河北省唐山市 九年级(上)期中数学试卷(含答案)

九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共24.0分）
1.若（k-1）x2-2kx-1=0是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是（）
A. B. C. D.
2.下列图案由正多边形拼成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
3.在平面直角坐标系中，把点P（-2，1）绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应
点P′的坐标为（）
A. B. C. D.
4.把方程x2-8x+3=0配方成如下的形式，则正确是（）
A. B. C. D.
5.下列变换不属于全等变换的是（）
A. 平移
B. 旋转
C. 轴对称
D. 相似
6.如图，⊙O△ABC的三条边所得的弦长相等，则下列说法
正确的是（）
A. 点O是△的内心
B. 点O是△的外心
C. △是正三角形
D. △是等腰三角形
7.已知a，b，c，d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，则d的长度为（）
A. 4cm
B. 5cm
C. 6cm
D. 9cm
8.下列表格是二次函数y=ax2+bx+c（d≠0）的自变量x与函数y的一些对应值，由此
可以判断方程ax2
之间之间
C. 之间
D. 之间
9.如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C，D，E，F，=，DE=6，
则EF的值为（）
A. 4
B. 6
C. 9
D. 12
10.已知抛物线y=ax2-2x+1与x轴有两个交点，那么a的取值范围是（）
A. 且
B. 且
C. 且
D. 且
11.如图，BD是⊙O的直径，点A、C在圆上，且CD=OB，则∠DAC
等于（）
A.
B.
C.
D.
12.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，
则下列结论：
（1）若点（x1，y1），（x2，y2）在图象上，当x2＞
x1＞0时，y2＞y1；
（2）当x＜-1时，y＞0；
（3）4a+2b+c＞0；
（4）x=3是关于x方程ax2+bx+c=0的一个根，其中
正确的个数为（）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13.把方程x（x+1）=2化成一般形式是______ ．
14.抛物线y=（-x）2开口向______ ．（填：“上”或“下”）
15.如图，用一个半径为30cm扇形铁皮，制作一个无底的圆锥
（不计损耗），经测量圆锥的底面半径r为10cm，则扇形
铁皮的面积为______ cm2．（结果保留π）
16.已知x=1是一元二次方程ax2+bx-10=0的一个根，则分式的值为______ ．
17.如图，边长为1的正五边形ABCDE，顶点A、B在半径为1
的圆上，其它各点在圆内，将正五边形ABCDE绕点A逆时
针旋转，当点E第一次落在圆上时，则点C转过的度数为
______ ．
18.如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与
水平桥面相交于A、B两点，拱桥最高点C到AB的距离
为4m，AB=12m，D、E为拱桥底部的两点，且DE∥AB，
点E到直线AB的距离为5m，则DE的长为______ m．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
19.2
（）根据上表填空；
①方程ax2+bx+c=0的两个根分别是______ 和______ ．
②抛物线经过点（-3，______ ）；
③在对称轴左侧，y随x增大而______ ；
（2）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式．
四、解答题（本大题共6小题，共50.0分）
20.解下列方程：
（1）x2+x=0；
（2）x2-4x-1=0．
21.如图为一段圆弧形弯道，弯道长12π米，圆弧所对的圆心角是81°．
（1）用直尺和圆规作出圆弧所在的圆心O；（不写作法，保留
作图痕迹）
（2）求这段圆弧的半径R．
22.如图，在平面直角坐标系xOy中，点O是边长为2的正方
形ABCD的中心．
（1）若函数y=x2+m的图象过点C，求这个函数的解析式；
并判断其函数图象是否过A点．
（2）若将（1）中的函数图象先向右平移1个单位，再向
上平移2个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶点坐
标．
23.如图，在长60m，宽40m的长方形花园中，欲修宽度
相等的观赏路（图中阴影部分），要使观赏路面积占
总面积的，求观赏路面宽是多少m．
24.如图，△OAB中，OA=OB=10，∠AOB=70°，以点O为
圆心，6为半径的优弧分别交OA、OB于点M，N．
（1）点P在右半弧上（∠BOP是锐角），将OP绕点O
逆时针旋转70°得OP′．求证：AP=BP′；
（2）点T在左半弧上，若AT与弧相切，求点T到OA
的距离；
（3）设点Q在优弧上，当△AOQ的面积最大时，
直接写出∠BOQ的度数．
25.【探究】中秋节前某商场计划购进一批进价为每盒40元的食品进行销售，根据销
售经验，应季销售时，若每盒食品的售价为60元，则可售出400盒，当每盒食品的售价每提高1元，销售量就相应减少10盒．
（1）假设每盒食品的售价提高x元，那么销售每盒食品所获得的利润是______ 元，销售量是______ 盒．（用含x为代数式表示）
（2）设应季销售利润为y元，求y与x的函数关系式，并求出应季销售利润为8000元时每盒食品的售价．
【拓展】根据销售经验，过季处理时，若每盒食品的售价定为30元亏本销售，可售出50盒，若每盒食品的售价每降低1元，销售量就相应增加5盒．当单价降低z 元时，解答：
（1）现剩余100盒食品需要处理，经过降价处理后还是无法销售的只能积压在仓库，损失本金，若使亏损金额最小，此时每盒食品的售价应为______ 元；
（2）若过季需要处理的食品共m盒，过季处理时亏损金额为y1元，求y1与z的函数关系式；当100≤m≤300时，求过季销售亏损金额最小时多少元？
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：由题意得：k-1≠0，
解得：k≠1，
故选：B．
根据一元二次方程定义可得k-1≠0，再解即可．
此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2.【答案】B
【解析】
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故B选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不符合题意．
故选：B．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．
3.【答案】A
【解析】
解：根据题意得，点P关于原点的对称点是点P′，
∵P点坐标为（-2，1），
∴点P′的坐标（2，-1），
故选：A．
将点P绕原点O顺时针旋转180°，实际上是求点P关于原点的对称点的坐标．本题考查了坐标与图形的变换-旋转，熟练掌握关于原点的对称点的坐标特征是解决问题的关键．
4.【答案】C
【解析】
解：方程移项得：x2-8x=-3，
配方得：x2-8x+16=13，即（x-4）2=13．
故选C．
方程常数项移到右边，两边加上16变形即可得到结果．
此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5.【答案】D
【解析】
解：因为平移、旋转、翻折、轴对称都属于全等变换，而相似则不是，故选D 全等变换的定义：按一定方法把一个图形变成另一个图形叫图形变换．
此题考查全等变换问题，要知道变换前后的图形全等，像这样只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换．
6.【答案】A
【解析】
解：
过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，连接OK、OD、OF，
由垂径定理得：DM=DE，KQ=KH，FN=FG，
∵DE=FG=HK，
∴DM=KQ=FN，
∵OD=OK=OF，
∴由勾股定理得：OM=ON=OQ，
即O到三角形ABC三边的距离相等，
∴O是△ABC的内心，
故选A．
过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，连接OK、OD、OF，根据垂径定理和已知求出DM=KQ=FN，根据勾股定理求出OM=ON=OQ，根据三角形内心的定义求出即可．
本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的内心的应用，注意：三角形的内心到三角形三边的距离相等．
7.【答案】A
【解析】
解：因为a，b，c，d是成比例线段，
可得：d=cm，
故选A
由a、b、c、d四条线段是成比例的线段，根据成比例线段的定义计算即可．
此题考查了成比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例线段的定义．
8.【答案】D
【解析】
解：由表格中的数据看出-0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围是6.18＜x＜6.19．
故选D．
利用二次函数和一元二次方程的性质进行解答即可．
本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．
9.【答案】C
【解析】
解：∵AD∥BE∥CF，
∴=，即=，
∴EF=9．
故选C．
根据平行线分线段成比例定理得到∴=，即=，然后利用比例性质
求EF即可．
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得对应线段成
比例．
10.【答案】A
【解析】
解：∵抛物线y=ax2-2x+1与x轴有两个交点，
∴a≠0，△＞0，
∴4-4a×1＞0，
∴a＜1，
故答案为：a＜1且a≠0．
故选A．
根据题意，令y=0，得方程ax2-2x+1=0，有两个不同的根得△＞0，从而解出a 的范围．
此题主要考查一元二次方程与函数的关系，关键是理解函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，若方程有根说明函数与x轴有交点，两者互相转化，要充分运用这一点来解题．
11.【答案】D
【解析】
解：连接CD，OC，DA，
∵CD=OB，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠DAC=∠COD=×60°=30°，
故选D．
根据题意得△OCD为等边三角形，则∠COD=60°，根据圆周角定理得出∠DAC 的度数．
本题考查了圆周角定理，还考查了等边三角形的判定，掌握圆周角定理的内容是解题的关键．
12.【答案】A
【解析】
解：由图象可知该二次函数图象的对称轴为x=1，当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，
（1）由图象知，点（x1，y1），（x2，y2）在图象上，当x2＞x1＞0时，函数图象的增减性不定，所以可能y2＞y1也可能y2＜y1，所以（1）错误；
（2）由图象知，当x＜-1时，y＞0正确；
（3）令x=2，由图象知，4a+2b+c＜0，所以此选项错误；
（4）由图象知，x=3不是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点，所以x=3不是关于x方程ax2+bx+c=0的一个根，所以此选项错误；
所以正确的个数有1个，
故选A．
根据该二次函数的增减性可判断（1）（2）；
令x=2可判断（3）；根据二次函数图象与坐标轴的交点可判断（4）．
本题主要考查了二次函数的性质，结合图象分析二次函数的增减性，对称轴等是解答此题的关键．
13.【答案】x2+x-2=0
【解析】
解：x（x+1）=2，
去括号得：x2+x=2，
移项得：x2+x-2=0，
故答案为：x2+x-2=0．
一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），首先把方程左边的两式相乘，再移项使方程右边变为0，然后合并同类项即可．
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化．
14.【答案】上
【解析】
解：
∵y=（-x）2=x2，
∴a=1＞0，
∴抛物线开口向上，
故答案为：上．
根据抛物线的解析式可确定其开口方向．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向由二次项系数的正负决定是解题的关键．
15.【答案】300π
【解析】
解：∵圆锥的底面半径为10cm，
∴圆锥的底面周长为20π，
∵扇形的半径为30cm，
∴圆锥的面积为lr=×20π×30=300πcm2，
故答案为：300π．
根据圆锥的底面半径求得周长，从而求得扇形的弧长，然后利用扇形面积公式求得扇形铁皮的面积即可．
本题考查了圆锥的计算计算扇形的面积计算的知识，解题的关键是牢记扇形的弧长等于圆锥的底面周长，难度不大．
16.【答案】5
【解析】
解：把x=1代入方程ax2+bx-10=得a+b-10=0，
解a+b=10．
===5
故答案为5．
根据一元二次方程解的定义把x=1代入ax2+bx-10=0即可得到a+b的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
17.【答案】12°
【解析】
解：如图设圆心为O，连接OA、OB，点E落在圆上的点
E′处．
∵AB=OA=OB，
∴∠OAB=60°，同理∠OAE′=60°，
∵∠EAB=108°，
∴∠EAO=∠EAB-∠OAB=48°，
∴∠EAE′=∠OAE′-∠EAO=60°-48°=12°，
∵点E旋转的角度和点C旋转的角度相等，
∴点C旋转的角度为12°，
故答案为12°．
因为点E旋转的角度和点C旋转的角度相等，所以求出点E旋转的角度即可．本题考查正多边形与圆，旋转的性质，理解点E旋转的角度和点C旋转的角度相等是解决问题的关键，所以中考常考题型．
18.【答案】18
【解析】
解：如图所示，建立平面直角坐标系，x轴
在直线DE上，y轴经过最高点C．
设AB与y轴交于点H，
∵AB=12，
∴AH=BH=6，
由题可知：
OH=5，CH=4，
∴OC=5+4=9，
∴B（6，5），C（0，9）
设该抛物线的解析式为：y=ax2+k，
∵顶点C（0，9），
∴抛物线y=ax2+9，
代入B（6，5）
∴5=36a+9，解得a=-，
∴抛物线：y=-x2+9，
当y=0时，0=-x2+9，解得x=±9，
∴E（9，0），D（-9，0），
∴OE=OD=9，
∴DE=OD+OE=9+9=18，
故答案为：18．
首先建立平面直角坐标系，x轴在直线DE上，y轴经过最高点C，设AB与y 轴交于H，求出OC的长，然后设该抛物线的解析式为：y=ax2+k，根据题干条件求出a和k的值，再令y=0，求出x的值，即可求出D和E点的坐标，DE的长度即可求出．
本题主要考查二次函数综合应用的知识点，解答本题的关键是正确地建立平面直角坐标系，此题难度一般，是一道非常典型的试题．
19.【答案】x1=-2；x2=1；8；减小
【解析】
解：（1）①观察表格得：方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=-2和x2=1；
②抛物线经过点（-3，8）；
③在对称轴左侧，y随x的增大而减小；
故答案为：①x1=-2，x2=1；②8；③减小；
（2）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
把（-2，0），（1，0）、（0，-4）代入得：，
解得：，
则抛物线解析式为y=2x2+2x-4．
（1）①观察表格中y=0时x的值，即可确定出所求方程的解；
②利用对称性确定出x=-3时y的值，确定出所求点坐标即可；
③利用二次函数增减性确定出结果即可；
（2）利用待定系数法确定出抛物线解析式即可．
此题考查了抛物线与x轴的交点，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．
20.【答案】解：（1）分解因式得：x（x+1）=0，
x=0，x+1=0，
解得：x1=0，x2=-1．
解：（1）x2-4x-1=0
x2-4x=1
x2-4x+22=1+22
（x-2）2=5
∴x-2=±，
∴x1=2+，x2=2-，
【解析】
（1）分解因式得出x（x+1）=0，推出x=0，x+1=0，求出方程的解即可．
（2）根据配方法进行解答即可．
本题考查解一元二次方程-配方法和因式分解法，解题的关键是明确怎么应
用配方法和因式分解法解答方程．
21.【答案】解：（1）如图，点O即为所求点；
（2）根据题意得：=12π，
解得：R=，
答：这段圆弧的半径为米．
【解析】
（1）弧上任取三点A、B、C，连结AB、BC，分别作AB和BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O；
（2）根据弧长公式列出关于R的方程，解之可得．
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，
一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法；解决此类题目的关键是熟悉
基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了弧长公式．
22.【答案】解：（1），由题意得A（1，1），C（-1，-1），
∵函数y=x2+m的图象过点C，
∴-1=1+m，
解得m=-2，
∴此函数的解析式为y=x2-2，
把A（1，1）代入y=x2-2的左右两边，
左边=1，右边=-1，左≠右，
∴其函数图象不过A点．
（2）∵将抛物线y=x2-2向上平移2个单位再向右平移1个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为：y=（x-1）2-2+2．
即y=（x-1）2，
则平移后的抛物线的顶点坐标为：（1，0）．
【解析】
（1）根据题意A（1，1），C（-1，-1），代入y=x2+m根据待定系数法即可求得解析式，把A的坐标代入即可判断；
（2）直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式，即可得出顶点坐标．
此题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．
23.【答案】解：设路宽为x，
（40-2x）（60-3x）=（1-）×60×40，
解得：x=5或x=35不合题意，
答：观赏道路路面宽是5m．
【解析】
设路宽为x，所剩下的观赏面积的宽为（40-2x），长为（60-3x）根据要使观赏路
面积占总面积，可列方程求解．
本题考查理解题意的能力，关键是表示出剩下的长和宽，根据面积列方程．24.【答案】（1）证明：如图1，∵∠AOP=∠AOB+∠BOP=80°+∠BOP，
∠BOP′=∠POP′+∠BOP=80°+∠BOP，
∴∠AOP=∠BOP′，
∵在△AOP和△BOP′中
′
，
′
∴△AOP≌△BOP′（SAS），
∴AP=BP′；
（2）解：如图1，连接OT，过点T作TH⊥OA于点H，
∵AT是⊙O的切线，
∴∠ATO=90°，
∴AT===8，
∵×OA×TH=×AT×OT，
即×10×TH=×8×6，
解得：TH=，即点T到OA的距离为；
（3）解：如图2，当OQ⊥OA时，△AOQ的面积最大；
理由：∵OQ⊥OA，
∴QO是△AOQ中最长的高，则△AOQ的面积最大，
∴∠BOQ=∠AOQ+∠AOB=90°+70°=160°，
当Q点在优弧右侧上，
∵OQ⊥OA，
∴QO是△AOQ中最长的高，则△AOQ的面积最大，
∴∠BOQ=∠AOQ-∠AOB=90°-70°=20°，
综上所述：当∠BOQ的度数为20°或160°时，△AOQ的面积最大．
【解析】
（1）首先根据已知得出∠AOP=∠BOP′，进而得出△AOP≌△BOP′，即可得出答案；
（2）利用切线的性质得出∠ATO=90°，再利用勾股定理求出AT的长，进而得出TH的长即可得出答案；
（3）当OQ⊥OA时，△AOQ面积最大，且左右两半弧上各存在一点分别求出即可．
本题考查了圆的综合题、切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，第
二个问题的关键是利用面积法求出线段TH，第三个问题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考压轴题．
25.【答案】20+x；400-10x；20
【解析】
解：【探究】（1）假设每盒食品的售价提高x元，那么销售每盒食品所获得的利润是（20+x）元，销售量是（400-10x）盒，
故答案为：20+x，400-10x；
（2）根据题意得：y=（20+x）（400-10x）=-10x2+200x+8000，
把y=8000代入，得：-10x2+200x+8000=8000，
解得：x=0或x=20，
当x=0时，60+x=60，
当x=20时，60+x=80，
答：应季销售利润为8000元时每盒食品的售价为60元或80元；
【拓展】
（1）设过季处理时亏损金额为y元，单价降低z元．
由题意得：y=40×100-（30-z）（50+5z）=5（z-10）2+2000；
z=10时亏损金额最小为2000元，
此时售价为30-10=20（元/件），
故答案为：20；
（2）y1=40m-（30-z）（50+5z）=5（z-10）2+40m-2000，
即当z=10时，y1有最小值40m-2000，
∵100≤m≤300，
∴当m=100时，y1有最小值40m-2000=2000，
答：过季销售亏损金额最小时2000元．
探究：（1）每条围巾获得的利润=实际售价-进价，销售量=售价为60元时销售量-因价格上涨减少的销售量；
（2）根据：销售利润=单件利润×销售量可列函数解析式，并求y=8000时x的值；拓展：（1）根据：亏损金额=总成本-每件围巾的售价×销售量，列出函数关系式，配方后可得最值情况；
（2）根据与（1）相同的相等关系列函数关系式配方可得最小值．
本题主要考查二次函数的应用，解决本题的关键是在不同情形下理清数量关系、紧扣相等关系列出函数解析式，根据解析式结合自变量取值范围求函数
最值是根本技能．。