六年级下册数学试题-小升初数学思维拓展第19讲 方程(含答案解析)

小升初数学思维拓展第19讲 方程
一、知识地图
⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎩一元一次方程一元一次方程的解法二元一次方程一元一次方程的应用不定方程
等式基本性质（基本数量关系）一元一次方程的解法一元一次方程的应用方程
今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗，问上、中、下禾实一秉各几何？
答曰：上禾一秉九斗四分斗之一，中禾一秉四斗四分斗之一，下禾一秉二斗四分斗之三。

——《九章算术》
这是我国历史上一道三元一次方程组的经典名题，具有传统意义的方程概念及解法，由此可见前人在方程领域的研究和造诣。

百鸡问题
今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一。

凡百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？
答曰：鸡翁四，值钱二十，鸡母十八，值钱五十四，鸡雏七十八，值钱二十六； 又答：鸡翁八，值钱四十，鸡母十一，值钱三十三，鸡雏八十一，值钱二十七； 又答：鸡翁十二，值钱六十，鸡母四，值钱十二，鸡雏八十四，值钱二十八。

术曰：鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三即得。

——《张丘建算经》
百鸡问题是我国历史上的一道数学名题，百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。

秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。

我国著名数学家陈景润
在1978年所著的《初等数论》中也给出了百鸡问题的解法，实际上就是一个二元一次不定方程。

二、基础知识
（一）等式的基本性质
（1） 等式：表示相等关系的式子；
如：2+3=5，A B B A ⨯=⨯，…
（2） 等式基本性质1：等式两边同时加上同一个数或减去同一个数，等式性质不变； 即如果A ＝B ，那么A ±m ＝B ±m 。

（3） 等式基本性质2：等式两边同时乘以同一个数或除以同一个不等于零的数，等
式性质不变；
即如果A ＝B ，那么Am ＝Bm 或
A B n n =（m 、n 为两个数，n ≠0）。

（二）一元一次方程
（1） 方程：含有未知数的等式；
如：37x +=，2113
a b +=，326255p q +=，… （2） 一元一次方程：含有一个未知数，并且未知数的指数是1的方程；
如：37x +=，71539q +=，214682
m +=，… （3） 一元一次方程的解：能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值；
如：4x =是方程37x +=的解， 247
q =是方程71539q +=的解，… （4） 解一元一次方程的步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、化未知数系数为1。

例如：解一元一次方程 415
m m =-；
解：5(41)m m =- … 去分母（等式基本性质2）
205m m =- … 去括号
195m = … 移项
519
m = … 化未知数系数为1 （三）二元一次方程（组）
（1） 二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的指数均为1的方程；
如：2318x y +=，713
m n =-，… （2） 二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组；
如：58335x y x y +=⎧⎨+=⎩，27322a b b -⎧=⎪⎨⎪=⎩
，… （3） 二元一次方程的解：适合于一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫作二元
一次
方程的一个解；
如：62x y =⎧⎨=⎩是2318x y +=的一个解；12173x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
也是2318x y +=的一个解；… （4） 二元一次方程组的解：满足方程组中每一个方程的解就是这个方程组的解；
如：41x y =⎧⎨=⎩是58335x y x y +=⎧⎨+=⎩
的解； … （5） 解二元一次方程组的基本思想：消元；
（6） 解二元一次方程组的方法：代入消元法、加减消元法。

例如：解下列二元一次方程组
解：②式化简得：233y x -= ③
将③×2得：466y x -= ④
将①×3得：6315x y += ⑤
④+⑤得：721y =，解得3y =，代入①得：1x =
所以方程组的解为13x y =⎧⎨=⎩。

（四）不定方程（组）
（1）不定方程（组）：未知数个数多于方程个数，且对解有一定限制（比如要求解为正整数等）的方程。

（2）古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。

不定方程是数论中最古老的分支之一。

中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题。

（3）研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。

②有解时决定解的个数。

③求出所有的解。

（4）几类特殊的不定方程
不定方程是一个内容丰富的课题，许多不定方程的解法有其特殊性。

其中几类这样的方程，以及几个有普遍性的方法。

一、余数分析法
将不定方程的解按某个正整数m 的余数分类，或者考察方程中的项对某个正整数的余数，再进行分析。

二、因数分析法
任何非零整数的因数个数是有限的，因此，可以对不定方程的解在有限范围内用枚举法确定。

三、不等分析法
利用量的整数性或不等关系，确定出方程解的范围。

（五）列方程（组）解应用题
（1） 根据题目已知条件，找出等量关系式；
（2） 利用题目已知条件，设出未知数；
（3） 根据等量关系式，列出方程（组）；
（4） 解方程（组）；
（5） 检验作答。

三、经典透析
【例1】 列一元一次方程解应用题
（☆☆ 第八届华杯赛决赛试题）用边长相同的正六边形白色皮块、
正五边形黑色皮块总计32块，缝制成一个足球。

如图所示，每个
黑色皮块邻接的都是白色皮块；每个白色皮块相间的与3个黑色皮
块及3个白色皮块邻接。

问：这个足球上共有多少块白色皮块？
审题要点：先找等量关系式。

详解过程：第一步，先找等量关系式：白色皮块的边中与黑色皮块公用的边数=黑色皮块的边中与白色皮块公用的边数；
第二步，设出未知数：设这个足球上共有x 块白色皮块；
第三步，列出方程：35(32)x x =-；
第四步，解方程：
35(32)
316058160
20
x x x x x x =-=-== 第五步，检验作答：
检验：当20x =时，左边=32060⨯=；右边=5(3220)51260⨯-=⨯=，所以左边=右边，所以20x =是原方程的解；
答：这个足球上共有20块白色皮块。

【例2】 列一元一次方程解应用题
（☆☆ 2001年我爱数学夏令营）如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 为AB 上一点，且13
BE AB =，已知四边形BDME 的面积是35，则ABC ∆的面积是多少？
审题要点：先找等量关系式。

详解过程：第一步，先找等量关系式：
∵BE=3
1AB ∴ABC S ∆=3BCE S ∆
∵BD=CD
∴ABC S ∆=2ABD S ∆
∴2ABD S ∆=3BCE S ∆
即等量关系式为23ABD BCE S S =；
第二步，设出未知数：设BEM S ∆=x ，则BDM S ∆=35-x ，
第三步，列出方程：
ABD S ∆=BAM S ∆+BDM S ∆
=3BEM S ∆+BDM S ∆
=3x -(35-x )
=2x +35
BCE S ∆=BEM S ∆+BCM S ∆
=3BEM S ∆+2BDM S ∆
=3x +2(35-x )
=70-x
所以2(235)3(70)x x +=-
第四步，解方程：
2(235)3(70)
47021037140
20
x x x x x x +=-+=-== ∴ABC S ∆=150
第五步，检验作答：
检验：当20x =时，左边=2(22035)150⨯⨯+=；右边=3(7020)150⨯-=，所以左边=右边，所以20x =是原方程的解；
答：△ABC 的面积是150。

【例3】 瓶子里装有浓度为15%的酒精1000克。

现在又分别倒入100克和400克的A 、B
两种酒精，瓶子里的酒精浓度变为14%。

已知A 种酒精的浓度是B 种酒精的2倍，求A 种酒精的浓度。

审题要点：A 种酒精浓度是B 种酒精的2倍。

详解过程：依题意，A 种酒精浓度是B 种酒精的2倍。

设B 种酒精浓度为x%，则A 种酒精浓度为2x%。

A 种酒精溶液100克，因此100×2x%为100克酒精溶液中含纯酒精的克数。

B 种酒精溶液400克，因此400×x%为400克酒精溶液中含纯酒精的克数。

解：设B 种酒精浓度为x%，则A 种酒精的浓度为2x%。

150＋6x ＝14×15
x=10
2x%＝2×10%＝20%。

答：A 种酒精的浓度为20%。

【例4】一群学生进行篮球投篮测验，每人投10次，按每人进球数统计的部分情况如下表：
还知道至少投进3个球的人平均投进6个球，投进不到8个球的人平均投进3个球。

问：共有多少人参加测验？
审题要点：投中的总球数既等于进球数不到3个的人的进球数加上至少投进3个球的人的进球数,也等于进球数不到8个的人的进球数加上至少投进8个球的人的进球数。

详解过程：设有x人参加测验。

由上表看出，至少投进3个球的有（x-7-5-4）人，投进不到8个球的有（x-3-4-1）人。

投中的总球数，既等于进球数不到3个的人的进球数加上至少投进3个球的人的进球数，
0×7+1×5+2×4+6×（x-7-5-4）
= 5+8+6×（x-16）
= 6x-83，
也等于进球数不到8个的人的进球数加上至少投进8个球的人的进球数，
3×（x-3-4-1）+8×3+9×4+10×1，
= 3×（x-8）+24+36+10
= 3x+46。

由此可得方程
6x-83=3x+46，
3x=129，
x=43（人）。

答：共有43人参加测验。

（☆ 2004走进美妙数学花园试题）甲、乙两件商品的成本共600元，已知甲商品按45%的利润定价，乙商品按40%的利润定价，后来甲打8折出售，乙打9折出售，结果共获利110元。

两件商品中，成本较高的那件商品的成本是多少元？
审题要点：甲打8折出售，乙打9折出售，结果共获利110元。

详解过程：设甲商品的成本是x 元，乙商品的成本是y 元，列方程组得：
⎩
⎨⎧+=⨯++⨯+=+110600%90%)401(%80%)451(600y x y x 解得：⎩⎨⎧==140
460y x
答：成本较高的那件商品的成本是460元。

【例6】 列二元一次方程组解应用题
（☆☆ 95年圣彼得堡奥林匹克竞赛试题）在H 岛上居住着100个人，其中一些人总是说假话，其余人则永远说真话，岛上的每一位居民崇拜三个神之一：太阳神、月亮神和地球神。

向岛上的每一位居民提了三个问题：
（1） 您崇拜太阳神吗？
（2） 您崇拜月亮神吗？
（3） 您崇拜地球神吗？
对第一个问题有60人回答：“是”；对第二个问题有40人回答：“是”；对第三个问题有30人回答：“是”。

他们中有多少人说的是假话？
审题要点：我们将永远说真话的人称为老实人，把总说假话的人称为骗子。

每个老实人都只会对一个问题：“是”。

而每个骗子则都对两个问题答：“是”。

详解过程：我们将永远说真话的人称为老实人，把总说假话的人称为骗子。

每个老实人都只会对一个问题：“是”。

而每个骗子则都对两个问题答：“是”。

设老实人的人数为x 人，骗子的人数为y 人，列方程组有：1002130x y x y +=⎧⎨
+=⎩
解得30y =。

所以岛上有30个人说的是假话。

百鸡问题译成现代汉语是：公鸡五元一只，母鸡三元一只，小鸡一元三只，用一百元钱正好买了一百只鸡，问：公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？
审题要点：一百元钱正好买了一百只鸡。

详解过程：设公鸡买了x 只，母鸡买了y 只，小鸡买了z 只，列方程组如下：
化简整理：将①×3得：159300x y z ++= ③
将③-②得：74100x y +=
考虑到x y 、是鸡的只数，所以为正整数，解得：
418x y =⎧⎨=⎩ 811x y =⎧⎨=⎩ 124x y =⎧⎨=⎩
再代入②得：41878x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ⎪⎩
⎪⎨⎧===81118z y x 12484x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩　
【例8】 列不定方程解应用题
已知x 、y 代表两位整数，求方程100x+y=2xy 的解。

审题要点：将原方程变形为100x=2xy-y 。

详解过程：本题如果变形为2100
y x y =-，则不易找到y 可能的取值，所以变形时应看具体题目而定。

这里建议可介绍分离系数法。

分离系数法的原则是分离系数较小的未知数。

将原方程变形为100x=2xy-y ，解得10050502121
x y x x ==+--，要使y 是整数，必须5021
x -是整数，而x 为两位整数，即x ≥10，故2x-1≥19，即x=13，y=52。

专家点评：但如果用逐个试验法就应该按系数较大的未知数去试，如下题：
求方程17x+8y=158的非负整数解。

分析：由题意有0≤17x ≤158，0≤8y ≤158，得0≤x ≤9，0≤y ≤19，可见x 情况较少，所以将x=0，1，…，9逐个代入检验知67x y =⎧⎨=⎩。

【例9】 甲说：“我和乙、丙共有100元钱。

”乙说：“如果甲的钱是现有的6倍，我的钱是现有的13
，丙的钱不变，则我们仍共有100元。

”丙说：“我的钱连30元都不到。

”问三人各有多少钱？
审题要点：这是三元不定方程组。

详解过程：设甲、乙、丙各有x 、y 、z 元，由题意可列出方程组：10061003030
x y z y x z z ++=⎧⎪⎪++=⎨⎪<<⎪⎩，因为z 有取值范围不好消去，所以我们可以消y ，得172200030
x z z +=⎧⎨<<⎩，解得200172
x z -=
，又z ＜30，所以2z ＜60，17x ＞140，因而x=10。

所以原方程组的解为107515x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，即甲、乙、丙分别有10元、75元、15元。

拓展训练
1. （☆）解下列方程（组）：
（1）378q +=； （2）235
a a +=； （3）0.50.1 2.850%90%1265x y x y +=⎧⎪+⎨=⎪⎩
分析：（1）解：356q +=　
53q =
（2）解：53(2)a a =+
536a a =+
26a =
3a =
（4） 解：化简原方程组得：
②-①得：824y =，解得3y =，代入得5x =
所以原方程组的解为53
x y =⎧⎨
=⎩。

2. （2006迎春杯集训题）水果店运来的西瓜的个数是白兰瓜的个数的2倍。

如果每天卖白兰瓜40个，西瓜50个，若干天后卖完白兰瓜时，西瓜还剩360个。

水果店运来的西瓜和白兰瓜共多少个？
初级点拨：抓住卖的天数这一等量关系。

深度提示：设白兰瓜进了x 个，则西瓜进了2x 个，由天数相等列方程。

全解过程：列方程得：
23604050
x x -= x =480
2x =960
所以西瓜和白兰瓜共480+960=1440个。

3. （北京市2006年“数学解题能力展示”读者评选活动（迎春杯）高年级组初试第1题）
一个分数约分后是
23。

如果这个分数的分子减去18，分母减去22，可以得到一个新的分数，它等于
35。

那么，约分前的这个分数是 。

初级点拨：设约分前的这个分数是
2a 3a 深度提示：列出方程
2a-183a-22=35 全解过程：2a-183a-22=35
5（2a-18）=3（3a-22）
10a-90=9a-66
a=24 所以2a 3a =4872
4. 甲乙两个班的同学去运河公园春游，但只有一辆车接送。

甲班的学生坐车从学校出发的同时，乙班学生开始步行。

车到途中某处，让甲班学生下车步行，车立即返回接乙班学生上车并直接开往运河公园。

两个班的学生步行速度均为每小时5千米，汽车载学生行驶的速度是每小时50千米。

空车行驶时每小时行60千米。

问：要使两班学生同时到达运河公园，甲班学生步行了全程的几分之几？
初级点拨：甲、乙两班学生要同时到达运河公园，则这两班学生步行的路程必须相等。

深度提示：利用甲班学生步行所用的时间
5x 与乙班学生坐车的时间50s x -及空车返回的时间260
s x -之和相等的关系来列方程 全解过程：如果两班学生各走了x 千米，而全程共有s 千米时，则行程可用图表示。

可以利用甲班学生步行所用的时间5x 与乙班学生坐车的时间50
s x -及空车返回的时间260s x -之和相等的关系来列方程。

250605s x s x x --+=，解得：1176x s =，
所以甲班学生步行了全程的
1176。

5. （第10届华杯赛）由于浮力的作用，金放在水里称量和它的重量比较，在水中的“重量”会减少19
1；银放在水里称量和它的重量相比较，在水中的“重量”会减少10
1，某个只含有金银成分的古文物，重150克，在水中称量，“重量”是141克，则古文物中金占________%。

（精确到1%）
初级点拨：设古文物中含金x 克，银y 克。

深度提示：抓住水中减少的量列方程。

全解过程：列方程得
15011(1)(1)14119
10x y x y +=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩ 解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==31
2332126y x
%844.84%10150
32
126≈≈⨯ 答：古文物中金占84%。

6. 甲乙两人进行400比赛，第1次甲让乙先跑18秒，结果甲落后40米。

第2
次甲让
乙先跑25米，结果甲比乙早到7.5秒，跑400米，甲、乙各需要多少时间？
初级点拨：列方程根据的是甲、乙跑1米所需要的时间。

深度提示：设甲跑400米需要x 秒，乙跑400米需要y 秒。

全解过程：依题意可列方程组：
⎩
⎨⎧÷=-÷+÷=-÷-400)25400()5.7(400)40400()18(y x x y 化简得⎩
⎨⎧=-=-1201615180910x y x y 解得：⎩⎨
⎧==7260y x
7. 甲地有89吨货物要运送到乙地，大卡车的载重量是7吨，小卡车的载重量是4吨，大卡车运一趟耗油14升，小卡车运一趟耗油9升，运完这批货物至少耗油多少升？
初级点拨：设大卡车运x 趟，小卡车运y 趟。

深度提示：列出方程7x+4y=89。

全解过程：7x+4y=89，解得31224
x y x -=--，（3x-1）是4的倍数，且y ≥0，得3711;;17103
x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩，相应的耗油量分别为14×3+9×17=195（升），14×7+9×10=188（升），14×11+9×3=181（升）。

所以至少是181升。

8. 某工厂为优秀职工发奖金，一等奖每人1800元，二等奖每人1200元，三等奖每人800元，每种奖都有人领，共有15名优秀职工，他们领的奖金的总数为16000元。

获得一、二、三等奖的职工各有多少人？
初级点拨：设一、二、三等奖依次有a ，b ，c 人。

深度提示：利用总额和人数列方程。

全解过程：列方程得
1800a+1200b+800c=16000a+b+c=15
⎧⎨⎩ 9a+6b+4c=80 4a+4b+4c=60
5a+2b=20
根据a ，b 都是整数，解得：a=2，b=5，c=8。

9. 已知四位数n 与其数字和相加的和是1992，求n 。

初级点拨：我们知道四位数字的各位数字之和最大是36，因此这个自然数n 的前两位是1和9。

深度提示：设这个四位数为ab 19
全解过程：依据题意可得：
ab 19+1+9+a+b=1992
1910+11a+2b=1992
11a+2b=82
根据奇偶性，a 只能为偶数。

所以a=6，b=8。

即符合条件的四位数是1968。

10. （2007年5月第五届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛决赛题）
如图，甲、乙两只蜗牛同时从A 点出发，甲沿长方形ABCD 逆时针爬
行，乙沿△AOD 逆时针爬行。

若AB=10，BC=14，AO ＝DO ＝10，且两只
蜗牛的速度相同，则当两只蜗牛间的距离第一次达到最大值时，它
们所爬过的路程的和为多少？
初级点拨：两只蜗牛的速度相等，所行的总路程也就相等。

深度提示：第一次达到的最大值时，两只蜗牛的位置应该在长方形的对角线上，所以，可能有两种情况。

全解过程：两种情况如下：
（1） 在A 、C 位置：
解：设乙蜗牛经过x 个三角形周长，甲蜗牛走过y 个长方形的（长+宽）。

x （14+20）=y （10+14）
34x=24y
17x=12y
第一次， 则x=12，y=17
所以它们爬过的总路程=12×34×2=816
（2） 在B 、D 位置：
解：设乙蜗牛经过x 个三角形周长，甲蜗牛走过y 个长方形的（长+宽）。

x （14+20）+20=y （14+10）+10
34x+20=24y+10
24y-34x=10
12y-17x=5
根据y= 12
)1(5++x x x=奇数，y =偶数
x=11时，y=16，
第一次最远。

此时共走了[11×（14+20）+10]×2=768。

⑵的情况与⑴的情况相比，768＜816。

答：两只蜗牛的距离第一次达到最大值时，它们所爬过的路程和是816。