浙教版数学七年级下册_学好完全平方公式的三点提示

学好完全平方公式的三点提示
完全平方公式是两个形式相同的多项式相乘得到的公式，它的应用十分广
泛，是教材中的重点和难点．那么如何掌握完全平方公式呢?下面给予三点提示，
供参考．
一、意义特征要牢记
1、完全平方公式：（1）(a+b)2=a 2+2ab+b 2 ；（2）(a-b)2=a 2-2ab+b 2
2、文字描述：这两个公式的左边是一个二项式的完全平方，右边是三项式，
而且每一项都是二次式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，而第三
项是左边二项式中两项乘积的2倍（或-2倍）．可用以下口诀来记忆：“头平方和
尾平方，头（乘）尾两倍在中央，中间符号是一样”．这里的“头”指的是a ，“尾”
指的是b ．
这两个公式实质上是统一的，即都是二项式的平方展开式．其中第一个公式
是基本的，第二个公式可由第一个公式导出．如：（a-b ）2=[a+（-b ）]2=a 2+2a （-b ）
+（-b ）2= a 2-2ab+b 2．
3、完全平方公式的几何意义
图1ab ab b 2
a 2
b a b a
图2(a-b)b
(a-b)b
(a-b)2b 2b a b a
在图1中，大正方形的面积是(a+b)2，它等于两个小正方形的面积a 2、b 2及
两个等积的长方形面积ab 的和，因此有(a+b)2=a 2+2ab+b 2．
在图2中，大正方形的面积是a 2，它等于两个小正方形的面积b 2、(a-b)2及
两个等积的长方形面积(a-b)b 的和，因此有(a-b)2=a 2-2(a-b)b-b 2= a 2-2ab+b 2．
二、两个公式的区别要清楚
在运用完全平方公式时，经常会出现类似于(a+b)2=a 2+b 2、(a-b)2=a 2 -b 2的错
误．要注意从以下几个方面进行区别：
（1）意义不同：(a+b)2表示数a 与数b 和的平方，(a-b)2表示数a 与数b 差的平方；而a 2+b 2表示数a 的平方与数b 的平方和，a 2-b 2表示数a 的平方与数b 的平方差．
（2）读法不同：(a+b)2读作两数a 、b 和的平方，(a-b)2读作两数a 、b 差的平方；而a 2+b 2读作两数a 、b 平方的和，a 2-b 2读作两数a 、b 平方的差．
（3）运算顺序不同：(a+b)2的运算顺序是先算a+b ，然后再算和的平方，(a-b)2的运算顺序是先算a-b ，然后再算差的平方；而a 2+b 2是先算a 2与b 2，再求和a 2+b 2，a 2-b 2是先算a 2与b 2，再求差a 2-b 2．
（4）一般情况下它们的值不相等：如当a=2，b=1时，(a+b)2=(2+1)2= 32=9，(a-b)2=(2-1)2=12=1；而a 2+b 2= 22+12=5，a 2-b 2= 22-12=3．
三、应用方法要掌握
完全平方公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式，还可以表示多项式及各种代数式．应用时要认真观察题目是否符合公式的特征和条件，变形后是否符合公式的特征和条件，若符合，再把公式中的字母同具体题目中的数或式对照，再逐项对照着计算；若不符合就不能应用公式．要搞清楚公式中各项的符号，灵活地进行公式的各种变形应用．
例1、计算2
22213⎪⎭
⎫ ⎝⎛--y x xy 分析：把23xy -看成a ，y x 22
1看成b ，原式即为两项差的平方，然后套用完全平方差公式． 解：2
22213⎪⎭
⎫ ⎝⎛--y x xy =()()⎪⎭⎫ ⎝⎛---y x xy xy 222221323+（y x 221）2 =2433424
139y x y x y x ++ 例2、计算：（a-2b-c ）2
分析：可以把（a-2b ）看作公式中a ，把c 看作公式中的b ，然后套用完全平方差公式．
解：2222)2(2)2(])2[()2(c c b a b a c b a c b a +---=--=--
＝2a bc ac ab c b a c bc ac b ab 4244424422222+--++=++-+-． 说明：本题还可以进行如下变形：
222]2)[()2(b c a c b a --=--或22)]2([)2(c b a c b a +-=--。