集合间的基本运算

集合间的基本运算
集合间的基本运算
一、知识概述
1.交集的定义：由所有既属于集合A又属于集合B的元
素所组成的集合，记作AB（读作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝。

2.并集的定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素
所组成的集合，记作AB（读作‘A并B’），即AB ={x|xA，
或xB}。

3.补集的定义：设S是一个集合，A是S的一个子集，由
S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补
集（或余集），记作A'。

4.运算性质：
1）交换律；
2）结合律；
3）分配律；
4）幂等律；
5）吸收律；
6）补运算律。

二、例题讲解
例1、设集合A={－4，2m－1，m}，B={9，m－5，1－m}，又A∩B={9}，求实数m的值。

解：由AB={9}，得2m－1=9或m=9，解得m=5或m=3或m=－3.若m=5，则A={－4，9，25}，B={9，－4}与
AB={9}矛盾；若m=3，则B中元素m－5=1－m=－2，与B 中元素互异矛盾；若m=－3，则A={－4，－7，9}，B={9，－8，4}满足AB={9}。

∴m=－3.
例2、设A={x|x＋ax＋b=0}，B={x|x＋cx＋15=0}，又
A∩B={3}，A∪B={3，5}，求实数a，b，c的值。

解：由A∩B={3}，得3∈B，即3＋3c＋15=0，解得c=－8，由方程x－8x＋15=0解得x=3或x=5.∴B={3，5}。

由A （AB）={3，5}知，3∈A，5∉A（否则5∈A∩B，与A∩B={3}矛盾）。

故必有A={3}，即方程x＋ax＋b=0有两相同的根3.由韦达定理得3＋3=－a，33=b，即a=－6，b=9，c=－8.
例3、已知A={x|x＋3x＋2x＞0}，B={x|x＋ax＋b≤0}，且A∩B={x|0＜x≤2}，A∪B＝｛x｜x＞－2｝，求a、b的值。

解：A={x|－2＜x＜－1或x＞0}，设B=[x，x]，由A∩B=（，2］知x＝2，且－1≤x≤1.由A∪B=（－2，＋∞）知－
2≤x≤－1.由以上两式知x＝－1，x＝2，∴a＝－（x＋x）＝－1，b＝xx＝－2.
4、因为图形中的阴影部分表示的是集合B，所以M-(M-N)表示的也是集合B。

5、已知集合A={x|x-3x+2=0}，集合B={x|ax-2=0}（其中a为实数），且A∪B=A，则集合C={a|a使得A∪B=A}={0，1，2}。

6、非空集合S包含{1，2，3，4，5}，且若a∈S，则6-
a∈S，这样的S共有6个，即{1，5}，{2，4}，{3}，{1，3，5}，{2，4，3}，{1，5，2，4}。

7、设集合A={x|2x-11}，且A∩B=Φ。

1）若9∈A且9∈B，求实数a的值。

2）若9∈A且9∉B，求实数a的值。

解：（1）因为9∈A且9∈B，所以2×9-11，解得a26/3，综合得到a∈(-∞，8)∪(26/3，+∞)。

2）因为9∈A且9∉B，所以2×9-1<5且3×9-a≤1，解得
a≥26，所以a≥26.
8、已知全集U=R，集合A={x|x^2-3x+2>0}，集合
B={x|x-20}，求实数m的取值范围使得A∩B={m}。

解：因为A={x|x2}，B={x|x5}，所以A∩B={x|12}，所以
A-B={x|x<1}。

因为A-B={m}，所以m<1.综上得到
m∈(1,2)∩(-∞,1)=Φ，所以没有符合条件的实数m。

9、已知全集U={|a-1|，(a-2)(a-1)，4，6}，集合
A={x|1<x<3}，集合B={x|x^2-3x+2=0}。

1）若A∩B={a}，求实数a的值。

2）若B⊆A∪{a}，求实数a的值。

解：（1）因为A∩B={x|1<x<2}，所以a∈(1,2)。

因为
B={x|(x-1)(x-2)=0}，所以B={1,2}。

因为A∩B={a}，所以
a∈A且a∈B，所以a=2.
2）因为B={x|(x-1)(x-2)=0}，所以B={1,2}。

因为
B⊆A∪{a}，所以1,2∈A∪{a}，即1<a<2.因为A={x|1<x<3}，所以a∈(1,3)。

综合得到1<a<2.
当两种电器以上的占63%时，即A∩B∪A∩C∪B∩C≥63，由容斥原理可得A∪B∪C－A∩B－A∩C－B∩C≥63，代入数
据可得A∪B∪C－25≥38，即A∪B∪C≥63．
当三种电器齐全的为25%时，即A∩B∩C＝25，代入数据
可得A∪B∪C－A∩B－A∩C－B∩C＝44＋49＋85－25＝183，即A∪B∪C＝208．
由此可得A∩B∩C的元素个数为25，A∩B的元素个数为
49－25＝24，A∩C的元素个数为44－25＝19，B∩C的元素个
数为85－25＝60，A的元素个数为25＋24＋19＝68，B的元
素个数为25＋24＋60＝109，C的元素个数为25＋19＋60＝104，一种电器也没有的为U－A－B－C＝100－68－109－
104＝－81，即相对贫困户所占比例为81/100％，故选D．
22、集合中的交、并、补等运算，可以借助图形进行思考。

图形不仅可以使各集合之间的相互关系直观明了，同时也便于将各元素的归属确定下来，使抽象的集合运算能建立在直观的形象思维基础上。

因此，图形既是迅速理解题意的工具，又是正确解题的手段。

例如，对于某些应用题，可以把各种人群看做集合，通过Venn图解法，快速求得所需结果。

11、已知集合A={x|x－4mx＋2m＋6=0}，B={x|x＜0}，
若A∩B≠2，求实数m的取值范围。

解：设全集为R。

若方程x－4mx＋2m＋6=0的两根x均非负，则2≤m<4.
若方程x－4mx＋2m＋6=0的两根x均非正，则m≤2.
故实数m的取值范围为m≤2或2≤m<4.
12、（福建，2）已知全集U=R，集合A={x|x－2x>0}，
则A等于{ x|0≤x≤2 }。

解析：由x－2x>0得x(x－2)>0，故x2，即A={x|x2}。

又因为全集为R，所以A的补集为(-∞,0]∪[2,+∞)，即
A={x|0≤x≤2}。

3、（山东，1）集合A={0，2，a}，B={1，a}。

若
A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为4.
解析：因为A∪B={0，1，2，a，a}，所以{a，a}={4，16}，即a=4.。