广东省深圳市高级中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题(含答案解析)

广东省深圳市高级中学2022-2023学年高二下学期开学考试
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若集合{}A x x x ==，{}2
0B x x x =+≥，则A B = （
）
A ．[]1,0-
B ．[)0,∞+
C ．[)
1,+∞D ．(]
,1-∞-2．已知复数3i
1i
z +=-，则z =（）
A
B
C D
3．“a b >”是“22log log a b >”的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知函数()y f x =在定义域()1,3-上是减函数，且()()212f a f a -<-，则实数a 的取值范围是（）
A ．()
1,2B ．()
,1-∞C ．()
0,2D ．()
1,+∞5．
已知,m l 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列可以推出αβ⊥的是（）
A ．,,m l m l βα⊥⊂⊥
B ．,,m l l m αβα⊥⋂=⊂
C ．//,,m l m l αβ
⊥⊥D ．,//,//l m l m αβ
⊥6．在长方体1111ABCD A B C D -中，已知1B D 与平面ABCD 和平面11AA B B 所成的角均为30︒，则（
）
A ．2A
B AD =B ．AB 与平面11AB
C
D 所成的角为30︒C ．1
AC CB =D ．1B D 与平面11BB C C 所成的角为45︒
7．2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为3，则图③中OM ON ⋅
的值为（）
A ．
B ．
C ．6
D ．
8．已知双曲线C 的左右焦点分别为1F ，2F ，实轴为12A A ，虚轴为12B B ，直线11A B 与直
线22B F 相交于点D .若223DF DB =
，则C 的离心率等于（
）
A ．5
B ．3
C
D 二、多选题
9．已知双曲线方程C ：22
197
x y -=，则在该双曲线中下列结论中正确的是（
）
A ．实轴长为6
B ．渐近线方程为3
y x =±
C ．焦距是4
D
10．已知数列{}n a 的前n 项和为2
10n S n n =-，则下列结论正确的有（
）
A ．{}n a 是递减数列
B ．60
a >C ．110
S >D ．当n S 最小时，5
n =11．已知点00(,)P x y 是直线:4l x y +=上的一点，过点P 作圆22:2O x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，连接,OA OB ，则（
）
A ．当四边形OAP
B 为正方形时，点P 的坐标为(2,2)
B ．||PA
的取值范围为)
+∞C ．当PAB 为等边三角形时，点P 的坐标为(1,3)D ．直线AB 过定点11,22⎛⎫
⎪
⎝⎭
12．已知正四面体ABCD 的棱长为
O ．点E 满足
(01)AE AB λλ=<< ，(01)CF CD μμ=<<
，过点E 作平面α平行于AC 和BD ，平面α
分别与该正四面体的棱BC ，CD ，AD 相交于点M ，G ，H ，则（）
A ．四边形EMGH 的周长为是变化的
B ．四棱锥A EMGH -的体积的最大值为6481
C ．当14λ=
时，平面α截球O 所得截面的周长为π2
D ．当1
2
λμ==
时，将正四面体ABCD 绕EF 旋转90︒后与原四面体的公共部分体积为
43三、填空题
13．抛物线22y x =的准线方程是______.
14．正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，则异面直线1AB 与1BC 所成的角余弦值是______
．
15．若数列1,n n n a n n -⎧=⎨⎩
为奇数
，为偶数，则123499100a a a a a a ++++⋅⋅⋅++=________.
16．过双曲线Γ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左焦点1F 的动直线l 与Γ的左支交于A 、B
两点，设Γ的右焦点为2F .若存在直线l ，使得22AF BF ⊥，则Γ的离心率的取值范围是______.
四、解答题
17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
cos sin C c A =，1b c -=．(1)若4a =，求ABC 的周长；(2)若1
cos 7
B =
，求ABC 的面积．18．等比数列{}n a 中，12a =，且2134,,a a a a +成等差数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列2121
log log n n n
b a a +=
⋅，求数列{}n b 前n 项的和n T .
19．如图，在多面体ABCDE 中，平面ABCD ⊥平面ABE ，AD AB ⊥，//AD BC ，
π
2
BAE ∠=，22AB AD AE BC ====，F 是AE 的中点．
(1)证明：//BF 平面CDE ；(2)求点F 到平面CDE 的距离．
20．已知O 为坐标原点，抛物线C ：()2
20y px p =>的焦点为F ，P 是C 上在第一象限
内的一点，PF 与x 轴垂直，OP =(1)求C 的方程；
(2)经过点F 的直线l 与C 交于异于点P 的A ，B 两点，若PAB 的面积为，求l
的方程．
21．如图1，在直角三角形ABC 中，C ∠为直角，30A D ∠=︒，
在AC 上，且DA DC ==作DE AB ⊥于E ，将ADE V 沿直线DE 折起到PDE △所处的位置，连接,PB PC ，如图2.
(1)若平面PDE ⊥平面BCDE ，求证:BE PD ⊥；
(2)若二面角P DE A --为锐角，且二面角P BC E --，求PB 的长.22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的长轴为双曲线22
184
x y -=的实轴，且椭圆C 过
点()2,1P ．
(1)求椭圆C 的标准方程：
(2)设点A ，B 是椭圆C 上异于点P 的两个不同的点，直线PA 与PB 的斜率均存在，分别记为1k ，2k ，若121
2
k k =，试问直线AB 是否经过定点，若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由．
参考答案：
1．B
【分析】解不等式求出[)0,A =+∞，[)(]0,,1B =+∞-∞- ，求出交集.
【详解】{}[)0,A x x x ∞===+，{}[)(]2
00,,1B x x x ∞∞=+≥=+⋃--，
故A B = [)0,∞+.故选：B 2．D
【分析】利用复数除法运算求出复数z ，再求出复数的模作答.【详解】依题意，(3i)(1i)24i
12i (1i)(1i)2
z +++=
==+-+，
所以z ==.故选：D 3．B
【分析】求出22log log a b >的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义判断可得出结论.【详解】22log log 0a b a b >⇔>>，因为“a b >”⇒“0a b >>”且“a b >”⇐“0a b >>”，因此，“a b >”是“22log log a b >”的必要不充分条件.故选：B.4．A
【分析】由函数的单调性及定义域化简不等式，即可得解.
【详解】因为函数()y f x =在定义域()1,3-上是减函数，且()()212f a f a -<-，
则有1213
123212a a a a -<-<⎧⎪
-<-<⎨⎪->-⎩
，
解得12a <<，所以实数a 的取值范围是()1,2.故选：A ．5．D
【解析】A ，有可能出现α，β平行这种情况.B ，会出现平面α，β相交但不垂直的情况.C ，根据面面平行的性质定理判断.D ，根据面面垂直的判定定理判断.
【详解】对于A ，m l ⊥，m β⊂，若l β⊥，则//αβ，故A 错误；对于B ，会出现平面α，β相交但不垂直的情况，故B 错误；
对于C ，因为//m l ，m α⊥，则l α⊥，又因为l βαβ⊥⇒∥，故C 错误；对于D ，l α⊥，m l m α⇒⊥∥，又由m βαβ⇒⊥∥，故D 正确.故选：D
【点睛】本题考查空间中的平行、垂直关系的判定，还考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.6．D
【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出．
【详解】如图所示：
不妨设1,,AB a AD b AA c ===，依题以及长方体的结构特征可知，1B D 与平面ABCD 所成角
为1B DB ∠，1B D 与平面11AA B B 所成角为1DB A ∠，所以11sin 30c b B D B D
=
= ，即b c =
，12B D c ==
a ．
对于A ，AB a =，AD b =
，AB =，A 错误；
对于B ，过B 作1BE AB ⊥于E ，易知BE ⊥平面11AB C D ，所以AB 与平面11AB C D 所成角为
BAE ∠
，因为tan 2
c BAE a ∠=
=
，所以30BAE ∠≠ ，B 错误；对于C
，AC =
，1CB ==，1AC CB ≠，C 错误；对于D ，1B D 与平面11BB C C 所成角为1DB C ∠
，11sin 2CD a DB C B D c ∠=
==1090DB C <∠< ，所以145DB C ∠= ．D 正确．
故选：D ．
7．C
【分析】在图③中，以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，由向量的运算求得
,OM ON
的坐标，再由数量积的坐标表示计算．
【详解】在图③中，以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，2OM =
，(2cos ,2sin )33
OM ππ
== ，
43MP = ，即4
(,0)3MP = ，
1
3PN = ，由分形知//PN OM ，所以1()66PN = ，
所以5(,)26
ON OM MP PN =++= ，
所以5162OM ON ⋅=⨯+= ．
故选：C ．
8．A
【分析】连接22A B ，通过构造平行线，由对应线段成比例，解得5c a =，可得双曲线的离心率.
【详解】如图所示，223DF DB = ，则
2
2
3DF DB =，连接22A B ，由双曲线的对称性，可得2211//A B A B ，
2122
12
32DF A F a c DB A A a +=
=
=，得5c a =，故双曲线的离心率5c
e a
==．故选：A ．9．ABD
【分析】由双曲线方程得到,,a b c 的值，进而得到实轴长，渐近线方程和焦距，利用点到直线距离求出焦点到渐近线的距离.
【详解】22
197x y -=中3,a b ==，故2229716c a b =+=+=，故4c =，
则实轴长为26a =，渐近线方程为b y x a =±=±，B 正确；
焦距为28c =，C 错误；
由对称性，不妨取焦点()4,0到渐近线
30y =距离为d ==D 正确.
故选：ABD 10．BCD
【分析】由数列前n 项和为2
10n S n n =-，可求数列通项，然后逐个验证选项.
【详解】2
10n S n n =-，当1n =时，111109a S ==-=-；
当2n ≥时，22
1(10)(1)10(1)211
n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦注意到1n =时也满足12111a =⨯-，
所以数列{}n a 的通项公式为211n a n =-，*N n ∈，
12n n a a +-=，{}n a 是递增数列，A 选项错误；
6261110a =⨯-=>，B 选项正确；()
111116111102
a a S a +=
=>，C 选项正确；
()2
210525n S n n n =-=--，*N n ∈，当n S 最小时，5n =，D 选项正确.
故选：BCD.11．BD
【分析】根据距离公式及圆心切点构成的直角三角形求解，再利用过定点的判断法则进行判断即可.【详解】解：
对于A 选项：当四边形OAPB 为正方形时，则OA OB AP BP ===
则圆22:2O x y r +=⇒=
2
PO ∴=又点00(,)P x y 是直线:4l x y +=上的一点设00(,4)
P x x -
2PO ∴==，即2
00460
x x -+=该方程Δ0<，0x 无解
故不存在点P 使得OAPB 为正方形，A 错误；
对于B 选项：由A 知，PA =
()2
22200000428162(2)88PO x x x x x ∴=+-=-+=-+≥2
26PO ∴-≥，则PA ≥PA 的取值范围是)
+∞
故B 正确；
对于选项C ：若三角形PAB 为等边三角形为等边三角形，易知60APB ︒
∠=
又OP 平分APB ∠30APO BPO ︒
∴∠=∠=
在Rt PAO 中，由于OA =
sin 30OA OP OP
︒∴=
⇒=又P 点坐标为：00(,4)
x x -()2
20048x x ∴+-=，即220002880(2)0x x x -+=⇒-=002,2x y ∴==，故C 错误；
对于选项D ：00(,4)
P x x - ()2
22000042816
PO x x x x ∴=+-=-+记OP 中点为004,22x x D -⎛⎫
⎝⎭则以D 为圆心，2PO
为半径的圆与圆O 的公共弦为AB
∴圆D 方程为2
2
2000041
(2816)224x x x y x x -⎛⎫⎛⎫-+-=-+ ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭整理得22
00(4)0
x y x x x y +---=联立220022
(4)02
x y x x x y x y ⎧+---=⎨+=⎩，化简得00(4)2x x x y +-=即得直线方程为00(4)20x x x y +--=将12x y ==
代入方程恒成立；故直线AB 过定点11,22⎛⎫
⎪⎝⎭
，D 正确.故选：BD 12．BD
【分析】将正四面体转化为正方体，利用正方体的性质分析运算.对A ：根据面面平行的性质定理结合平行线的性质分析运算；对B ：根据锥体体积公式，利用导数求其最值；对C ：根据球的性质分析运算；对D ：根据正方体分析可得：两个正四面体的公共部分两个全等的正四棱锥组合而成，利用锥体体积公式运算求解.
【详解】对于边长为2的正方体1111AB CD A BC D -，则ABCD 为棱长为
球心O 即为正方体的中心，连接11B D ，设11AC B D N
I =∵1BB 1DD ，11BB DD =，则11BB D D 为平行四边形∴BD 11B D ，
又∵BD 平面α，11B D ⊄平面α，∴11B D 平面α，
又∵AC 平面α，11AC B D N I =，11,AC B D Ì平面11AB CD ，∴平面α 平面11AB CD ，对A ：如图1，
∵平面α 平面11AB CD ，平面α 平面ABC EM =，平面11AB CD 平面ABC AC =，
∴EM AC ，则
1EM BE
AC AB
λ==-，即())11EM AC λλ=-=-，
同理可得：HE GM 11B D ，HE GM ==，
EM GH AC ，)1EM GH λ==-，
∴四边形EMGH 的周长L EM MG GH EH =+++=，A 错误；
对B ：如图1，由A 可知：HE GM 11B D ，HE GM ==，EM GH AC ，
)
1EM GH λ==-，
∵11AB CD 为正方形，则11AC B D ⊥，∴EMGH 为矩形，
根据平行可得：点A 到平面α的距离12d AA λλ==，
故四棱锥A EMGH -的体积)()
2
31162133
V λλλλ=⨯⨯⨯-=
-，则
()16
233
V λλ'=
-，∵01λ<<，则当203λ<<时，则0V '>，V 在20,3⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，当213λ<<时，则0V '<，
V 在2,13⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，
∴当23
λ=
时，V 取到最大值6481，
故四棱锥A EMGH -的体积的最大值为
64
81
，B 正确；对C ：正四面体ABCD 的外接球即为正方体
1111AB CD A BC D -的外接球，其半径R =设平面α截球O 所得截面的圆心为1O ，半径为r ，当14
λ=
时，则112OO =，
∵222
1OO r R +=，则22
r =，
∴平面α截球O 所得截面的周长为2πr =，C 错误；
对D ：如图2，将正四面体ABCD 绕EF 旋转90︒后得到正四面体1111D C B A ，设11111111,,,A D AD P A C BD K B C BC Q B D AC N ====I I I I ，
∵1
2
λμ==
，则,,,,,E F P Q K N 分别为各面的中心，∴两个正四面体的公共部分为EFPQKN ，为两个全等的正四棱锥组合而成，
根据正方体可得：EP K PEQF -的高为
11
12
AA =，
故公共部分的体积14
22133
K PEQF V V -==⨯⨯=，D 正确；
故选：BD.
【点睛】思路点睛：对于正四面体的相关问题时，我们常转化为正方体，利用正方体的性质处理相关问题.
13．18
y =-
【解析】先将抛物线方程化为标准形式，求出p 的值，即可求解.
【详解】由22y x =得抛物线方程为2
12
x y =
，所以14p =，
所以抛物线22y x =的准线方程是128
p y =-
=-，故答案为：1
8
y =-.
14．
14
【分析】分别取AB ,BB 1,B 1C 1,的中点L ,M ,N ,则1AB ∥LM ，1BC ∥MN ，进而∠LMN （或其补角）是直线1AB 与1BC 所成角，然后解出LMN 的三边，进而用余弦定理即可解得.【详解】设三棱柱棱长为2，取AB ,BB 1,B 1C 1,BC 的中点分别为L ,M ,N ,P ，连接,,LM MN LN ，∴1AB ∥LM ，1BC ∥MN ，设直线1AB ，1BC 所成角为α，∴cos |cos |LMN α=∠.
连接,LP PN ，容易判断NP ⊥LP ，易知：1,2LP NP ==,∴LN ==,
易知：LB =BM =1，∠LBM =90°，∴LM ==
LM =在LMN 中，由余弦定理：1cos
4LMN ∠=-，∴1
cos |cos |4LMN α=∠=.故答案为：1
4
.15．5000
【分析】按奇偶项分组，再利用等差数列的求和公式代入计算即可.
【详解】123499100139924100)(()a a a a a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++，由已知可得199139950()50(098)
245022
a a a a a ++++⋅⋅⋅+=
==，
21002410050()50(2100)
255022
a a a a a ++++⋅⋅⋅+=
==，所以原式245025505000=+=.
故答案为5000.
【点睛】本题主要考查数列求和问题，涉及分组求和与公式法求和，属中等难度题.16
．
【分析】由题可设l 为x my c =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立l 与双曲线的方程可得12y y 、
12y y +；根据22AF BF ⊥得220F A F B =⋅
，将12y y 、12y y +代入可得关于m 的表达式，根据m
范围和120y y <可求离心率范围﹒
【详解】依题意知直线l 的斜率不为0，设l 的方程为x my c =-，联立22221
x my c x y a
b =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x ，得()222224
20b m a y b cmy b --+=，
设()11,A x y ，()22,B x y ，则由0∆>知，2
12222
2b cm y y b m a +=-，4
12222b y y b m a =-，
由22AF BF ⊥得220F A F B =⋅
，
故()()12120x c x c y y --+=，即()()2211220my c my c y y --+=，
整理得()()22
12121240m y y cm y y c +-++=，
将12y y 、12y y +代入整理得，()()
242222222
1440m b m c b c b m a +-+-=，
则(
)
2
422
14m b a c +=，∴22
2
4411a c m b
+=≥，故()222224a c c a ≥-，
∴442260c a a c +-≤，两边除以4a ，得42610e e -+≤
，解得233e -≤≤+又∵1e >
，∴(2
211e <≤+
，故11e <≤，又A 、B 在左支且l 过1F ，∴120y y <，即
42220b b m a <-，故22
2a m b
<，
∴2222
42
411a c a m b b
+=<+，∴()2222422222
4a c a b b b a b b c <+=+=，即22224a b c a <=-，则225a c <，故25e >
，即e >
1e <≤
e ∈+．
故答案为：
.
【点睛】本题的关键在于根据直线l 方程x my c =-里面m 的范围，得到关于a 、b 、c 的不
等式，从而求得离心率的范围．17．(1)18
(2)【分析】（1）由正弦定理边化角可求出C ，结合余弦定理2222cos c a b ab C =+-，由1b c -=代换b ，求得,c b ，进而得解；（2）由正弦定理
sin sin b c B C =，1b c =+代换得1sin sin c c
B C
+=，求出sin B ，可解得,b c ，由正弦面积公式()11
sin sin 22
ABC S bc A bc B C =
=+△即可求解.【详解】（1
cos sin C c A =
cos sin sin A C C A =．又sin 0A ≠
，所以sin C C =
，即tan C =0πC <<，所以π
3
C =．()()2
222216141213c a b ab c c c c =+-=++-+=-+，
解得132
c =
，则15
2b =．故ABC 的周长18ABC C a b c =++=△；
（2）因为1cos 7B =
，所以sin 7
B =．由sin sin b c
B C
=，1b c =+
72
=7c =，8b =．故ABC 的面积(
)1111sin sin 28227272ABC S bc A bc B C ⎛==+=⨯+⨯= ⎝⎭
△18．(1)2n n a =(2)1
11
n T n =-
+【分析】（1）设出公比，得到()24132a a a a +=+，求出公比，得到通项公式；（2）在第一问的基础上，得到()111
11
n b n n n n =
=-++，裂项相消法求和.
【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q .因为12a =，且2134,,a a a a +已成等差数列，所以()24132a a a a +=+，
因为()22
1311110a a a a q a q +=+=+≠，所以
24
13
2a a a a +=+，即2q =，所以数列{}n a 的通项公式为1222n n
n a -=⨯=.
（2）由（1）得数列{}n a 的通项公式为2n n a =，所以数列()2121111
log log 11
n n n b a a n n n n +=
==-
⋅++所以数列{}n b 前n 项的和1
1
1
1
1
1
1122311
n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-+-+⋅⋅⋅+-=-
⎪ ⎪ ⎪++⎝
⎭⎝
⎭
⎝
⎭
.19．(1)证明见解析(2)
2
3
【分析】（1）取DE 中点G ，结合三角形中位线性质可证得四边形BCGF 为平行四边形，从而得到//BF CG ，由线面平行的判定可证得结论；
（2）根据面面垂直性质可得AD ⊥平面ABE ，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，根据点到面距离的向量求法可求得结果.
【详解】（1）取DE 中点G ，连接,FG CG
，
,F G 分别为,AE DE 中点，//FG AD ∴，1
2
FG AD =，
又//AD BC ，1
2
BC AD =
，//BC FG ∴，BC FG =，∴四边形BCGF 为平行四边形，//BF CG ∴，
又BF ⊄平面CDE ，CG ⊂平面CDE ，//BF ∴平面CDE .
（2） 平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ⋂平面ABE AB =，AD AB ⊥，AD ⊂平面ABCD ，
AD ∴⊥平面ABE ，又π
2
BAE ∠=
，则以A 为坐标原点，,,AB AE AD
正方向为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则()0,1,0F ，()2,0,1C ，()0,0,2D ，()0,2,0E ，()2,0,1CD ∴=- ，()0,2,2DE =- ，()0,1,0FE =
，设平面CDE 的法向量(),,n x y z = ，
则20220
CD n x z DE n y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩
，令1x =，解得：2y =，2z =，()1,2,2n ∴= ，∴点F 到平面CDE 的距离2
3FE n d n
⋅== .
20．(1)212y x
=
(2)y =-
y =+【分析】（1）根据抛物线方程以及P
的位置关系，由OP =（2）由题意可知直线l 的斜率一定存在，设出直线方程并与抛物线联立方程组，利用弦长公式并根据PAB
的面积为即可求得直线的斜率，得到直线方程.【详解】（1）由题可知，点P 的坐标为,2p p ⎛⎫
⎪⎝⎭
．
因为OP =2
2452p p ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
，解得p ＝6或p ＝－6（舍去），
故C 的方程为212y x =．
（2）由题可知，()3,6P ，所以直线l 的斜率一定存在，可设l 的方程为(3)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ．
联立方程组2(3)
12y k x y x
=-⎧⎨=⎩，
整理得()2222
61290k x k x k -++=，
则2122
612
k x x k ++=，129x x =．
所以PAB 的面积121
2
S PF x x =-===，
解得22k =或2
23
k =-（舍去），
故l 的方程为y =-y =+21．(1)证明见解析
【分析】(1)由题意知BE DE ⊥，由面面垂直的性质定理可得BE ⊥平面PDE ，进而可得BE PD ⊥；
(2)作PH BE ⊥所在的直线于点H ,由题意可得知,DE BE DE PE ⊥⊥，所以ED ⊥平面PEB ，即可得平面PBE ⊥平面BCDE ，作HG BC ⊥于点G ，连接PG ，进而可得PGH ∠为二面角
P BC E --的平面角，设PGH θ∠=，则tan PH GH θ=
=304CG x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，则
3
2,2,42
2AH x HE x HB x ==
-=-，，解得12x =，再由PB 计算即可得答案.
【详解】（1）证明：由题意知BE DE ⊥，
又平面PDE ⊥平面BCDE ，平面PDE 平面,BCDE DE BE =⊂平面BCDE ，所以BE ⊥平面PDE .又PD ⊂平面PDE ，所以BE PD ⊥；
（2）解：由题意知,DE BE DE PE ⊥⊥，
,PE EB E PE ⋂=⊂平面,PEB EB ⊂平面,
PEB 因而ED ⊥平面PEB ，
又ED ⊂平面BCDE ，因而平面PBE ⊥平面BCDE .
如图，作PH BE ⊥所在的直线于点H ，
又平面PBE ⋂平面BCDE BE =，PH ⊂平面PBE ，所以PH ⊥平面BCDE .
作HG BC ⊥于点G ，连接PG ，则PGH ∠为二面角P BC E --的平面角，
设PGH θ∠=，则tan θ=在ABC 中，
90,30,C
A D A D C ︒︒∠=∠===
，
所以34,2,2
AB BC AE ===，
设304CG x x ⎛⎫
=<< ⎪⎝
⎭
，则32,2,422
AH x HE x HB x ==-=-，
因而)PH x ==-，
在直角三角形PHG 中，tan PH HG θ==解得1
2
x =或1611x =（舍去），此时3PH
H B =
=，
从而
PB
=
=.
22．(1)22
1
82
x y +=(2)直线AB 恒过定点21,33⎛⎫
- ⎪⎝⎭
．
【分析】（1）由题意可得28a =，
2241
1a b
+=，求出2b ，从而可得椭圆方程，（2）讨论直线AB 的斜率存在和不存在两种情况讨论，设出直线AB 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，
求出直线PA 与PB 的斜率，再由121
2
k k =-列方程可得参数的关系，代入直线方程可求出直线恒过的定点．
【详解】（1）因为椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的长轴为双曲线22
184
x y -=的实轴，
所以28a =，
因为椭圆C 过点()2,1P ，所以
2241
1a b +=，即24118b
+=，得22b =所以椭圆方程为22
182
x y +=，
（2）①当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y kx t =+，()11,A x y ，()22,B x y ，
由22
48
y kx t x y =+⎧⎨+=⎩，得()222418480k x ktx t +++-=，()()2222226444148820k t k t k t ∆=-+-=-+>，
所以1222
1228414841kt x x k t x x k -⎧
+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
，所以()121222241
t
y y k x x t k +=++=
+，()()()22
2
2
121212122
841t k y y kx t kx t k x x kt x x t k -=++=+++=+，因为121
2
k k =-，
所以
()()1212121212121111
22242
y y y y y y x x x x x x -++--⋅==----++，即()()1212121222224y y y y x x x x -++=-++-，则2222222824882222441414141
t k t t kt k k k k ---⋅-⋅=-+-++++，
所以222222164824816164t k t k t kt k --++=-+---，化简得22438210k t kt t ++--=，即()()212310k t k t +-++=，所以12t k =-或123
k
t +=-
，当12t k =-时，直线AB 的方程为()1221y kx k k x =+-=-+，则直线过定点()2,1（舍去），
答案第17页，共17页当123k t +=-
时，直线AB 的方程为1221333
k y kx k x +⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，所以直线过定点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，②当直线AB 的斜率不存在时，设直线为()2x m m =≠，
由2248x m x y =⎧⎨+=⎩，得22218m y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
所以y =
所以()
212221112414422m k k m m m ⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭===--+-，解得2m =（舍去），或23
m =，所以直线也过定点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭
，综上，直线AB 恒过定点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭
．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中与曲线相交的直线过定点问题，一般采取“设而不求”的思想方法，
即设直线方程为y kx m =+，设交点坐标为()11,x y ，()22,x y ，直线方程代入圆锥曲线方程后应用韦达定理得12x x +，12x x 或12y y +，12y y ，
然后交点坐标计算其它量(如斜率、弦长等)并利用其满足的性质和题目条件求得参数值或参数k 和m 关系后由直线方程可得定点坐标.。