【高考研究】高考数学(文)试题分类汇编(2013-17年) 第6章 数列 第2节 数列的通项公式与求

4
23
8.
(1)求数列
a
的通项公式；
n
(2)设
S
n
为数列a
的前
n项和，
n
b
n
a
n1
SS
，求数列
b 的前 n
n项和
T
n
.
n n1
14.解析
（1）因为
a
n
是等比数列，且 a a
23
8 ，所以 a a 14
8.
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联立
2
,
a
5
,
a
14
构成等比数列．
(1) 证明： a 4a 5 ；
2
1
(2)
求数列
a
的通项公式；
n
(3) 证明：对一切正整数 n，有 1 1 1 1 .
aa a a
aa 2
12
23
n1 n
2.分析
（1）把
n
1
代入递推式
4S
n
a2
n1
4n 1，可以得到
a
1
和
a
2
的
关系式，变形可
得a
2
4a
1
5
.（2）鉴于递推式
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则
b
6
与数列
a
的第
n
63项相等.
16.（2015 福建文 17）在等差数列
a
n
中， a
n
n
n
12.（2015 陕西文 16）观察下列等式：
1 1 1 22
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1 1 1 1 1 1 234 34
1 1 1 1 1 1 1 1 1 23456 456
……
据此规律，第 n个等式可为______________________.
12.解析 观察等式知，第 n个等式的左边有 2n 个数相加减，奇数项为正，偶数项
为负，且分子为1，分母是1到 2n 的连续正整数，等式的右边是 1 1
n 1 n 2
故答案为1 1 1 1 1 1 1 1 1 n N*.
234
2n 1 2n n 1 n 2
2n
1.
2n
13.（2015 江苏卷 11）设数列 a
n
n1
n2
n1
n2
对任意
n
N
*，
f
a
n
a
n1
a
n2
a
n1
0
，即 a
n 1
a
n
a a ，故
n 2
n 1
a
n
为等差
数列.由
a
2 ，a
a
8
，可得数列
a
的公差
d
1 ，所以 a
21n 1 n 1.
1
2
4
n
n
（2）由 b
n
1
2
a
n
2a
2 n 1
1 2n 1
2n
1 2n
2知， S
n
b b
5
a a ，即 a
2 14
2
3 22
a
2
a
2
12 2 ，解得
a 3.
2
又由（1）知 a
2
4a
1
5 ，所以 a
1
1 ，所以 a
2
a
1
2
.
综上知 a a 2nN*，所以数列a 是首项为1 ，公差为 2 的等差数列.
n1 n
n
所以 a 12n1 2n1. n
所以数列a
的通项公式为
a
2n1nN*.
（2）把数列a 的通项公式代入 b 的表达式，利用裂项法求出数列b 的前 n 项
n
n
n
和.
解析
（1）由
a2
2n
1a
2 n 0 ，得a
2n a
1 0 .由于a 是正项数列，所
n
n
n
n
n
以 a 2n .
n
（2）由 a
n
2n, b
n
n
1
1a
，则
bn
1
2n n
1
1 2
1 n
n
1
1
n
1
n
2
，
当 n 1时，满足通项．故 1 a
n
2
n 1
2
1 n
n
1 1
n
N*
，
n
则有 1 1 1 … 1
aa a
a
2 1
1 2
+
1 2
1 3
…
1 10
1 11
2 1
1 11
20 11
．
1
2
3
10
14.（2015 安徽理 18）已知数列
a
n
是递增的等比数列，且 a a 9 ， a a
1
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第 2 节 数列的通项公式与求和
题型 74 数列通项公式的求解
1. (2013 安徽文 19）设数列
a
n
满足 a
1
2， a a
2
4
8 ，且对任意 n N* ，函数
f
x a
n
a
n1
a x a ，cosx a
n2
n2
x
2sinx满足
f
n
π 2
0.
n
2n
0
.
(1) 求数列an 的通项公式 an ；
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(2)
令
b
n
(n
n 1 2)2 a2
，数列
bn
的前
n
项和为
T
n
．
n
3.分析 （1）根据已知的 a 和 n 的关系式进行因式分解，通过 a 0 得到数列a 的
n
n
n
通项公式；
的通项公式为
a
a
n 1d 4 2n 1 2n 2n N* .
n
n
1
（2）等比数列
b
n
中b
2
a
3
8 ，b
3
a
7
16
，设等比数列的公比为 q
b
3
b
2，
2
b b qn2 8 2n2 2n1 n N* . b 27 128 2n 2，得 n 63 ，
n
2
6
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a
1
a
a
a 4 8
9
，又
a n
为递增的等比数列，即 a
4
a.
1
14
解得
a a1
1 8
或
a
1
a
8 1
（舍），可得
q3
4
4
a
4
a
1
8 ，得 q
2.
所以 a a qn1 2n1 n N* .
n
1
（2）由（1）可知 S
a 1 qn 1
1 2n
2n
1，
n
1 q
1 2
所以 b
2n
n
满足 a 1 ，且 a a n 1
1
n 1
n
n N*
，则数列
1 a
n
前
10
项的和为
．
13.解析 解法一：可以考虑算出前10 项，但运算化简较繁琐．
解法二：由题意得
，
，…，
a a 2 a a 3
a a
n n…2,n N*
2
1
3
2
n
n 1
n n 1
故累加得 a a 2 3 4 … n ，从而 a 1+2 3 4 … n
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已知数列 a n
的前 n项和
S
n
3n2 2
n ，n N*
.
（1）求数列a 的通项公式； n
（2）求证：对任意 n 1 ，都有 m N* ，使得 a ，a ，a 成等比数列.
1
n
m
9.（2014 大纲文 17）（本小题满分 10 分）
数列{a }满足 a 1，a 2，a 2a a 2.
S=1,i=1 ai=2∙S S=ai
D. a 2n1
i=i+1
n
否
7（. 2014 新课标Ⅱ文 16）数列{a }满足 a 1 ，a 2，
i>N
则
n
n1 1 a 8
是
n
输出a1,a2, ∙∙∙,aN
a
.
1
结束
8.（2014 江西文 17）（本小题满分 12 分）
【高考研究】高考数学（文）试题分类汇编
，
n
Tn
1 2
1
1 2
1 2
1 3
1 n 1
1 n
1 n
1 n 1
1 2
1
n
1 1
n
2 n
1
.
4. (2013 重庆文 16）设数列
a
n
满足： a 1， a 3 a ， n N
1
n 1
n
.
（1）求
a
的通项公式及前
n
n项和
S
n
；
n （2）已知
b
n
是等差数列，T 为其前
n
项和，且 b a ， b a a a ，求T .
n
1
2
n2
n1 n
（1）设 b a a ，证明{b }是等差数列；
n n1 n
n
（2）求{a }的通项公式. n
10.（2014 广东文 19）（本小题满分 14 分）
设 各 项 均 为 正 数 的 数 列 a 的 前 n 项 和 为 S ， 且 S 满 足
n
n
n
S 2 n 2 n 3 S 3n 2n n0,N . *
a
n
满足 a a
1
2
10
，a a 2.
4
3
（1）求a
的通项公式；
n
（2）设等比数列
b
n
满足 b
，
a b
a
；问：
b
与数列
2
3
3
7
6
a
n
的第几项相等？
15.解析（1）依题意，设等差数列a
的公差为
d，
n
a a 2 a d 10
①
1
2
1
a a 2d
②
4
3
得d 2，a 4 .
1
数列
a
1
2
3
1
2
3
20
4.分析 根据等比、等差数列的通项公式及前 n项和公式直接运算求解.
解析
（1）由题设知
a
是首项为1
，公比为
3
的等比数列，所以
n
a 3n1, S 13n 1 3n 1 .
n
n 13 2
（2） b a 3, b 1 3 9 13, b b 10 2 d ，所以公差 d 5 ，
n
n
（3）证明：由（2）知 1 aa
2n
1
12n
1
1 2
1 2n 1
1 2n 1
，
n n1
所以 1 1 aa a a
1 aa
1 2
1
1 3
1 3
1 5
1 2n 1
1 2n 1
12
23
n n1
1 2
1
1 2n 1
1 2
1 4n
2
1 2
.
3.
（2013
江西文
16）正项数列
an
满足：
a2
n
(2n
1)a
4S
n
a2
n1
4n1含有
S
n
,
a
n 1
的特点，
常用公式
a
n
S , n 1,
1
S
S
,n≥
进行化异为同，得到 和 的递推式，构造等差
2
a
n 1
an
n
n 1
数列，进而求出
数列的通项.（3）要证的不等式的左边是一个新数列
a
1 a
Hale Waihona Puke Baidu
的前
n项
n n1
和，因此要求和、
化简，因为 1 是一个分式，常常通过裂项相消法逐项相消，然后再 aa
a 2
2a 2a a
2
2
2
2
n
n 1
n
a
n
2 a .于是数列
n 1
a
n
是首项为1 .公比为 2 的等比数列.因此， a 2n1. n
所以a
的通项公式为
a
2n1.
n
n
（2）由（1）知， na n2n1.记数列 n
n 2n1
的前 n 项和为 Bn，
于是 B 122322 n2n1，
1
2
3
3
1
故T 20 3 20 19 5 1010 .
20
2
5.
(2013 湖南文 19）设S n为数列
a
n
的前项和，已知 a 1
0 ，2 2 a a
n
1
S S ，
1n
n Ν.
（1）求 a ， a ，并求数列
1
2
a
n
的通项公式；
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1 1 ，
n 2n 1 2n1 1 2n 1 2n1 1
所以T 1 1 1 1 1 1
n
3 3 7 7 15
1 2n 1
1 2 n1 1
1
1 2n1 1
2n1 2 2n1 1
.
故T 2n1 2 nN* . n 2n1 1
15.（2015 北京文 16）已知等差数列
（2）求数列na
的前
n项和.
n
5.分析
根据 a S S
n
n n1
n≥2
消去 S 得到关于 a 的关系式，求其通
n
n
项；利用错位相
减法求前 n 项和.
解析
（1）令
n
1
，得
2a
1
a
1
a2 ，即 a
1
1
a2
1
.因为 a
1
0
，所以 a
1
1.
令 n 2 ，得
，解得
.当 n≥2 时，由
，即
2a 1 S 1 a
n
n
(1)求 a 的值； 1
(2)求数列
a
的通项公式；
n
(3)求证：对一切正整数 n ，有 a
1
a
1
a
1
a
1
a
1
a
1
1 3
.
11
22
nn
11.（2014 湖南文 16）（本小题满分 12 分）
已知数列 a n
的前
n项和
S
n
n2 2
n
，nN*
.
(1)求数列a 的通项公式；
n
(2)设 b 2an 1na ，求数列 b 的前 2n 项和.
1
2
b
n
n
n n 1
2n 2
2
1 2
1
1 2
n
1 1
n2
3n 1
1 2n
.
2
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2.（2013 广东文 19）设各项均为正数的数列
a
n
的前 n项和为 S ，满足
n
4S
n
a2
n1
4n
1，
n
N
* ,且 a
n
2B 12222 323 n2n .
n
① - ② ，得 B 1222 2n1 n2n 2n 1n2n. n
从而 B 1n12n .
开始
n
6.（2014 陕西文 4）根据如图所示框图，对大于 2 的整数 n，
输入N
输出
的数列的通项公式是（
A. a 2n
n
）.
B. a 2n1 n
C. a 2n n
（1）求数列a
的通项公式；；
x
（2）若 b
x
2 a n
1 2xn
，求数列
b
的前
n项和
n
S
nx
.
1. 分析
（1）求导，代入
f
0
，并对所得式子进行变形，从而
证明数列是等差数列，
再由题目条件求基本量，得通项公式.（2）将 a 代入化简，利用分组求
n
和法，结合等差、等
比数列的前 n项和公式计算.
解析 （1）由题设可得 f x a a a a sinx a cosx.
n n1
①
所以当 n≥2 时， 4S a2 4n 11
n1 n
②
由①-②得 4a a2 a2 4， n n1 n
即 a2 a2 4a 4 a 22 n ≥ 2.
n 1
n
n
n
因为 a
n
0
，所以 a
n 1
a
n
2
，即 a
n1
a
n
2
n≥2
.
因为 a , a , a
2 5 14
成等比数列，所以 a2
n n1
通过放缩，得出结
论.
解析 （1）证明：由4S a2 4n1，得4S a2 41，即4a a2 41，所以
n n1
12
12
a2 4a 5.
2
1
因为 a
n
0
，所以 a
2
4a 5 . 1
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（2）因为 4S a2 4n1