人教A版高中数学必修第一册 5.2.1三角函数的概念公开课优秀课件(好用、与教材同步)

探究：
当
6
时，点P
的坐标是什么？当
是什么？它们是唯一确定的吗？
2
或 2 时，点 P 的坐标又
3
一般地，任意给定一个角 ，它的终边 OP与 单位圆交点 P 的坐标能唯一确定吗？
y
利用勾股定理可以发现，
Px，y
当
6
时，点
P的坐标是
3 2
,
1 2
；
当
2
时，点
P的坐标是
0,1；
O A1，0 x
当
2 3
时，点
P
的坐标是
1 2
,
3 2
。它们都是唯一确定的。
一般地，任意给定一个角 R，它的终边OP 与单位圆交点 P 的坐标，
无论是横坐标 x 还是纵坐标y 都是唯一确定的。所以，点P 的横坐
标 x 、纵坐标 y 都是角 的函数。
知识梳理
设 是一个任意角， R，它的终边 OP与单位圆相交于点 P x, y
x
点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数。
知识梳理
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数. 通常将它们记为：
y
正弦函数 y sin x, x R ；
Px，y
余弦函数 y cosx, x R ；
O
A1，0 x
正切函数 y tan x, x k k Z 。
2
y
Px，y
O
而π的终边在x轴上，所以 tan3 tan 0
(3) cos9 cos 2 cos 2
4
4
42
A1，0 x
课堂小结
11 要 熟 记 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 ， 这 是 解 题
的基础
2 求三角函数值的方法是先借助于终边相同的角的诱导公
式把已知角化归到[0,2π)之间，然后利用公式化简求 值
sin 0， ① tan 0. ②
证明：先证充分性，即如果①②式都成立，那么θ为第三象限角．
因为①式sinθ＜0成立，所以θ角的终边可能位于第三或第四象限， 也可能与y轴的负半轴重合；
因为②式tanθ＞0成立，所以θ角的终边可能位于第一或第三象限．
因为①②式都成立，所以θ角的终边只能位于第三象限． 于是角θ为第三象限角．
人教版高中数学新教材必修第一册
5.2.1 三角函数的概念
导入
在弧度制下，我们已经将角的范围扩展到全体
实数。下面借助这些知识研究上一节开头提出的问
题。不失一般性， 先研究单位圆上点的运动。
现在的任务是：如图，单位圆⊙O上的点 P 以 A 为 起点做逆时针方向旋转，建立一个数学模型，刻画
点 P 的位置变化情况。
作用： 利用公式一，可以把求任意角的三角函数值， 转化为求0～2π （或0°～360°）角的三角函数值．
巩固练习
练习 求下列三角函数值.
(1) sin
4
(2) tan3
(3) cos 9
4
解：（1）因为 是第四象限角，
4
所以 sin 2
4 2
（2）tan 3 tan2 tanห้องสมุดไป่ตู้
再证必要性，即如果θ为第三象限角，那么①②式都成立．
如果θ为第三象限角，那么显然①②式都成立．
所以，角θ为第三象限角的充要条件是
s in tan
0， 0.
知识梳理
由三角函数的定义，可以知道：
终边相同的角的同一三角函数的值相等．
由此得到一组公式 ：
公式一(k∈Z) sin(α＋2kπ)＝sinα， cos(α＋2kπ)＝cosα， tan(α＋2kπ)＝tanα.
例1
求 5 的正弦、余弦和正切值．
3
解：在直角坐标系中，如图作∠ AOB 5 。
3
可知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为
1 2
，
3 2
所以
sin 5 3
3
2
cos5 1
32
tan 5 3
3
y
5
3
O
Ax
B
探究：
据任意角的三角函数定义，先将正弦、余弦、正切函数在弧度制下 的定义域填入下表，再将这三种函数的值在各象限的符号填入图中 的括号．
（1）把点 P 的纵坐标 y 叫做 的正弦函数。
y
记作 sin ，即：y sin
Px，y
（2）把点 P 的横坐标 x 叫做 的余弦函数。
记作 cos ，即：x cos
O
（3）把点 P 的纵坐标与横坐标的比值 y 叫做 的正切，
x
A1，0 x
记作 tan，即
y tanx 0
x
可以看出，当 k k Z 时, 的终边在y 轴上，这时点 P 的横坐 标也是x等唯于一确0,所定的以．xy 2所ta以n，无y 意ta义n。x除 此0也之外是，以对角于为确自定变的量角，以 ，单xy位的圆值上
三角函数 定义域
y＝sinx
R
y＝cosx
R
y
y
+ (+) — +
+ — O — x —O x
y＝tanx {x|x≠kπ＋π，k∈Z} 2
各象限的符号口诀记忆：
sin
y
—
cos
+
“一全正，二正弦，三正切，四余弦” “正弦上正，余弦右正，正切一三正”
O
x
+ —
tan
例3 求证：角θ为第三象限角的充要条件是
P
O
A
导入
根据研究函数的经验，我们利用直角坐标系来研究上述问题。
如图，以单位圆的圆心O 为原点，
以射线OA为x 轴的非负半轴，建立
直角坐标系，点A 的坐标为(1，0)
，点P 的坐标为x, y 。射线OA x
从 轴的非负半轴开始，O绕点 按
逆时针方向旋转角 ，终止位O置P
为。
Px，y
y
O
A1，0 x