ．326()a a =，故D 选项错误，
故选：C ．
3．（2分）当1x =时，下列式子没有意义的是( ) A ．
1
x
x + B ．
1
x x
- C ．1x - D ．
x 【解答】解：A 、当10x +=，即1x =-时，式子没有意义；
B 、当0x =时，式子没有意义；
C 、当10x -<，即11x <时，式子没有意义；
D 、当10x -=，即1x =时，式子没有意义；
故选：D ．
4．（2分）如图，数轴上两点M 、N 所对应的实数分别为m 、n ，则m n -的结果可能为( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．0.3-
【解答】解：0m >，0n <，
0m n ∴->，
||m n m n ∴-=-，
由数轴可知，M 点与N 点之间的距离大于3，
m n ∴-的结果只可能为4．
故选：A ．
5．（2分）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，沿DE 翻折使得A 与B 重合，若26CBD ∠=︒，则ADE ∠的度数是( )
A ．57︒
B ．58︒
C ．59︒
D ．60︒
【解答】解：由题意可知：1
2
ADE BDE ADB ∠=∠=∠．
9026116ADB C CBD ∠=∠+∠=︒+︒=︒，
1
116582
ADE ∴∠=⨯︒=︒．
故选：B ．
6．（2分）关于x 的方程2(q
px p p x
+=，q 为常数，且0)pq ≠的根的情况，下列结论中正
确的是( ) A ．一个实数根
B ．两个实数根
C ．三个实数根
D ．无实数根
【解答】解：关于x 的方程2(q
px p p x +=，q 为常数，且0)pq ≠的根的情况，就是函数
2y px p =+和函数(q
y p x
=，q 为常数，且0)pq ≠的图象的交点的情况，
函数2y px p =+的对称轴为y 轴，函数(q
y p x
=，q 为常数，且0)pq ≠的图象在一、三象
限或二、四象限，
∴函数2
y px p =+和函数(q y p x =，q 为常数，且0)pq ≠的图象的只有一个交点，
∴关于x 的方程2(q
px p p x
+=
，q 为常数，且0)pq ≠有一个实数根， 故选：A ．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，请把答案填写在答题卡相应位置上）
7．（2分）5的平方根是 5 ，算术平方根是 ． 【解答】解：5的平方根是5±5．
8．（2分）华为正在研制厚度为0.000000005m 的芯片，用科学记数法表示0.000000005是 9510-⨯ ．
【解答】解：90.000000005510-=⨯． 故答案是：9510-⨯．
9．（23(123)的结果是 3 ． 【解答】解：原式31233=63=- 3=．
故答案为：3．
10．（2分）若2470x x --=的两个根为1x 、2x ，则1212x x x x +-的值是 11 ． 【解答】解：根据题意得，124x x +=，127x x ⋅=-， 1212x x x x ∴+-⋅
4(7)=--
11=．
故答案为：11．
11．（2分）如图①，一个长为2a ，宽为2b 的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块全等的小长方形，然后按照图②那样拼成一个面积为49的大正方形，若中间
小正方形的面积为1，则a
=
4 ，b = ．
【解答】解：由题意得，中间小正方形的面积=大正方形的面积4-个小长方形的面积， 大正方形的面积2()49a b =+=，小正方形的面积2()1a b =-=， ∴71a b a b +=⎧⎨
-=⎩，
解得，4
3
a b =⎧⎨
=⎩．
故答案为：4，3．
12．（2分）光明中学全体学生参加社会实践活动，从中随机抽取50人的社会实践活动成绩制成如图所示的条形统计图，则这50人的社会实践活动成绩的中位数是 4 ．
【解答】解：这50人的社会实践活动成绩的中位数为第25、26个数的平均数， ∴中位数是(44)24+÷=．
故答案为：4．
13．（2分）若点A 与点(1,1)B 关于点(1,1)C --对称，则点A 的坐标是 (3,3)-- ． 【解答】解：设(,)A m n ， 由题意1
12
112
m n +⎧=-⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，
∴33m n =-⎧⎨=-⎩
，
(3,3)
A
∴--．
故答案为：(3,3)
--．
14．（2分）笔记本4元/本，钢笔5元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去162元，那么该同学最多购买钢笔30支．
【解答】解：设该同学购买钢笔x支，笔记本y本，
依题意得：54162
x y
+=．
x，y均为正整数，
∴
30
3
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
26
8
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
22
13
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
18
18
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
14
23
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
10
28
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
6
33
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
2
38
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，x
∴的最大值为30．
故答案为：30．
15．（2分）如图，P是O外一点，PB、PC是O的两条切线，切点分别为B、C，若P
∠为38︒，点A在O上（不与B、C重合），则BAC
∠=71或109︒．
【解答】解：连接OB、OC，
PB、PC是O的两条切线，
OB PB
∴⊥，OC PC
⊥，
180142
BOC P
∴∠=︒-∠=︒，
当点A在优弧BC上时，
1
71
2
BAC BOC
∠=∠=︒，
当点A'在劣弧BC上时，18071109
BA C
∠'=︒-︒=︒，BAC
∴∠的度数为71︒或109︒，
故答案为：71或109．
16．（2分）如图，在边长为2cm 的正方形ABCD 中，直线l 经过点D ，作BE l ⊥，垂足为E ，连接AE ．若AE BE =，则ABE ∆的面积为
21-或21+ 2cm ．
【解答】解：BE l ⊥，
90BED ∴∠=︒，
E ∴在以BD 为直径的圆上，圆心为BD 中点O ，如图所示，
AE BE =，
E ∴在AB 的垂直平分线上，
OA OB =，
OE ∴所在直线为AB 的垂直平分线，交O 于点E 或E '，
M ∴为AB 的中点，
1
12
OM AD ∴=
=， 2AB AD ==，
BD ∴==，
OE ∴=
1EM ∴=，
1E M '=，
1
12
ABE S AB EM ∆∴=⋅，
1
12
ABE S AB E M ∆'=
⋅'，
1
1．
三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）计算221
(1)a a a a
+-+÷
． 【解答】解：原式221
()a a a a a a
+-=+÷
22(1)(1)
a a a a a +=⋅+-
2(1)(1)(1)
a a
a a a +=
⋅+- 2
1
a =
-． 18．（7分）解不等式组10132x x -⎧⎪
⎨+<⎪⎩，并写出不等式组的整数解．
【解答】解：解不等式10x -，得：1x ， 解不等式
1
32
x +<，得：5x <， ∴不等式组的解集为15x <，
则不等式组的整数解为1、2、3、4．
19．（8分）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，DF AE ⊥，垂足为F ． （1）求证ADF EAB ∆∆∽；
（2）若12AB =，10BC =，求DF 的长．
【解答】（1）证明：四边形ABCD是矩形，//
AD BC
∴，90
B
∠=︒，
DAF AEB
∴∠=∠，
DF AE
⊥，
90
AFD B
∴∠=︒=∠，
ADF EAB
∴∆∆
∽；
（2）解：10
BC AD
==，E是BC边的中点，5
BE
∴=，
2222
12513
AE AB BE
∴++，
由（1）得：ADF EAB
∆∆
∽，
∴DF AD AB AE
=，
即
10 1213 DF
=，
解得：
120
13 DF=．
20．（8分）某商场统计了A、B两种品牌洗衣机7个月的销售情况，结果如下：月份
销量
品牌
一月二月三月四月五月六月七月
A品牌16312924242420
B品牌16202425262730
（1）分别求这7个月A、B两种品牌洗衣机销量的方差；
（2）由于库存不足，商场采购部欲从厂家采购A、B两种品牌洗衣机以满足市场需求．请你结合上述两种品牌洗衣机的销售情况，对商场采购部提出建议，并从两个不同角度说明由．
【解答】解：（1）
1
(16312924242420)247
A x =++++++=，
1
(16202425262730)247
B x =++++++=，
2
22222221[(1624)(3124)(2924)(2424)(2424)(2424)(2024)]22
7
A S ∴=-+-+-+-+-+-+-=，
2
22222221130[(1624)(2024)(2424)(2524)(2624)(2724)(3024)]77
B S =-+-+-+-+-+-+-=
， （2）
A B x x =，
A ∴、
B 两种品牌洗衣机的平均销量相同，
22A B S S >，
B ∴品牌洗衣机的销量平均稳定，并且B 两种品牌洗衣机销量呈上升趋势，
∴建议商场采购B 品牌洗衣机．
21．（8分）甲、乙、丙互相传球．假设他们相互之间传球是等可能的，并且由甲开始传球． （1）经过2次传球后，求球仍回到甲手中的概率； （2）经过3次传球后，球仍回到甲手中的概率为 1
4
． 【解答】解：（1）画树状图为：
共有4种等可能的结果数，其中球仍传到甲手中的结果数为2， 所以球仍回到甲手中的概率2142
==． （2）画树状图得：
，
经过三次传球后，球仍传到甲手中的概率
()21 8
4
P P==
球回到甲手中
；
故答案为：
1
4
．
22．（8分）如图，在ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，点M、N在对角线AC 上，且AM CN
=．
（1）求证四边形EMFN是平行四边形；
（2）若AB AC
⊥，求证EMFN是菱形．
【解答】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，
//
AD BC
∴，AD BC
=，
EAM FCN
∴∠=∠，
E、F分别为AD、BC的中点，
AE DE BF CF
∴===，
在AEM
∆和CFN
∆中，
AE CF
EAM FCN
AM CN
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
()
AEM CFN SAS
∴∆≅∆，
EM FN
∴=，AME CNF
∠=∠，
EMN FNM
∴∠=∠，
//
EM FN
∴，
∴四边形EMFN是平行四边形；
（2）连接EF交AC于O，如图所示：
由（1）得：//
AE BF，AE BF
=，
∴四边形AEFB是平行四边形，
//
AB EF
∴，
AB AC
⊥，
90
BAC
∴∠=︒，
90COF BAC ∴∠=∠=︒， EF MN ∴⊥， EMFN ∴是菱形．
23．（8分）为了测量悬停在空中A 处的无人机的高度，小明在楼顶B 处测得无人机的仰角为45︒，小丽在地面C 处测得A 、B 的仰角分别为56︒、14︒．楼高BD 为20米，求此时无人机离地面的高度．（参考数据：tan140.25︒≈，tan56 1.50)︒≈
【解答】解：作AE CD ⊥于点E ，作BF AE ⊥于点F ， 设AF x =，
90AFB ∠=︒，45ABF ∠=︒， 45BAF ABF ∴∠=∠=︒， AF BF x ∴==，
BF AE ⊥，BD CD ⊥，FE CD ⊥，
∴四边形BDEF 是矩形，
DE BF x ∴==，
14BCD ∠=︒，20BD =米，tan BD
BCD CD
∠=， 80CD ∴=米，
(80)CE x ∴=-米，
56ACE ∠=︒，20
tan 80AE x ACE CE x
+∠==
-， 40x ∴=，
即40AF =米，
402060AE AF EF ∴=+=+=（米)，
即此时无人机离地面的高度是60米．
24．（8分）如图，在菱形ABCD 中，E 是CD 上一点，且CAE B ∠=∠，O 经过点A 、C 、
E ．
（1）求证AC AE =； （2）求证AB 与O 相切．
【解答】证明：（1）四边形ABCD 是菱形，
DA DC ∴=，D B ∠=∠，//AB CD ， ACD CAD CAE DAE ∴∠=∠=∠+∠，
D B ∠=∠，CA
E B ∠=∠，
D CA
E ∴∠=∠， AEC D DAE ∠=∠+∠， ACD AEC ∴∠=∠， AC AE ∴=；
（2）连接OA ，OC ，
OA OC =，2AOC AEC ∠=∠，
1
(1802)902
OAC OCA AEC AEC ∴∠=∠=︒-∠=︒-∠，
//AB CD ，
∴∠=∠，
ACD BAC
∠=∠，
ACD AEC
∴∠=∠，
BAC AEC
∴∠+∠=︒，
90
BAC OAC
又点A在O上，
∴与O相切．
AB
25．（8分）2020年江苏开通了多条省内高铁，其中一条从南京--镇江--扬州--淮安的高铁线路如图①所示，本线路高铁速度不超过每分钟5千米．现有甲、乙两车按以下方式营运，甲车从南京匀速行驶去淮安，在镇江和扬州两站都停靠5分钟；乙车从南京匀速行驶直达淮安，乙车比甲车晚出发20分钟．设甲车出发x分钟后行驶的路程为
y千米，图②中的
1
折线O A B C D E
-----表示在整个行驶过程中
y与x的函数图象．
1
（1）甲车速度为3千米/分；
（2）若乙车行驶1小时到达淮安，则乙车出发后多久与甲车相遇？
（3）若乙车行驶的过程中不得与甲车在镇江站与扬州站的站台内相遇，并要在甲之前到达淮安，则乙车速度v
的范围为．
乙
【解答】解：（1）(30,90)A ，
∴甲的速度为：90303÷=（千米/分）； 故答案为：3；
（2）由题意知：南京到淮安的路程为：9060120270++=千米，乙车从南京到淮安的时间为1小时， 所以乙车速度：
270
4.560
=千米/分， 设乙车出发t 分钟后与甲相遇，由题意得： 4.53(15)t t =+，
解得：30t =（分钟），
∴乙车出发30分钟后与甲相遇；
（3）①甲、乙两车在镇江站之前相遇，则恰好到镇江站时速度最小（取不到，下同）， 90
93020
v >
=-乙，
由题意得：5v 乙，所以不成立；
②甲、乙两车在镇江站和扬州站之间相遇，则恰好离开镇江时速度最大，恰好到达扬州站时速度最小，
1509055203520v <<
--乙，30
67v <<乙， 5v 乙，
∴
30
57
v <乙； ③甲、乙两车在扬州站和淮安站之间相遇，则恰好离开扬州站时速度最大，恰好到达淮安站时速度最小，
270150100206020v <<--乙，2715
84
v <<乙，
故答案为：
271584v <<乙或3057
v <乙； 26．（9分）已知二次函数22(1)4(y mx m x m =-++为常数，且0)m ≠． （1）求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点；
（2）不论m 为何值，该函数的图象都会经过两个定点，这两个定点的坐标分别为 (0,4) 、 ；
（3）该函数图象所经过的象限随m 值的变化而变化，直接写出函数图象所经过的象限及对应的m 的取值范围．
【解答】（1）证明：令0y =，即22(1)40mx m x -++=， 22224[2(1)444844(1)0b ac m m m m m -=-+-⨯=-+=-， ∴方程总有实数根
∴该函数的图像与x 轴总有公共点；
（2）解：22(1)4(2)(2)y mx m x x mx =-++=--． 因为该函数的图象都会经过两个定点，
所以当0x =时，4y =，
当20x -=，即2x =时，0y =，
所以该函数图象始终过定点(0,4)、(2,0)，
故答案为(0,4)，(2,0)；
（3）解：①0m <时，函数图像过一、二、三、四象限； ②1m =时，函数图像过一、二象限；
③01m <<或1m >时，函数图像过一、二、四象限．
27．（9分）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，用直尺与圆规分别作出满足下列条件的O ．（不
写作法，保留作图痕迹）
（1）在图①中，O 过点C 且与AB 相切；（作出一个即可）
（2）在图②中，D 为AB 上一定点，O 过点C 且与AB 相切于点D ；
（3）在图③中，E 为AC 上一定点，O 过点C 、E 且与AB 相切．
【解答】解：（1）如图1，O 即为所求．
①以A 为圆心，AC 为半径画弧交AB 于E ；
②分别以E 、C 为圆心，大于12
EC 长为半径画弧，两弧交于一点，连接这点与点A ，交BC 于点O ；
③以O为圆心，OC为半径的圆O即为所求．
（2）如图2，O即为所求．
①连接CD，作CD垂直平分线；
②过点D作AB垂线交CD的垂直平分线于点O；
③连接OD、OC，以O为圆心，OD为半径的圆即为所求．
（3）如图3，O即为所求．
①作CE垂直平分线，确定其中点D；
②以D为圆心，DA为半径画弧交BC于点F；
③以A为圆心，CF为半径画弧交AB于点H；
④过点H作AB垂线交CE垂直平分线于点O；
⑤O为圆心，OC为半径作圆O即为所求．。