河北省石家庄市2017届高三毕业班第二次模拟考试数学(理)试题扫描版含答案

2016-2017 学年度石家庄市第二次模 考
数学理科答案
一、
1-5DDACA 6-10 DADBA 11-12AB
二、填空
13.
540
14 .
2
2
x 2 y 2 1
3
15.
5
20
16.
5
三、解答
17. 解： (1)
当
n
1
，
a 1 2a 2
na n ( n 1)2n 1 2 ①
a 1 2a 2 （n-1)a n 1 (n 2)2n
2
②
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分
① -
②得
na n (n 1)2 n 1 (n 2)2 n n 2 n
所以
a n
2n ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
3 分
当
n
1
， a 1
2 ，
所以
a n
2n ， n
N * ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4 分
(2) 因 a n
2n ，
b n
1
1
1 1 1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
log 2 a n log 2 a n 2
n( n
2)
( n n ) .
2 2
所以
T
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1
1 1 1 1 1 .
n
2 3 2 2 4
2 3 5
2 n 1 n 1
2 n n 2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8 分
1 1 1
1 1 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分
2 2 n n 2
3
1 1
1 3 4
2 n 1 n 2
4
所以，随意 n N *， T n3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分
4
18． (1) 明 : 取AD中点M，接EM，AF=EF=DE=2，AD=4，可知EM= 1
AD，∴ AE⊥2
，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分
DE
又 AE⊥EC，DE EC E ∴AE⊥平面CDE，
∴AE⊥CD，又 CD⊥ AD，
AD AE A,∴ CD⊥平面 ADEF，CD平面 ABCD，
∴平面 ABCD⊥平面 ADEF；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分
（ 2）如，作EO⊥ AD， EO⊥平面 ABCD，故以 O原点，分以OA, DC , OE的方向 x 、 y 、 z 的正方向成立空平面直角坐系，依意可得E(0,0,3) ， A(3,0,0) ，
C (1,4,0) ， F (2,0,3)，
所以EA(3,0,3)， AC( 4,4,0)，
CF(3, 4,3) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分
n( x, y, z)平面 EAC的法向量，
n EA0
3z0不如 x=1，
即 3x
n AC04x4y0
可得 n(1,1,3)，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分
所以
cos CF , n CF n2
5140 =35 ，
| CF | | n |287035
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分
直与平面所成角的正弦35⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分CF EAC35
4
19. 解：（ 1）四天均不降雨的概率P1381 ，
5625
3
216
，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
四天中恰有一天降雨的概率
P 2
1 3
2 2 分
C 4 5
5
625
所以四天中起码有两天降雨的概率
P 1 P 1 P 2
1
81 216 328 625
625
⋯⋯⋯4分
1 2 3
4 5
625
（ 2）由 意可知 x
3 ，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
5 分
5
y
50+85+115+140+160 =110 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6 分
5
5
(x i x)( y i
y ) 275 ，
b
i 1
= =27.5
8 分
5
10 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
( x i x)2
i 1
a= y bx =27.5
所以， y 对于 x 的回 方程 ：
? 27.5x 27.5 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
10 分
y
将降雨量 x 6代入回 方程得： y
27.5 6
27.5
192.5
193 .
?
所以 当降雨量
6 毫米 需要准 的快餐份数 193份. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分
20. （Ⅰ）方法一： M （x ， y ），
由 意可知， A （1-r ， 0），
因 弦 AM 的中点恰巧落在 y 上，所以 x=r-1>0, 即 r=x+1, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分
所以 ( x
1)2 y 2 ( x 1)2 ，化 可得 y
2
=4x （x>0）
所以，点 M 的 迹 E 的方程 ： y 2=4x （ x>0）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
方法二：
M （ x ， y ），由 意可知，
A （ 1-r ， 0）， AM 的中点
,x>0 ，
因 C （1， 0），
，
．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2 分
在⊙ C 中，因 CD ⊥ DM ，所以，
，
所以
．
所以， y 2=4x （ x>0）
所以，点 M 的 迹 E 的方程 ： y 2=4x （ x>0）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4 分
（Ⅱ）直 MN的方程x my 1 ，M ( x1, y1)，N (x2, y2)，直BN的方程
y k (x y22)y2
4
x my1
y24my40 ，可得 y1y24m, y1 y2 4 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分y24x
由（ 1）可知，r1x1，点 A(x1 ,0) ，所以直AM的方程y 2 x y 1 ，
y12
y k( x y22
)y2ky2 4 y 4 y2 ky222 40 ，0 ，可得 k，
y24x y2直 BN的方程y2x y2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分
y22
y 2 x y
1 ,
y12
立
y12
可得 x B
44my1
2m，
2 x y2,
1, y B
y 2 y1 2 y1 y22
所以点 B（ -1 ， 2m）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分
|BC| 44m2，
d| 2 2m2 |4m2 4 =2m2 1 ，m21
e B 与直MN相切⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
21. 【解】（ 1）
f ()e x
a ．x
若 a ≤ 0 ， f( x)0 ，函数 f (x) 是增函数，与矛盾．所以 a0 ，令 f ()x 0，
x ln a ． ........................................................................
.........2分
当 x ln a ， f(x)0 ， f (x) 是减函数； x ln a ， f ( x)0 ， f (x) 是增函
数；
于是当 x ln a ， f (x) 获得极小．
因 函数 f (x) e x ax a (a R ) 的 象与 x 交于两点 A(x 1 ，0)
， B( x 2 ，0) ( x 1＜ x 2) ，
所以 f (ln a)
a(2
ln a) 0 ，即
a e 2 ． (4)
分
此 ，存在 1
ln a ， f (1)
e 0 ；（或 找
f （0））
存在 3ln a
ln a ， f (3ln a)
3
3
2
，
a 3a ln a a a 3a
a 0
又由 f ( x) 在 (
，ln a) 及 (ln a ，
) 上的 性及曲 在
R 上不 断，可知 a
e 2 所求
取 范
. ..........................................................................
(5)
分
（2）因
e x 1
ax 1
a 0 ，
x 2
x 1
． (7)
分
e
x
2
两式相减得 a
e
e
ax 2 a 0 ，
x 2 x 1
x 2 x 1
x 1 x 2
x 1 x 2
x x
x 1
x 2
e
2
s( s 0) ， f
e
2
e 2 e 1
s
s
，
2
2
x 2
x 1
2 s (e
e )
2s
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分
g ( ) 2 (e s e s ) ，
g (s)
2 (e
s
e s
) 0 ，所以 g( s) 是 减函数，
s s
x 1 x 2
x 1 x 2
有 g( s)
g(0)
0 ，而
e
2
0 ，所以 f
0 ．
2
2 s
又 f ( x) e x
a 是 增函数，且
x 1 x 2 2 x 1 x 2 ，
2 3
所以
f '(
2x
1
3 x
2 )
0 。

............................................................
(12)
分
2 x 1 x 2
x
x
（ 2）另解参照：
f '(
2x 1x
2
) e
3
e 1 e 2
=⋯⋯⋯ 7 分
3
x 1 x 2
2 x 1 x 2
x 1
x 2 2( x 2 x 1 )
e
3
e
3
e
3
9 分
(1
) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
x 1 x 2
令
x
1
x 2 t ， t 0 ，
3
令
( ) t 2t 3 ,
' ( ) t
2 2t 3,
g t
e
e
t g t
e e
令 '( )
( ), '( ) t
4 2t 0 在 t 0 然成立，
g t
h t
h t
e
e
g' (t) 在 t
0 减， g' (t ) g' (0) 0 ， g(t) 减，
g(t )
g( 0)
0 ， f ' (
2x 1
3 x 2 ) 0 得 。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
12 分
做 ：
22 解：（Ⅰ） 点 P 的坐 ( , ) ，
由 意可得点
Q 的坐 (
,
) ，⋯⋯⋯⋯⋯
2 分
3
再由点 Q 的横坐 等于 a, a 0 ，
可得
c os( ) a ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
3
可得
1
cos
3
sin
a ,
2
2
故当点 Q 在 l 上运 点 P 的直角坐 方程
x 3y 2a 0 .⋯⋯⋯⋯ 5分
（Ⅱ ) 曲 C ：
x 2
y 2 a 2 ，
x / 2x x
x / x /
y / 2
a 2
，即
x 2 y 2
2
，⋯⋯⋯⋯ 6
分
y /
y
，即
2 ，代入 4 4
a y
y /
立点 P 的 迹方程，消去
x 得
7y 2
ay
0 ⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分
4 3
a
有交点，坐 分 ( 2 a, 4
3
a), (2a,0) ⋯⋯⋯⋯ 10 分
7
7
x 3, x
1
23 解：（Ⅰ）函数
f ( x) 2 x
1 x 1 3x 1, 1 x 1
x 3, x 1
河北省石家庄市2017届高三毕业班第二次模拟考试数学(理)试题扫描版含答案
，它的 象如 所示：
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分
函数 f ( x) 的 象与直 y
1的交点 （ 4， 1）、（ 0， 1）， 故函数 f ( x) 的 象和直
y 1 成的封 形的面 m= ?4?3=6．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分
（Ⅱ）
a 2
b 6ab 1 2 6, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
b a (a 2b)(
1 2) a 4b 4
2 4 4 8 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分 b
a b a 当且 当 a 4b ， b a
可得 a 2 , b 1 等号成立，
3 3
a 2
b 的最小 是 4
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分 3
-11-。