19.2 证明举例

第19章 几何证明
§19.2 证明举例
学习目标
1.通过证明举例的学习和实践，懂得演绎证明的一般规则，初步掌握规范的表达格式。

2.了解证明之前进行分析的基本思路，能利用全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质来证明有关线段相等、角相等以及两条直线垂直的简单问题。

3.了解文字语言、图形语言、符号语言三种数学语言形态。

知识概要
1.几何证明的常用方法
(1)证两直线平行——利用平行线的性质和判定；利用平行线的判断定理及其推论来证，这是证明两直线平行最基本的方法(关键是找出同位角、内错角的相等关系或同旁内角的互补关系) (2)证两线段相等——利用三角形全等的性质和判定、利用等腰三角形的性质和判定： ①如果两线段分别在两个三角形中，那么可证这两个三角形全等(有时可能缺少直接条件，
要证两次全等)
②如果两线段分别在两个三角形中，但这两个三角形不全等，那么可添辅助线构造全等三角
形来证。

常添的辅助线有：平行线、垂线、中线、连结线段等.
③如果两线段是一个三角形的两边，可证它们所对的角相等(等角对等边)
④证明两条线段都等于第三条线段(即以第三条线段为中间量)
(3)证两角相等——利用三角形全等的性质和判定、利用等腰三角形的性质和判定.
(4)证两直线互相垂直——利用垂直的定义、利用等腰三角形三线合一的性质.
(5)证一线段等于另一线段的2倍或一半——利用加倍法或拆分法，常常要作辅助线。

2.证明前的分析及其方法
在完成证明之前要有“分析”，这是在弄清题意的基础上，探索证明思路的过程.常用的分析方法有：(综合法)由因导果，就是从条件(已知)出发，推导出“可知”，直到求证的结论；(分析法)执果索因，就是从要证的“结论”开始，探寻使结论成立的所需要的条件，一直追到“已知”；“知什么”，由此考虑“只要证什么”，一直追寻到“已知”；也可采用以上两种方法综合分析，也就是先看看由“已知”可得到什么，再看看要使“结论”成立需要什么，两方面若能走到同一个点上去就可找到证明的过程。

3.辅助线的添加
有些证明题由题目所给图形感觉不便得出结论时，就要考虑添加辅助线，借助辅助线来推导要证明的结论。

这方面需要积累经验，比如三角形证明题，常用的辅助线有倍长中线法、角平分线的翻折与作高及作平行线、高的翻折、截长补短法等。

经典题型精析
(一)证明直线平行
例1.已知：如图，BC AD ⊥，BC EF ⊥，21∠=∠.求证：BA DG //.
试一试：已知：如图，点E D 、分别在ABC ∆的边AC AB 、上，AC AB =.
(1)如果BC DE //，求证：AE AD =；(2)如果AE AD =，求证：BC DE //.
例2.如图，CD AB //，21∠=∠，43∠=∠，试证明：BE AD //．
试一试：已知，如图所示，点D C 、在线段AF 上，且FD AC =，BD EC //，BD EC =．求证：AB EF //．
(二)证明两角相等
例3.如图所示，直线AB 和直线CD 、直线BE 和直线CF 都被直线BC 所截.已知BC AB ⊥，BC CD ⊥， CF BE //，求证：21∠=∠.
试一试：已知：如图，CD BE AF ////，ED AB //.求证：D A ∠=∠.
例4.已知：如图所示，AE AD =，EC DB =，E D ∠=∠.求证：EAB DAC ∠=∠.
试一试：已知：如图，AD 是ABC ∆的高，E 是AD 上一点，若BD AD =，DC DE =.求证：C ∠=∠1.
(三)证明两线段相等
例5.已知：如图，F E 、是线段BC 上的两点，CD AB //，DC AB =，BF CE =.求证：DF AE =.
试一试：已知：如图，在ABC ∆中，=∠ACB 90°，BC AC =.AE 是BC 边上的中线，过C 作AE CF ⊥于F ，
过点B 作BC BD ⊥，交CF 的延长线于点D .求证：CD AE =.
例6.已知：如图，AE AD =，ACB ABC ∠=∠.求证：CD BE =.
试一试：已知：如图所示，AC AB =，AB DE ⊥于点E ，AC DF ⊥于点F ，DF DE =.
(1)求证：DC DB =； (2)21∠=∠.
例7.已知：如图所示，在ABC ∆中，=∠ACB 90°，AB CD ⊥于点D ，点E 在AC 上，BC CE =，过点E
作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F .求证：FC AB =.
(四)证明直线垂直
例8.已知:如图所示，AC AB =，BE CE =，联结AE 并延长交BC 于D .求证：BC AD ⊥.
试一试:已知：如图，OB OA =，BD AC =，且AC OA ⊥，BD OB ⊥，点M 在CD 上，BOM AOM ∠=∠. 求证：CD OM ⊥.
例9.已知：如图所示，在ABC ∆中，C B ∠=∠，G 是BC 上的一点，BC DG ⊥交CA 的延长线于点D ，交
AB 于点F ，E 是DF 的中点.求证：DG AE ⊥.
(五)几何证明的综合应用
例10.如图，AD 为ABC ∆的中线，且21∠=∠，43∠=∠.求证：EF CF BE >+.
试一试：如图，已知ABC ∆中，AC AB =，=∠BAC 90°，E D ,分别是AC AB ,的中点，将ADE ∆绕点A 按
顺时针方向旋转一个角度α(0°<α<90°)得到11E AD ∆，联结11,CE BD .
求证：11CE BD =.
例11.已知：如图，BC DE //，CE BD =.求证：AED ADE ∠=∠.
试一试：已知：如图所示，在ABC ∆中，D 为BC 上一点，DF ED =，CF BE =.
求证：AC AB =.
能力提升
一、填空题
1.如图所示，直线CD AB 、被直线GH EF 、所截.
∵=∠+∠43180°(已知)，又∵=∠3___________( ).
∴=∠+∠54180°. ∴________//_________( ).
∴=∠1_________( ).
2.如图所示，AB EF ⊥，AB GH ⊥.求证：=∠+∠21180°.
证明：∵AB EF ⊥，AB GH ⊥( ).
∴GH _________EF . ∴32∠=∠( ).
∵=∠+∠31180°( ).
∴=∠+∠21180°( ).
3.等腰三角形底边上的中线，__________,___________互相重合.
4.判定三角形全等的方法有_________,_________,_________,_________,_________五种.
5.如图所示，AC AB =，CD BD =，E 为AD 上任意一点，图中有
_______对三角形全等，它们分别是______________________,使用的
判定定理分别是________________________.
6.如图所示，点E D 、在BC 上，AC AB =，CE BD =，要证
21∠=∠，有多种方法：
方法一：先证ABD ∆≌____________,得=AD _________,得21∠=∠.
方法二：先证ABE ∆≌____________,得21∠=∠.
方法三：过A 作BC AH ⊥于点H ，由=BH __________，利用等式性质得
=DH ___________.证ADH ∆≌____________，得21∠=∠.
7.如图所示，BD 平分ABC ∠，AB DE //，BD EF //，DE 平分BDC ∠，则图中
有_______个等腰三角形.
(第7题) (第8题) (第9题)
8.如图所示，CD AB //，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，则=∠+∠BCE CBE ________度.
9.如图所示，ABC ∆中，=∠ABC 45°，BC AD ⊥于点D ，DF DC =，联结BF 并延长交AC 于点G ， ADC ∆≌BDF ∆的理由为__________，并得=∠1___________.
∵=∠+∠3290°，又43∠=∠，∴=∠+∠41____________.
从而得到BG 与AC 的位置关系为____________.
10.如图所示，CD AB //，O 为BD 的中点，OF OE =，要证OAF OCE ∠=∠.
第一步先证AOB ∆≌__________,判定定理是__________,证得=AO __________.
第二步再证AOF ∆≌__________,判定定理是__________,证得OAF OCE ∠=∠.
二、选择题
11.如图，直线21,l l 被直线3l 所截，且21//l l ，过1l 上的点A 作3l AB ⊥交3l 于点B ，其中<∠130°，则下列一定正确的是( )
A .>∠2120°
B .<∠360°
C .>∠=∠3490°
D .432∠>∠
12.下列命题中，逆命题正确的是 ( )
A .对顶角相等
B .直角三角形两锐角互余
C .全等三角形面积相等
D .全等三角形对应角相等
13.下列命题中，属于真命题的是( )
A .同位角相等
B .多边形的外角和小于内角和
C .若b a =，则b a =
D .如果直线21//l l ，直线32//l l ，那么31//l l
14.用反证法证明命题“在ABC Rt ∆中，若=∠A 90°，则≤∠B 45°或≤∠C 45°”时，应先假设( )
A .>∠
B 45°，≤∠
C 45° B .≤∠B 45°，>∠C 45°
C .>∠B 45°，>∠C 45°
D .≤∠B 45°，≤∠C 45°
15.如图所示，已知=∠=∠D C 90°，AE AB =，
增加下列一个条件(1)AD AC =，(2)ED BC =，(3)E B ∠=∠， (4)21∠=∠，其中能使ABC ∆≌AED ∆成立的条件有( )
A .4个
B .3个
C .2个
D .1个
(第15题) (第16题) (第17题)
16.如图所示，=∠=∠F E 90°，C B ∠=∠，AF AE =，结论：①FN EM =；②DN CD =；③
EAM FAN ∠=∠；④ACN ∆≌ABM ∆.其中正确的有 ( )
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个
17.如图，在BDE ∆中，=∠E 90°，CD AB //，=∠ABE 20°，则EDC ∠的度数是( )
A .40°
B .60°
C .70°
D .80°
18.如图，=∠ACB 90°，BC AC =，CE BE ⊥，CE AD ⊥
于D 点，=AD 2.5，=DE 1.7，则BE 的长为( )
A .0.8
B .1
C .1.5
D .4.2
三、解答题
19.已知：如图，AC AB =，AE AD =，DC AB 、相交于点M ，BE AC 、相交于点N ，EAC DAB ∠=∠.
求证：E D ∠=∠.
(第19题) (第20题) (第21题)
20.已知：如图，BC DE //，A 是DE 上一点，AE AD =，AC AB =.求证：CD BE =.
21.已知：如图，BC AD //，点E 是DC 的中点，AE 平分BAD ∠.求证：BE 平分ABC ∠.
22.已知：如图，点C E F A 、、、在同一直线上，DC AB //，CD AB =，D B ∠=∠.求证：ABE ∆≌CDF ∆.
(第22题) (第23题) (第24题)
23.如图所示，在等边ABC ∆中，点E D 、分别在边AB BC 、上，且AE BD =，AD 与CE 交于点F .
(1)求证：CE AD =； (2)求DFC ∠的度数.
24.如图所示，BC AD //，BC AD =，FC AE =.求证：DF BE //.
25.已知ABC ∆，分别以AC AB 、为边向ABC ∆外作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，联结CD BE 、.
求证：ABE ADC ∠=∠.
26.如图所示，在四边形ABCD 中，BC AB =，BF 是ABC ∠的平分线，DC AF //，联结CF AC 、.求证：
CA 是DCF ∠的平分线.
(第26题) (第27题) (第28题)
27.已知：如图所示，在ABC ∆中，AC AB =，点G F E 、、分别在边AC BC AB 、、上，BF CG =，
CF BE =，O 是EG 的中点.求证：GE FO ⊥.
28.如图所示，在ABC ∆中，AE AB =，AC AD =，EAC BAD ∠=∠，DE BC 、交于点O .求证： (1)ABC ∆≌AED ∆； (2)OE OB =.
29.如图，ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD BP ⊥于P ，5=AB ，2=BP ，9=AC .
求证：ACB ABP ∠=∠2.
参考答案：
1.5∠, 对顶角相等; AB , CD , 同旁内角互补, 两直线平行; 2∠, 两直线平行, 内错角相等.
2.已知, //, 两直线平行, 同位角相等, 平角的意义, 等量代换
3.高, 顶角的角平分线
4.SAS , AAS , ASA , SSS , HL
5.3, ABD ∆≌ACD ∆, ABE ∆≌ACE ∆,BED ∆≌CED ∆ SSS , SAS , SAS
6.ACE ∆, AE , ACD ∆,
CH , EH , AEH ∆ 7.3 8.90 9.SAS , 2∠, =∠+∠3290°
, AC BG ⊥. 10.COD ∆, AAS , CO , COE ∆, SAS , 11~18. .DBDCACCA 23.(2)60°。