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2018届高三二轮复习数学模拟一卷(江苏卷)

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南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学参考答案

南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学参考答案

南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．(－∞，2) 2． 5 3．3 4．16 5．38 6．－9 7． 2 8．79．43 10．(－1，1) 11． 2 12． 6 13．2或-18 14．[－4，0) 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)解：（1）设f (x )的周期为T ，则T 2＝7π12－π12＝π2，所以T ＝π．又T ＝2πω，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)． …………………………………3分因为点(π12，2)在函数图象上，所以2sin(2×π12＋φ)＝2，即sin(π6＋φ)＝1．因为－π2＜φ＜π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝2sin(2x ＋π3)．…………………………………7分（2）由f (α2)＝－65，得sin(α＋π3)＝－35．因为2π3＜α＜7π6，所以π＜α＋π3＜3π2，所以cos(α＋π3)＝－1－sin 2(α＋π3)＝－45． ………………………………10分所以cos α＝cos[(α＋π3)－π3]＝cos(α＋π3)cos π3＋sin(α＋π3) sin π3＝－45×12＋(－35)×32＝－33＋410． ………………………………14分16．(本小题满分14分)（1）解法一：取CE 中点F ，连接FB ，MF .因为M 为DE 的中点，F 为CE 的中点，所以MF ∥CD 且MF ＝12CD ． ……………………………………2分又因为在矩形ABCD 中，N 为AB 的中点， 所以BN ∥CD 且BN ＝12CD ，所以MF ∥BN 且MF ＝BN ，所以四边形BNMF 为平行四边形，所以MN ∥BF ． ……………………………………4分 又MN ⊄平面BEC ，BF ⊂平面BEC ，所以MN ∥平面BEC ． ……………………………………6分 解法二：取AE 中点G ，连接MG ，GN .因为G 为AE 的中点，M 为DE 的中点，所以MG ∥AD ． 又因为在矩形ABCD 中，BC ∥AD ，所以MG ∥BC ． 又因为MG ⊄平面BEC ，BC ⊂平面BEC ，所以MG ∥平面BEC ． ……………………………………2分 因为G 为AE 的中点，N 为AB 的中点，所以GN ∥BE ．又因为GN ⊄平面BEC ，BE ⊂平面BEC ，所以GN ∥平面BEC ． 又因为MG ∩GN ＝G ，MG ，GN ⊂平面GMN ，所以平面GMN ∥平面BEC ． ……………………………………4分 又因为MN ⊂平面GMN ，所以MN ∥平面BEC ． ……………………………………6分 （2）因为四边形ABCD 为矩形，所以BC ⊥AB ．因为平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE ＝AB ，BC ⊂平面ABCD ，且BC ⊥AB ， 所以BC ⊥平面ABE ． ……………………………………8分 因为AH ⊂平面ABE ，所以BC ⊥AH ．因为AB ＝AE ，H 为BE 的中点，所以BE ⊥AH ． ……………………………………10分 因为BC ∩BE ＝B ，BC ⊂平面BEC ，BE ⊂平面BEC ，所以AH ⊥平面BEC ． ……………………………………12分 又因为CE ⊂平面BEC ，所以AH ⊥CE ． ……………………………………14分 17．(本小题满分14分)解：设商场A 、B 的面积分别为S 1、S 2，点P 到A 、B 的距离分别为d 1、d 2，则S 2＝λS 1，m 1＝k S 1 d 12，m 2＝k S 2d 22，k 为常数，k ＞0．（1）在△P AB 中，AB ＝10，P A ＝15，∠P AB ＝60o ，由余弦定理，得d 22＝PB 2＝AB 2＋P A 2－2AB ·P A cos60°＝102＋152－2×10×15×12＝175． …………………………2分又d 12＝P A 2＝225，此时，m 1－m 2＝k S 1 d 12－k S 2 d 22＝k S 1 d 12－k λS 1 d 22＝kS 1(1 d 12－λd 22)， …………………………4分将λ＝12，d 12＝225，d 22＝175代入，得m 1－m 2＝kS 1(1225－1350)．因为kS 1＞0，所以m 1＞m 2，即居住在P 点处的居民不在商场B 相对于A 的“更强吸引区域”内． …………………6分（2）解法一：以AB 所在直线为x 轴，A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A (0，0)，B (10，0)，设P (x ，y )，由m 1＜m 2得，k S 1 d 12＜k S 2d 22，将S 2＝λS 1代入，得d 22＜λd 12．……8分代入坐标，得(x －10)2＋y 2＜λ(x 2＋y 2)，化简得(1－λ) x 2＋(1－λ) y 2－20x ＋100＜0． ……………………10分 因为0＜λ＜1，配方得 (x －101－λ)2＋y 2＜(10λ1－λ)2， 所以商场B 相对于A 的“更强吸引区域”是：圆心为C (101－λ，0)，半径为r 1＝10λ1－λ的圆的内部．与商场B 相距2 km 以内的区域(含边界)是：圆心为B (10，0)，半径为r 2＝2的圆的内部及圆周．由题设，圆B 内含于圆C ，即BC ＜| r 1－r 2|． …………………………12分 因为0＜λ＜1，所以101－λ－10＜10λ1－λ－2，整理得4λ－5λ＋1＜0，解得116＜λ＜1．所以，所求λ的取值范围是(116，1)． …………………………14分解法二：要使与商场B 相距2 km 以内的区域(含边界)均为商场B 相对于A 的“更强吸引区域”， 则当d 2≤2时，不等式m 1＜m 2恒成立．由m 1＜m 2，得k S 1 d 12＜k S 2 d 22＝k λS 1 d 22，化简得d 12＞d 22λ． …………………………8分设∠PBA ＝θ，则d 12＝P A 2＝AB 2＋PB 2－2AB ·PB cos θ＝100＋d 22－20d 2cos θ， …………………………10分所以100＋d 22－20d 2cos θ＞d 22λ，即100＋d 22－d 22λ20d 2＞cos θ．上式对于任意的θ∈[0，π]恒成立，则有100＋d 22－d 22λ20d 2＞1， ………………………12分即1－1λ＞20·1d 2－100·(1d 2)2＝－100(1d 2－110)2＋1 (*)．由于d 2≤2，所以1d 2≥12．当1d 2＝12时，不等式(*)右端的最大值为－15， 所以1－1λ＞－15，解得λ＞116．又0＜λ＜1，所以λ的取值范围是(116，1)． ………………………14分18．(本小题满分16分)解：（1）因为⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a ＝2，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝1，(第17题)所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1． …………………………2分解法一：（2）由（1）得A (0，1)．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，C (x 0，y 0)，其中x 0，y 0均不为0，且x 1≠x 2． 因为P ，Q 两点都在椭圆E 上，所以x 12＋2y 12＝2 且x 22＋2y 22＝2，两式相减得y 2－y 1x 2－x 1×y 0x 0＝－12． …………………………4分又y 2－y 1x 2－x 1＝y 0－m x 0 ，所以y 0－m x 0×y 0x 0＝－12， …………………………6分即x 02＝2y 0(m －y 0)． ①又AC ⊥OC ，所以y 0－1x 0×y 0x 0＝－1， …………………………8分即x 02＝y 0(1－y 0)． ②由①②得y 0＝2m －1，x 02＝(1－2m ) (2m －2)∈(0，2)，所以12＜m ＜1． …………………………10分（3）设B (x 3，y 3)，点B 在椭圆E 上，所以x 32＋2y 32＝2．又AC ⊥OC ，所以y 3－1x 3×y 0x 0＝－1，即y 3＝－x 0y 0x 3＋1，代入上式消去y 3，得x 3＝4x 0y 0y 20＋2x 20， …………………………12分 所以S 1S 2＝12AO ×|x 3| 12AO ×|x 0|＝|x 3x 0|＝|4y 0y 20＋2x 20|．由（2）知y 0＝2m －1，x 02＝(1－2m ) (2m －2)，12＜m ＜1，所以S 1S 2＝|4(2m －1)(2m －1)2＋2(1－2m )(2m －2) |＝|43－2m |＝43－2m ． …………………………14分因为S 1S 2＝83，所以43－2m ＝83，解得m ＝34，此时y 0＝2m －1＝12，x 02＝(1－2m ) (2m －2)＝14，所以x 0＝±12，所以C 点坐标为(±12，12)，D 点坐标为(0，34)，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋34． …………………………16分解法二：（2）由（1）得A (0，1)．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，C (x 0，y 0)．设直线l 方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，将其与椭圆E 的方程联立，消去y 得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0 (*)，所以x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2， …………………………4分所以x 0＝x 1＋x 22＝－2km 1＋2k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m 1＋2k 2，即C (－2km 1＋2k 2，m1＋2k 2)， 所以k AC ＝y 0－1x 0＝m1＋2k 2－1－2km 1＋2k 2＝2k 2＋1－m2km ． …………………………6分又因为k OC ＝y 0x 0＝m 1＋2k 2－2km 1＋2k 2＝－12k，且AC ⊥OC ，所以k AC ×k OC ＝2k 2＋1－m 2km ×(－12k)＝－1，整理得m ＝2k 2＋14k 2＋1． …………………………8分因为k ≠0，则m ＝2k 2＋14k 2＋1＝4k 2＋1－2k 24k 2＋1＝1－2k 24k 2＋1＝1－12＋12k 2 ∈(12，1)，此时△＝8(2k 2＋1－m )＞0，所以实数m 的取值范围为(12，1)． …………………………10分（3）设B (x 3，y 3)，k AB ＝－1k OC ＝2k ，所以直线AB 的方程为y ＝2kx ＋1，与椭圆E 方程联立解得x ＝－8k 1＋8k 2或0（舍），即x 3＝－8k1＋8k 2． …………………12分 又因为x 0＝－2km 1＋2k 2＝－2k 1＋2k 2×2k 2＋14k 2＋1＝－2k1＋4k 2，所以S 1S 2＝12AO ×|x 3| 12AO ×|x 0|＝|－8k 1＋8k 2－2k 1＋4k 2|＝4＋16k 21＋8k 2． …………………………14分因为S 1S 2＝83，所以4＋16k 21＋8k 2＝83，解得k ＝±12，此时m ＝2k 2＋14k 2＋1＝34，D 点坐标为(0，34)，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋34． …………………………16分19．(本小题满分16分)（1）解：y ＝f (x )＋2x ＝x e x ，由y ′＝(1+ x )e x ＝0，解得x ＝－1.所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值－1e ． ………………………2分（2）解：F (x )＝f (x )＋g (x )＝x e x －x －ln x ＋k ，F ′(x )＝(x ＋1)(e x －1x)，设h (x )＝e x －1x (x ＞0)，则h ′(x )＝e x ＋1x 2＞0恒成立，所以函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增．又h (12)＝e －2＜0，h (1)＝e －1＞0，且h (x )的图像在(0，＋∞)上不间断，因此h (x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点x 0∈(12，1)，且e x＝1x 0．……………………4分当x ∈(0，x 0)时，h (x )＜0，即F ′(x )＜0；当x ∈(x 0，＋∞)时，h (x )＞0，即F ′(x )＞0， 所以F (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，于是x ＝x 0时，函数F (x )取极(最)小值为F (x 0)＝x 0e x 0－x 0－ln x 0＋k ……………………6分＝1－x 0－ln 1ex 0＋k ＝1＋k ．因为F (x )＞0的解集为(0，＋∞)，所以1＋k ＞0，即k ＞－1． ……………………8分 （3）证明：由（2）知m ＝x 0，①当1＋k ≥0，即k ≥－1时，F (x )≥0恒成立，于是G (x )＝F (x )＋ln x ＝x e x －x ＋k ，G ′(x )＝(x ＋1)e x －1．因为x ∈(0，m )，所以x ＋1＞1，e x ＞1，于是G ′(x )＞0恒成立，所以函数G (x )在(0，m )上单调递增． ……………………10分 ②当1＋k ＜0，即k ＜－1时，0＜e k ＜12＜x 0＝m ，F (e k )＝e k ( e e k－1)＞0，F (m )＝F (x 0)＝1＋k ＜0， 又F (x )在(0，m )上单调递减且图像不间断，所以F (x )在(0，m )上存在唯一的零点x 1． ……………………12分 当0＜x ≤x 1时，F (x )≥0，G (x )＝F (x )＋ln x ＝x e x －x ＋k ，G ′(x )＝(x ＋1)e x －1， 因为0＜x ≤x 1，所以x ＋1＞1，e x ＞1，于是G ′(x )＞0恒成立，所以函数G (x )在(0，x 1]上单调递增； ① ……………………14分 当x 1≤x ＜m 时，F (x )≤0，G (x )＝－F (x )＋ln x ，G ′(x )＝－F ′(x )＋1x，由（2）知，当x 1≤x ＜m 时，F ′(x )＜0，于是G ′(x )＞0恒成立， 所以函数G (x )在[x 1，m )上单调递增； ② 设任意s ，t ∈(0，m )，且s ＜t ， 若t ≤x 1，则由①知G (s )＜G (t ),若s ＜x 1＜t ，则由①知G (s )＜G (x 1)，由②知G (x 1)＜G (t )，于是G (s )＜G (t ), 若x 1≤s ，由②知G (s )＜G (t ), 因此总有G (s )＜G (t ),所以G (x )在(0，m )上单调递增．综上，函数G (x )在(0，m )上单调递增． ………………………16分20．(本小题满分16分)（1）解：因为b n (2)－b n (1)＝1，所以(a n ＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝1，即a n ＋2－a n ＋1＝1， 因此数列{a n ＋1}是公差为1的等差数列，所以b n (4)－b n (1)＝(a n ＋a n ＋4)－(a n ＋a n ＋1) ＝a n ＋4－a n ＋1＝3． ……………………2分 （2）（i ）解：因为b n ＋1(k )＝2b n (k )，所以a n ＋1＋a n ＋1＋k ＝2(a n ＋a n ＋k )，分别令k ＝1及k ＝2，得⎩⎨⎧a n ＋1＋a n ＋2＝2(a n ＋a n ＋1)， ①a n ＋1＋a n ＋3＝2(a n ＋a n ＋2)， ②……………………4分由①得a n ＋2＋a n ＋3＝2(a n ＋1＋a n ＋2)， ③ …………………………6分 ③－②得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )， ④ …………………………8分 ①－④得2a n ＋1＝4a n ，即a n ＋1＝2a n ，又a 1＝2，所以a n ＝2n ． …………………………10分（ii ）证明：假设集合A 与集合B 中含有相同的元素，不妨设b n (k )＝5b m (k ＋2)，n ，m ∈N*， 即a n ＋a n ＋k ＝5(a m ＋a m ＋k ＋2)， 于是2n ＋2n ＋k ＝5(2m ＋2m＋k ＋2)，整理得2n －m＝5(1＋2k ＋2)1＋2k. …………………………12分因为5(1＋2k ＋2)1＋2k ＝5(4－31＋2k )∈[15，20)，即2n －m∈[15，20)， 因为n ，m ∈N*，从而n －m ＝4， …………………………14分 所以5(1＋2k ＋2)1＋2k＝16，即4×2k ＝11． 由于k 为正整数，所以上式不成立，因此集合A 与集合B 中不含有相同的元素，即A ∩B ＝∅．…………………………16分南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准 2018.03说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域．．．．．．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结OD ，因为OD ＝OA ，所以∠OAD ＝∠ODA ．因为AD 平分∠BAE ，所以∠OAD ＝∠EAD ， ………………3分 所以∠EAD ＝∠ODA ，所以OD ∥AE . ………………5分 又因为AE ⊥DE ，所以DE ⊥OD ． ………………8分 又因为OD 为半径，所以DE 是圆O 的切线． ………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1a －12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝λ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 ，所以⎩⎨⎧1＋a ＝λ，－1＋2＝λ，解方程组得⎩⎨⎧a ＝0，λ＝1． …………………………5分所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 2 ，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－3 4． …………………………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：因为直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t ＋2(t 为参数)，所以直线l 的普通方程为y ＝3x ＋2． ……………………………3分又因为圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝a sin θ(a ＞0，θ为参数)，所以圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝a 2． ……………………………6分 因为圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝1， ……………………………8分 所以1＋a ＝3，解得a ＝2． ……………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲解：方法一：|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，当且仅当x (x －1)≤0，即0≤x ≤1时取等号． ……………………………4分 |y －1|＋|y ＋1|≥|y －1－y －1|＝2，当且仅当(y －1)(y ＋1)≤0，即－1≤y ≤1时取等号． ……………………………8分 所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3， 当且仅当0≤x ≤1，－1≤y ≤1时取等号，所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3． …………………………10分 方法二：因为f (x )＝|x －1|＋|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，1，0≤x ＜1，1－2x ，x ＜0，所以f (x )min ＝1． …………………………4分 因为g (y )＝|y －1|＋|y ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2y ，y ≥1，2，－1≤y ＜1，－2y ，y ＜－1，所以g (y )min ＝2． …………………………8分 综上，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3． …………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）解：（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．P (X ＝0)＝(1－12)×(1－13)×(1－14)＝14，P (X ＝1)＝12×(1－13)×(1－14)＋(1－12)×13×(1－14)＋(1－12)×(1－13)×14＝1124，P (X ＝2)＝(1－12)×13×14＋12×(1－13)×14＋12×13×(1－14)＝14，P (X ＝3)＝12×13×14＝124．所以，随机变量X 的分布列为X 的数学期望E (X )＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312． …………………………5分（2）设Y 表示乙击中目标的个数，由（1）亦可知，P (Y ＝0)＝14，P (Y ＝1)＝1124，P (Y ＝2)＝14．则P (X ＝0，Y ＝2)＝14×14＝116，P (X ＝1，Y ＝1)＝1124×1124＝121576，P (X ＝2，Y ＝0)＝14×14＝116， …………………………8分所以P (X ＋Y ＝2)＝P (X ＝0，Y ＝2)＋P (X ＝1，Y ＝1)＋P (X ＝2，Y ＝0)＝193576．所以，甲乙两人共击中目标数为2个的概率为193576． …………………………10分23．（本小题满分10分）解：（1）当n ＝7时，M ＝{1，2，…，7 }，数列T 的个数为C 27×A 22＝42． ………………………………2分（2）当k ＝1时，则a 1＞a 2，a 2＜a 3＜…＜a n ，此时a 2为1，a 1共有n －1种选法，余下的n －2个数，按从小到大依次排列，共有1种，因此k ＝1时，符合条件的数列T 共有n －1＝C 1n －1个． ……………………………3分当2≤k ≤n －2时，则a 1＜a 2＜…＜a k ，a k ＞a k ＋1，a k ＋1＜a k ＋2＜…＜a n ，从集合M 中任取k 个数，按从小到大的顺序排列， 再将余下的n －k 个数，按从小到大的顺序排列，即得满足条件a 1＜a 2＜…＜a k ，a k ＋1＜a k ＋2＜…＜a n 的数列的个数为C k n C n －k n －k ，这里包含了a k ＜a k ＋1即a 1＜a 2＜…＜a k ＜a k ＋1＜a k ＋2＜…＜a n 的情形，因此符合条件的数列T 的个数为C k n C n －k n －k －1＝C k n －1． ………………………………7分当k ＝n －1时，则a 1＜a 2＜…＜a n －1，a n －1＞a n此时a n －1为n ，a n 共有n －1种选法，余下的n －2个数，按从小到大依次排列，共有1种，因此k ＝n －1时，符合条件的数列T 共有n －1＝C n －1n －1个．…………………………8分于是所有符合条件的数列T 的个数为：C 1n －1＋C 2n －1＋…＋C n －1n －1＝C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n －n ＋1 ＝2n －C 0n －C n n －n ＋1＝2n －n －1． ………………………………10分。

2018届江苏六市高三数学二模试卷.docx

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2018 届高三第二次调研测试（扬州、徐州、泰州、南通、淮安、宿迁）数学学科一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．1． 已知集合 U1，0 ，1，2 ，3 ，A1，0 ，2，则 e U A ▲ ．2． 已知复数 z 1a i ，z 2 3 4 i ，其中 i 为虚数单位．若z 1为纯虚数，则实数 a 的值为 ▲ ．z 23． 某班 40 名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间40 ，100 上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于 60 分的人数为▲ ．开始频率S ←1组距i ← 1i ← i???1S ←S × 5i?< 4Y405060 70 80 90100 成绩 /分N输出 S（第 3 题）4． 如图是一个算法流程图，则输出的 S 的值为 ▲ ．结 束（第 4 题）5． 在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C ，以线段 AC ， BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积大于 32 cm 2 的概率为▲ ．6． 在 △ ABC 中，已知 AB1，AC2 ，B 45 ，则 BC 的长为 ▲ ．7． 在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C 与双曲线 2y 2 x 1 有公共的渐近线，且经过3点 P 2 ， 3 ，则双曲线 C 的焦距为 ▲ ． 8． 在平面直角坐标系 xOy 中，已知角， 的始边均为 x 轴的非负半轴，终边分别经过点 A (1 ，2 ) ， B ( 5 ，1) ，则 tan() 的值为 ▲ ．9． 设等比数列a n 的前 n 项和为 S n ．若 S 3 ，S 9 ，S 6 成等差数列，且 a 8 3 ，则 a 5 的值为▲ ．10． 已知 a ，b ，c 均为正数，且 abc 4( ab ) ，则 a bc 的最小值为▲ ．x ≤ 3 ， 11． 在平面直角坐标系 xOy 中，若动圆 C 上的点都在不等式组x 3y 3 ≥ 0 ， 表示的平面x3 y 3 ≥ 0区域内，则面积最大的为▲ ．e x1 ， x0 ，3 个不同的零点，12． 设函数 f (x)2（其中 e 为自然对数的底数）有 x 3 3mx2 ，x ≤ 0则实数 m 的取值范围是▲ ．13． 在平面四边形 ABCD 中，已知 AB1 ，BC4 ，CD 2，DAuuur uuur3 ，则 AC BD 的值为 ▲ ． 14． 已知 a 为常数，函数 f ( x)x的最小值为223 ，则 a 的所有值为 ▲ ．a x 1 x2二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．15．（本小题满分 14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设向量 acos ，sin ， b sin ， cos ，c1， 3．22（1）若 a b c ，求 sin () 的值；（2）设5πa //b c6 ， 0π，且 ，求 的值．16．（本小题满分 14 分）如图，在三棱柱ABC ?A 1B 1C 1 中， AB ??AC ，点 E ， F 分别在棱 BB 1?， CC 1 上（均异 于端点） ，且∠ ABE ?∠ ACF ， AE ⊥ BB 1 1 ．A C， AF ⊥ CC求证：（ 1）平面 AEF ⊥平面 BB 1C 1C ；B F（2） BCBl 1 yA EB 1A 1l 2C C 1QB 1 Ox（第 18 题）P（第 16 题）22B 2x 2 y 2 1( a b 0 ) y x 3 4 2 QB 1PB 1 ， QB 2PB 2 l 1 l 1 l 1 l 2 l 1 x xa b（第 17 题）q 1 ，d 0 c i a i b ic 1 ，c 2 ，c 3 a 1 1 q2 c 1 ，c 2 ，c3 c 1 ，c 2 ，c 3 ，c4 f ( x ) x a sin x( a 0 ) yf ( x ) a1，g ( x )f ( x ) b ln x1 ( b R ，b0 )24b 2g ( x ) g ( x ) x 0 ，g ( x )0 x 0 ， g ( x 0 ) 0 g( x 1 ) g( x 2 ) ( x 1x 2 ) x 1 x 2开始B频率S←1A 组距i ←E 1OD（第 22 题）←i???1i C（第 21— A 题）S←S× 5i?< 4Y40 50 60 70 80 90 100 成绩 /分N（第 3 题）输出 S结束（第 4 题）DB DC OD 2OA212 M 1 0N 2 01A( 0，0 ) ，B( 3 ，0 ) ，C( 2 ，2 ) T T0201TT2P2，3l sin32P X600X E Xn(1 x ) 2n 1a0a1 x a2 x2a2 n 1 x2 n 1n N * T n( 2k 1) a n k T2 T n n N* T nk04n 2U 1 ，0，1，2 ，3 ，A1，0 ，2 e U A 1 ，3z1a i ，z2 3 4 i i z1440 ，100S z23△ ABC AB 1 ，AC 2 ，B45BC26 xOy C x y21P 2 ， 3C2234 3， A (1 ，2 ) B (5 ，1)tan()9a n S n S3，S9，S6 a83a567x ≤ 3 ，a ，b ，c abc4( a b )a b c C x3y 3 ≥ 0 ，(x224 1)y1 ，x3y 3 ≥ 0e x0 ，xf ( x)x32 e m1，ABCD AB1，BC4，CD 2 ，DA3uuur uuur3mx 2 ，x ≤ 0a f ( x)x2a 4，12+3C m1m m 1xOyAC BDa x 2234 1xa cos，sinb sin， cosc 1 ，3a b c sin ()225π0π a // b c a cos，sin b sin， cos 6c 1 ，3a b c1 a b cos sin sin cos sin ()22a bca 2 c 21 2sin () 11 sin ()15πb26a3 ，1 b csin1，cos3 a // bc22223 cos3 1 sin 11 sin 3 cos 1 sinπ 1222 2222 32ππ π 2ππ ππ 3 3 33 62a b cos sin sin cos sin ( ) a 2 ??2 a b ??b 2 ??1， 每个 2 分，没有先后 序。

(2021年整理)南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学与答案

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南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学与答案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学与答案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数 学 2018.03注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题(第1题~第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝错误! 错误!(x i －错误!）2，其中错误!＝错误! 错误!x i ; 锥体的体积公式:V ＝13Sh ,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分,计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．函数f (x ）＝lg （2－x ）的定义域为错误!．2．已知复数z 满足错误!＝i ，其中i 为虚数单位,则复数z 的模为 ▲ ． 3．执行如图所示的算法流程图，则输出a 的值为 ▲ ．4．某学生5次数学考试成绩的茎叶图如图所示,则这组数据的方差为错误!．(第3题)5．3名教师被随机派往甲、乙两地支教，每名教师只能被派往其中一个地方,则恰有2名教师被派往甲地的概率为▲．6．已知等差数列{a n｝的前n项和为S n．若S15＝30,a7＝1,则S9的值为错误!．7．在△ABC中，角A，B,C所对的边分别为a，b，c．若b sin A sin B＋a cos2B＝2c，则错误!的值为错误!．8．在平面直角坐标系xOy中,双曲线C：x2－错误!＝1 （b＞0）的两条渐近线与圆O：222x y+=的四个交点依次为A，B,C，D．若矩形ABCD的面积为b，则b的值为▲ ．9．在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形（如图1中阴影部分），折叠成底面边长为错误!的正四棱锥S—EFGH（如图2），则正四棱锥S－EFGH的体积为错误!．A DBCEFGH(图1)SEF GH(图2)(第9题)10．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x）＝x2＋x．若f(a）＋f（－a)＜4,则实数a的取值范围为错误!．11．在平面直角坐标系xOy中,曲线y＝错误!(m＞0)在x＝1处的切线为l，则点(2,－1）到直线l的距离的最大值为错误!．12．如图,在△ABC中，边BC的四等分点依次为D，E，F．若错误!·错误!＝2,错误!·错误!＝5，则AE的长为错误!．B D(第12题)13．在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆C:(x＋4)2＋（y－a）2＝16上两个动点，且AB ＝211．若直线l:y＝2x上存在唯一的一个点P,使得错误!＋错误!＝错误!，则实数a的值为错误!．14．已知函数f(x)＝错误!t∈R．若函数g（x)＝f (f （x)－1）恰有4个不同的零点，则t 的取值范围为错误!．二、解答题（本大题共6小题，计90分。

南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学与答案

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南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数 学 2018.03注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1ni ＝1∑nx i ；锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．函数f (x )＝lg(2－x )的定义域为▲________．2．已知复数z 满足z1＋2i ＝i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为 ▲ ．3．执行如图所示的算法流程图，则输出a 的值为 ▲ ． 4．某学生5次数学考试成绩的茎叶图如图所示，则这组数据的方差为▲________．5．3名教师被随机派往甲、乙两地支教，每名教师只能被派往其中一个地方，则恰有2名教师被派往甲地的概率为 ▲ ．6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 15＝30，a 7＝1，则S 9的值为▲________．7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若b sin A sin B ＋a cos 2B ＝2c ，则a c的值为▲________． 8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2－y 2b2＝1 (b ＞0) 的两条渐近线与圆O ：222x y +=的四个交点依次为A ，B ，C ，D ．若矩形ABCD 的面积为b ，则b 的值为 ▲ ．9．在边长为4的正方形ABCD 内剪去四个全等的等腰三角形（如图1中阴影部分），折叠成底面边长为2的正四棱锥S -EFGH （如图2），则正四棱锥S －EFGH 的体积为▲________．(第4题)10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2＋x ．若f (a )＋f (－a )＜4，则实数a 的取值范围为▲________．11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝mx ＋1(m ＞0)在x ＝1处的切线为l ，则点(2，－1) 到直线l的距离的最大值为▲________．12．如图，在△ABC 中，边BC 的四等分点依次为D ，E ，F ．若AB →·AC →＝2，AD →·AF →＝5，则AE 的长为▲________．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：(x ＋4)2＋(y －a )2＝16上两个动点，且AB ＝211．若直线l ：y ＝2x 上存在唯一的一个点P ，使得PA →＋PB →＝OC →，则实数a 的值为▲________． A DBCE FGH(图1)SEFGH(图2)(第9题)(第12题)14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 3＋3x 2＋t ，x ＜0，x ， x ≥0，t ∈R ．若函数g (x )＝f (f (x )－1)恰有4个不同的零点，则t 的取值范围为▲________．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内） 15．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，直线x ＝π，x ＝7π是其相邻的两条对称轴．（1）求函数f (x )的解析式；（2）若f (α2)＝－65，且2π3＜α＜7π6，求cos α的值．16.（本小题满分14分）如图，矩形ABCD 所在平面与三角形ABE 所在平面互相垂直，AE ＝AB ，M ，N ，H 分别为DE ，AB ，BE 的中点．（1）求证：MN ∥平面BEC ； （2）求证：AH ⊥CE ．BED AHCMN（第15题）17．(本小题满分14分)调查某地居民每年到商场购物次数m 与商场面积S 、到商场距离d 的关系，得到关系式m ＝k ×S d 2(k 为常数)．如图，某投资者计划在与商场A 相距10km 的新区新建商场B ，且商场B 的面积与商场A 的面积之比为λ (0＜λ＜1)．记“每年居民到商场A 购物的次数”、“每年居民到商场B 购物的次数”分别为m 1、m 2，称满足m 1＜m 2的区域叫做商场B 相对于A 的“更强吸引区域”． （1）已知P 与A 相距15km ，且∠PAB ＝60o ．当λ＝12时，居住在P 点处的居民是否在商场B 相对于A 的“更强吸引区域”内？请说明理由；（2）若要使与商场B 相距2 km 以内的区域(含边界)均为商场B 相对于A 的“更强吸引区域”，求λ的取值范围．18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为2 2，上顶点A 到右焦点的距离为 2 ．过点D (0，m )(m ≠0)作不垂直于x 轴，y 轴的直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，C 为线段PQ 的中点，且AC ⊥OC ．（1）求椭圆E 的方程； （2）求实数m 的取值范围；AB(第17题)（3）延长AC 交椭圆E 于点B ，记△AOB 与△AOC 的面积分别为S 1，S 2，若S 1S 2＝83，求直线l 的方程．19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝x (e x －2)，g (x )＝x －ln x ＋k ，k ∈R ，e 为自然对数的底．记函数F (x )＝f (x )＋g (x )．（1）求函数y ＝f (x )＋2x 的极小值；（2）若F (x )＞0的解集为(0，+∞)，求k 的取值范围；（3）记F (x )的极值点为m ．求证：函数G (x )＝|F (x )|＋ln x 在区间(0，m )上单调递增．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)20．(本小题满分16分)对于数列{a n }，定义b n (k )＝a n ＋a n ＋k ，其中n ，k ∈N*． （1）若b n (2)－b n (1)＝1，n ∈N*，求b n (4)－b n (1)的值； （2）若a 1＝2，且对任意的n ，k ∈N*，都有b n ＋1(k )＝2b n (k )．（i ）求数列{a n }的通项公式；（ii ）设k 为给定的正整数，记集合A ＝{b n (k )|n ∈N*}，B ＝{5b n (k ＋2)|n ∈N*}，(第18题)求证：A∩B＝ ．南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学附加题2018.03注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指定．．．．区域内．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲如图，AB是圆O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交圆O于点D，DE⊥AC且交AC的延长线于点E，求证：DE是圆O的切线．B ．选修4—2：矩阵与变换已知α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11为矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 a －1 2属于实数λ的一个特征向量，求λ和A 2．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t ＋2(t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝a sin θ(a ＞0，θ为参数)，点P 是圆C 上的任意一点．若点P 到直线l 距离的最大值为3，求a 的值．D ．选修4—5：不等式选讲对任意x ，y ∈R ，求|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）甲，乙两人站在P 点处分别向A ，B ，C 三个目标进行射击，每人向三个目标各射击一次．每人每次射击每个目标均相互独立，且两人各自击中A ，B ，C 的概率分别都为12，13，14．（1）设X 表示甲击中目标的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； （2）求甲乙两人共击中目标数为2个的概率．23．（本小题满分10分）已知n ∈N *，且n ≥4，数列T ：a 1，a 2，…，a n 中的每一项均在集合M ＝{1，2，…，n }中， 且任意两项不相等．（1）若n ＝7，且a 2＜a 3＜a 4＜a 5＜a 6，求数列T 的个数；（2）若数列T 中存在唯一的a k （k ∈N *，且k ＜n ），满足a k ＞a k ＋1，求所有符合条件的数列T的个数．南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．(－∞，2) 2． 5 3．3 4．16 5．386．－9 7． 28．7 9．4310．(－1，1) 11．2 12． 6 13．2或-18 14．[－4，0)二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)解：（1）设f (x )的周期为T ，则T 2＝7π12－π12＝π2，所以T ＝π．又T ＝2πω，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)． …………………………………3分因为点(π12，2)在函数图象上，所以2sin(2×π12＋φ)＝2，即sin(π6＋φ)＝1．因为－π2＜φ＜π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝2sin(2x ＋π3)．…………………………………7分（2）由f (α2)＝－65，得sin(α＋π3)＝－35．因为2π3＜α＜7π6，所以π＜α＋π3＜3π2，所以cos(α＋π3)＝－1－sin 2(α＋π3)＝－45． ………………………………10分所以cos α＝cos[(α＋π3)－π3]＝cos(α＋π3)cos π3＋sin(α＋π3) sin π3＝－45×12＋(－35)×32＝－33＋410． ………………………………14分16．(本小题满分14分) （1）解法一：取CE 中点F ，连接FB ，MF .因为M 为DE 的中点，F 为CE 的中点，所以MF ∥CD 且MF ＝12CD ． ……………………………………2分又因为在矩形ABCD 中，N 为AB 的中点， 所以BN ∥CD 且BN ＝12CD ，所以MF ∥BN 且MF ＝BN ，所以四边形BNMF 为平行四边形， 所以MN ∥BF ． ……………………………………4分 又MN 平面BEC ，BF 平面BEC ，所以MN ∥平面BEC ． ……………………………………6分 解法二：取AE 中点G ，连接MG ，GN .因为G 为AE 的中点，M 为DE 的中点，所以MG ∥AD ． 又因为在矩形ABCD 中，BC ∥AD ，所以MG ∥BC ． 又因为MG 平面BEC ，BC平面BEC ，所以MG ∥平面BEC ． ……………………………………2分 因为G 为AE 的中点，N 为AB 的中点，所以GN ∥BE ． 又因为GN 平面BEC ，BE 平面BEC ，所以GN ∥平面BEC ． 又因为MG ∩GN ＝G ，MG ，GN 平面GMN ，所以平面GMN ∥平面BEC ． ……………………………………4分 又因为MN 平面GMN ，所以MN ∥平面BEC ． ……………………………………6分 （2）因为四边形ABCD 为矩形，所以BC ⊥AB ．因为平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE ＝AB ，BC 平面ABCD ，且BC ⊥AB ， 所以BC ⊥平面ABE ． ……………………………………8分因为AH 平面ABE ，所以BC ⊥AH ．因为AB ＝AE ，H 为BE 的中点，所以BE ⊥AH ． ……………………………………10分 因为BC ∩BE ＝B ，BC 平面BEC ，BE平面BEC ，所以AH ⊥平面BEC ． ……………………………………12分 又因为CE 平面BEC ，所以AH ⊥CE ． ……………………………………14分17．(本小题满分14分)解：设商场A 、B 的面积分别为S 1、S 2，点P 到A 、B 的距离分别为d 1、d 2，则S 2＝λS 1，m 1＝kS 1d 12，m 2＝kS 2d 22，k 为常数，k ＞0．（1）在△PAB 中，AB ＝10，PA ＝15，∠PAB ＝60o ，由余弦定理，得d 22＝PB 2＝AB 2＋PA 2－2AB ·PA cos60°＝102＋152－2×10×15×12＝175． …………………………2分 又d 12＝PA 2＝225， 此时，m 1－m 2＝kS 1 d 12－kS 2 d 22＝kS 1 d 12－kλS 1 d 22＝kS 1(1d 12－λd 22)， (4)分将λ＝12，d 12＝225，d 22＝175代入，得m 1－m 2＝kS 1(1225－1350)．因为kS 1＞0，所以m 1＞m 2，即居住在P 点处的居民不在商场B 相对于A 的“更强吸引区域”内． …………………6分 （2）解法一：以AB 所在直线为x 轴，A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A (0，0)，B (10，0)，设P (x ，y )，(第17题)由m1＜m2得，k S1d12＜kS2d22，将S2＝λS1代入，得d22＜λd12．……8分代入坐标，得(x－10)2＋y2＜λ(x2＋y2)，化简得(1－λ) x2＋(1－λ) y2－20x＋100＜0．……………………10分因为0＜λ＜1，配方得(x－101－λ)2＋y2＜(10λ1－λ)2，所以商场B相对于A的“更强吸引区域”是：圆心为C(101－λ，0)，半径为r1＝10λ1－λ的圆的内部．与商场B相距2 km以内的区域(含边界)是：圆心为B(10，0)，半径为r2＝2的圆的内部及圆周．由题设，圆B内含于圆C，即BC＜| r1－r2|．…………………………12分因为0＜λ＜1，所以101－λ－10＜10λ1－λ－2，整理得4λ－5λ＋1＜0，解得116＜λ＜1．所以，所求λ的取值范围是(116，1)．…………………………14分解法二：要使与商场B相距2 km以内的区域(含边界)均为商场B相对于A的“更强吸引区域”，则当d2≤2时，不等式m1＜m2恒成立．由m1＜m2，得k S1d12＜kS2d22＝kλS1d22，化简得d12＞d22λ．…………………………8分设∠PBA＝θ，则d12＝PA2＝AB2＋PB2－2AB·PB cosθ＝100＋d22－20d2cosθ，…………………………10分所以100＋d 22－20d 2cos θ＞d 22λ，即100＋d 22－d 22λ20d 2＞cos θ．上式对于任意的θ∈[0，π]恒成立，则有100＋d 22－d 22λ20d 2＞1， ………………………12分即1－1λ＞20·1d 2－100·(1d 2)2＝－100(1d 2－110)2＋1 (*)．由于d 2≤2，所以1d 2≥12．当1d 2＝12时，不等式(*)右端的最大值为－15， 所以1－1λ＞－15，解得λ＞116．又0＜λ＜1，所以λ的取值范围是(116，1)． ………………………14分18．(本小题满分16分)解：（1）因为⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a ＝2，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1． …………………………2分解法一：（2）由（1）得A (0，1)．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，C (x 0，y 0)，其中x 0，y 0均不为0，且x 1≠x 2． 因为P ，Q 两点都在椭圆E 上，所以x 12＋2y 12＝2 且x 22＋2y 22＝2，两式相减得y 2－y 1x 2－x 1×y 0x 0＝－12． …………………………4分又y 2－y 1x 2－x 1＝y 0－m x 0，所以y 0－m x 0×y 0x 0＝－12， …………………………6分 即x 02＝2y 0(m －y 0)． ① 又AC ⊥OC ，所以y 0－1x 0×y 0x 0＝－1， …………………………8分即x 02＝y 0(1－y 0)． ②由①②得y 0＝2m －1，x 02＝(1－2m ) (2m －2)∈(0，2)，所以12＜m ＜1． …………………………10分（3）设B (x 3，y 3)，点B 在椭圆E 上，所以x 32＋2y 32＝2．又AC ⊥OC ，所以y 3－1x 3×y 0x 0＝－1，即y 3＝－x 0y 0x 3＋1，代入上式消去y 3，得x 3＝4x 0y 0y 20＋2x 20， …………………………12分所以S 1S 2＝12AO ×|x 3|12AO ×|x 0|＝|x 3x 0|＝|4y 0y 20＋2x 20|．由（2）知y 0＝2m －1，x 02＝(1－2m ) (2m －2)，12＜m ＜1， 所以S 1S 2＝|4(2m －1)(2m －1)2＋2(1－2m )(2m －2) |＝|43－2m |＝43－2m． (14)分因为S 1S 2＝83，所以43－2m ＝83，解得m ＝34，此时y 0＝2m －1＝12，x 02＝(1－2m ) (2m －2)＝14，所以x 0＝±12，所以C 点坐标为(±12，12)，D 点坐标为(0，34)，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋34． …………………………16分解法二：（2）由（1）得A (0，1)．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，C (x 0，y 0)．设直线l 方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，将其与椭圆E 的方程联立，消去y 得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0 (*)， 所以x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2， …………………………4分所以x 0＝x 1＋x 22＝－2km1＋2k2，y 0＝kx 0＋m ＝m1＋2k 2，即C (－2km 1＋2k 2，m1＋2k2)， 所以k AC ＝y 0－1x 0＝m1＋2k 2－1－2km 1＋2k 2＝2k 2＋1－m2km． …………………………6分又因为k OC ＝y 0x 0＝m1＋2k 2－2km 1＋2k 2＝－12k，且AC ⊥OC ， 所以k AC ×k OC ＝2k 2＋1－m 2km ×(－12k)＝－1，整理得m ＝2k 2＋14k 2＋1． …………………………8分因为k ≠0，则m ＝2k 2＋14k 2＋1＝4k 2＋1－2k 24k 2＋1＝1－2k 24k 2＋1＝1－12＋12k 2∈(12，1)，此时△＝8(2k 2＋1－m )＞0，所以实数m 的取值范围为(12，1)． …………………………10分（3）设B (x 3，y 3)，k AB ＝－1k OC＝2k ，所以直线AB 的方程为y ＝2kx ＋1，与椭圆E 方程联立解得x ＝－8k 1＋8k 2或0（舍），即x 3＝－8k1＋8k2． (12)分又因为x 0＝－2km1＋2k 2＝－2k1＋2k 2×2k 2＋14k 2＋1＝－2k1＋4k 2，所以S 1S 2＝12AO ×|x 3|12AO ×|x 0|＝|－8k1＋8k 2－2k 1＋4k 2|＝4＋16k 21＋8k 2． …………………………14分因为S 1S 2＝83，所以4＋16k 21＋8k 2＝83，解得k ＝±12，此时m ＝2k 2＋14k 2＋1＝34，D 点坐标为(0，34)，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋34． …………………………16分19．(本小题满分16分)（1）解：y ＝f (x )＋2x ＝x e x ，由y ′＝(1+ x )e x ＝0，解得x ＝－1.列表如下：所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值－1e． ………………………2分（2）解：F (x )＝f (x )＋g (x )＝x e x －x －ln x ＋k ，F ′(x )＝(x ＋1)(e x －1x)，设h (x )＝e x －1x (x ＞0)，则h ′(x )＝e x ＋1x2＞0恒成立，所以函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增． 又h (12)＝e －2＜0，h (1)＝e －1＞0，且h (x )的图像在(0，＋∞)上不间断，因此h (x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点x 0∈(12，1)，且e x＝1x 0．……………………4分当x ∈(0，x 0)时，h (x )＜0，即F ′(x )＜0；当x ∈(x 0，＋∞)时，h (x )＞0，即F ′(x )＞0， 所以F (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，于是x ＝x 0时，函数F (x )取极(最)小值为F (x 0)＝x 0e x 0－x 0－ln x 0＋k ……………………6分 ＝1－x 0－ln 1ex 0＋k ＝1＋k ．因为F (x )＞0的解集为(0，＋∞)，所以1＋k ＞0，即k ＞－1． ……………………8分 （3）证明：由（2）知m ＝x 0，①当1＋k ≥0，即k ≥－1时，F (x )≥0恒成立，于是G (x )＝F (x )＋ln x ＝x e x －x ＋k ，G ′(x )＝(x ＋1)e x －1．因为x ∈(0，m )，所以x ＋1＞1，e x ＞1，于是G ′(x )＞0恒成立，所以函数G (x )在(0，m )上单调递增． ……………………10分 ②当1＋k ＜0，即k ＜－1时，0＜e k ＜12＜x 0＝m ， F (e k )＝e k ( e e k－1)＞0，F (m )＝F (x 0)＝1＋k ＜0，又F (x )在(0，m )上单调递减且图像不间断，所以F (x )在(0，m )上存在唯一的零点x 1． ……………………12分 当0＜x ≤x 1时，F (x )≥0，G (x )＝F (x )＋ln x ＝x e x －x ＋k ，G ′(x )＝(x ＋1)e x －1， 因为0＜x ≤x 1，所以x ＋1＞1，e x ＞1，于是G ′(x )＞0恒成立，所以函数G (x )在(0，x 1]上单调递增； ① ……………………14分 当x 1≤x ＜m 时，F (x )≤0，G (x )＝－F (x )＋ln x ，G ′(x )＝－F ′(x )＋1x，由（2）知，当x 1≤x ＜m 时，F ′(x )＜0，于是G ′(x )＞0恒成立， 所以函数G (x )在[x 1，m )上单调递增； ② 设任意s ，t ∈(0，m )，且s ＜t ， 若t ≤x 1，则由①知G (s )＜G (t ),若s ＜x 1＜t ，则由①知G (s )＜G (x 1)，由②知G (x 1)＜G (t )，于是G (s )＜G (t ), 若x 1≤s ，由②知G (s )＜G (t ), 因此总有G (s )＜G (t ),所以G (x )在(0，m )上单调递增．综上，函数G (x )在(0，m )上单调递增． ………………………16分20．(本小题满分16分)（1）解：因为b n (2)－b n (1)＝1，所以(a n ＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝1，即a n ＋2－a n ＋1＝1， 因此数列{a n ＋1}是公差为1的等差数列，所以b n (4)－b n (1)＝(a n ＋a n ＋4)－(a n ＋a n ＋1) ＝a n ＋4－a n ＋1＝3． ……………………2分 （2）（i ）解：因为b n ＋1(k )＝2b n (k )，所以a n ＋1＋a n ＋1＋k ＝2(a n ＋a n ＋k )，分别令k ＝1及k ＝2，得⎩⎨⎧a n ＋1＋a n ＋2＝2(a n ＋a n ＋1)， ①a n ＋1＋a n ＋3＝2(a n ＋a n ＋2)， ② ……………………4分由①得a n ＋2＋a n ＋3＝2(a n ＋1＋a n ＋2)， ③ …………………………6分 ③－②得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )， ④ …………………………8分 ①－④得2a n ＋1＝4a n ，即a n ＋1＝2a n ，又a 1＝2，所以a n ＝2n ． …………………………10分（ii ）证明：假设集合A 与集合B 中含有相同的元素，不妨设b n (k )＝5b m (k ＋2)，n ，m ∈N*，即a n ＋a n ＋k ＝5(a m ＋a m ＋k ＋2)，于是2n ＋2n ＋k ＝5(2m ＋2m ＋k ＋2)， 整理得2n －m ＝5(1＋2k ＋2)1＋2k. …………………………12分因为5(1＋2k ＋2)1＋2k ＝5(4－31＋2k )∈[15，20)，即2n －m ∈[15，20)， 因为n ，m ∈N*，从而n －m ＝4， …………………………14分 所以5(1＋2k ＋2)1＋2k ＝16，即4×2k ＝11． 由于k 为正整数，所以上式不成立，因此集合A 与集合B 中不含有相同的元素，即A ∩B ＝∅．…………………………16分南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准 2018.03说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定．．．．区域内．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结OD ，因为OD ＝OA ，所以∠OAD ＝∠ODA ．因为AD 平分∠BAE ，所以∠OAD ＝∠EAD ， ………………3分 所以∠EAD ＝∠ODA ，所以OD ∥AE . ………………5分 又因为AE ⊥DE ，所以DE ⊥OD ． ………………8分 又因为OD 为半径，所以DE 是圆O 的切线． ………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：因为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 a －1 2 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝λ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11 ，所以⎩⎨⎧1＋a ＝λ，－1＋2＝λ， 解方程组得⎩⎨⎧a ＝0，λ＝1．…………………………5分所以A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 0－1 2 ，所以A 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 0－3 4． …………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：因为直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t ＋2(t 为参数)，所以直线l 的普通方程为y ＝3x ＋2． ……………………………3分又因为圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝a sin θ(a ＞0，θ为参数)，所以圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝a 2． ……………………………6分 因为圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝1， ……………………………8分 所以1＋a ＝3，解得a ＝2． ……………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲解：方法一：|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，当且仅当x (x －1)≤0，即0≤x ≤1时取等号． ……………………………4分 |y －1|＋|y ＋1|≥|y －1－y －1|＝2，当且仅当(y －1)(y ＋1)≤0，即－1≤y ≤1时取等号． ……………………………8分 所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3， 当且仅当0≤x ≤1，－1≤y ≤1时取等号，所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3． …………………………10分 方法二：因为f (x )＝|x －1|＋|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，1，0≤x ＜1，1－2x ，x ＜0，所以f (x )min ＝1． …………………………4分因为g (y )＝|y －1|＋|y ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2y ，y ≥1，2，－1≤y ＜1，－2y ，y ＜－1，所以g (y )min ＝2． …………………………8分 综上，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3． …………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）解：（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．P (X ＝0)＝(1－12)×(1－13)×(1－14)＝14，P (X ＝1)＝12×(1－13)×(1－14)＋(1－12)×13×(1－14)＋(1－12)×(1－13)×14＝1124，P (X ＝2)＝(1－12)×13×14＋12×(1－13)×14＋12×13×(1－14)＝14，P (X ＝3)＝12×13×14＝124． 所以，随机变量X 的分布列为X 的数学期望E (X )＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312． …………………………5分 （2）设Y 表示乙击中目标的个数，由（1）亦可知，P (Y ＝0)＝14，P (Y ＝1)＝1124，P (Y ＝2)＝14．则P (X ＝0，Y ＝2)＝14×14＝116，P (X ＝1，Y ＝1)＝1124×1124＝121576， P (X ＝2，Y ＝0)＝14×14＝116， …………………………8分所以P (X ＋Y ＝2)＝P (X ＝0，Y ＝2)＋P (X ＝1，Y ＝1)＋P (X ＝2，Y ＝0)＝193576．所以，甲乙两人共击中目标数为2个的概率为193576． …………………………10分23．（本小题满分10分）解：（1）当n ＝7时，M ＝{1，2，…，7 }，数列T 的个数为C 27×A 22＝42． ………………………………2分（2）当k ＝1时，则a 1＞a 2，a 2＜a 3＜…＜a n ，此时a 2为1，a 1共有n －1种选法，余下的n －2个数，按从小到大依次排列，共有1种，因此k ＝1时，符合条件的数列T 共有n －1＝C 1n －1个． ……………………………3分当2≤k ≤n －2时，则a 1＜a 2＜…＜a k ，a k ＞a k ＋1，a k ＋1＜a k ＋2＜…＜a n ，从集合M 中任取k 个数，按从小到大的顺序排列， 再将余下的n －k 个数，按从小到大的顺序排列，即得满足条件a 1＜a 2＜…＜a k ，a k ＋1＜a k ＋2＜…＜a n 的数列的个数为C k n C n －k n －k ，这里包含了a k ＜a k ＋1即a 1＜a 2＜…＜a k ＜a k ＋1＜a k ＋2＜…＜a n 的情形，因此符合条件的数列T 的个数为C k n C n －k n －k －1＝C k n －1． ………………………………7分当k ＝n －1时，则a 1＜a 2＜…＜a n －1，a n －1＞a n此时a n －1为n ，a n 共有n －1种选法，余下的n －2个数，按从小到大依次排列，共有1种，因此k＝n－1时，符合条件的数列T共有n－1＝C n－1n－1个．…………………………8分于是所有符合条件的数列T的个数为：C1n－1＋C2n－1＋…＋C n－1n－1＝C1n＋C2n＋…＋C n－1n－n＋1＝2n－C0n－C n n－n＋1＝2n－n－1．………………………………10分。

2018年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷(解析版)

2018年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷(解析版)

2018年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．（5分）若复数z满足（1+i）z＝2（i是虚数单位），则z的虚部为．2．（5分）设集合A＝{2，4}，B＝{a2，2}（其中a＜0），若A＝B，则实数a＝．3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣2，4）到抛物线y2＝﹣8x的准线的距离为．4．（5分）一次考试后，从高三（1）班抽取5人进行成绩统计，其茎叶图如图所示，则这五人成绩的方差为．5．（5分）如图是一个算法流程图，若输入值x∈[0，2]，则输出值S的取值范围是．6．（5分）欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是．7．（5分）已知函数f（x）＝sin（πx+φ）（0＜φ＜2π）在x＝2时取得最大值，则φ＝．8．（5分）已知公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则＝．9．（5分）在棱长为2的正四面体P﹣ABC中，M，N分别为P A，BC的中点，点D是线段PN上一点，且PD＝2DN，则三棱锥P﹣MBD的体积为．10．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且a cos B﹣b cos A＝c，则＝．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x+1）2+y2＝2，点A（2，0），若圆C 上存在点M，满足MA2+MO2≤10，则点M的纵坐标的取值范围是．12．（5分）如图，扇形AOB的圆心角为90°，半径为1，点P是圆弧上的动点，作点P 关于弦AB的对称点Q，则的取值范围为．13．（5分）已知函数，若存在实数a＜b＜c，满足f（a）＝f （b）＝f（c），则af（a）+bf（b）+cf（c）的最大值是．14．（5分）已知a，b为正实数，且（a﹣b）2＝4（ab）3，则的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ADB＝90°，CB＝CD，点E为棱PB的中点．（1）若PB＝PD，求证：PC⊥BD；（2）求证：CE∥平面P AD．16．（15分）在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，且．（1）求∠B的大小；（2）设向量＝（sin2A，3cos A），＝（3，﹣2cos A），求的取值范围．17．（15分）如图（1）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（2）所示的数学模型．索塔AB，CD与桥面AC均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m，桥面AC上一点P到索塔AB，CD距离之比为21：4，且P对两塔顶的视角为135°．（1）求两索塔之间桥面AC的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数a），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数b）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．18．（15分）如图，椭圆的离心率为，焦点到相应准线的距离为1，点A，B，C分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C的直线l交椭圆于点D，交x轴于点M（x1，0），直线AC与直线BD交于点N（x2，y2）．（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求直线l的方程；（3）求证：x1•x2为定值．19．（15分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+1，a，b∈R．（1）若a2+b＝0，①当a＞0时，求函数f（x）的极值（用a表示）；②若f（x）有三个相异零点，问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）函数f（x）图象上点A处的切线l1与f（x）的图象相交于另一点B，在点B处的切线为l2，直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k2＝4k1，求a，b满足的关系式．20．（15分）已知等差数列{a n}的首项为1，公差为d，数列{b n}的前n项和为S n，且对任意的n∈N*，6S n＝9b n﹣a n﹣2恒成立．（1）如果数列{S n}是等差数列，证明数列{b n}也是等差数列；（2）如果数列为等比数列，求d的值；（3）如果d＝3，数列{c n}的首项为1，c n＝b n﹣b n﹣1（n≥2），证明数列{a n}中存在无穷多项可表示为数列{c n}中的两项之和．（附加题）【选做题】在21，22，23，24四小题中只能选做两题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图所示，AB为⊙O的直径，AE平分∠BAC交⊙O于E点，过E作⊙O的切线交AC 于点D，求证：AC⊥DE．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵的一个特征值为3，求M﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数）．以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为，已知圆心C到直线l的距离等于，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知实数a，b，c满足a+2b+c＝1，a2+b2+c2＝1，求证：．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为，乙、丙做对该题的概率分别为m，n（m＞n），且三位学生能否做对相互独立，设X为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：（1）求m，n的值；（2）求X的数学期望．26．已知函数．（1）当n＝2时，若，求实数A的值；（2）若f（2）＝m+α（m∈N*，0＜α＜1），求证：α（m+α）＝1．2018年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．（5分）若复数z满足（1+i）z＝2（i是虚数单位），则z的虚部为﹣1．【解答】解：由（1+i）z＝2，得：．所以，z的虚部为﹣1．故答案为﹣1．2．（5分）设集合A＝{2，4}，B＝{a2，2}（其中a＜0），若A＝B，则实数a＝﹣2．【解答】解：∵A＝{2，4}，B＝{a2，2}，且A＝B；∴a2＝4；又a＜0；∴a＝﹣2．故答案为：﹣2．3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣2，4）到抛物线y2＝﹣8x的准线的距离为4．【解答】解：抛物线y2＝﹣8x的准线方程为：x＝2，点P（﹣2，4）到抛物线y2＝﹣8x的准线的距离为：2+2＝4．故答案为：4．4．（5分）一次考试后，从高三（1）班抽取5人进行成绩统计，其茎叶图如图所示，则这五人成绩的方差为20.8．【解答】解：根据茎叶图中的数据知，这五人成绩的平均数为＝×（78+82+84+84+92）＝84，方差为s2＝×[（78﹣84）2+（82﹣84）2+（84﹣84）2+（84﹣84）2+（92﹣84）2]＝20.8．故答案为：20.8．5．（5分）如图是一个算法流程图，若输入值x∈[0，2]，则输出值S的取值范围是[0，1]．【解答】解：当x∈[0，1）时，S＝1，当x∈[1，2]时，S＝2x﹣x2∈[0，1]，综上可得：若输入值x∈[0，2]，则输出值S的取值范围是[0，1]，故答案为：[0，1]6．（5分）欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是．【解答】解：正方形的面积S＝1×1＝1，铜钱的半径为2，则铜钱的面积S＝π×22＝4π，则油恰好落入孔中的概率P＝，故答案为：7．（5分）已知函数f（x）＝sin（πx+φ）（0＜φ＜2π）在x＝2时取得最大值，则φ＝．【解答】解：函数f（x）＝sin（πx+φ）的周期为T＝＝2，x＝2时f（x）＝sin（2π+φ）＝sinφ取得最大值，由0＜φ＜2π，得φ＝．故答案为：．8．（5分）已知公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则＝2．【解答】解：∵，∴10a1+d＝4×（5a1+d），化为：2a1＝d≠0．则＝2．故答案为：2．9．（5分）在棱长为2的正四面体P﹣ABC中，M，N分别为P A，BC的中点，点D是线段PN上一点，且PD＝2DN，则三棱锥P﹣MBD的体积为．【解答】解：如图：∵P﹣ABC为正四面体，且棱长为2，∴C在底面P AB的射影为底面三角形P AB的外心O，也是重心，则BM＝，BO＝，∴，又N为BC的中点，PD＝2DN，D到面P AB的距离为，而，∴．故答案为：．10．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且a cos B﹣b cos A＝c，则＝4．【解答】解：由a cos B﹣b cos A＝c及正弦定理可得sin A cos B﹣sin B cos A＝sin C，即sin A cos B﹣sin B cos A＝sin（A+B），即5（sin A cos B﹣sin B cos A）＝3（sin A cos B+sin B cos A），即sin A cos B＝4sin B cos A，因此tan A＝4tan B，所以＝4．故答案为：4．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x+1）2+y2＝2，点A（2，0），若圆C上存在点M，满足MA2+MO2≤10，则点M的纵坐标的取值范围是．【解答】解：如图，设M（x，y），由MA2+MO2≤10，得（x﹣2）2+y2+x2+y2≤10，∴（x﹣1）2+y2≤4，联立，解得或．∴点M的纵坐标的取值范围是[]．故答案为：[]．12．（5分）如图，扇形AOB的圆心角为90°，半径为1，点P是圆弧上的动点，作点P 关于弦AB的对称点Q，则的取值范围为[﹣1，1]．【解答】解：根据题意，以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴建立坐标系，如图：设∠POA＝θ，则P的坐标为（cosθ，sinθ），0°≤θ≤90°，A（1，0），B（0，1），直线AB的方程为x+y＝1，设Q（m，n），由（cosθ+m）+（sinθ+n）＝1，＝1，解得m＝1﹣sinθ，n＝1﹣cosθ，即Q（1﹣sinθ，1﹣cosθ），＝cosθ（1﹣sinθ）+sinθ（1﹣cosθ）＝sinθ+cosθ﹣2sinθcosθ，令t＝sinθ+cosθ＝sin（θ+45°），由θ+45°∈[45°，135°]，sin（θ+45°）∈[，1]，t＝sin（θ+45°）∈[1，]，又2sinθcosθ＝t2﹣1，＝﹣t2+t+1＝﹣（t﹣）2+在t∈[1，]递减，可得t＝1，取得最大值1，t＝时，取得最小值﹣1，则的范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．13．（5分）已知函数，若存在实数a＜b＜c，满足f（a）＝f （b）＝f（c），则af（a）+bf（b）+cf（c）的最大值是2e2﹣12．【解答】解：作出f（x）的函数图象如图所示：∵存在实数a＜b＜c，满足f（a）＝f（b）＝f（c），∴a+b＝﹣6，∴af（a）+bf（b）+cf（c）＝（a+b+c）f（c）＝（c﹣6）lnc，由函数图象可知：＜c＜e2，设g（c）＝（c﹣6）lnc，则g′（c）＝lnc+1﹣，显然g′（c）在（，e2]上单调递增，∵g′（e）＝2﹣＜0，g′（e2）＝3﹣＞0，∴g′（c）在（，e2]上存在唯一一个零点，不妨设为c0，在g（c）在（，c0）上单调递减，在（c0，e2]上单调递增，又g（）＝（﹣6）＜0，g（e2）＝2（e2﹣6）＞0，∴g（c）的最大值为g（e2）＝2e2﹣12．故答案为：2e2﹣12．14．（5分）已知a，b为正实数，且（a﹣b）2＝4（ab）3，则的最小值为．【解答】解：已知a，b为正实数，且（a﹣b）2＝4（ab）3，则：（a+b）2＝4（ab）3+4ab，所以：＝＝＝≥＝2．故答案为：2．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ADB＝90°，CB＝CD，点E为棱PB的中点．（1）若PB＝PD，求证：PC⊥BD；（2）求证：CE∥平面P AD．【解答】证明：（1）取BD的中点O，连结CO，PO，因为CD＝CB，所以△CBD为等腰三角形，所以BD⊥CO．因为PB＝PD，所以△PBD为等腰三角形，所以BD⊥PO．又PO∩CO＝O，所以BD⊥平面PCO．因为PC⊂平面PCO，所以PC⊥BD．解：（2）由E为PB中点，连EO，则EO∥PD，又EO⊄平面P AD，所以EO∥平面P AD．由∠ADB＝90°，以及BD⊥CO，所以CO∥AD，又CO⊄平面P AD，所以CO∥平面P AD．又CO∩EO＝O，所以平面CEO∥平面P AD，而CE⊂平面CEO，所以CE∥平面P AD．16．（15分）在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，且．（1）求∠B的大小；（2）设向量＝（sin2A，3cos A），＝（3，﹣2cos A），求的取值范围．【解答】解：（1）由题意，△ABC中，有，则有，变形可得，所以．因为sin B≠0，所以cos B≠0，所以．又0＜B＜π，所以．（2）由向量＝（sin2A，3cos A），＝（3，﹣2cos A），则有•＝．由（1）知，所以，所以．所以．所以．所以．即取值范围是．17．（15分）如图（1）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（2）所示的数学模型．索塔AB，CD与桥面AC均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m，桥面AC上一点P到索塔AB，CD距离之比为21：4，且P对两塔顶的视角为135°．（1）求两索塔之间桥面AC的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数a），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数b）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．【解答】解：（1）设AP＝21t，CP＝4t，（t＞0），记∠APB＝α，∠CPD＝β，则，由tan（α+β）＝tan45°＝＝＝1，化简得7t2﹣125t﹣300＝0，解得t＝20或t＝﹣（舍去），所以AC＝AP+PC＝25×20＝500．答：两索塔之间的距离AC＝500米．（2）设AP＝x，点P处的承重强度之和为L（x）．则L（x）＝60[+]，x∈（0，500），即L（x）＝60ab[+]，x∈（0，500），记t（x）＝+，t′（x）＝﹣+，令t′（x）＝0，解得x＝250，当x∈（0，250），t′（x）＜0，t（x）单调递减；当x∈（250，500），t′（x）＞0，t（x）单调递增，所以x＝250时，t（x）取到最小值，L（x）也取到最小值．答：两索塔对桥面AC中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为．18．（15分）如图，椭圆的离心率为，焦点到相应准线的距离为1，点A，B，C分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C的直线l交椭圆于点D，交x轴于点M（x1，0），直线AC与直线BD交于点N（x2，y2）．（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求直线l的方程；（3）求证：x1•x2为定值．【解答】（1）解：由椭圆的离心率为，焦点到对应准线的距离为1．可得：＝，﹣c＝1，a2＝b2+c2，解得a＝，c＝1＝b．∴椭圆的标准方程为：+y2＝1．（2）解：由（1）知C（0，1），设D（x0，y0），∵，得2y0＝﹣1，∴y0＝﹣，代入椭圆方程得：+＝1，解得x0＝．∴D，∴l的方程为：y＝±x+1．（3）证明：设D坐标为（x3，y3），由C（0，1），M（x1，0）可得直线CM的方程：y＝﹣x+1，联立椭圆方程得：，解得x3＝，y3＝．由B（，0），得直线BD的方程：y＝（x﹣），①直线AC方程为：y＝x+1，②联立①②得：x2＝，从而x1x2＝2为定值．19．（15分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+1，a，b∈R．（1）若a2+b＝0，①当a＞0时，求函数f（x）的极值（用a表示）；②若f（x）有三个相异零点，问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）函数f（x）图象上点A处的切线l1与f（x）的图象相交于另一点B，在点B处的切线为l2，直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k2＝4k1，求a，b满足的关系式．【解答】解：（1）①∵函数f（x）＝x3+ax2+bx+1，a，b∈R．∴f′（x）＝3x2+2ax﹣a2，∵a2+b＝0，∴f′（x）＝3x2+2ax﹣a2，令f′（x）＝0，解得x＝，或x＝﹣a．由a＞0知，x∈（﹣∞，﹣a），f′（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（﹣a，），f′（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）的极大值为f（﹣a）＝1+a3，f（x）的极小值为f（）＝1﹣．②当a＝0时，b＝0，此时f（x）＝x3+1不存在三个相异零点；当a＜0时，与①同理可得f（x）的极小值为f（﹣a）＝1+a3，f（x）的极大值为f（）＝1﹣．要使f（x）有三个不同零点，则必须有（1+a3）（1﹣）＜0，即a3＜﹣1或a3＜．不妨设f（x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝0，f（x1）＝，①，②，③②﹣①得（x2﹣x1）（）+a（x2﹣x1）（x2+x1）﹣a2（x2﹣x1）＝0，∵x2﹣x1＞0，∴+＝0，④同理＝0，⑤⑤﹣④得x2（x3﹣x1）+（x3﹣x1）（x3+x1）+a（x3﹣x1）＝0，∵x3﹣x1＞0，∴x2+x3+x1+a＝0，又x1+x3＝2x2，∴．∴f（﹣）＝0，即，即＜﹣1，∴存在这样实数a＝﹣满足条件．（2）设A（m，f（m）），B（n，f（n）），则，，又＝＝m2+mn+n2+a（m+n）+b，由此可得3m2+2am+b＝m2+mn+n2+a（m+n）+b，化简得n＝﹣a﹣2m，∴k2＝3（﹣a﹣2m）2+2a（﹣a﹣2m）+b＝12m2+8am+a2+b，∴12m2+8am+b+a2＝4（3m2+2am+b），∴a2＝3b．20．（15分）已知等差数列{a n}的首项为1，公差为d，数列{b n}的前n项和为S n，且对任意的n∈N*，6S n＝9b n﹣a n﹣2恒成立．（1）如果数列{S n}是等差数列，证明数列{b n}也是等差数列；（2）如果数列为等比数列，求d的值；（3）如果d＝3，数列{c n}的首项为1，c n＝b n﹣b n﹣1（n≥2），证明数列{a n}中存在无穷多项可表示为数列{c n}中的两项之和．【解答】解：（1）设数列{S n}的公差为d′，由6S n＝9b n﹣a n﹣2，……①6S n﹣1＝9b n﹣1﹣a n﹣1﹣2，（n≥2）……②①﹣②得6（S n﹣S n﹣1）＝9（b n﹣b n﹣1）﹣（a n﹣a n﹣1）……③∵等差数列{a n}的首项为1，公差为d，∴6d′＝9（b n﹣b n﹣1）﹣d．所以：b n﹣b n﹣1＝为常数，所以{b n}为等差数列．（2）由③得6b n＝9（b n﹣b n﹣1）﹣d，即3b n＝9b n﹣1+d，所以：＝3+是与n无关的常数，所以﹣1或为常数．①当﹣1＝0时，d＝3，符合题意；②当为为常数时，在6S n＝9b n﹣a n﹣2中令n＝1，则6a1＝9b1﹣a1﹣2又a1＝1，解得b1＝1．所以＝此时3+＝1，解得d＝﹣6；综上，d＝3或d＝﹣6．（3）当d＝3时，a n＝3n﹣2，由（2）得数列为等比数列是以为首项，公比为3的等比数列，所以即当n≥2时，c n＝b n﹣b n﹣1＝3n﹣1当n＝1时，也满足上式，所以c n＝3n﹣1．设a n＝c i﹣c j，则3n﹣2＝3i﹣1+3j﹣1，即3n＝3i﹣1+3j﹣1＝2如果i≥2，因为3n为3的倍数，3i﹣1+3j﹣1为3的倍数，所以2也为3的倍数，矛盾．所以i＝1，则3n＝3+3j﹣1，即n＝1+3j﹣2．（j＝2，3，4……）故得数列{a n}中存在无穷多项可表示为数列{c n}中的两项之和．（附加题）【选做题】在21，22，23，24四小题中只能选做两题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图所示，AB为⊙O的直径，AE平分∠BAC交⊙O于E点，过E作⊙O的切线交AC 于点D，求证：AC⊥DE．【解答】证明：连接OE，因为ED是⊙O切线，所以OE⊥ED．因为OA＝OE，所以∠OAE＝∠OEA．又因为AB为⊙O的直径，AE平分∠BAC交⊙O于E点，所以∠OAE＝∠EAD，所以∠EAD＝∠OEA，所以OE∥AC，故AC⊥DE．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵的一个特征值为3，求M﹣1．【解答】解：由题意可知：|λE﹣M|＝0，即＝0，得（λ﹣2）（λ﹣x）﹣4＝0的一个解为3，代入得x＝﹣1，∴M＝，则|M|＝﹣6，∴M﹣1＝．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数）．以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为，已知圆心C到直线l的距离等于，求a的值．【解答】解：圆C的参数方程为为参数）．圆C消去参数t，得到圆的普通方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝4，由，得ρcosθ+ρsinθ﹣a＝0，所以直线l的直角坐标方程为x+y﹣a＝0．依题意，圆心C到直线l的距离等于，即＝，解得a＝﹣1或a＝3．[选修4-5：不等式选讲]24．已知实数a，b，c满足a+2b+c＝1，a2+b2+c2＝1，求证：．【解答】证明：因为a+2b+c＝1，a2+b2+c2＝1，所以a+2b＝1﹣c，a2+b2＝1﹣c2．由柯西不等式：（12+22）（a2+b2）≥（a+2b）2，5（1﹣c2）≥（1﹣c）2，整理得，3c2﹣c﹣2≤0，解得﹣≤c≤1．所以﹣≤c≤1．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为，乙、丙做对该题的概率分别为m，n（m＞n），且三位学生能否做对相互独立，设X为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：（1）求m，n的值；（2）求X的数学期望．【解答】解：（1）由题意，得，又m＞n，解得m＝，n＝．（2）由题意，a＝++＝，b＝1﹣﹣＝，∴E（X）＝0×+1×+2×+3×＝．26．已知函数．（1）当n＝2时，若，求实数A的值；（2）若f（2）＝m+α（m∈N*，0＜α＜1），求证：α（m+α）＝1．【解答】解（1）当n＝2时，f（x）＝（x+5）5＝x5+x4+x3（）2+x2（）3+x（）4+（）5，所以f（2）+f（﹣2）＝（2+）5+（﹣2+）5＝2[（）124+（）322+（）520]＝2（5×16+10×4×5+25）＝610，所以A＝610．（2）因为f（x）＝（x+）2n+1＝x2n+1+x2n+x2n﹣1（）2+…+（）2n+1，所以f（2）＝22n+1+22n+22n﹣1（）2+…+（）2n+1，，由题意f（2）＝（+2）2n+1＝m+α（m∈N*，0＜α＜1），首先证明对于固定的n∈N*，满足条件的m，α是唯一的．假设f（2）＝（2+）2n+1＝m1+α1＝m2+α2（m1，m2∈N*，0＜α1，α2＜1，m1≠m2，α1≠α2），则m1﹣m2＝α2﹣α1≠0，而m1﹣m2∈Z，α2﹣α1∈（﹣1，0）∪（0，1），矛盾．所以满足条件的m，α是唯一的．下面我们求m及α的值：因为f（2）﹣f（﹣2）＝（2+）2n+1﹣（﹣2+）2n+1＝（2+）2n+1+（2﹣）2n+1＝2[22n+1+22n﹣1（）2+22n﹣3（）4+…+21（）2n]，，显然f（2）﹣f（﹣2）∈N*．又因为﹣2∈（0，1），故（﹣2）2n+1∈（0，1），即f（﹣2）＝（﹣2+）2n+1＝（﹣2）2n+1∈（0，1）．所以令m＝2[22n+1+22n﹣1（）2+22n﹣3（）4+…+21（）2n]，α＝（﹣2+）2n+1，则m＝f（2）﹣f（﹣2），α＝f（﹣2），又m+α＝f（2），所以α（m+α）＝f（﹣2）•f（2）＝（2+）2n+12n+1＝（5﹣4）2n+1＝1．。

江苏南京市盐城市2018届高三数学第一次模拟考试卷

江苏南京市盐城市2018届高三数学第一次模拟考试卷

江苏南京市盐城市2018届高三数学第一次模拟考试卷(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面积,h 为高.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合{}|(4)0A x x x =-<，{}0,1,5B =，则A B =I ▲．2．设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +⋅为纯虚数，则a 的值为▲．3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为▲．4．执行如图所示的伪代码，若0x =，则输出的y 的值为▲．5．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为▲．6．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为▲．7．设函数1x x y e a e=+-的值域为A ，若[0,)A ⊆+∞，则实数a 的取值范围是▲．8．已知锐角,αβ满足()()tan 1tan 12αβ--=，则αβ+的值为▲．9．若函数sin y x ω=在区间[0,2]π上单调递增，则实数ω的取值范围是▲．10．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若{}n a 的前2017项中的奇数项和为2018，则2017S 的值为▲．11．设函数()f x 是偶函数，当x ≥0时，()f x =(3),03,31,>3x x x x x-≤≤⎧⎪⎨-+⎪⎩，若函数()y f x m =-有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是▲．12．在平面直角坐标系xOy 中，若直线(33)y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =，则实数k 的最小值为▲．13．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处，且,A B 的位置所图所示，则CD AB ⋅的最大值为▲．14．若不等式2sin sin sin 19sin sin k B A C B C +>对任意ABC ∆都成立，则实数k 的最小值为▲．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，点,M N 分别是11,AB A B 的中点.（1）求证：BN ∥平面1A MC ；（2）若11A M AB ⊥，求证：11AB A C ⊥.16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知52c b =.（1）若2C B =，求cos B 的值；（2）若AB AC CA CB ⋅=⋅ ，求cos()4B π+的值17．(本小题满分14分)有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF 是以O 为圆心、120EOF ∠=︒的扇形，且弧»EF,¼GH 分别与边BC ,AD 相切于点M ,N ．（1）当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？AB第13题ABCA 1B 1C 1MN第15题图ADCB EG FOM N H第17题-图甲NE FGH第17题-图乙M N18.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下顶点为B ，点,M N 是椭圆上异于点B 的动点，直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ，且点Q 是线段OP 的中点．当点N 运动到点3(3,)2处时，点Q 的坐标为23(,0)3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点,M N 均在y 轴右侧，且2DN NM =时，求直线BM 的方程．19．(本小题满分16分)设数列{}n a 满足221121()n n n a a a a a λ+-=+-，其中2n ，且n N ∈，λ为常数.（1）若{}n a 是等差数列，且公差0d ≠，求λ的值；（2）若1231,2,4a a a ===，且存在[3,7]r ∈，使得n m a n r ⋅- m 对任意的*n N ∈都成立，求m m的最小值；（3）若0λ≠，且数列{}n a 不是常数列，如果存在正整数T ，使得n T n a a +=对任意的*n N ∈均成立.求所有满足条件的数列{}n a 中T 的最小值20．(本小题满分16分)设函数()ln f x x =，()bg x ax c x=+-（,,a b c R ∈）.（1）当0c =时，若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，求,a b 的值；（2）当3b a =-时，若对任意0(1,)x ∈+∞和任意(0,3)a ∈，总存在不相等的正实数12,x x ，使得120()()()g x g x f x ==，求c 的最小值；（3）当1a =时，设函数()y f x =与()y g x =的图象交于11(,),A x y 2212(,)()B x y x x <两点．求证：122121x x x b x x x -<<-.xy O BN MPQ D第18题图数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线DE 与⊙O 相切于点E ，AD 垂直DE 于点D .若4DE =，求切点E 到直径AB 的距离EF ．B .（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵 2 00 1⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，求圆221x y +=在矩阵M 的变换下所得的曲线方程C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=(0r >)相切，求r 的值.D ．(选修4-5：不等式选讲）已知实数,x y 满足2231x y +=，求当x y +取最大值时x 的值.[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）22．（本小题满分10分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，点M 为PC 中点，4,2,4AC BD OP ===.（1）求直线AP 与BM 所成角的余弦值；（2）求平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值．ABE DF O ·第21(A)图MABCDOP 第22题图23．（本小题满分10分）已知n N *∈，()0112112r r n n n n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．（1）求()1,f ()2,f ()3f 的值；（2）试猜想()f n 的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．。

江苏省南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学试题

江苏省南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学试题

江苏省南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级写在答题纸上，试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．参考公式：一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分，不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．函数f (x ) ＝lg (2 －x )的定义域为 ▲ ．2．已知复数z 满足12z i＝1，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为 ▲ ． 3．执行如图所示的算法流程图，则输出口的值为▲ ．4．某学生5次数学考试成绩的茎叶图如图所示，则这组数据的方差为 ▲ ．5.3名教师被随机派往甲、乙两地支教，每名教师只能被派往其中一个地方，则恰有2名教师被派往甲地的概率为__▲ ．6．已知等差数列的前，l 项和为品．若S 15 ＝30，a 7＝1，则S 9的值为▲ ． 7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若b sin A sin B 十a cos 2B － 2c ，则a c的值为 ▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：2221y x b -=(b ＞0)的两条渐近线与圆O ：x 2＋y 2＝2 的四个交点依次为A ，B ，C ，D ．若矩形ABCD 的面积为b ，则b 的值为 ▲ ． 9．在边长为4的正方形ABCD 内剪去四个全等的等腰三角形（如图1中阴影部分），折叠成底面边长为2的正四棱锥S －EFGH （如图2），则正四棱锥S －EFGH 的体积为 ▲ ．10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2＋x ．若f (a )＋f (－a )＜4 ，则实数a 的取值范围为 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝1m x +（m ＞0）在x ＝l 处的切线为l ，则点（2，－1）到直线，的距离的最大值为▲ ．12．如图，在△ABC 中，边BC 的四等分点依次为D ，E ，F ．若2AB AC =，5AD AF =，则AE 长为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：(x ＋4)2＋(y －a )2＝16上两个动点，且 AB＝211．若直线l：y＝2x上存在唯一的一个点P，使得，则实数a的值为▲．14．已知函数f(x)，t∈R．若函数g(x)＝f(f(x))－1）恰有4个不同的零点，则t的取值范围为▲．二、解答题（本大题共6小题，计90分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（本小题满分14分）已知函数的部分图象如图所示，直线x＝，x＝是其相邻的两条对称轴．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若求cos a的值．16．（本小题满分14分）如图，矩形ABCD所在平面与三角形ABE所在平面互相垂直，AE－AB，M，N，H分别为DE，AB，BE的中点．(1)求证：MN∥平面BEC；(2)求证：AH⊥CE．调查某地居民每年到商场购物次数m与商场面积S、到商场距离d的关系，得到关系式m ＝k×（k为常数）．如图，某投资者计划在与商场A相距10km的新区新建商场B，且商场B的面积与商场A的面积之比为λ（0＜λ＜1）．记“每年居民到商场A购物的次数”、“每年居民到商场B购物的次数”分别为m1、m2，称满足m l＜m2的区域叫做商场B相对于A的“更强吸引区域”．(1)已知P与A相距15km，且∠PAB＝60°．当λ＝时，居住在P点处的居民是否在商场B相对于A的“更强吸引区域”内？，请说明理由；(2)若要使与商场B相距2km以内的区域（含边界）均为商场B相对于A的“更强吸引区域”，求λ的取值范围．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：（a＞b＞0)的离心率为，上顶点A到右焦点的距离为2．过点D(0，m)（m≠0）作不垂直于x轴，y轴的直线，交椭圆E于P，Q两点，C为线段PQ的中点，且AC⊥O C．(1)求椭圆E的方程；(2)求实数m的取值范围；(3)延长AC交椭圆E于点B，记△AOB与△AOC的面积分别为S1，S2，若，求直线l的方程．已知函数f(x)＝x（e x－2），g(x)＝x－ln x＋k，k∈R，其中e为自然对数的底数．记函数F(x)＝f(x)＋g(x)．(1)求函数y＝f(x)＋2x的极小值；(2)若F(x)＞0的解集为(0，＋∞)，求k的取值范围；(3)记F(x)的极值点为m，求证：函数G(x)＝|F(x)|＋ln x在区间(0，m)上单调递增．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）20．（本小题满分16分）对于数列{}n a，定义b n(k）＝a n＋a n＋k，其中n，k∈N*．(1)若b n(2)－b n(1)＝1，n∈N*，求b n(4)－b n(l)的值；(2)若a l＝2，且对任意的n，k∈N*，都有b n＋1(k)＝2bn(k)．(i)求数列｛a n｝的通项公式；(ii)设k为给定的正整数，记集合A＝｛b n(k)|n∈N*｝，B＝｛5b n(k＋2)|n∈N*｝，求证：．南京市、盐城市2018届高三第二次模拟考试数学附加题注意事项：1．附加题供选考物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级写在答题卡上，试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分，请在答题纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4－1：几何证明选讲如图，AB是圆D的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交圆D于点D，DE⊥AC且交AC的延长线于点E，求证：DE是圆D的切线．B．选修4－2：矩阵与变换已知a＝为矩阵A＝属于实数λ的一个特征向量，求λ和A2．C．选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线，的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为(a＞0，θ为参数)，点P是圆C上的任意一点，若点P到直线，距离的最大值为3，求a的值，D．选修4－5：不等式选讲对任意x，y∈R，求|x－l|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1\的最小值，【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）甲，乙两人站在P点处分别向A，B，C三个目标进行射击，每人向兰个目标各射击一次，每人每次射击每个目标均相互独立，且两人各自击中A，B，C的概率分别都为(1)设X表示甲击中目标的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)求甲乙两人共击中目标数为2个的概率．23．（本小题满分10分）已知n∈N*，且n≥4，数列T：a1，a2，…，a n中的每一项均在集合M＝｛l，2，…，n｝中，且任意两项不相等．(1)若n＝7，且a2＜a3＜a4＜a5＜a6，求数列T的个数；(2)若数列T中存在唯一的a k(k∈N*，且k＜n)，满足a k＞a k＋1，求所有符合条件的数列T 的个数．。

江苏南京、盐城市2018届高三数学一模试题有答案

江苏南京、盐城市2018届高三数学一模试题有答案

江苏南京、盐城市2018届高三数学一模试题（有答案）南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：柱体体积公式：，其中为底面积,为高.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合，，则▲．2．设复数为虚数单位），若为纯虚数，则的值为▲．3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在(单位：分钟)内的学生人数为▲．4．执行如图所示的伪代码，若，则输出的的值为▲．5．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为▲．6．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数的值为▲．7．设函数的值域为，若，则实数的取值范围是▲．8．已知锐角满足，则的值为▲．9．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是▲．10．设为等差数列的前项和，若的前2017项中的奇数项和为2018，则的值为▲．11．设函数是偶函数，当x≥0时，=，若函数有四个不同的零点，则实数m的取值范围是▲．12．在平面直角坐标系中，若直线上存在一点，圆上存在一点，满足，则实数的最小值为▲．13．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若四点均位于图中的“晶格点”处，且的位置所图所示，则的最大值为▲．14．若不等式对任意都成立，则实数的最小值为▲．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)如图所示，在直三棱柱中，，点分别是的中点.（1）求证：∥平面；（2）若，求证：.16．(本小题满分14分)在中，角的对边分别为已知.（1）若，求的值；（2）若，求的值．17．(本小题满分14分)有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形（如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中是以为圆心、的扇形，且弧,分别与边,相切于点,．（1）当长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？18.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系中，椭圆的下顶点为，点是椭圆上异于点的动点，直线分别与轴交于点，且点是线段的中点．当点运动到点处时，点的坐标为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线交轴于点，当点均在轴右侧，且时，求直线的方程．19．(本小题满分16分)设数列满足，其中，且，为常数.（1）若是等差数列，且公差，求的值；（2）若，且存在，使得对任意的都成立，求的最小值；（3）若，且数列不是常数列，如果存在正整数，使得对任意的均成立.求所有满足条件的数列中的最小值.20．(本小题满分16分)设函数，（）.（1）当时，若函数与的图象在处有相同的切线，求的值；（2）当时，若对任意和任意，总存在不相等的正实数，使得，求的最小值；（3）当时，设函数与的图象交于两点．求证：.南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）A.（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知为⊙的直径，直线与⊙相切于点，垂直于点.若，求切点到直径的距离．B.（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵，求圆在矩阵的变换下所得的曲线方程. C．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线与曲线()相切，求的值.D．(选修4-5：不等式选讲）已知实数满足，求当取最大值时的值.[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）22．（本小题满分10分）如图，四棱锥的底面是菱形，与交于点，底面，点为中点，.（1）求直线与所成角的余弦值；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．23．（本小题满分10分）已知，．（1）求的值；（2）试猜想的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1．2．13．12004．15．6．67．8．9．10．403411．12．13．2414．100二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．证明：（1）因为是直三棱柱，所以，且，又点分别是的中点，所以，且．所以四边形是平行四边形，从而．……………4分又平面，平面，所以∥面．……………6分（2）因为是直三棱柱，所以底面，而侧面，所以侧面底面．又，且是的中点，所以．则由侧面底面，侧面底面，，且底面，得侧面．……………8分又侧面，所以．……………10分又，平面，且，所以平面．……………12分又平面，所以．……………14分16．解：（1）因为，则由正弦定理，得． (2)分又，所以，即．……………4分又是的内角，所以，故．……………6分（2）因为，所以，则由余弦定理，得，得．……………10分从而，……………12分又，所以．从而．……………14分17．解：（1）在图甲中，连接交于点．设，在中，因为，所以，则．从而，即.……………2分故所得柱体的底面积.……………4分又所得柱体的高，所以.答：当长为1分米时，折卷成的包装盒的容积为立方分米.…………………6分（2）设，则，所以所得柱体的底面积.又所得柱体的高，所以，其中.…………………10分令，则由，解得.…………………12分列表如下：＋0－增极大值减所以当时，取得最大值.答：当的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大.…………………14分18．解：（1）由，得直线的方程为． (2)分令，得点的坐标为．所以椭圆的方程为．…………………4分将点的坐标代入，得，解得．所以椭圆的标准方程为．…………………8分（2）方法一：设直线的斜率为，则直线的方程为．在中，令，得，而点是线段的中点，所以．所以直线的斜率．………………10分联立，消去，得，解得．用代，得．………………12分又，所以，得．………………14分故，又，解得．所以直线的方程为．………………16分方法二：设点的坐标分别为．由，得直线的方程为，令，得．同理，得．而点是线段的中点，所以，故．…………………10分又，所以，得，从而，解得．…………………12分将代入到椭圆C的方程中，得．又，所以，即，解得（舍）或．又，所以点的坐标为．……………14分故直线的方程为．…………………16分19．解：（1）由题意，可得，化简得，又，所以.………………4分（2）将代入条件，可得，解得，所以，所以数列是首项为1，公比的等比数列，所以.……6分欲存在，使得，即对任意都成立，则，所以对任意都成立.………………8分令，则，所以当时，；当时，；当时，．所以的最大值为，所以的最小值为.………………10分（3）因为数列不是常数列，所以．①若，则恒成立，从而，，所以，所以，又，所以，可得是常数列．矛盾．所以不合题意.………………12分②若，取（*），满足恒成立．………………14分由，得．则条件式变为．由，知；由，知；由，知．所以，数列（*）适合题意．所以的最小值为.………………16分20．解：（1）由，得，又，所以，.当时，，所以，所以.………………2分因为函数与的图象在处有相同的切线，所以，即，解得.………………4分（2）当时，则，又，设，则题意可转化为方程在上有相异两实根． (6)分即关于的方程在上有相异两实根．所以，得，所以对恒成立．………………8分因为，所以（当且仅当时取等号），又，所以的取值范围是，所以．故的最小值为.………………10分（3）当时，因为函数与的图象交于两点，所以，两式相减，得.………………12分要证明，即证，即证，即证.………………14分令，则，此时即证．令，所以，所以当时，函数单调递增．又，所以，即成立；再令，所以，所以当时，函数单调递减，又，所以，即也成立．综上所述，实数满足.………………16分附加题答案21．（A）解：如图，连接，，因为直线与⊙相切于点，所以，又因为垂直于，所以，所以，①在⊙中，所以，②………………5分由①②得，即，又，，所以，所以，又，所以，即到直径的距离为4.………………10分（B）解：设是圆上任意一点，则，设点在矩阵对应的变换下所得的点为，则，即，解得，………………5分代入，得，即为所求的曲线方程.………………10分（C）解：以极点O为原点，极轴为轴建立平面直角坐标系，由，得，得直线的直角坐标方程为．………………5分曲线，即圆，所以圆心到直线的距离为．因为直线与曲线（）相切，所以，即.……………10分（D）解：由柯西不等式，得，即．而，所以，所以，………………5分由，得，所以当且仅当时，．所以当取最大值时的值为.………………10分22．解：（1）因为是菱形，所以．又底面，以为原点，直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系．则,,,,．所以，，，，．则．故直线与所成角的余弦值为.………5分（2），．设平面的一个法向量为，则，得，令，得，．得平面的一个法向量为．又平面的一个法向量为，所以，，．则.故平面与平面所成锐二面角的余弦值为 (10)分23．解：（1）由条件，①，在①中令，得．………………1分在①中令，得，得．………………2分在①中令，得，得．………………3分（2）猜想=（或=）．………………5分欲证猜想成立，只要证等式成立．方法一：当时，等式显然成立，当时，因为，故．故只需证明．即证．而，故即证②．由等式可得，左边的系数为．而右边，所以的系数为．由恒成立可得②成立.综上，成立.………………10分方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有个小球，其中n个是编号为1，2，…，n的白球，其余n－1个是编号为1，2，…，n－1的黑球，现从袋中任意摸出n个小球，一方面，由分步计数原理其中含有个黑球（个白球）的n个小球的组合的个数为，，由分类计数原理有从袋中任意摸出n个小球的组合的总数为．另一方面，从袋中个小球中任意摸出n个小球的组合的个数为．故，即②成立.余下同方法一.………………10分方法三：由二项式定理，得③．两边求导，得④．③×④，得⑤．左边的系数为．右边的系数为．由⑤恒成立，可得．故成立.………………10分。

2018届江苏高考数学模拟试卷(1)(含答案)

2018届江苏高考数学模拟试卷(1)(含答案)

2018届江苏高考数学模拟试卷（1）数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.已知集合{02},{11}A x x B x x =<<=-<<，则A B U = ▲ ．2. 设复数1a +=-i z i（i 是虚数单位，a ∈R ）．若z 的虚部为3，则a 的值为 ▲ ．3．一组数据5，4，6，5，3，7的方差等于 ▲ ．4.右图是一个算法的伪代码，输出结果是 ▲ ．5.某校有B A ,两个学生食堂，若甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则此三人不在同一食堂用餐的概率为 ▲ ．6. 长方体1111ABCD A B C D -中，111,2,3AB AA AC ===，则它的体积等于 ▲ ．7．若双曲线2213x y a -=的焦距等于4，则它的两准线之间的距离等于 ▲ ．8. 若函数()22xx af x =+是偶函数，则实数a 等于 ▲ ．9. 已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)．若f (π3)＝0，f (π2)＝2，则实数ω的最小值为 ▲ ．10. 如图，在梯形ABCD 中，S ←0 a ←1 For I From 1 to 3a ←2×a S ←S ＋a End For Print S （第4题）,2,234,//CD AD AB CD AB ====，，如果 ⋅-=⋅则,3= ▲ .11.椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆上恰好有6个不同的点P ,使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 ▲ .12．若数列12{}(21)(21)n n n +--的前k 项的和不小于20172018，则k 的最小值为 ▲ ．13. 已知24παπ<<，24πβπ<<，且22sin sin sin()cos cos αβαβαβ=+，则tan()αβ+的最大值为 ▲ ．14. 设,0a b >，关于x 的不等式3232x xx xa N Mb ⋅-<<⋅+在区间（0，1）上恒成立，其中M , N 是与x 无关的实数，且M N >，M N -的最小值为1. 则ab的最小值为___▲___.二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤．15.如图，在ABC ∆中，已知7,45AC B =∠=o，D 是边AB 上的一点，3,120AD ADC =∠=o . 求：（1）CD 的长； （2）ABC ∆的面积.16.如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是AB ，SC 的中点. （1）求证：EF ∥平面SAD ； （2）若SA=AD ，平面SAD ⊥平面SCD ，求证：EF ⊥AB .A D CB17.如图，有一椭圆形花坛，O 是其中心，AB 是椭圆的长轴，C 是短轴的一个端点. 现欲铺设灌溉管道，拟在AB 上选两点E ，F ，使OE =OF ，沿CE 、CF 、F A 铺设管道，设θ=∠CFO ，若OA =20m ，OC =10m ， （1）求管道长度u 关于角θ的函数；（2）求管道长度u 的最大值.18.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:C x y r +=和直线:l x a =（其中r 和a 均为常数，且0r a <<），M 为l 上一动点，1A ，2A 为圆C 与x 轴的两个交点，直线1MA ，2MA 与圆C 的另一个交点分别为,P Q .（1）若2r =，M 点的坐标为(4,2)，求直线PQ 方程； （2）求证：直线PQ 过定点，并求定点的坐标.19.设R k ∈，函数2()ln 1f x x x kx =+--，求： （1）1=k 时，不等式()1f x >-的解集； （2）函数()x f 的单调递增区间；（3）函数()x f 在定义域内的零点个数.20.设数列{}n a ，{}n b 分别是各项为实数的无穷等差数列和无穷等比数列. （1）已知06,12321=+-=b b b b ，求数列{}n b 的前n 项的和n S ；（2）已知数列{}n a 的公差为d (0)d ≠，且11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋅⋅⋅+=-+，求数列{}n a ，{}n b 的通项公式（用含n ，d 的式子表达）； （3）求所有满足：11n n n na b b a ++=+对一切的*N n ∈成立的数列{}n a ，{}n b .数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分） 如图，在△ABC 中，90BAC ∠=，延长BA 到D ，使得AD =12AB ，E ，F 分别为BC ，AC 的中点，求证：DF =BE ．B ．选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）已知曲线1C ：221x y +=，对它先作矩阵1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换，再作矩阵010m B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换（其中0≠m ），得到曲线2C ：2214x y +=，求实数m 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）已知圆C 的参数方程为12cos 32sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩，， （θ为参数），直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩， ， （t 为参数，0 ααπ<<π≠2，且），若圆C 被直线l 13，求α的值．D ．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）对任给的实数a 0a ≠()和b ，不等式()12a b a b a x x ++-⋅-+-≥恒成立，求实数x 的取值范围.【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A A 1=AB =AC =1，AB ⊥AC ，M ，N 分别是棱CC 1，BC 的 中点，点P 在直线A 1B 1上．（1）求直线PN 与平面ABC 所成的角最大时，线段1A P 的长度；（2）是否存在这样的点P ，使平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为6π. 如果存在，试确定点P 的位置；如果不存在，请说明理由.（第21—A 题）BECFDA123．（本小题满分10分）设函数()sin cos n n f θθθ=+，其中n 为常数，n ∈*N ，（1）当(0,)2πθ∈时， ()f θ是否存在极值？如果存在，是极大值还是极小值？（2）若sin cos a θθ+=，其中常数a 为区间[2,2]内的有理数． 求证：对任意的正整数n ，()f θ为有理数．2018高考数学模拟试卷（1）数学Ⅰ答案一、填空题答案：1. {12}x x -<<2. 5 3．53 4． 14 5． 43 6.4 7． 1 8. 1 9． 3 10．2311. 111(,)(,1)322⋃.解：422111232c a c e e c a>-⎧⇒<<≠⎨≠⎩且，故离心率范围为111(,)(,1)322⋃.12． 10解：因为对任意的正整数n ，都有1212)12)(12(211--=--++n n n n n 1-1， 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧--+)12)(12(21n n n的前k 项和为 1)1)(2(221)1)(2(221)1)(2(221322211--++--+--+k kk12112112112112112113221---++---+---=+k k 12111--=+k 使2018201712111≥--+k ，即2018121≥-+k ，解得10≥k ，因此k 的最小值为10.13. -4解：因为24ππ<<βα,，所以βαβαsin sin cos cos ,,,均不为0.由βαβαβαcos cos )sin(sin sin 22+=，得βαβαβαβαsin cos cos sin tan tan sin sin +=，于是αββαtan 1tan 1tan tan +=，即βαβαβαtan tan tan tan tan tan +=， 也就是βαβα22tan tan tan tan =+，其中βαtan tan ,均大于1. 由βαβαβαtan tan 2tan tan tan tan22⋅≥+=⋅，所以34tan tan ≥βα.令()341tan tan 1-,--∞∈=βαt ， βαβαβαβαβαtan tan 1tan tan tan tan 1tan tan )tan(22-=-+=+21-+=tt 4-≤，当且仅当1-=t 时取等号.14．4+解：32()32xxx x a f x b ⋅-=⋅+，则23()6l n2()0(32)xx x a b f x b +'=>⋅+恒成立，所以()f x 在（0，1）上单调递增， 132(0),(1)132a a f f b b --==++，∴()f x 在（0, 1)上的值域为132(,)132a ab b --++，M x f N <<)( 在（0,1）上恒成立，故min 321()1321(32)(1)a a a b M N b b b b --+-=-==++++，所以2342a b b =++，所以2344a b b b=++≥.所以min ()4a b=+二、解答题答案15.解：（1）在ACD ∆中，由余弦定理得2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠，2227323cos120CD CD =+-⨯⋅o ，解得5CD =.（2）在BCD ∆中，由正弦定理得sin sin BD CD BCD B =∠，5sin 75sin 45BD =o o，解得BD = 所以BDC BD CD ADC CD AD S S S BCD ACD ABC ∠⋅+∠⋅=+=∆∆∆sin 21sin 21 1155335sin12056022+=⨯⨯+⨯o o 75553+=16. 解（1）取SD 的中点G ，连AG ，FG .在SCD ∆中，因为F ，G 分别是SC ，SD 的中点， 所以FG ∥CD ，12FG CD =. 因为四边形ABCD 是平行四边形，E 是AB 的中点， 所以1122AE AB CD ==，AE ∥CD . 所以FG ∥AE ，FG=AE ，所以四边形AEFG 是平行四边形，所以EF ∥AG .因为AG ⊂平面SAD ，EF ⊄平面SAD ，所以EF ∥平面SAD . （2）由（1）及SA=AD 得，AG SD ⊥.因为平面SAD ⊥平面SCD ，平面SAD ⋂平面SCD =SD ，AG ⊂平面SAD , 所以AG ⊥平面SCD ，又因为SCD CD 面⊂，所以AG ⊥CD . 因为EF ∥AG ，所以EF ⊥CD ， 又因为CD AB //，所以EF ⊥AB .17. 解：（1）因为θsin 01=CF ，θtan 10=OF ，θtan 10-20=AF ， 所以θθθθsin cos 102020tan 1002sin 02-+=-+=++=AF CF CE u ， 其中，552cos 0<<θ. ADCBS FG（2）由 θθsin cos 102020-+=u ，得θθ2'sin cos 0201-=u ，令21cos 0'==θ，u ， 当 21cos 0<<θ时，0'>u ，函数）（θu 为增函数；当552c o s 21<<θ时，0'<u ，函数）（θu 为减函数. 所以，当21cos =θ，即3πθ=时，310203sin21102020max +=⨯-+=πu （m ）所以，管道长度u 的最大值为）（31020+m.18. 解：（1）当2r =，(4,2)M 时，则1(2,0)A -，2(2,0)A ，直线1MA 的方程：320x y -+=，解224320x y x y ⎧+=⎨-+=⎩得86(,)55P .直线2MA 的方程：20x y --=，解22420x y x y ⎧+=⎨--=⎩得(0,2)Q -.所以PQ 方程为220x y --=.（2）由题设得1(,0)A r -，2(,0)A r ，设(,)M a t ，直线1MA 的方程是()ty x r a r =++，与圆C 的交点11(,)P x y ， 直线2MA 的方程是()ty x r a r=--，与圆C 的交点22(,)Q x y ，则点11(,)P x y ，22(,)Q x y 在曲线[()()][()()]0a r y t x r a r y t x r +-+---=上， 化简得2222222()2()()0a r y ty ax r t x r ---+-=， ①又11(,)P x y ，22(,)Q x y 在圆C 上，圆C ：2220x y r +-=， ②①－2t ×②得22222222222()2()()()0a r y ty ax r t x r t x y r ---+--+-=，化简得2222()2()0a r y t ax r t y ----=.所以直线PQ 方程为2222()2()0a r y t ax r t y ----=.令0y =得2r x a =，所以直线PQ 过定点2(,0)r a.19.解（1）k =1时，不等式()1f x >-即2ln 0x x x +->，设2()l n g x x x x =+-，因为2121()210x x g x x x x-+'=+-=>在定义域(0,)+∞上恒成立，所以g (x )在(0,)+∞上单调递增，又(1)0g =，所以()1f x >-的解集为(1,)+∞.（2）2121()2(0)x kx f x x k x x x-+'=+-=>，由()0f x '≥得2210x kx -+≥……（*）. （ⅰ）当280k ∆=-≤，即2222k -≤≤（*）在R 上恒成立，所以()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. （ⅱ）当22k >时，280k ∆=->，此时方程2210x k x -+=的相异实根分别为2128k k x x +-==，因为12120,2102k x x x x ⎧+=>⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩，所以120x x <<，所以()0f x '≥的解集为2288)k k k k --+-+∞U ， 故函数f (x )的单调递增区间为2288(0,[)44k k k k --+-+∞和. （ⅲ）当22k <-时，同理可得：,0,21,020212121<<∴⎩⎨⎧<=+>=x x kx x x x ()f x 的单调递增区间为(0,)+∞.综上所述，当k >时，函数()f x 的单调递增区间为2288(0,[,)44k k k k -+-+∞和；当k ≤时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. （3）据（2）知①当k ≤时，函数()f x 在定义域(0,)+∞上单调递增，令210,0x kx x ⎧-->⎨>⎩得x >，取max{m =，则当x >m 时，2()10f x x kx >-->.设01x <<，21max{1,}x kx k λ--<--=，所以()ln f x x λ<+，当0x e λ-<<时，()0f x <，取mi n {1,}n e λ-=，则当(0,)x n ∈时，()0f x <，又函数()f x 在定义域(0,)+∞上连续不间断，所以函数()f x 在定义域内有且仅有一个零点.②当22>k 时，()f x 在12(0,)(,)x x +∞和上递增，在12(,)x x 上递减， 其中012,0122211=+-=+-kx x kx x则2221111111()ln 1ln (21)1f x x x kx x x x =+--=+-+-211ln 2x x =--.下面先证明ln (0)x x x <>：设x x x h -=ln )(），由1()xh x x-'=>0得01x <<，所以h (x )在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，01)1()(max <-==h x h ，所以()0h x <)0(>x ，即 ln (0)x x x <>.因此，047)21(2)(212111<---=--<x x x x f ，又因为)(x f 在12(,)x x 上递减，所以21()()0f x f x <<，所以()f x 在区间2(0,)x 不存在零点.由①知，当x m >时，()0f x >，()f x 的图象连续不间断，所以()f x 在区间2(,)x +∞上有且仅有一个零点. 综上所述，函数()f x 在定义域内有且仅有一个零点.20.解（1）设{}n b 的公比为q ，则有063=+-q q ，即2(2)(23)0q q q +-+=，所以2q =-，从而1(2)3nn S --=.（2）由11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋅⋅⋅+=-+得112211(2)22nn n a b a b a b n --++⋅⋅⋅+=-+，两式两边分别相减得2(2)n n n a b n n =⋅≥.由条件112a b =，所以*2(N )n n n a b n n =⋅∈，因此111(1)2(2)n n n a b n n ---=-⋅≥，两式两边分别相除得12(2)1n n a n q n a n -⋅=≥-，其中q 是数列{}n b 的公比.所以122(1)(3)2n n a n q n a n ---⋅=≥-，上面两式两边分别相除得2221(2)(3)(1)n n n a a n n n a n ---=≥-.所以312234a a a =，即1121(2)3()4a d a a d +=+，解得113a d a d ==-或，若d a 31-=，则04=a ，有024444==⋅b a 矛盾，所以1a d =满足条件，所以2,nn n a dn b d==.（3）设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，当q =1时，112n n b b b ++=，所以112n na b a +=，所以数列{}n a 是等比数列，又数列{}n a 是等差数列，从而数列{}n a 是各项不为0的常数列，因此112b =，经验证，110,2n n a a b =≠=满足条件.当1q ≠时，由11n n n n a b b a ++=+得1111(1)n dn a b q q dn a d-+=++-……（*） ①当d>0时，则1d a n d ->时，10n n a a +>>，所以111dn a dn a d +>+-此时令112dn a dn a d +<+-得12d a n d->，因为112d a d a d d -->所以，当12d a n d->时，1112dn a dn a d +<<+-. 由（*）知，10,0b q >>. （ⅰ）当q >1时，令11(1)2n b q q-+>得121log (1)qn b q >++，取11122max{,1log }(1)q d a M d b q -=++，则当1n M >时，（*）不成立. （ⅱ）当0<q <1时，令11(1)1n b q q -+<得111log (1)qn b q >++，取12121max{,1log }(1)q d a M d b q -=++，则当2n M >时，（*）不成立. 因此，没有满足条件的数列{}n a ，{}n b .②同理可证：当d <0时，也没有满足条件的数列{}n a ，{}n b .综上所述，所有满足条件的数列{}n a ，{}n b 的通项公式为110,2n n a a b =≠=（*N n ∈）.数学Ⅱ（附加题）答案21．【选做题】答案A ．选修4—1：几何证明选讲 解：取AB 中点G ，连结GF ，12AD AB =，AD AG ∴=，又90BAC ∠=, 即AC 为DG 的垂直平分线, ∴ DF = FG ………………① ，又E 、F 分别为BC 、AC 中点, 1//2EF AB BG EF BG ==∴ 四边形BEFG 为平行四边形, ∴ FG = BE …………② 由①②得BE =DF .B ．选修4—2：矩阵与变换 解:010********m m BA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，设P ()00,x y 是曲线1C 上的任一点，它在矩阵BA 变换作用下变成点(),P x y '''，则000020210x my x m y x y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则002x my y x '=⎧⎨'=⎩，即0012x y y x m'=⎧⎪⎨'=⎪⎩， 又点P 在曲线1C 上，则22214x y m''+=，'p 在曲线2C 上，则14''22=+x y ， 故21m =，所以，1m =±.C ．选修4—4：坐标系与参数方程 解：圆的直角坐标方程为()(22134x y -+=，直线的直角坐标方程为()1y k x =-()tan k α=，因为圆C 被直线l，=k =tan α= 又0πα≤<,∴α=π3或2π3.D ．选修4—5：不等式选讲 解：由题知，aba b a x x ++-≤-+-21恒成立，故|1||2|x x -+-不大于aba b a ++-的最小值 ，∵||||2|||≥|a b a b a b a b a -++++-=，当且仅当()()0≥a b a b +-时取等号, ∴aba b a ++-的最小值等于2.∴x 的范围即为不等式|x －1|＋|x －2|≤2的解，解不等式得1522≤≤x .【必做题】答案22. 解：如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则A 1（0，0，1），B 1（1，0，1）， M （0，1，12），N （12，12，0）设10),1,0,(<<=λλp .则)0,0,(1λ=P A ，)1,0,(11λ=+=P A AA AP ；PN )1,21,21(--=λ， （1）∵()0,0,1=m 是平面ABC 的一个法向量．=><=∴|,cos |sin m θ45)21(1141)21(|100|22+-=++--+λλ∴当12λ=时，θ取得最大值，此时25sin θ，tan 2θ=即：当12λ=时， θ取得最大值，此时tan 2θ=． 故P A 1的长度为21.（2）=)21,21,21(-，由（1）)1,21,21(--=λ， 设(),,x y z =n 是平面PMN 的一个法向量．A 1C 1B 1MBAPx yz则111022211()022x y z x y z λ⎧-++=⎪⎨⎪-+-=⎩得123223y x z x λλ+⎧=⎪⎨-⎪=⎩令x =3，得y =1+2λ，z=2-2λ, ∴()3,12,22λλ=+-n ， ∴()()22223|cos ,|91222λλλ-<>==+++-m n 4210130λλ++=（*）∵△＝100－4⨯4⨯13＝－108＜0，∴方程（*）无解∴不存在点P 使得平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为30º． 23. 解：（1）当(0,)2πθ∈时，设22()sin cos (sin cos )0n n f n θθθθθ--'=->，等价于0cos sin 22>---θθn n .（ⅰ）n =1时，令，＞0)('f θ得110sin cos θθ->，解得04πθ<<，所以()f θ在(0,)4π上单调递增，在(,)42ππ上单调递减，所以()f θ存在极大值，无极小值.（ⅱ）n =2时，()f θ=1，()f θ既无极大值，也无极小值. （ⅲ）3n ≥时，令，＞0)('f θ得sin cos θθ>，所以42ππθ<<，所以()f θ在(0,)4π上单调递减，在(,)42ππ上单调递增，所以()f θ存在极小值，无极大值.（3）由22sin cos sin cos 1a θθθθ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得：21sin cos 2a θθ-= ， 所以sin θ，cos θ是方程22102a x ax --+=的两根， 22a a x ±-，∴()((2222222nnnnna a a aa a f θ+-+---=+=⎝⎭⎝⎭，当k n 2=为偶数时，()()()()()()()()]222222[(2]222222[(2222222244222224244222222kn n n n n kn nn nnnna a C a C a a C a C a a-++-+-+=-++-+-+=--+-+----当12+=k n 为奇数时，()()()()()()()()]2222222[(22222222(222222122442222214244222222kn n n n n n n knn nn nn n nnna C a C a C a C a C a C a a -++-+-+=-++-+-+=--+-+------∵a为[内的有理数，m n C，2n为正整数，∴()fθ为有理数．。

2018年江苏高考数学全真模拟试卷(1)(含解析)

2018年江苏高考数学全真模拟试卷(1)(含解析)

2018年江苏高考数学全真模拟试卷（1）试题Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．已知集合，，则 ▲ ．{}1A ={}1,9B =A B = 2．如果复数（为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，那么 ▲ ．2i 12ib -+i b =3．对一批产品的长度（单位：mm ）进行抽样检测，样本容量为400，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据产品标准可知：单件产品的长度在区间［25，30）内的为一等品，在区间［20，25）和［30，35）内的为二等品，其余均为三等品．那么样本中三等品的件数为 ▲ ．4．执行下面两段伪代码．若Ⅰ与Ⅱ的输出结果相同，则Ⅱ输入的的值为 ▲ ．x 5．若将一枚质地均匀的骰子（各面上分别标有1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷两次，向上的点数依次为，，则方程无实数根的概率是 ▲ ．m n 220x mx n ++=6．如图1，在△中，平分∠，则．将这个结论类比到空间：ABC CE ACB AEC BEC S AC S BC∆∆=如图2，在三棱锥中，平面平分二面角且与交于点，A BCD -DEC A CD B --AB E 则类比的结论为 ▲ ．7．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ▲ ．8．已知集合，．若，则实数的取{} ()0A x x x a =-<{}27180B x x x =--<A B ⊆a 值范围是 ▲ ．9．已知函数若对任意的实数，总存在实数，使得，24()2.x x a f x x x x a +<⎧=⎨-≥⎩，，，b 0x 0()f x b =则实数的取值范围是 ▲ ．a 10．若函数满足，且当时，，则函数()f x (1)(1)f x f x +=-[]1 1x ∈-，2()f x x =的零点个数为 ▲ ．4()() log F x f x x =-11．若，则 ▲ ．πtan 2tan 5α=3πcos()10πsin()5αα-=-12．如图，在△中，为的中点，为的中点，直线与边交于点ABC D BC E AD BE AC ．若，则 ▲ ．F 6AD BC ==AB CF ⋅=13．如图，点在半圆的直径的延长线上，，过动点作半圆的切线C AB 2AB BC ==P ．若，则△面积的最大值为 ▲ ．PQ PC =PAC 14．已知等差数列的公差不为0，等比数列的公比是小于1的正有理数．若{}n a d {}n b q ，，且是正整数，则的值是 ▲ ．1a d =21b d =222123123a a a b b b ++++q 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在△中，角的对边分别为，且．ABC A B C ，，a b c ，，sin 6sin a C c B =（1）求的值；a b（2）若，求及△的面积．1b c ==，cos C ABC 16．（本小题满分14分）如图，在四棱柱中，平面⊥平面，且1111ABCD A B C D -11A ABB ABCD∠．π2ABC （1）求证：∥平面；BC 11AB C （2）求证：平面⊥平面．11A ABB 11AB C 17．（本小题满分14分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度），容器的中间为圆柱形，左、右两端均为半球形．按照设计要求，容器的体积为m 3，且≥．假设该容器的建造费用仅与80π3l 2r 其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米的建造费用为3000元，半球形部分每平方米的建造费用为（＞3000）元．设该容器的建造费用为元．c c y （1）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；y r（2）求该容器的建造费用最小时的值．r 18．（本小题满分16分）已知椭圆的右焦点为，过椭圆的中心的弦的长为2222 1(0)x y C a b a b+=>>：F C PQ 2，且∠，△的面积为1．90PFQ = PQF （1）求椭圆的方程；C （2）设分别为椭圆的左、右顶点，为直线12A A ，C S x =交椭圆于点，直线交椭圆于点，若分别为△，△1A S C M 2A S C N 12S S ，12A SA 的面积，求的最大值．MSN 12S S19．（本小题满分16分）已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，且，{}n a n n S 1564a a =．5348S S -=（1）求数列的通项公式；{}n a （2）若存在正整数，使得成等差数列，求的值；(5)m l m l <<，5 5m l a a a ，，m l ，（3）设，，对于给定的，求经适当排序后能构 k m l *∈N ，，k m l <<k 5 k m l a a a ，，成等差数列的充要条件．20．（本小题满分16分）已知函数，且曲线上任意一点处的切线的斜率不小于211()log 22a f x x x =+-()f x 2．（1）求的最大值；a （2）当取最大值时，若有两个极值点，且，a ()()2()g x f x kx k =-∈R 12x x ，12x x <求证：．2()()4g x g k +<-试题Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．［选修4-1：几何证明选讲］（本小题满分10分）如图，已知是△的外角∠的平分线，交的延长线于点，延AD ABC EAC BC D 长交△的外接圆于点，连接，．DA ABC F FB FC （1）求证：；FB FC =（2）求证：．2FB FA FD =⋅B ．［选修4-2：矩阵与变换］（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知（0，0），（2，0），（2，2），（0，2），先A B C D 将正方形绕原点逆时针旋转90°，再将所得图形上所有点的纵坐标压缩为ABCD 原来的一半、横坐标不变，求连续两次变换所对应的矩阵．MC ．［选修4-4：坐标系与参数方程］（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数，xOy C cos 2sin 2x r y r θθ=+⎧⎨=+⎩，θ）．以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标0r >O x l．πsin(104θ++=（1）求圆的圆心的极坐标；C （2）当圆与直线有公共点时，求的取值范围．C l rD ．［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）设为互不相等的正实数，求证：．a b ，3334()()a b a b +>+【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在底面为正方形的四棱锥中，侧棱⊥底面，P ABCD -PD ABCD ，是线段的中点．PD DC =E PC （1）求异面直线与所成角的大小；AP BE（2）若点在线段上，且二面角，求F PB F DE B --的值．PF PB23．（本小题满分10分）已知数列的前项和为，通项公式为，{}n a n n S 1n a n =且．2211()2n n n S n f n S S n -=⎧=⎨-≥⎩，，，（1）计算的值；(1)(2)(3)f f f ，，（2）比较与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论．()f n2018年江苏高考数学全真模拟试卷（1）试题Ⅰ参考答案一、填空题1． 2． 3． 4． 5． 6．{}1,923-1000736A CDE ACD B CDE BDCV S V S -∆-∆=7． 8． 9． 10． 11．3[]2,9-[]5,4-4312． 13 14．18-12二、解答题15．解：（1）因为，sin 6sin a C c B =所以，……………………………………………………46ac bc =分所以，即． ……………………………………………………6分6a b =6a b =（2）因为，，6a b =1b =所以，6a =故，………………………………………………102223612611cos 226112a b c C ab +-+-===⨯⨯分所以sin C =因此 (14)1sin 2ABC S ab C ∆==分16．证明：（1）在四棱柱中，∥，1111ABCD A B C D -BC 11B C 又因为平面，平面，BC ⊄11AB C 11B C ⊂11AB C 所以∥平面． ……………………………………………………6分BC 11AB C （2）因为平面⊥平面，平面平面，平面11A ABB ABCD 11A ABB ABCD AB =BC ⊂，ABCD 又由∠知⊥，π2ABC =AB BC 所以⊥平面． ……………………………………………………10分BC 11A ABB 又因为∥，BC 11B C 故⊥平面． ……………………………………………………12分11B C 11A ABB 而平面，11B C ⊂11AB C 所以平面⊥平面． ……………………………………………………14分11A ABB 11AB C 17．解：（1）设该容器的体积为．V 由题意知，23480πππ33V r l r =+=故．32224π8044203()π333V r l r r r r r -==-=-由于，因此，2l r ≥02r <≤所以建造费用2224202π30004π2π()30004π3y rl r c r r r c r=⨯+=⨯-⨯+．…………………………………………………6分2160000π4π(2000)02c r r r=-+<≤，（2）由（1）得：．322160000π8π(2000)200008π(2000)(022000c y c r r r r r c -'=--=-<≤-，由于，因此．3000c >20000c ->当时，．32000002000r c -=-r =，则，m =0m >所以．2228π(2000)()()c y r m r rm m r -'=-++① 当，即时，易得是函数的极小值点，也是最小值点．02m <<4500c >r m =y ② 当，即时，由于，故，因此函数单调递2m ≥30004500c <≤(]0 2r ∈，0y '≤y 减，所以是函数的最小值点．2r =y 综上，当，且建造费用最小时，；当，且建造费用最小时，30004500c <≤2r =4500c >…………………………………………………14分r =18．解：（1）因为弦过椭圆的中心，且∠，PQ C 90PFQ =所以．112c OF PQ ===不妨设，0000(,)(,0)P x y x y >所以，000121012PFQ S OF y y x b ∆=⋅==⇒=⇒=所以椭圆的方程为． …………………………………………………6C 2212x y +=分（2）由（1）得：，，设，1(A 2A )S t可得直线的方程为：，1A S x y =跟椭圆的方程联立得：，C 2212x y +=221812(2)0y y t t+-=解得，12260,9t y y t ==+代入直线的方程得：，1A S 2269t x t ==-=+所以． …………………………………………………9分同理可得直线的方程为：2A S x y =跟椭圆的方程联立得：，C 2212x y +=2224(2)0y y t t++=解得，12220,1t y y t ==-+代入直线的方程得：2A S 222()1t x t =-==+所以． ………………………………………………12分221t N t -+因此121211221sin 21sin 2SA SA A SA S SA SA S SM SNSM SN MSN ⋅⋅∠⋅==⋅⋅⋅∠=，222222222(9)(33)2911433(3)33t t t t t t t ⎡⎤+++⎢⎥++⎣⎦=⋅≤⋅=+++当且仅当，即时取“”．………………………………………16分22933t t +=+t ==19．解：（1）因为数列是各项均为正数的等比数列，{}n a 所以设数列的公比为，且．{}n a q 0q >因为，且，215364a a a ==30a >所以．38a =又因为，5348S S -=所以，解得，2458848a a q q +=+=2q =所以．…………………………………………………3分2n n a =（2）因为成等差数列，5 5m l a a a ，，所以，即，510m l a a a =+510222m l ⋅=+所以，66522m l --=+故，中有且只有一个等于1．62m -62l -因为正整数，满足，m l 5m l <<所以，解得． …………………………………………………8662124m l --⎧=⎪⎨=⎪⎩68m n =⎧⎨=⎩分（3）设，，经适当排序后能构成等差数列．5k a m a l a ① 若，25k m l a a a ⋅=+则，10222k m l ⋅=+所以．11522m k l k ----=+因为正整数，，满足，k m l k m l <<所以，且，110l k m k -->--≥11l k --≥所以，．11221l k m k ---->≥122l k --≥即，解得． (1011212)4m k l k ----⎧=⎪⎨=⎪⎩13m k l k =+⎧⎨=+⎩分② 若，则，25m k l a a a =+22522m k l ⋅=⋅+所以（）．1225m k l k +---=*因为，，12m k +-≥2l k -≥所以与都为偶数，12m k +-2l k -而5是奇数，所以等式（）不成立，*从而等式不成立． (12)25m k l a a a =+分③ 若，则同②可知，该等式也不成立．25l k m a a a =+综上所述，，．1m k =+3l k =+故，，为，，，即，，．5k a m a l a 5k a 1k a +3k a +5k a 2k a 8k a 调整顺序后易知，，成等差数列．……………………………………………152k a 5k a 8k a 分因此，，，经适当排序后能构成等差数列的充要条件为．………16分5k a m a l a 13m k l k =+⎧⎨=+⎩20．解：（1）由题意知．1()ln f x x x a'=+当时，不能恒成立，则，01a <<()2f x '≥1a >此时，即，故．1()2ln f x x x a '=+≥≥ln 1a ≤1e a <≤因此的最大值为．…………………………………………………4a e 分（2）因为，211()()2ln 2(0)22g x f x kx x x kx x =-=+-->所以．1()2g x x k x'=+-① 当时，，1k ≤1()22220g x x k k k x '=+-≥-=-≥所以函数在（0，＋∞）上单调递增，故函数在（0，＋∞）上无极值．……6()g x ()g x 分③ 当时，．1k >2121()2x kx g x x k x x-+'=+-=由得，．()0g x '=2210x kx -+=24(1)0k ∆=->设方程的两根分别为，（），2210x kx -+=1x 2x 12x x <则，，其中122x x k +=121x x =1201x k x k <=<<=+所以在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，在（，＋∞）上单调()g x 1x 1x 2x 2x 递增，从而有两个极值点，． …………………………………………………9()g x 1x 2x 分222221()ln 222x g x x kx =+--2221221ln ()22x x x x x =+-+-22222211ln ()22x x x x x =+-+-，2223ln 22x x =--构造函数，则，23()ln (1)22x h x x x =-->1()0h x x x'=-<所以在（1，＋∞）上单调递减，且，故．…………………12()h x (1)2h =-2()2g x <-分又，231()ln (1)22k g k k k =-->构造函数，则，231()ln (1)22x x x x ϕ=-->1()30x x xϕ'=-<所以在（1，＋∞）上单调递减，且，故．…………………15()x ϕ(1)2ϕ=-()2g k <-分所以． (16)2()()4g x g k +<-分试题Ⅱ（附加题）参考答案21-A ．证明：（1）因为平分∠，AD EAC 所以∠＝∠．EAD DAC 因为四边形是圆的内接四边形，AFBC 所以∠＝∠．DAC FBC 因为∠＝∠＝∠，EAD FAB FCB 所以∠＝∠，FBC FCB 所以＝．…………………………………………………5FB FC 分（2）因为∠＝∠＝∠，∠＝∠，FAB FCB FBC AFB BFD 所以△∽△，FBA FDB 所以，即． (10)FB FA FD FB =2FB FA FD =⋅分21-B ．解：设将正方形绕原点逆时针旋转90°所对应的矩阵为，ABCD A则． ………………………………………………3分01cos90sin 9010sin 90cos90-⎡⎤-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A 设将所得图形上所有点的纵坐标压缩为原来的一半、横坐标不变对应的矩阵为，B 则． (6)10102⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦B 分所以连续两次变换所对应的矩阵． (1010010111100022)-⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦M BA =分21-C ．解：（1）由圆：得，C cos 2sin 2x r y r θθ=+⎧⎨=+⎩，222(2)(2)x y r -+-=所以圆的圆心的直角坐标为（2，2），C 故圆的圆心的极坐标为，．………………………………………………5C π)4分（2）将直线化为，l πsin(104θ++=10x y ++=从而圆心（2，2）到直线的距离为l d因为圆与直线有公共点，C l 所以，即，d r ≤r ≥故的取值范围是． (10)r ⎫+∞⎪⎪⎭分21-D ．证明：因为，，0a >0b >所以要证，3334()()a b a b +>+只要证，2234()()()a b a ab b a b +-+>+即要证，2224()()a ab b a b -+>+只需证．23()0a b ->而，故成立． (10)a b ≠23()0a b ->分22．解：（1）在四棱锥中，底面为正方形，侧棱⊥底面，P ABCD -ABCD PD ABCD 所以，，两两垂直，DA DC DP 故以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．{},,DA DC DP D xyz -因为，PD DC =所以．DA DC DP ==不妨设，2DA DC DP ===则（0，0，0），（2，0，0），（0，2，0），D A C （0，0，2），（2，2，0）．P B 因为是的中点，E PC 所以（0，1，1），E 故＝（－2，0，2），＝（－2，－1，1）AP BE 所以＝＝，cos,AP BE 〈〉 AP BE AP BE ⋅⋅从而＝．,AP BE 〈〉 π6因此异面直线与所成角的大小为．………………………………………………4AP BE π6分（2）由（1）可知＝（0，1，1），＝（2，2，0），＝（2，2，－2）．DE DB PB 设＝，则＝（2λ，2λ，－2λ），PF PB λ PF 从而＝＋＝（2λ，2λ，2－2λ）．DF DP PF 设＝（，，）为平面的一个法向量，m 1x 1y 1z DEF 则，即．00DF DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ m m 1211122(22)00x y z y z λλλ++-=⎧⎨+=⎩取＝λ，则＝－λ，＝2λ－1，1z 1y 1x 所以＝（2λ－1，－λ，λ）为平面的一个法向量．…………………………………6m DEF 分设＝（，，）为平面的一个法向量，n 2x 2y 2z DEB 则，即．00DB DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 22222200x y y z +=⎧⎨+=⎩取＝1，则＝－1，＝1，2x 2y 2z 所以＝（1，－1，1）为平面的一个法向量．………………………………………8n DEB 分因为二面角，F DE B --所以二面角F DE B --即，cos ,⋅〈〉===⋅m n m n m n 化简得．241λ=因为点在线段上，F PB 所以0≤λ≤1，故λ＝，即＝．……………………………………………………………………10分12PF PB 1223．解：（1），213(1)122f S ==+=，4111113(2)23412f S S =-=++=．………………………………………………………362111119(3)345620f S S =-=+++=分（2）由（1）知，．(1)1f >(2)1f >下面用数学归纳法证明：当时，．3n ≥()1f n <由（1）知当时，．……………………………………………………………53n =()1f n <分假设当时，，即，(3)n k k =≥()1f n <111()112f k k k k =++⋅⋅⋅+<+那么11111(1)1222122f k k k k k k +=++⋅⋅⋅+++++++1111111()1222122k k k k k k k=+++⋅⋅⋅+++-++++11111()(212222k k k k<+-+-++2(21)2(22)12(21)2(22)k k k k k k k k -+-+=++++，11112(21)(22)k k k k =--<++所以当时，也成立．………………………………………………………81n k =+()1f n <分因此，当时，．3n ≥()1f n <综上，当和时，；当时，．…………………………101n =2n =()1f n >3n ≥()1f n <分。

南京市盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学试卷及答案

南京市盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学试卷及答案

2018届南京、盐城高三年级第二次模拟考试数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：样本数据x1，x2，…，x n的方差s2＝1n∑ni＝1(x i－x)2，其中x＝1n∑ni＝1x i.锥体体积公式：V＝13Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 函数f(x)＝lg(2－x)的定义域为________．2. 已知复数z满足z1＋2i＝i，其中i为虚数单位，则复数z的模为________．3. 执行如图所示的算法流程图，则输出a的值为________．(第3题)4. 某学生5次数学考试成绩的茎叶图如图所示，则这组数据的方差为________．(第4题)5. 3名教师被随机派往甲、乙两地支教，每名教师只能被派往其中一个地方，则恰有2名教师被派往甲地的概率为________．6. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 15＝30，a 7＝1，则S 9的值为________．7. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若b sin A sin B ＋a cos 2B ＝2c ，则ac 的值为________．8. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2－y 2b2＝1(b>0)的两条渐近线与圆O ：x 2＋y 2＝2的四个交点依次为A ，B ，C ，D.若矩形ABCD 的面积为b ，则b 的值为________．9. 在边长为4的正方形ABCD 内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分)，折叠成底面边长为2的正四棱锥SEFGH(如图2)，则正四棱锥SEFGH 的体积为________．图1图210. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2＋x .若f (a )＋f (－a )<4，则实数a 的取值范围为________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝mx ＋1(m>0)在x ＝1处的切线为l ，则点(2，－1)到直线l 的距离的最大值为________．12. 如图，在△ABC 中，边BC 的四等分点依次为D ，E ，F.若AB →·AC →＝2，AD →·AF →＝5，则AE 长为________．13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：(x ＋4)2＋(y －a)2＝16上两个动点，且AB ＝211.若直线l ：y ＝2x 上存在唯一一个点P ，使得PA →＋PB →＝OC →，则实数a 的值为________．14. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋3x 2＋t ，x<0，x ， x ≥0(t ∈R)．若函数g (x )＝f (f (x )－1)恰有4个不同的零点，则t 的取值范围为________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，直线x ＝π12，x ＝7π12是其相邻的两条对称轴．(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 若f ⎝⎛⎭⎫α2＝－65，且2π3<α<7π6，求cos α的值．16. (本小题满分14分)如图，矩形ABCD 所在平面与三角形ABE 所在平面互相垂直，AE ＝AB ，M ，N ，H 分别为DE ，AB ，BE 的中点．(1) 求证：MN ∥平面BEC ； (2) 求证：AH ⊥CE.17. (本小题满分14分)调查某地居民每年到商场购物次数m 与商场面积S 、到商场距离d 的关系，得到关系式m ＝k ×Sd 2(k 为常数)．如图，某投资者计划在与商场A 相距10 km 的新区新建商场B ，且商场B 的面积与商场A 的面积之比为λ(0<λ<1)．记“每年居民到商场A 购物的次数”“每年居民到商场B 购物的次数”分别为m 1、m 2，称满足m 1<m 2的区域叫作商场B 相对于A 的“更强吸引区域”．(1) 已知P 与商场A 相距15 km ，且∠PAB ＝60°.当λ＝12时，居住在点P 处的居民是否在商场B 相对于A 的“更强吸引区域”内请说明理由；(2) 若要使与商场B 相距2 km 以内的区域(含边界)均为商场B 相对于A 的“更强吸引区域”，求实数λ的取值范围．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，上顶点A 到右焦点的距离为 2.过点D(0，m )(m≠0)作不垂直于x 轴，y 轴的直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，C 为线段PQ 的中点，且AC ⊥OC.(1) 求椭圆E 的方程；(2) 求实数m 的取值范围；(3) 延长AC 交椭圆E 于点B ，记△AOB 与△AOC 的面积分别为S 1，S 2，若S 1S 2＝83，求直线l 的方程．19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝x(e x －2)，g(x)＝x －ln x ＋k ，k ∈R ，其中e 为自然对数的底数．记函数F (x )＝f (x )＋g (x )．(1) 求函数y ＝f (x )＋2x 的极小值；(2) 若F (x )>0的解集为(0，＋∞)，求k 的取值范围；(3) 记F (x )的极值点为m ，求证：函数G (x )＝|F (x )|＋ln x 在区间(0，m )上单调递增．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)对于数列{a n}，定义b n(k)＝a n＋a n＋k，其中n，k∈N*.(1) 若b n(2) －b n(1) ＝1，n∈N*，求b n(4)－b n(1)的值；(2) 若a1＝2，且对任意的n，k∈N*，都有b n＋1(k)＝2b n(k)．(i) 求数列{a n}的通项公式；(ii) 设k为给定的正整数，记集合A＝{b n(k)|n∈N*}，B＝{5b n(k＋2)|n∈N*}，求证：A∩B ＝.2018届南京、盐城高三年级第二次模拟考试数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A . [选修41：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB 是圆O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线AD 交圆O 于点D ，DE ⊥AC 且交AC 的延长线于点E ，求证：DE 是圆O 的切线．B . [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)已知α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a －12属于实数λ的一个特征向量，求λ和A 2.C. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t ＋2(t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝a sin θ(a >0，θ为参数)，P 是圆C 上的任意一点．若点P 到直线l 距离的最大值为3，求a 的值．D. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)对任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)甲、乙两人站在点P处分别向A，B，C三个目标进行射击，每人向三个目标各射击一次，每人每次射击每个目标均相互独立，且两人各自击中A，B，C的概率分别都为12，13，14.(1) 设X表示甲击中目标的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2) 求甲、乙两人共击中目标数为2个的概率．23. (本小题满分10分)已知n∈N*，且n≥4，数列T：a1，a2，…，a n中的每一项均在集合M＝{1，2，…，n}中，且任意两项不相等．(1) 若n＝7，且a2<a3<a4<a5<a6，求数列T的个数；(2) 若数列T中存在唯一的a k(k∈N*，且k<n)，满足a k>a k＋1，求所有符合条件的数列T 的个数.2018届南京、盐城高三年级第二次模拟考试数学参考答案1. (－∞，2)2. 53. 34. 165. 38 6. －97. 2 8. 7 9. 43 10. (－1，1) 11.212.6 13. 2或－18 14. [－4，0)15. 解析：(1) 设f(x)的周期为T ，则T 2＝7π12－π12＝π2，所以T ＝π. 又T ＝2πω，所以ω＝2，所以f(x)＝2sin (2x ＋φ)．(3分)因为点⎝⎛⎭⎫π12，2在函数图象上，所以2sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1. 因为－π2<φ<π2，所以φ＝π3，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.(7分)(2) 由f ⎝⎛⎭⎫α2＝－65得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－35.因为2π3<α<7π6，所以π<α＋π3<3π2， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－45. (10分)所以cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π3－π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3cos π3＋sin (α＋π3)sin π3＝－45×12＋⎝⎛⎭⎫－35×32＝－33＋410.(14分)16. 解析：(1) 取CE 的中点F ，连接FB ，MF. 因为M 为DE 的中点，F 为EC 的中点， 所以MF ∥CD 且MF ＝12CD.(2分) 因为在矩形ABCD 中，N 为AB 的中点， 所以BN ∥CD 且BN ＝12CD ，所以MF ∥BN 且MF ＝BN ，所以四边形BNMF 为平行四边形， 所以MN ∥BF.(4分)又MN 平面BEC ，BF 平面BEC ， 所以MN ∥平面BEC.(6分)(2) 因为四边形ABCD 为矩形，所以BC ⊥AB ，因为平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD∩平面ABE ＝AB ，BC 平面ABCD ，且BC ⊥AB ， 所以BC ⊥平面ABE.(8分)因为AH 平面ABE ，所以BC ⊥AH.因为AB ＝AE ，H 为BE 的中点，所以BE ⊥AH.(10分) 因为BC∩BE ＝B ，BC 平面BEC ，BE 平面BEC ， 所以AH ⊥平面BEC.(12分)因为CE 平面BEC ，所以AH ⊥CE.(14分)17. 解析：设商场A ，B 的面积分别为S 1，S 2，点P 到A ，B 的距离分别为d 1，d 2，则S 2＝λS 1，m 1＝k S 1d 21，m 2＝k S 2d 22，k 为常数，k>0.(1) 在△PAB 中，AB ＝10，PA ＝15，∠PAB ＝60°，由余弦定理，得d 22＝PB 2＝AB 2＋PA 2－2AB·PA cos 60°＝102＋152－2×10×15×12＝175.(2分) 又d 21＝PA 2＝225，此时，m 1－m 2＝k S 1d 21－k λS 1d 22＝kS 1(1d 21－λd 22)，(4分)将λ＝12，d 21＝225，d 22＝175代入，得m 1－m 2＝kS 1⎝⎛⎭⎫1225－1350. 因为kS 1>0，所以m 1>m 2，即居住在点P 处的居民不在商场B 相对于A 的“更强吸引区域”内．(6分)(2) 要使与商场B 相距2km 的区域(含边界)均为商场B 相对于A 的“更强吸引区域”， 则当d 2≤2时，不等式m 1<m 2恒成立． 由m 1<m 2，得k S 1d 21<k S 2d 22＝k λS 1d 22，化简得d 21>d 22λ.(8分)设∠PBA ＝θ，在△PAB 中，由余弦定理，得d 21＝PA 2＝AB 2＋PB 2－2AB·PB cos θ＝100＋d 22－20d 2cos θ，(10分)所以100＋d 22－20d 2cos θ>d 22λ，即100＋d 22－d 22λ20d 2>cos θ.上式对于任意的θ∈(0，π)恒成立，则有100＋d 22－d 22λ20d 2>1，(12分)即1－1λ>20·1d 2－100·⎝⎛⎭⎫1d 22＝－100(1d 2－110)2＋1，(*) 由于0≤d 2≤2，所以1d 2≥12.当1d 2＝12时，不等式(*)右端的最大值为－15，所以1－1λ>－15，解得λ>116.又0<λ<1，所以λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫116，1.(14分) 18. 解析：(1) 因为⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a ＝2，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2分)(2) 由(1)得A(0，1)．设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，C(x 0，y 0)．设直线l 方程为y ＝kx ＋m(k≠0)，将其与椭圆E 的方程联立，消去y 得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，(*) 所以x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，(4分)所以x 0＝x 1＋x 22＝－2km 1＋2k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m 1＋2k 2，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2km 1＋2k 2，m 1＋2k 2. 所以k AC ＝y 0－1x 0＝ m 1＋2k 2－1－2km 1＋2k 2 ＝2k 2＋1－m2km .(6分)因为k OC ＝y 0x 0＝m1＋2k 2－2km 1＋2k 2＝－12k ，且AC ⊥OC ，所以k AC ×k OC ＝2k 2＋1－m 2km ×⎝⎛⎭⎫－12k ＝－1，整理得m ＝2k 2＋14k 2＋1.(8分)因为k≠0，则m ＝2k 2＋14k 2＋1＝4k 2＋1－2k 24k 2＋1＝1－2k 24k 2＋1＝1－12＋12k 2∈⎝⎛⎭⎫12，1， 所以实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1.(10分) (3) 设B(x 3，y 3)，k AB ＝－1k OC＝2k ，所以直线AB 的方程为y ＝2kx ＋1，与椭圆方程联立解得x ＝－8k 1＋8k 2或0(舍)，即x 3＝－8k1＋8k 2.(12分) 因为x 0＝－2km 1＋2k 2＝－2k 1＋2k 2×2k 2＋14k 2＋1＝－2k1＋4k 2，所以S 1S 2＝ 12AO ×|x 3|12AO ×|x 0|＝ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪－8k 1＋8k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪ －2k 1＋4k 2＝4＋16k 21＋8k 2.(14分)因为S 1S 2＝83，所以4＋16k 21＋8k 2＝83，解得k ＝±12，此时m ＝2k 2＋14k 2＋1＝34，点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，34.所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋34.(16分)19. 解析：(1) y ＝f(x)＋2x ＝x e x ，由y′＝(1＋x)e x ＝0，解得x ＝－1. 当x所以当x ＝－1时，f(x)取得极小值－1e .(2分)(2) F(x)＝f(x)＋g(x)＝x e x －x －ln x ＋k ，F ′(x)＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫e x －1x .设h(x)＝e x －1x (x>0)，则h′(x)＝e x ＋1x 2>0恒成立， 所以函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增．又h ⎝⎛⎭⎫12＝e －2<0，h(1)＝e －1>0，且h(x)的图象在(0，＋∞)上不间断， 因此h(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1，且e x 0＝1x 0，(4分)当x ∈(0，x 0)时，h(x)<0，即F′(x)<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，h(x)>0，即F′(x)>0.所以F(x)在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， 于是x ＝x 0时，函数F(x)取极(最)小值为 F(x 0)＝x 0e x 0－x 0－ln x 0＋k ＝1－x 0－ln 1e x 0＋k ＝1＋k ，(6分)因为F(x)>0的解集为(0，＋∞)， 所以1＋k>0，即k>－1.(8分) (3) 由(2)知m ＝x 0.(i ) 当1＋k≥0，即k≥－1时，F (x)≥0恒成立，于是G(x)＝F(x)＋ln x ＝x e x －x ＋k ，G ′(x)＝(x ＋1)e x －1. 因为x ∈(0，m)，所以x ＋1>1，e x >1， 于是G ′(x)>0恒成立，所以函数G(x)在(0，m)上单调递增．(10分) (ii ) 当1＋k<0，即k<－1时，0<e k <12<x 0＝m ，F(e k )＝e k (ee k －1)>0，F(m)＝F(x 0)＝1＋k<0. 又F(x)在(0，m)上单调递减且图象不间断， 所以F(x)在(0，m)上存在唯一的零点x 1，(12分)当0<x≤x 1时，F (x)≥0，G(x)＝F(x)＋ln x ＝x e x －x ＋k ，G ′(x)＝(x ＋1)e x －1. 因为0<x≤x 1，所以x ＋1>1，e x >1， 于是G′(x)>0恒成立，所以函数G(x)在(0，x 1]上单调递增；①(14分)当x 1≤x<m 时，F(x)≤0，G(x)＝－F(x)＋ln x ，G ′(x)＝－F′(x)＋1x ， 由(2)知，当x 1≤x<m 时，F ′(x)<0，于是G ′(x)>0恒成立， 所以函数G(x)在[x 1，m)上单调递增；② 设任意s ，t ∈(0，m)，且s ，t ， 若t≤x 1，则由①G(s)<G(t)，若s<x 1<t ，则由①知G(s)<G(t)， 由②知G(x 1)<G(t)，于是G(s)<G(t)． 若x 1≤s ，由②知G(s)<G(t)． 因为总有G(s)<G(t)，所以G(x)在(0，m)上单调递增．综上可知，函数G(x)在(0，m)上单调递增．(16分) 20. 解析：(1) 因为b n (2)－b n (1)＝1，所以(a n ＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝1，即a n ＋2－a n ＋1＝1， 因此数列{a n ＋1}是公差为1的等差数列，所以b n (4)－b n (1)＝(a n ＋a n ＋4)－(a n ＋a n ＋1)＝a n ＋4－a n ＋1＝3.(2分) (2) (i ) 因为b n ＋1(k)＝2b n (k)，所以a n ＋1＋a n ＋1＋k ＝2(a n ＋a n ＋k )， 分别令k ＝1及k ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＋a n ＋2＝2（a n ＋a n ＋1），a n ＋1＋a n ＋3＝2（a n ＋a n ＋2），①②(4分) 由①得a n ＋2＋a n ＋3＝2(a n ＋1＋a n ＋2)，③(6分) ③－②得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，④(8分) ①－④得2a n ＋1＝4a n ，即a n ＋1＝2a n . 因此数列{a n } 是公比为2的等比数列． 又a 1＝2，所以a n ＝2n .(10分)(ii ) 假设集合A 与集合B 中含有相同的元素，不妨设b n (k)＝5b m (k ＋2)，n ，m ∈N *，即a n ＋a n ＋k ＝5(a m ＋a m ＋k ＋2)，于是2n ＋2n ＋k ＝5(2m ＋2m ＋k ＋2)，整理得2n －m ＝5（1＋2k ＋2）1＋2k.(12分)因为5（1＋2k ＋2）1＋2k＝5⎝⎛⎭⎫4－31＋2k ∈[15，20)，即2n －m ∈[15，20)． 因为n ，m ∈N *，从而n －m ＝4，(14分) 所以5（1＋2k ＋2）1＋2k＝16，即4×2k ＝11.由于k 为正整数，所以上式不成立，因此集合A 与集合B 中不含有相同的元素，即A ∩B ＝.(16分) 21. A. 解析：连结OD.因为OD ＝OA ，所以∠OAD ＝∠ODA. 因为AD 平分∠BAE ，所以∠OAD ＝∠EAD ，(3分) 所以∠EAD ＝∠ODA ，所以OD ∥AE.(5分) 因为AE ⊥DE ，所以DE ⊥OD.(8分)又因为OD 为半径，所以DE 是圆O 的切线．(10分)B. 解析：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a －12⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝λ，－1＋2＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，λ＝1.(5分) 所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－12，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－34.(10分)C. 解析：因为直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t ＋2(t 为参数)，所以直线l 的普通方程为y ＝3x ＋2.(3分)因为圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝a sin θ(a >0，θ为参数)，所以圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.(6分)因为圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝1，(8分) 所以1＋a ＝3，解得a ＝2.(10分)D. 解析：|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，当且仅当x (x －1)≤0，即0≤x ≤1时取等号．(4分) |y －1|＋|y ＋1|≥|y －1－y －1|＝2，当且仅当(y －1)(y ＋1)≤0，即－1≤y ≤1时取等号．(8分) 所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3， 当且仅当0≤x ≤1，－1≤y ≤1时取等号，所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3.(10分) 22. 解析：(1) 随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3. P(X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×(1－14)＝14.P(X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＝1124，P(X ＝2)＝⎝⎛⎭⎫1－12×13×14＋12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＋12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14，P(X ＝3)＝12×13×14＝124. 所以随机变量X 的分布列为X 的数学期望E(X)＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312.(5分) (2) 设Y 表示乙击中目标的个数．由(1)亦可知，P(Y ＝0)＝14，P(Y ＝1)＝1124，P(Y ＝2)＝14. 则P(X ＝0，Y ＝2)＝14×14＝116，P(X ＝1，Y ＝1)＝1124×1124＝121576， P(X ＝2，Y ＝0)＝14×14＝116，(8分)所以P(X ＋Y ＝2)＝P(X ＝0，Y ＝2)＋P(X ＝1，Y ＝1)＋P(X ＝2，Y ＝0)＝193576. 所以甲、乙两人共击中目标数为2个的概率为193576.(10分)23. 解析：(1) 当n ＝7时，M ＝{1，2，…，7}，数列T 的个数为C 27×A 22＝42.(2分)(2) 当k ＝1时，则a 1>a 2，a 2<a 3<…<a n ， 此时a 2为1，a 1共有(n －1)种选法，余下的(n －2)个数，按从小到大依次排列，共有1种，因此k ＝1时，符合条件的数列T 共有n －1＝C 1n －1(个)．(3分)当2≤k≤n －2时，则a 1<a 2<…<a k ，a k >a k ＋1，a k ＋1<a k ＋2<…<a n ， 从集合M 中任取k 个数，按从小到大的顺序排列， 再将余下的(n －k)个数，按从小到大的顺序排列．即得满足条件a 1<a 2<…<a k ，a k ＋1<a k ＋2<…<a n 的数列的个数为C k n C n －kn －k ， 这里包含了a k <a k ＋1，即a 1<a 2<…<a k <a k ＋1<a k ＋2<…<a n 的情形，因此符合条件的数列T 的个数为C k n C n －k n －k －1＝C kn －1.(7分) 当k ＝n －1时，即a 1<a 2<…<a n －1，a n －1>a n .此时a n －1为n ，a n 共有(n －1)种选法，余下的(n －2)个数，按从小到大依次排列，共有1种，因此当k ＝n －1时，符合条件的数列T 共有n －1＝C n －1n －1(个)．(8分) 于是所有符合条件的数列T 的个数为：C 1n －1＋C 2n －1＋…＋C n －1n －1 ＝C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n －n ＋1＝2n －C 0n －C nn －n ＋1 ＝2n －n －1.(10分)。

2018届江苏高考数学模拟试题含答案

2018届江苏高考数学模拟试题含答案

高三数学试卷 2018.5.18必做题部分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1、已知集合{1,0,2},{21,},A B x x n n Z =-==-∈则A B ⋂= ▲ ．2、已知复数1212,2z i z a i =-=+（其中i 是虚数单位，a R ∈），若12z z ⋅是纯虚数，则a 的值为 ▲ ．3、从集合{1,2,3}中随机取一个元素，记为a ，从集合{2,3,4}中随机取一个元素，记为b ，则a b ≤的概率为 ▲ ．4、对一批产品的长度（单位:毫米）进行抽样检测，样本容量为400， 右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度 在区间[25,30)的为一等品，在区间[20,25) 和[30,35)的为二等品， 其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 ▲ ．5、运行右面的算法伪代码，输出的结果为S= ▲ ．6、若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>10则双曲线C 的渐近线方程为 ▲ ．7、正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为2，3D 为BC 中点，则三棱锥A -B 1DC 1的体积为 ▲ ．8、函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则ϕ= ▲ ．9、若函数2()ln()f x x x a x =+为偶函数，则a = ▲ ．10、已知数列{}n a 与2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭均为等差数列（n N *∈），且12a =，则10=a ▲ ． 11、若直线20kx y k --+=与直线230x ky k +--=交于点P ，则OP 长度的最大值为 ▲ ．12、如图，已知4AC BC ==，90ACB ∠=o ，M 为BC 的中点，D 为以AC 为直径的圆上一动点，S 011011(1)Pr int For i From To Step S S i i End ForS ←←++则AM DC ⋅u u u r u u u r的最小值是 ▲ ．13、已知函数()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ ，函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数 ()()y f x g x =- 恰有4个零点，则实数b 的取值范围是 ▲ ．14、已知,x y 均为非负实数，且1x y +≤，则22244(1)x y x y ++--的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15、已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,向量(1,2)m =u r ，2(cos2,cos )2An A =r ，且1m n ⋅=u r r.(1)求角A 的大小；(2)若223b c a +==，求sin()π-4B 的值16、如图，四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 为菱形，P A ⊥平面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F 是线段PC 中点，G 为线段EC 中点． （1）求证：FG//平面PBD ； （2）求证：BD ⊥FG ．ABCMD(第12题图)17、已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左焦点为F ，上顶点为A ，直线AF 与直线023=-+y x 垂直，垂足为B ，且点A 是线段BF 的中点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若M ，N 分别为椭圆C 的左，右顶点，P 是椭圆C 上位于第一象限的一点，直线MP 与直线4=x 交于点Q ，且9MP NQ =u u u r u u u rg ，求点P 的坐标.18、中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一，给人以美的享受．如图为一花窗中的一部分，呈长方形，长30 cm ，宽26 cm ，其内部窗芯（不含长方形边框）用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称．设菱形的两条对角线长分别为x cm 和y cm ，窗芯所需条形木料的长度之和为L ． （1）试用x ，y 表示L ；（2）如果要求六根支条的长度均不小于2 cm ，每个菱形的面积为130 cm 2，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗）？19、已知函数2()=x x f x e，（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当240m e <<时，判断函数2(),(0)x xg x m x e=-≥有几个零点，并证明你的结论；（3）设函数21111()+()()22⎡⎤=-----⎢⎥⎣⎦h x x f x x f x cx x x ，若函数()h x 在()0,+∞为增函数，求实数c 的取值范围．20、已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，若对任意的*n N ∈，均有n n k S a k +=-（k 是常数，且*k N ∈）成立，则称数列{}n a 为“()H k 数列”. （1）若数列{}n a 为“(1)H 数列”，求数列{}n a 的前n 项和n S ；（2）若数列{}n a 为“(2)H 数列”，且2a 为整数，试问：是否存在数列{}n a ，使得211||40n n n a a a -+-≤对任意2n ≥，*n N ∈成立？如果存在，求出这样数列{}n a 的2a 的所有可能值，如果不存在，请说明理由。

2018年江苏省南京市高考数学一模试卷及参考答案

2018年江苏省南京市高考数学一模试卷及参考答案

2018年江苏省南京市高考数学一模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知集合A={x|x（x﹣4）＜0}，B={0，1，5}，则A∩B=．2．（5分）设复数z=a+i（a∈R，i为虚数单位），若（1+i）•z为纯虚数，则a的值为．3．（5分）为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50，100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的学生人数为．4．（5分）执行如图所示的伪代码，若x=0，则输出的y的值为．5．（5分）口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为．6．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数p 的值为．7．（5分）设函数y=e x﹣a的值域为A，若A⊆[0，+∞），则实数a的取值范围是．8．（5分）已知锐角α，β满足（tanα﹣1）（tanβ﹣1）=2，则α+β的值为．9．（5分）若函数y=sinωx在区间[0，2π]上单调递增，则实数ω的取值范围是．10．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若{a n}的前2017项中的奇数项和为2018，则S2017的值为．11．（5分）设函数f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=，若函数y=f（x）﹣m 有四个不同的零点，则实数m的取值范围是．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=k（x﹣3）上存在一点P，圆x2+（y﹣1）2=1上存在一点Q，满足=3，则实数k的最小值为．13．（5分）如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若A，B，C，D四点均位于图中的“晶格点”处，且A，B的位置所图所示，则的最大值为．14．（5分）若不等式ksin2B+sinAsinC＞19sinBsinC对任意△ABC都成立，则实数k的最小值为．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，点M，N分别是AB，A1B1的中点．（1）求证：BN∥平面A1MC；（2）若A1M⊥AB1，求证：AB1⊥A1C．16．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c 已知c=．（1）若C=2B，求cosB的值；（2）若=，求cos（B）的值．17．（14分）有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD（如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF是以O为圆心、∠EOF=120°的扇形，且弧，分别与边BC，AD相切于点M，N．（1）当BE长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的下顶点为B，点M，N是椭圆上异于点B的动点，直线BM，BN分别与x轴交于点P，Q，且点Q是线段OP的中点．当点N运动到点（）处时，点Q 的坐标为（）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线MN交y轴于点D，当点M，N均在y轴右侧，且=2时，求直线BM的方程．19．（16分）设数列{a n}满足a=a n+1a n﹣1+λ（a2﹣a1）2，其中n≥2，且n∈N，λ为常数．（1）若{a n}是等差数列，且公差d≠0，求λ的值；（2）若a1=1，a2=2，a3=4，且存在r∈[3，7]，使得m•a n≥n﹣r对任意的n∈N*都成立，求m的最小值；=a n对任意（3）若λ≠0，且数列{a n}不是常数列，如果存在正整数T，使得a n+T的n∈N*均成立．求所有满足条件的数列{a n}中T的最小值．20．（16分）设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+（a，b，c∈R）．（1）当c=0时，若函数f（x）与g（x）的图象在x=1处有相同的切线，求a，b 的值；（2）当b=3﹣a时，若对任意x0∈（1，+∞）和任意a∈（0，3），总存在不相等的正实数x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0），求c的最小值；（3）当a=1时，设函数y=f（x）与y=g（x）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点．求证：x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1．[选做题]（在21.22.23.24四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）[选修4-1：几何证明选讲]图21．（10分）如图，已知AB为⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点E，AD垂直DE于点D．若DE=4，求切点E到直径AB的距离EF．[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）已知矩阵M=，求圆x2+y2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，直线ρcos（θ+）=1与曲线ρ=r（r＞0）相切，求r的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知实数x，y满足x2+3y2=1，求当x+y取最大值时x的值．25．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，OP⊥底面ABCD，点M为PC中点，AC=4，BD=2，OP=4．（1）求直线AP与BM所成角的余弦值；（2）求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值．26．（10分）已知n∈N*，nf（n）=C n0C n1+2C n1C n2+…+nC n n﹣1C n n．（1）求f（1），f（2），f（3）的值；（2）试猜想f（n）的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．2018年江苏省南京市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知集合A={x|x（x﹣4）＜0}，B={0，1，5}，则A∩B={1} ．【解答】解：∵集合A={x|x（x﹣4）＜0}={x|0＜x＜4}，B={0，1，5}，∴A∩B={1}．故答案为：{1}．2．（5分）设复数z=a+i（a∈R，i为虚数单位），若（1+i）•z为纯虚数，则a的值为1．【解答】解：∵z=a+i，∴（1+i）•z=（1+i）（a+i）=a﹣1+（a+1）i，又（1+i）•z为为纯虚数，∴a﹣1=0即a=1．故答案为：1．3．（5分）为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50，100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的学生人数为1200．【解答】解：由频率分布直方图得：该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的频率为：1﹣（0.005+0.035+0.020+0.010）×10=0.3，∴估计该县小学六年级4000名学生中每天用于阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的学生人数为：4000×0.3=1200．故答案为：1200．4．（5分）执行如图所示的伪代码，若x=0，则输出的y的值为1．【解答】解：根据题意知，执行程序后，输出函数y=，当x=0时，y=e0=1．故答案为：1．5．（5分）口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为．【解答】解：口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，从袋中一次随机摸出2个球，基本事件总数n==6，摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有：（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4个，∴摸出的2个球的编号之和大于4的概率为p=．故答案为：．6．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数p的值为6．【解答】解：∵双曲线的方程，∴a2=4，b2=5，可得c==3，因此双曲线的右焦点为F（3，0），∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重合，∴=3，解之得p=6．故答案为：6．7．（5分）设函数y=e x﹣a的值域为A，若A⊆[0，+∞），则实数a的取值范围是（﹣∞，2] ．【解答】解：函数y=e x﹣a的值域为A∵e x=2，∴值域为A=[2﹣a，+∞）．又∵A⊆[0，+∞），∴2﹣a≥0，即a≤2．故答案为：（﹣∞，2]．8．（5分）已知锐角α，β满足（tanα﹣1）（tanβ﹣1）=2，则α+β的值为．【解答】解：∵（tanα﹣1）（tanβ﹣1）=2，可得：tanα+tanβ+1=tanαtanβ，∴tan（α+β）=═﹣1，∵锐角α，β，可得：α+β∈（0，π），∴α+β=．故答案为：．9．（5分）若函数y=sinωx在区间[0，2π]上单调递增，则实数ω的取值范围是（0，] ．【解答】解：由函数y=sinωx，图象过原点，若ω＜0，图象在x轴下方单调递减，∴ω＞0，因为y=Sinωx在[0，2π]单调递增，说明其至少在[0，2π]单调递增，则其周期至少8π，∴，即．故答案为：（0，]10．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若{a n}的前2017项中的奇数项和为2018，则S2017的值为4034．【解答】解：因为S n为等差数列{a n}的前n项和，且{a n}的前2017项中的奇数项和为2018，=a1+a3+a5+…+a2017=1009×（a1+a2017）×=2018，得a1+a2017═4．所以S奇则S2017=（a1+a2017）=2017×2=4034故答案为：4034．11．（5分）设函数f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=，若函数y=f（x）﹣m 有四个不同的零点，则实数m的取值范围是[1，）．【解答】解：由0≤x≤3可得f（x）∈[0，]，x＞3时，f（x）∈（0，1）．画出函数y=f（x）与y=m的图象，如图所示，∵函数y=f（x）﹣m有四个不同的零点，∴函数y=f（x）与y=m的图象有4个交点，由图象可得m的取值范围为[1，），故答案为：[1，）．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=k（x﹣3）上存在一点P，圆x2+（y﹣1）2=1上存在一点Q，满足=3，则实数k的最小值为﹣．【解答】解：【解法一】设P（x1，y1），Q（x2，y2）；则y1=k（x1﹣3）①，+（y2﹣1）2=1②；由=3，得，即，代入②得+=9；此方程表示的圆心（0，3）到直线kx﹣y﹣3k=0的距离为d≤r；即≤3，解得﹣≤k≤0．∴实数k的最小值为﹣．【解法二】设P（x，y），Q（x0，y0）；则+（y0﹣1）2=1①；由=3，得，即，代入①化简得x2+（y﹣3）2=9；∴点P的轨迹是圆心为（0，3），半径为3的圆的方程，又点P在直线kx﹣y﹣3k=0上，如图所示；则直线与该圆有公共点，即圆心到直线的距离为d≤r；∴≤3，解得﹣≤k≤0；∴实数k的最小值为﹣．故答案为：﹣．13．（5分）如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若A，B，C，D四点均位于图中的“晶格点”处，且A，B的位置所图所示，则的最大值为24．【解答】解：建立如图的直角坐标系，则A（，），B（0，0），那么容易得到C（0，5）时，D的位置可以有三个位置，其中D1（﹣，），D2（﹣，0），D3（﹣，），此时=（﹣，﹣），=（﹣，﹣），=（﹣，﹣5），=（﹣，﹣），则•=21，•=24，•=22.5，则的最大值为24，故答案为：24．14．（5分）若不等式ksin2B+sinAsinC＞19sinBsinC对任意△ABC都成立，则实数k的最小值为100．【解答】解：∵ksin2B+sinAsinC＞19sinBsinC，由正弦定理可得：kb2+ac＞19bc，∴k＞，又∵c﹣b＜a＜b+c，∴﹣b﹣c＜﹣a＜b﹣c，∴＜19+（）=20﹣（）2=100﹣（﹣10）2，当=10时，20﹣（）2取得最大值20×10﹣102=100．∴k≥100，即实数k的最小值为100．故答案为：100二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，点M，N分别是AB，A1B1的中点．（1）求证：BN∥平面A1MC；（2）若A1M⊥AB1，求证：AB1⊥A1C．【解答】证明：（1）因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AB∥A1B1，且AB=A1B1，又点M，N分别是AB、A1B1的中点，所以MB=A1N，且MB∥A1N．所以四边形A1NBM是平行四边形，从而A1M∥BN．又BN⊄平面A1MC，A1M⊂平面A1MC，所以BN∥平面A1MC；（2）因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥底面ABC，而AA1⊂侧面ABB1A1，所以侧面ABB1A1⊥底面ABC．又CA=CB，且M是AB的中点，所以CM⊥AB．则由侧面ABB1A1⊥底面ABC，侧面ABB1A1∩底面ABC=AB，CM⊥AB，且CM⊂底面ABC，得CM⊥侧面ABB1A1．又AB1⊂侧面ABB1A1，所以AB1⊥CM．又AB1⊥A1M，A1M、MC平面A1MC，且A1M∩MC=M，所以AB1⊥平面A1MC．又A1C⊂平面A1MC，所以AB⊥A1C．16．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c 已知c=．（1）若C=2B，求cosB的值；（2）若=，求cos（B）的值．【解答】解：（1）因为c=，则由正弦定理，得sinC=sinB．…（2分）又C=2B，所以sin2B=sinB，即2sinBcosB=sinB．…（4分）又B是△ABC的内角，所以sinB＞0，故cosB=．…（6分）（2）因为=，所以cbcosA=bacosC，则由余弦定理，得b2+c2﹣a2=b2+a2﹣c2，得a=c．…（10分）从而cosB==，…（12分）又0＜B＜π，所以sinB==．从而cos（B+）=cosBcos﹣sinBsin=．…（14分）17．（14分）有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD（如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF是以O为圆心、∠EOF=120°的扇形，且弧，分别与边BC，AD相切于点M，N．（1）当BE长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？【解答】解：（1）在图甲中，连接MO交EF于点T．设OE=OF=OM=R，在Rt△OET中，因为∠EOT=∠EOF=60°，所以OT=，则MT=0M﹣OT=．从而BE=MT=，即R=2BE=2．故所得柱体的底面积S=S扇形OEF ﹣S△OEF=πR2﹣R2sin120°=﹣，又所得柱体的高EG=4，所以V=S×EG=﹣4．答：当BE长为1（分米）时，折卷成的包装盒的容积为﹣4立方分米．（2）设BE=x，则R=2x，所以所得柱体的底面积S=S扇形OEF﹣S△OEF=πR2﹣R2sin120°=（﹣）x2，又所得柱体的高EG=6﹣2x，所以V=S×EG=（﹣2）（﹣x3+3x2），其中0＜x＜3．令f（x）=﹣x3+3x2，0＜x＜3，则由f′（x）=﹣3x2+6x=﹣3x（x﹣2）=0，解得x=2．列表如下：所以当x=2时，f（x）取得最大值．答：当BE的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的下顶点为B，点M，N是椭圆上异于点B的动点，直线BM，BN分别与x轴交于点P，Q，且点Q是线段OP的中点．当点N运动到点（）处时，点Q 的坐标为（）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线MN交y轴于点D，当点M，N均在y轴右侧，且=2时，求直线BM的方程．【解答】解：（1）由N（），点Q的坐标为（），得直线NQ的方程为y=x﹣，令x=0，得点B的坐标为（0，﹣）．所以椭圆的方程为+=1．将点N的坐标（，）代入，得+=1，解得a2=4．所以椭圆C的标准方程为+=1．（2）：设直线BM的斜率为k（k＞0），则直线BM的方程为y=x﹣．在y=kx﹣中，令y=0，得x P=，而点Q是线段OP的中点，所以x Q=．所以直线BN的斜率k BN=k BQ==2k．联立，消去y，得（3+4k2）x2﹣8kx=0，解得x M=．用2k代k，得x N=．又=2，所以x N=2（x M﹣x N），得2x M=3x N，故2×==3×，又k＞0，解得k=．所以直线BM的方程为y=x﹣19．（16分）设数列{a n}满足a=a n+1a n﹣1+λ（a2﹣a1）2，其中n≥2，且n∈N，λ为常数．（1）若{a n}是等差数列，且公差d≠0，求λ的值；（2）若a1=1，a2=2，a3=4，且存在r∈[3，7]，使得m•a n≥n﹣r对任意的n∈N*都成立，求m的最小值；=a n对任意（3）若λ≠0，且数列{a n}不是常数列，如果存在正整数T，使得a n+T的n∈N*均成立．求所有满足条件的数列{a n}中T的最小值．【解答】解：（1）由题意，可得a=（a n+d）（a n﹣d）+λd2，化简得（λ﹣1）d2=0，又d≠0，所以λ=1．（2）将a1=1，a2=2，a3=4，代入条件，可得4=1×4+λ，解得λ=0，所以a=a na n﹣1，所以数列{a n}是首项为1，公比q=2的等比数列，+1所以a n=2n﹣1．欲存在r∈[3，7]，使得m•2n﹣1≥n﹣r，即r≥n﹣m•2n﹣1对任意n∈N*都成立，则7≥n﹣m•2n﹣1，所以m≥对任意n∈N*都成立．令b n=，则b n +1﹣b n=﹣=，＜b n；当n=8时，b9=b8；当n＜8时，b n+1＞b n．所以当n＞8时，b n+1所以b n的最大值为b9=b8=，所以m的最小值为；（3）因为数列{a n}不是常数列，所以T≥2，=a n恒成立，从而a3=a1，a4=a2，①若T=2，则a n+2所以，所以λ（a2﹣a1）2=0，又λ≠0，所以a2=a1，可得{a n}是常数列，矛盾．所以T=2不合题意．②若T=3，取a n=（*），满足a n+3=a n恒成立．由a22=a1a3+λ（a2﹣a1）2，得λ=7．则条件式变为a n2=a n+1a n﹣1+7．由22=1×（﹣3）+7，知a3k﹣12=a3k﹣2a3k+λ（a2﹣a1）2；由（﹣3）2=2×1+7，知a3k2=a3k﹣1a3k+1+λ（a2﹣a1）2；由12=2×（﹣3）+7，知a3k+12=a3k a3k+2+λ（a2﹣a1）2；所以，数列（*）适合题意．所以T的最小值为3．20．（16分）设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+（a，b，c∈R）．（1）当c=0时，若函数f（x）与g（x）的图象在x=1处有相同的切线，求a，b 的值；（2）当b=3﹣a时，若对任意x0∈（1，+∞）和任意a∈（0，3），总存在不相等的正实数x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0），求c的最小值；（3）当a=1时，设函数y=f（x）与y=g（x）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点．求证：x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1．【解答】解：（1）由f（x）=lnx，得f（1）=0，又f′（x）=，所以f′（1）=1，当c=0时，g（x）=ax+，所以g′（x）=a﹣，所以g′（1）=a﹣b，因为函数f（x）与g（x）的图象在x=1处有相同的切线，所以，即，解得a=，b=﹣；（2）当x0＞1时，则f（x0）＞0，又b=3﹣a，设t=f（x0），则题意可转化为方程ax+﹣c=t（t＞0）在（0，+∞）上有相异两实根x1，x2．即关于x的方程ax2﹣（c+t）x+（3﹣a）=0（t＞0）在（0，+∞）上有相异两实根x1，x2．所以，得，所以c＞2﹣t对t∈（0，+∞），a∈（0，3）恒成立．因为0＜a＜3，所以2≤2•=3（当且仅当a=时取等号），又﹣t＜0，所以2﹣t的取值范围是（﹣∞，3），所以c≥3．故c的最小值为3．（3）当a=1时，因为函数f（x）与g（x）的图象交于A，B两点，所以，两式相减，得b=x1x2（1﹣），要证明x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1，即证x1x2﹣x2＜x1x2（1﹣）＜x1x2﹣x1，即证＜＜，即证＜ln＜，即证1﹣＜ln＜﹣1，令=t，则t＞1，此时即证1﹣＜lnt＜t﹣1．令φ（t）=lnt+﹣1，所以φ′（t）=﹣=＞0，所以当t＞1时，函数φ（t）单调递增．又φ（1）=0，所以φ（t）=lnt+﹣1＞0，即1﹣＜lnt成立；再令m（t）=lnt﹣t+1，所以m′（t）=﹣1=＜0，所以当t＞1时，函数m（t）单调递减，又m（1）=0，所以m（t）=lnt﹣t+1＜0，即lnt＜t﹣1也成立．综上所述，实数x1，x2满足x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1．[选做题]（在21.22.23.24四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）[选修4-1：几何证明选讲]图21．（10分）如图，已知AB为⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点E，AD垂直DE于点D．若DE=4，求切点E到直径AB的距离EF．【解答】解：如图，连接AE，OE，因为直线DE与⊙O相切于点E，所以DE⊥OE，又因为AD⊥DE于D，所以AD∥OE，所以∠DAE=∠OEA，①在⊙O中，OE=OA，所以∠OEA=∠OAE，②…（5分）由①②得∠DAE=∠OAE，即∠DAE=∠FAE，又∠ADE=∠AFE，AE=AE，所以△ADE≌△AFE，所以DE=FE，又DE=4，所以FE=4，即E到直径AB的距离为4．…（10分）[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）已知矩阵M=，求圆x2+y2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方程．【解答】解：设P（x0，y0）是圆x2+y2=1上任意一点，则=1，设点P（x0，y0）在矩阵M对应的变换下所得的点为Q（x，y），则=，即，解得，…（5分）代入=1，得=1，∴圆x2+y2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方程为=1．…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，直线ρcos（θ+）=1与曲线ρ=r（r＞0）相切，求r的值．【解答】解：直线ρcos（θ+）=1，转化为：，曲线ρ=r（r＞0）转化为：x2+y2=r2，由于直线和圆相切，则：圆心到直线的距离d=．所以r=1．[选修4-5：不等式选讲]24．已知实数x，y满足x2+3y2=1，求当x+y取最大值时x的值．【解答】解：由柯西不等式，得[x2+（）2][12+（）2]≥（x•1+）2，即≥（x+y）2．而x2+3y2=1，所以（x+y）2，所以﹣，…（5分）由，得，所以当且仅当x=，y=时，（x+y）max=．所以当x+y取最大值时x值为．…（10分）25．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，OP⊥底面ABCD，点M为PC中点，AC=4，BD=2，OP=4．（1）求直线AP与BM所成角的余弦值；（2）求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值．【解答】解：（1）因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD．又OP⊥底面ABCD，以O为原点，直线OA，OB，OP分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系．则A（2，0，0），B（0，1，0），P（0，0，4），C（﹣2，0，0），M（﹣1，0，2）．=（﹣2，0，4），=（01，﹣1，2），cos＜，＞===．故直线AP与BM所成角的余弦值为．…（5分）（2）=（﹣2，1，0），=（﹣1，﹣1，2）．设平面ABM的一个法向量为=（x，y，z），则，令x=2，得=（2，4，3）．又平面PAC的一个法向量为=（0，1，0），∴cos＜＞===．故平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值为．…（10分）26．（10分）已知n∈N*，nf（n）=C n0C n1+2C n1C n2+…+nC n n﹣1C n n．（1）求f（1），f（2），f（3）的值；（2）试猜想f（n）的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．【解答】解：（1）由条件，nf（n）=C C C C①，在①中令n=1，得f（1）=1．在①中令n=2，得2f（2）=6，得f（2）=3．在①中令n=3，得3f（3）=30，故f（3）=10．（2）猜想f（n）=．要证猜想成立，只要证等式n=•+2•+…+n•成立．由（1+x）n=+x+x2+…+x n①，两边同时对x求导数，可得n（1+x）n﹣1=+2x+3x2+n x n﹣1②，把等式①和②相乘，可得n（1+x）2n﹣1=（+x+x2+…+x n）•（+2x+3x2+n x n﹣1）③．等式左边x n的系数为n，等式右边x n的系数为•+•2+•3+…+n•n=•+2•+3•+…+n•=C C C C，根据等式③恒成立，可得n=C C C C．故f（n）=成立．。

江苏省常州市2018届高三数学第一次模拟考试

江苏省常州市2018届高三数学第一次模拟考试

江苏省常州市2018届高三数学第一次模拟考试2018届高三年级第一次模拟考试(二)数学满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.若集合A={-2,1}，B={x|x^2>1}，则集合A∩B={1}．2.命题“∃x∈[0,1]，x^2-1≥0”是真命题．3.若复数z满足z·2i=|z|^2+1(其中i为虚数单位)，则|z|=2．4.若一组样本数据2015，2017，x，2018，2016的平均数为2017，则该组样本数据的方差为2．5.如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是3．6.函数f(x)=lnx的定义域记作集合D.随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子(骰子的每个面上分别标有点数1，2，…，6)，记骰子向上的点数为t，则事件“t∈D”的概率为1/2．7.已知圆锥的高为6，体积为8.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为3．8.在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2a3a4=a2+a3+a4，则a3的最小值为3．9.在平面直角坐标系xOy中，设直线l：x+y+1=0与双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0，b>0)的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧，则双曲线C的离心率e的取值范围是(1,√2)．10.已知实数x，y满足2x+y-2≥0，x-2y+4≥0，则x+y的取值范围是[2,∞)．11.已知函数f(x)=bx+lnx，其中b∈R.若过原点且斜率为k 的直线与曲线y=f(x)相切，则k-b的值为1/e．12.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=sin(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)的图象与x轴的交点A，B，C满足OA+OC=2OB，则φ=π/3．13.在△ABC中，AB=5，AC=7，BC=3，P为△ABC内一点(含边界)，若满足BP=4BA+λBC(λ∈R)，则BA·BP的取值范围为[25/4,35/4]．二、解答题：共计90分．14.已知函数f(x)=sinx+cosx，x∈[0,π/2]，则f(x)的最小值是√2-1．15.已知函数f(x)=x^3-3x，x∈[-2,2]，则f(x)在[-2,2]上的最大值是4．16.如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，点E，F分别在AB，AC上，且满足BE=CF=AD.若BE=CF=AD=1，AB=2，AC=√5，则三角形AEF的面积为(√5-1)/2．17.已知函数f(x)=x^3-3x，g(x)=f(x-2)，则g(x)在[-2,2]上的最小值是-5．18.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(1,0)，B(0,1)，C(-1,0)，D(0,-1)，E(2,0)，F(0,2)，G(-2,0)，H(0,-2).若点P(x,y)满足PA^2+PB^2+PC^2+PD^2=PE^2+PF^2+PG^2+PH^2，则点P的坐标为(0,0)．19.已知函数f(x)=ln(1+2x)-ax，其中a为常数，f(x)在[0,1]上取得最大值，且f(1/2)=0，则a=1/2．20.已知函数f(x)=x^3-3x，g(x)=f(x-2)，则当g(x)在[1,3]上单调递增时，x的取值范围是[1,3]．已知在三角形ABC中，AB=AC=3，存在点P在三角形ABC所在平面内，使得PB²+PC²=3PA²=3，则三角形ABC的面积最大值为______。

2018届江苏高考数学模拟2试卷

2018届江苏高考数学模拟2试卷

2018届江苏高考模拟测试卷数学文理合卷第Ⅰ卷（必做题 共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.321i i-= . 1. 1i - 由21i =-,知i 为虚数单位,故322(1)(1)11(1)(1)i i i i i i i i i -+==-+=--+-.2.命题“x R ∀∈，sin 1x ≥-”的否定是 .2.x R ∃∈, sin 1x <- 含有量词的命题的否定，要把量词作对应改变，同时注意否定结论的时候否定词否定在什么地方.3.设集合M={x ∣0＜∣x -1∣＜2}，N={x ∣x (x -3)＜0}，那么“a M ∈”是“a N ∈”的 条件. (填：充分不必要 或 必要不充分 或 充要 或 既不充分也不必要 )3.既不充分也不必要条件 M=(-1，1)∪（1，3）， N=（0，3），故是既不充分也不必要条件.4.设ω>0,函数y=sin(ωx+3π)图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，所得函数的周期为23π，则ω的值为 . 4.6 所得函数为y=sin （12ωx+3π），有最小正周期公式可得6ω=.5.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个正方形的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为42a ．类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个正方体的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 .5. 38a 在平面图形中，通过面积割补可得，重叠部分是一个边长为2a 的小正方形，其面积2412121a a a S =∙=．类比推理到空间，可知重叠部分是一个棱长为2a的小正方体，其体积8)21(33a a V ==．5题为陈题，换题如下： 观察下列等式:212(1)1x x x x ++=++,22234(1)1232x x x x x x ++=++++,2323456(1)136763x x x x x x x x ++=++++++,242345678(1)1410161916104x x x x x x x x x x ++=++++++++,由以上等式推测:对于n N *∈,若2220122(1)n n n x x a a x a x a x ++=++++ ,则2a = ▲ .(1)2n n +【解析】:由各个等式中2x 项的系数:1,3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4,… , 可猜想第n 个等式中2x 项的系数为(1)12342n n n +++++⋅⋅⋅+=.6.某地区为了解小学生的身高发育情况，从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．若:7:1a b =，由图中可知，身高落在[110,130)范围内的学生人数是 .6. 65 4.0)030.0020.0010.0(101)(10=++-=+b a ，所以04.0=+b a ，又7:=b a ，由两式解得035.0=a ，所以身高落在[110,130)内的频率为65.0)030.0035.0(10=+，所以身高落在[110,130)范围内的学生人数为6565.0100=⨯（人）．7.某流程图如图所示，现输入四个函数：||()x f x x =，11()212x f x =+- ，()x xf x e e -=-，()lg (sin )f x x =则它可以输出的一个函数是 .7. ()x x f x e e -=- 输出的函数既是奇函数又存在零点，逐个验证即可. 8.下列四个结论：身高150140130120110100组据频率/ba 010.0020.0030.0开始()f x 输入函数否结束是?存在零点()f x 输出函数()()0?f x f x +-=是 否①两条直线都和第三条直线异面，则这两条直线异面；②两条直线和某个平面只有一个公共点，则这两条直线可能平行；③两条直线都和第三条直线没有公共点，则这三条直线中至少有两条直线是异面的； ④一条直线和一个平面内无数条直线都有公共点是这条直线在这个平面内的充要条件. 其中错误的是 .（把所有正确命题的序号都填上）8.①②③④ ①中两直线可以平行也可相交还可以异面，故①错误；②这两条直线如果平行，它们和平面要么都有交点，要么一个交点都没有，所以交点不止一个，故②错误；③三条直线可以平行，故③错误；④这条直线可以在平面内还可以与平面相交，故④错误.答案为A.9.已知向量(,)3ya x = , 向量(,)3yb x =- ，曲线1a b ⋅= 上一点P 到F (2,0)的距离为4, Q 为PF 的中点, O 为坐标原点, 则|OQ | 的值是 .9.3或 1 2213y a b x ⋅=-= ，因此双曲线的1,2a c ==，设左焦点1(2,0)F -，则11||||2O Q P F =，由双曲线定义得1||||22PF PF a -==，1||6PF ∴=或1||2PF =，||3OQ ∴=或1.10.抛物线212x y =在第一象限内图像上一点2(,2)i i a a 处的切线与x 轴交点的横坐标记为1i a +，其中i N +∈，若232a =，则246a a a ++= .10.42 由22y x =知，4y x '=，可得切线方程为224()i i i y a a x a -=-，切线与x 轴交点的横坐标为112i i a a +=，所以246,,a a a 成首项为32，公比为14的等比数列，故24642a a a ++=.11.函数2,44()4x x f x a x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，，若函数()2y f x =-有三个零点，则a 的值为 .11.2 利用函数图像变换画出函数()f x 的图像，只要保证直线2y =和()f x 的图像有三个交点即可，这时只有点(4,)a 在直线2y =上，即2a =.12.在∆BC 中，C ab c b a sin 32222=++，则△ABC 的形状是 三角形 12.等边由题意得C ab C ab b a b a sin 32)cos 2(2222=-+++，即223sin cos a b ab C ab C +=+，abb a C C +=+cos sin 3，a b b a C +=+)6sin(2π，而2≥+ab b a 2=⨯abb a ，且2)6s in (2≤+πC ，因此2=+a b b a ，a ＝b ，1)6sin(=+πC ，C ＝3π，因此△ABC 是正三角形 13.我们把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”，在长方体八个顶点中任取四个，顺次连接得到58个四面体，从这些四面体中任取一个，取到 “三节棍体”的概率是 . 13.1229“三节棍体”是如图所示的三条棱,,AB BD DC 两两垂直的四面体，选出这样的三条棱就能够成“三节棍体”，如右图，正方体中每一条竖直的棱能组成6个“三节棍体”，共能组成4624⨯=个“三节棍 体”，所以所求概率为1229P =.14.过直线y x =上的一点H 作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线1l 、2l ，切点分别为A ，B ．当1l 、2l 关于y x =对称时，求AHB ∠= .14. 60法一：过圆心P 做PH 垂直于直线y x =垂足是H ，过H 做切线1l 、2l .如图要使1l 、2l 关于y x =对称，所以根据对称性，只要AHO PHB ∠=∠，即HP OM ⊥符合题意，故|51||PH |222-==，|PA |2r ==，所以30,60AHP AHB ∠=∠= .法二：要使1l 、2l 关于y x =对称只要，直线1l 、2l 关于过圆22(5)(1)2x y -+-=的圆心且和直线y x =垂直的一条直线对称即可，如方法一图，易求60AHB ∠=.三、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤）.,2,1,120.O ABC AB AC BAC ===∆∠︒15.已知为的外心（1）求AB AC的值（2）1212.AO AB AC λλλλ=++若,求的值15. :(1),1ABC R AB AC =∆-解设外接圆半径为由已知得12121212121212(2),1cos ,2cos 4111224AO AB AC AO AC AB AC AC AC R OAC R OAB AO AB AB AB AC AB R R R Rλλλλλλλλλλλλλλ=+⎧=+∠=-+⎧⎪∴∴⎨⎨∠=-=+⎩⎪⎩⎧=-+⎪⎪∴⎨=- 11225136,,463λλλλ⎧=⎪⎪∴∴+=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩⎩ OyxBHPA M16.右图为一组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，//EC PD ，且2PD AD EC ===2（1）求四棱锥B －CEPD 的体积；（2）求证：//BE 平面PDA ． 16.解：（1）∵PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PDCE ∴平面PDCE ⊥平面ABCD∵BC CD ⊥ ∴BC ⊥平面PDCE ∵11()32322S PD EC DC =+⋅=⨯⨯=梯形PDCE∴四棱锥B －CEPD 的体积1132233B CEPD PDCE V S BC -=⋅=⨯⨯=梯形.(2) 证明：∵//EC PD ，PD ⊂平面PDA ，EC ⊄平面PDA∴EC//平面PDA ,同理可得BC//平面PDA∵EC ⊂平面EBC,BC ⊂平面EBC 且EC BC C = ∴平面BEC //平面PDA ，又∵BE ⊂平面EBC ∴BE//平面PDA17.在东西方向直线延伸的一条路上有个村庄,一人骑摩托车以40km/h 的速度从村庄中的点O 处出发,30 分钟后因摩托车故障而停在某处.已知此人出发后,先按东偏北某个方向直线前进,以后又改成正北,但不知最初的方向和何时改变方向,如图建立坐标系，设此人最后停留在P (x ,y )（1）若此人最初沿东偏北0090)θθ<<（度的方向前进，求θ与x ,y 之间的关系式；（2）求此人最后可能停的区域的面积. 17.解：（1）如图：若此人停在P (x ,y )点,从O 开始到Q 点开始改为正北方向∠QOx =θ，有20cos cos sin =+-θθθx x y ，有x y θθcos 1sin 20-+=， （2）由（1）可以知道该直线表示的是截距为20，斜率为0cos 1sin --θθ 的直线,因为20πθ<<，又由0cos 1sin --θθ的几何意义可以知道:它表示的是(0,1)和(θcos ,θsin )直线的斜率，知0cos 1sin --θθ的取值范围是()1,0-，再结合图形可知，由题意可知此人所停的范围是如图所示的阴影部分，又因为此人所停的最大范围是以原点为圆心，20为半径的圆：22220x y +=在第一象限的部分，取圆与阴影部分的交集就是此人可能停留的位置，是如图所示的弓形区域.弓形面积：100200OAB OAB S S S π∆=-=-扇形.18.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，11=a ，数列}{n n S a +是公差为2的等差数列． (1)求2a ，3a ；(2)证明：数列}2{-n a 为等比数列； (3)求数列}{n na 的前n 项和n T ．18.解：(1)∵数列}{n n S a +是公差为2的等差数列，∴2)()(11=+-+++n n n n S a S a ，即221+=+n n a a ，∵11=a ，∴232=a ，473=a .(2)由题意，得121-=-a ，∵212222221=--+=--+n n n n a a a a ， ∴}2{-n a 是首项为1-，公比为21的等比数列． (3)由(2)得1)21(2--=-n n a ，∴112()2n n na n n -=-， ∴211(21)(42)[63()][222n T n =-+-+-++-11()]2n n - 211(2462)[123()22n n =++++-++++ ])21(1-n设21111123()()222n n A n -=++++ ， ① 23111112()3()()22222n n A n =++++ ， ② 由①一②，得2111111()()2222n n A n -=++++- n )21(，∴11()112()12212nn n A n -=-- ，∴4(2)nA n =-+ 1)21(-n ， ∴1(22)1(2)()4(2)22n n n n T n n -+=++-=+ 4)1()21(1-++-n n n .19.已知点M 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，以M 为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F ，与y 轴相交于A 、B 两点，且ABM ∆是边长为2的正三角形. (1)求椭圆的方程.(2) P 、Q 为椭圆C 上两个不同的两点，()0,0R x 为x 轴上一点，且RP RQ =，PQ 与x 轴不垂直，求0x 的取值范围.19.解：（1）∵以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的右焦点F ，与y 轴相交于A 、B 两点，且ABM ∆是边长为2的正三角形.∴点M 的横坐标为3,M 的纵坐标为2±. ∴椭圆的半焦距3c =,所以椭圆的两个焦点坐标分别为12(3,0),(3,0)F F -, ∵12||||2MF MF a+=，∴22222(33)2(33)26a =+++-+=,∴3a =,∴2226b a c =-=故所求椭圆方程为22196x y +=. (2)由已知条件得()0,0R x 在PQ 的中垂线上，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则2211196x y +=，2222196x y +=， 两式相减并整理，得()()2121212123x x y y x x y y +-=--+， ∴PQ 的中垂线方程为()()121212123222y y y y x x y x x x +++⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，令0y =，得1206x x x +=， ∵133x -≤≤，233x -≤≤，且12x x ≠，∴011x -≤≤.20.在长三角城市带的经济发展上，胡锦涛总书记从加快转变经济发展方式等五个方面对未来提出具体要求.五点要求中蕴含了很多亮点：比如说，第一次提出了我们国民经济的发展要从要素驱动向创新驱动转变，大大提高了科学技术、自主创新的地位.连云港市某公司原为国外某公司进行贴牌生产，每件产品的成本是7元，需向品牌厂家交a 元）（53≤≤a 的品牌使用费，预计当每件产品的售价为x 元）（1513≤≤x 时，一年的销售量为216）（x -万件.（1）求公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；（2）求每件产品的售价为多少元时，公司一年的利润L 最大，并求出L 最大值Q(a).（3）该公司近几年立足自主创新，树立了自己的品牌，不用交品牌使用费且售价减少a 元，同时销售量增加到216）（a x +-万件，问售价为多少时，公司一年的利润L 最大，最大为多少？20.解：（1）)1513(,)16)(7(2≤≤---=x x a x L（2）)2330)(16()16)(7(2)16(2a x x x a x x L +--=-----='令0='L ，则16,321021=+=x a x （不合题意，舍去） 因为53≤≤a ，所以340321012≤+≤a ，函数在a x 32101+=的两侧导数值又正变负，所以（Ⅰ）当13121≤≤x ，即13321012≤+≤a ，293≤≤a ，a L L 954)13(max -==（Ⅱ）当340131≤≤x ，即340321013≤+≤a ，529≤≤a ， 2max)33(4)32(a a L L -==所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤-=)529(,)33(4)293(,954)(2a a a a a Q （3）)1513(,)16)(7(2≤≤+---=x a x a x L(16)(3033)L x a x a '=-+-+是开口向上的二次函数，且13101516a a ≤+≤≤+，有二次函数的图像可知，()13,10x a ∈+时0,()L L x '>为增，()10,15x a ∈+时0,()L L x '<为减，所以108)10(max =+=a L L 万元数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A ．选修4-1：几何证明选讲 如图，已知⊙O 的半径为6，割线ABE 经过圆心O ，弦CD 交 AB 于点F ，△COF ∽△EDF ，EB = OA ，试求EF 的大小.解：∵△COF ∽△EDF ，∴CFEF DF CF DF EFOF OF =⇒⋅=⋅， 又由相交弦定理，得DF CF AF FB ⋅=⋅，∴EF AF OF FB ⋅=⋅，又EB = OA = 6，∴()()()6FB 6FB 12FB FB-⋅+=-⋅，解得F B =3，∴639EF EB BF =+=+=.B ．选修4-2：矩阵与变换把椭圆22194x y +=上点(,)x y 按矩阵103102⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭进行变换，这时椭圆是否能变为一个圆，如果能变为一个圆，此圆的面积是多少.解：在椭圆22194x y +=上任意取一点(,)P x y ， 设点(,)P x y 在矩阵103102⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的作用下变换得到点(,)P x y '''，由103102x x y y ⎛⎫⎪'⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪' ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭，可知32x x y y'=⎧⎨'=⎩，椭圆22194x y +=可变为221x y +=，圆的面积为π. C ．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是1=ρ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧=+-=ty tx 341 (t 为参数)，求直线l 与曲线C 相交所成的弦的弦长解：曲线C 的普通方程是122=+y x ，直线l 的方程是0343=+-y x ，圆心到直线的距离35d =，所以弦长23821()55l =-=. D ．选修4-5：不等式选讲已知函数()||1f x x a x =-+-，若关于x 的不等式()2f x ≤的解集为非空集合，求实数a的取值范围.解：由绝对值不等式知，()()()||11|1|f x x a x x a x a =-+-≥---=-，即m i n()1f x a =-，又不等式()2f x ≤的解集为空集， ∴min ()12f x a =-≤，即()2212a -≤，解得13a -≤≤， ∴实数a 的取值范围[]1,3-.22.在上海世博园区内的某个餐饮点上，江苏某种茶饮料一天的销售量与该天的日平均气温（单位：0C ）有关，若日平均气温不超过300C ，则日销售量为100升；若日平均气温超过300C 但不超过350C ，则日销售量为150升，若日平均气温超过350C ,则日销售量为200升.据气象部门预测，上海在世博期间每一天日平均气温不超过300C ，超过300C 但不超过350C ，超过350C 这三种情况发生的概率分别为123,,P P P ，又知12,P P 为方程225150x x a -+=的两根,且23P P =.(1)求123,,P P P 的值；（2）记ξ表示该茶饮料在世博期间任意两天的销售量总和（单位：升），求ξ的分布列及数学期望.22.解：(1)由已知得1231223135P P P P P P P ++=⎧⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩，解得:1P =51,2P =52,3P =52. （2）ξ的可能取值为200，250，300，350，400.P(ξ=200)=51⨯51=251，P(ξ=250)= 2⨯51⨯52=254，P(ξ=300)= 2⨯51⨯52+52⨯52=258 P(ξ=350)= 2⨯52⨯52=258，P(ξ=400)= 52⨯52=254 随机变量ξ的分布列为 ξ200 250 300 350 400 P 251 254 258 258 254 所求的数学期望为E ξ=200⨯251+250⨯254+300⨯258+350⨯258+400⨯254=320(升). 23.设m N +∈，)m ψ(表示2log m 的整数部分（1）求满足)3m ψ(=的所有m 值之和.（2）求证：1)2)3)2)n T n ψψψψ=(+(+(++(-L 是一个偶数.23.解：（1）当)3m ψ(=时，设2log 3(01)m a a =+≤<，则32a m +=，所以3422m ≤<即816m ≤<，所以8,9,10,11,12,13,14,15m =，这些数字之和为()815492S =+⨯=. 证明：（2）当1n =时， 1)2)10110T ψψ=(+(-=+-=，是一个偶数.假设当(1)n k k =≥时，1)2)3)2)k T k ψψψψ=(+(+(++(-L 是一个偶数，则当1n k =+时，11)2)3)2)11)2)3)2)21)22)22)1k k k k k k T k k ψψψψψψψψψψψ+=(+(+(++(--⎡⎤⎡⎤=(+(+(++(+(++(+++(+--⎣⎦⎣⎦L L L因为当12kb ≤≤时，2log (2)1k k b k <+≤+，所以 11221)22)22)1(1)12k k k k k k k k k k k k k ψψψ--(++(+++(+--=+++++--=个L L g 1444442444443是一个偶数，又因为1)2)3)2)k ψψψψ(+(+(++(L 是一个偶数，所以此时T 为偶数， 综合以上可知m N +∈时，1)2)3)2)n T n ψψψψ=(+(+(++(-L 是一个偶数. -。

南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学及答案(精编文档).doc

南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学及答案(精编文档).doc

【最新整理，下载后即可编辑】南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学2018.03注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．参考公式：样本数据x1，x2，…，x n的方差s2＝1n i＝1∑n(x i－－x)2，其中－x＝1n i＝1∑nx i；锥体的体积公式：V＝13Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．函数f (x)＝lg(2－x)的定义域为▲________．2．已知复数z满足z1＋2i＝i，其中i为虚数单位，则复数z的模为▲．3．执行如图所示的算法流程图，则输出a的值为▲．4．某学生5次数学考试成绩的茎叶图如图所示，则这组数据的方差为▲________．5．3名教师被随机派往甲、乙两地支教，每名教师只能被派往其中一个地方，则恰有2名教师被派往甲地的概率为 ▲ ．6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 15＝30，a 7＝1，则S 9的值为▲________．7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若b sin A sin B＋a cos 2B ＝2c ，则ac的值为▲________．8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2－y2b2＝1 (b ＞0) 的两条渐近线与圆O ：222x y +=的四个交点依次为A ，B ，C ，D ．若矩形ABCD 的面积为b ，则b 的值为 ▲ ．9．在边长为4的正方形ABCD 内剪去四个全等的等腰三角形（如图1中阴影部分），折叠成底面边长为2的正四棱锥S -EFGH （如图2），(第3题)(第4题)则正四棱锥S －EFGH 的体积为▲________．10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2＋x ．若f (a )＋f (－a )＜4，则实数a 的取值范围为▲________．11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝m x ＋1(m ＞0)在x ＝1处的切线为l ，则点(2，－1) 到直线l 的距离的最大值为▲________．12．如图，在△ABC 中，边BC 的四等分点依次为D ，E ，F ．若AB →·AC→＝2，AD →·＝5，则AE 的长为▲________．ADBCEFGH(图1)SEFGH(图2)(第9题)(第12题)B A D13．在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：(x ＋4)2＋(y －a )2＝16上两个动点，且AB ＝211．若直线l ：y ＝2x 上存在唯一的一个点P ，使得PA →＋PB →＝OC →，则实数a 的值为▲________． 14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋3x 2＋t ，x ＜0，x ， x ≥0，t ∈R ．若函数g (x )＝f (f (x )－1)恰有4个不同的零点，则t 的取值范围为▲________．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内） 15．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，直线x ＝π12，x ＝7π12是其相邻的两条对称轴．（1）求函数f (x )的解析式； （2）若f (α2)＝－65，且2π3＜α＜7π6，求cos α的值．y x21-1 -2π12π2 7π12O （第15题）16.（本小题满分14分）如图，矩形ABCD 所在平面与三角形ABE 所在平面互相垂直，AE ＝AB ，M ，N ，H 分别为DE ，AB ，BE 的中点． （1）求证：MN ∥平面BEC ； （2）求证：AH ⊥CE ．17．(本小题满分14分)调查某地居民每年到商场购物次数m 与商场面积S 、到商场距离d的关系，得到关系式m ＝k ×Sd2(k 为常数)．如图，某投资者计划在与商场A 相距10km 的新区新建商场B ，且商场B 的面积与商场A 的面积之比为λ (0＜λ＜1)．记“每年居民到商场A 购物的次数”、“每年居民到商场B 购物的次数”分别为m 1、m 2，称满足m 1＜m 2的区域叫做商场B 相对于A 的“更强吸引区域”．（1）已知P 与A 相距15km ，且∠PAB ＝60o．当λ＝12时，居住在P点处的居民是否在商场B 相对于A 的“更强吸引区域”内？请说明理由；（2）若要使与商场B 相距2 km 以内的区域(含边界)均为商场B 相对于A 的“更强吸引区域”，求λ18．(本小题满分16分)（第16题）BEDAH CMNAB(第17题)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为 22，上顶点A 到右焦点的距离为 2 ．过点D (0，m )(m ≠0)作不垂直于x 轴，y 轴的直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，C 为线段PQ 的中点，且AC ⊥OC ． （1）求椭圆E 的方程； （2）求实数m 的取值范围；（3）延长AC 交椭圆E 于点B ，记△AOB 与△AOC 的面积分别为S 1，S 2，若S 1S 2＝83，求直线l 的方程．19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝x (e x －2)，g (x )＝x －ln x ＋k ，k ∈R ，e 为自然对数的底．记函数F (x )＝f (x )＋g (x )．（1）求函数y ＝f (x )＋2x 的极小值；（2）若F (x )＞0的解集为(0，+∞)，求k 的取值范围； （3）记F (x )的极值点为m ．求证：函数G (x )＝|F (x )|＋ln x 在区间(0，m )上单调递增．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(第18题)20．(本小题满分16分)对于数列{a n}，定义b n(k)＝a n＋a n＋k，其中n，k∈N*．（1）若b n(2)－b n(1)＝1，n∈N*，求b n(4)－b n(1)的值；（2）若a1＝2，且对任意的n，k∈N*，都有b n＋1(k)＝2b n(k)．（i）求数列{a n}的通项公式；（ii）设k为给定的正整数，记集合A＝{b n(k)|n∈N*}，B＝{5b n(k＋2)|n∈N*}，求证：A∩B＝ ．南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学附加题2018.03注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试．．．结束后，交回答题纸．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线AD 交圆O 于点D ，DE ⊥AC 且交AC 的延长线于点E ，求证：DE 是圆O 的切线．B ．选修4—2：矩阵与变换已知α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11为矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 a －12属于实数λ的一个特征向量，求λ和A 2．C ．选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t ＋2(t为参数)，圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝a sin θ(a ＞0，θ为参数)，点P 是圆C 上的任意一点．若点P 到直线l 距离的最大值为3，求a 的值．D．选修4—5：不等式选讲对任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指．．．定区域内．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）甲，乙两人站在P点处分别向A，B，C三个目标进行射击，每人向三个目标各射击一次．每人每次射击每个目标均相互独立，且两人各自击中A，B，C的概率分别都为12，13，14．（1）设X表示甲击中目标的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（2）求甲乙两人共击中目标数为2个的概率．23．（本小题满分10分）已知n∈N*，且n≥4，数列T：a1，a2，…，a n中的每一项均在集合M＝{1，2，…，n }中，且任意两项不相等．（1）若n＝7，且a2＜a3＜a4＜a5＜a6，求数列T的个数；（2）若数列T中存在唯一的a k（k∈N*，且k＜n），满足a k＞a k＋1，求所有符合条件的数列T的个数．南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．(－∞，2) 2． 5 3．3 4．16 5．386．－9 7． 2 8．79．4310．(－1，1) 11． 2 12． 6 13．2或-18 14．[－4，0)二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)解：（1）设f (x )的周期为T ，则T 2＝7π12－π12＝π2，所以T ＝π．又T ＝2πω，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)． …………………………………3分因为点(π12，2)在函数图象上，所以2sin(2×π12＋φ)＝2，即sin(π6＋φ)＝1． 因为－π2＜φ＜π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝2sin(2x ＋π3)．…………………………………7分 （2）由f (α2)＝－65，得sin(α＋π3)＝－35．因为2π3＜α＜7π6，所以π＜α＋π3＜3π2，所以cos(α＋π3)＝－1－sin 2(α＋π3)＝－45． ………………………………10分 所以cos α＝cos[(α＋π3)－π3]＝cos(α＋π3)cos π3＋sin(α＋π3) sin π3＝－45×12＋(－35)×32＝－33＋410． ………………………………14分16．(本小题满分14分)（1）解法一：取CE 中点F ，连接FB ，MF .因为M 为DE 的中点，F 为CE 的中点，所以MF ∥CD 且MF ＝12CD ． ……………………………………2分又因为在矩形ABCD中，N为AB的中点，所以BN∥CD且BN＝12 CD，所以MF∥BN且MF＝BN，所以四边形BNMF为平行四边形，所以MN∥BF．……………………………………4分又MN平面BEC，BF平面BEC，所以MN∥平面BEC． (6)分解法二：取AE中点G，连接MG，GN.因为G为AE的中点，M为DE的中点，所以MG∥AD．又因为在矩形ABCD中，BC∥AD，所以MG∥BC．又因为MG平面BEC，BC平面BEC，所以MG∥平面BEC． (2)分因为G为AE的中点，N为AB的中点，所以GN∥BE．又因为GN平面BEC，BE平面BEC，所以GN∥平面BEC．又因为MG∩GN＝G，MG，GN平面GMN，所以平面GMN∥平面BEC．……………………………………4分又因为MN平面GMN，所以MN∥平面BEC．……………………………………6分（2）因为四边形ABCD为矩形，所以BC⊥AB．因为平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE＝AB，BC平面ABCD，且BC⊥AB，所以BC⊥平面ABE．……………………………………8分因为AH 平面ABE ，所以BC ⊥AH ．因为AB ＝AE ，H 为BE 的中点，所以BE ⊥AH ． ……………………………………10分因为BC ∩BE ＝B ，BC 平面BEC ，BE 平面BEC ， 所以AH ⊥平面BEC ． ……………………………………12分又因为CE 平面BEC ，所以AH ⊥CE ． ……………………………………14分 17．(本小题满分14分)解：设商场A 、B 的面积分别为S 1、S 2，点P 到A 、B 的距离分别为d 1、d 2，则S 2＝λS 1，m 1＝k S 1 d 12，m 2＝k S 2d 22，k 为常数，k ＞0．（1）在△PAB 中，AB ＝10，PA ＝15，∠PAB ＝60o ，由余弦定理，得d 22＝PB 2＝AB 2＋PA 2－2AB ·PA cos60°＝102＋152－2×10×15×12＝175． …………………………2分又d 12＝PA 2＝225，此时，m 1－m 2＝k S 1 d 12－k S 2 d 22＝k S 1 d 12－k λS 1 d 22＝kS 1(1d 12－λd 22)， …………………………4分 将λ＝12，d 12＝225，d 22＝175代入，得m 1－m 2＝kS 1(1225－1350)． 因为kS 1＞0，所以m 1＞m 2，即居住在P 点处的居民不在商场B 相对于A 的“更强吸引区域”内． …………………6分（2）解法一：以AB 所在直线为x 轴，A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，0)，B (10，0)，设P (x ，y )，由m 1＜m 2得，k S 1 d 12＜k S 2d 22，将S 2＝λS 1代入，得d 22＜λd 12．……8分代入坐标，得(x －10)2＋y 2＜λ(x 2＋y 2)，化简得(1－λ) x 2＋(1－λ) y 2－20x ＋100＜0． ……………………10分因为0＜λ＜1，配方得 (x －101－λ)2＋y 2＜(10λ1－λ)2，所以商场B 相对于A 的“更强吸引区域”是：圆心为C (101－λ，0)，半径为r 1＝10λ1－λ的圆的内部． 与商场B 相距2 km 以内的区域(含边界)是：圆心为B (10，0)，半径为r 2＝2的圆的内部及圆周．由题设，圆B 内含于圆C ，即BC ＜| r 1－r 2|． …………………………12分因为0＜λ＜1，所以101－λ－10＜10λ1－λ－2，整理得4λ－5λ＋1＜0，解得116＜λ＜1．所以，所求λ的取值范围是(116，1)． …………………………14分解法二：要使与商场B 相距2 km 以内的区域(含边界)均为商场B 相对(第17题)于A 的“更强吸引区域”，则当d 2≤2时，不等式m 1＜m 2恒成立．由m 1＜m 2，得k S 1 d 12＜k S 2 d 22＝k λS 1d 22，化简得d 12＞d 22λ． …………………………8分 设∠PBA ＝θ，则d 12＝PA 2＝AB 2＋PB 2－2AB ·PB cos θ＝100＋d 22－20d 2cos θ， …………………………10分所以100＋d 22－20d 2cos θ＞d 22λ，即100＋d 22－d 22λ20d 2＞cos θ．上式对于任意的θ∈[0，π]恒成立，则有100＋d 22－d 22λ20d 2＞1， ………………………12分即1－1λ＞20·1d 2－100·(1d 2)2＝－100(1d 2－110)2＋1 (*)．由于d 2≤2，所以1d 2≥12．当1d 2＝12时，不等式(*)右端的最大值为－15， 所以1－1λ＞－15，解得λ＞116．又0＜λ＜1， 所以λ的取值范围是(116，1)． ………………………14分 18．(本小题满分16分)解：（1）因为⎩⎨⎧c a ＝22，a ＝2，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1． …………………………2分解法一：（2）由（1）得A (0，1)．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，C (x 0，y 0)，其中x 0，y 0均不为0，且x 1≠x 2．因为P ，Q 两点都在椭圆E 上，所以x 12＋2y 12＝2 且x 22＋2y 22＝2，两式相减得y 2－y 1x 2－x 1×y 0x 0＝－12． …………………………4分 又y 2－y 1x 2－x 1＝y 0－m x 0 ，所以y 0－m x 0×y 0x 0＝－12， …………………………6分 即x 02＝2y 0(m －y 0)． ①又AC ⊥OC ，所以y 0－1x 0×y 0x 0＝－1， …………………………8分 即x 02＝y 0(1－y 0)． ②由①②得y 0＝2m －1，x 02＝(1－2m ) (2m －2)∈(0，2)，所以12＜m ＜1． …………………………10分（3）设B (x 3，y 3)，点B 在椭圆E 上，所以x 32＋2y 32＝2．又AC ⊥OC ，所以y 3－1x 3×y 0x 0＝－1，即y 3＝－x 0y 0x 3＋1，代入上式消去y 3，得x 3＝4x 0y 0y 20＋2x20， …………………………12分所以S 1S 2＝12AO ×|x 3| 12AO ×|x 0|＝|x 3x 0|＝|4y 0y 20＋2x 20|． 由（2）知y 0＝2m －1，x 02＝(1－2m ) (2m －2)，12＜m ＜1，所以S 1S 2＝|4(2m －1)(2m －1)2＋2(1－2m )(2m －2) |＝|43－2m|＝43－2m． …………………………14分 因为S 1S 2＝83，所以43－2m ＝83，解得m ＝34，此时y 0＝2m －1＝12，x 02＝(1－2m ) (2m －2)＝14，所以x 0＝±12， 所以C 点坐标为(±12，12)，D 点坐标为(0，34)，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋34． …………………………16分解法二：（2）由（1）得A (0，1)．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，C (x 0，y 0)．设直线l 方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，将其与椭圆E 的方程联立，消去y 得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0 (*)，所以x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2， …………………………4分所以x 0＝x 1＋x 22＝－2km 1＋2k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m1＋2k2，即C (－2km 1＋2k 2，m1＋2k2)， 所以k AC＝y 0－1x 0＝m1＋2k2－1－2km 1＋2k 2＝2k 2＋1－m2km． …………………………6分又因为k OC ＝y 0x 0＝m1＋2k 2－2km 1＋2k 2＝－12k，且AC ⊥OC ，所以k AC ×k OC ＝2k 2＋1－m 2km ×(－12k)＝－1，整理得m＝2k 2＋14k 2＋1． …………………………8分因为k ≠0，则m ＝2k 2＋14k 2＋1＝4k 2＋1－2k 24k 2＋1＝1－2k 24k 2＋1＝1－12＋12k2∈(12，1)，此时△＝8(2k2＋1－m)＞0，所以实数m的取值范围为(12，1)．…………………………10分（3）设B(x3，y3)，k AB＝－1k OC＝2k，所以直线AB的方程为y＝2kx＋1，与椭圆E方程联立解得x＝－8k1＋8k2或0（舍），即x3＝－8k1＋8k2．…………………12分又因为x0＝－2km1＋2k2＝－2k1＋2k2×2k2＋14k2＋1＝－2k1＋4k2，所以S1S2＝12AO×|x3|12AO×|x|＝|－8k1＋8k2－2k1＋4k2|＝4＋16k21＋8k2．…………………………14分因为S1S2＝83，所以4＋16k21＋8k2＝83，解得k＝±12，此时m＝2k2＋14k2＋1＝34，D点坐标为(0，34)，所以直线l的方程为y＝±12x＋34．…………………………16分19．(本小题满分16分)（1）解：y ＝f (x )＋2x ＝x e x ，由y ′＝(1+ x )e x ＝0，解得x ＝－1.列表如下：值－1e． ………………………2分 （2）解：F (x )＝f (x )＋g (x )＝x e x －x －ln x ＋k ，F ′(x )＝(x ＋1)(e x －1x)， 设h (x )＝e x －1x (x ＞0)，则h ′(x )＝e x ＋1x2＞0恒成立， 所以函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增． 又h (12)＝e －2＜0，h (1)＝e －1＞0，且h (x )的图像在(0，＋∞)上不间断，因此h (x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点x 0∈(12，1)，且e x 0＝1x 0．……………………4分当x ∈(0，x 0)时，h (x )＜0，即F ′(x )＜0；当x ∈(x 0，＋∞)时，h (x )＞0，即F ′(x )＞0，所以F (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，于是x ＝x 0时，函数F (x )取极(最)小值为F (x 0)＝x 0e x 0－x 0－ln x 0＋k ……………………6分＝1－x0－ln 1e x0＋k＝1＋k．因为F(x)＞0的解集为(0，＋∞)，所以1＋k＞0，即k＞－1．……………………8分（3）证明：由（2）知m＝x0，①当1＋k≥0，即k≥－1时，F(x)≥0恒成立，于是G(x)＝F(x)＋ln x＝x e x－x＋k，G ′(x)＝(x＋1)e x－1．因为x∈(0，m)，所以x＋1＞1，e x＞1，于是G ′(x)＞0恒成立，所以函数G(x)在(0，m)上单调递增．……………………10分②当1＋k＜0，即k＜－1时，0＜e k＜12＜x0＝m，F(e k)＝e k( e e k－1)＞0，F(m)＝F(x)＝1＋k＜0，又F(x)在(0，m)上单调递减且图像不间断，所以F(x)在(0，m)上存在唯一的零点x1．……………………12分当0＜x≤x1时，F(x)≥0，G(x)＝F(x)＋ln x＝x e x－x＋k，G ′(x)＝(x＋1)e x－1，因为0＜x≤x1，所以x＋1＞1，e x＞1，于是G ′(x)＞0恒成立，所以函数G(x)在(0，x1]上单调递增；①……………………14分当x1≤x＜m时，F(x)≤0，G(x)＝－F(x)＋ln x，G ′(x)＝－F ′(x)＋1x，由（2）知，当x1≤x＜m时，F ′(x)＜0，于是G ′(x)＞0恒成立，所以函数G(x)在[x1，m)上单调递增；②设任意s，t∈(0，m)，且s＜t，若t ≤x 1，则由①知G (s )＜G (t ),若s ＜x 1＜t ，则由①知G (s )＜G (x 1)，由②知G (x 1)＜G (t )，于是G (s )＜G (t ),若x 1≤s ，由②知G (s )＜G (t ),因此总有G (s )＜G (t ),所以G (x )在(0，m )上单调递增．综上，函数G (x )在(0，m )上单调递增． ………………………16分20．(本小题满分16分)（1）解：因为b n (2)－b n (1)＝1，所以(a n ＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝1，即a n ＋2－a n ＋1＝1，因此数列{a n ＋1}是公差为1的等差数列，所以b n (4)－b n (1)＝(a n ＋a n ＋4)－(a n ＋a n ＋1) ＝a n ＋4－a n ＋1＝3． ……………………2分（2）（i ）解：因为b n ＋1(k )＝2b n (k )，所以a n ＋1＋a n ＋1＋k ＝2(a n ＋a n ＋k )， 分别令k ＝1及k ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＋a n ＋2＝2(a n ＋a n ＋1)， ①a n ＋1＋a n ＋3＝2(a n ＋a n ＋2)， ② ……………………4分由①得a n ＋2＋a n ＋3＝2(a n ＋1＋a n ＋2)，③ …………………………6分③－②得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，④ …………………………8分①－④得2a n ＋1＝4a n ，即a n ＋1＝2a n ，又a1＝2，所以a n＝2n．…………………………10分（ii）证明：假设集合A与集合B中含有相同的元素，不妨设b n(k)＝5b m(k＋2)，n，m∈N*，即a n＋a n＋k＝5(a m＋a m＋k＋2)，于是2n＋2n＋k＝5(2m＋2m＋k＋2)，整理得2n－m＝5(1＋2k＋2)1＋2k. …………………………12分因为5(1＋2k＋2)1＋2k＝5(4－31＋2k)∈[15，20)，即2n－m∈[15，20)，因为n，m∈N*，从而n－m＝4，…………………………14分所以5(1＋2k＋2)1＋2k＝16，即4×2k＝11．由于k为正整数，所以上式不成立，因此集合A与集合B中不含有相同的元素，即A∩B＝ ．…………………………16分南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准2018.03说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内作答．解答应写出文．．．．．．．字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲证明：连结OD，因为OD＝OA，所以∠OAD＝∠ODA．因为AD平分∠BAE，所以∠OAD＝∠EAD，………………3分所以∠EAD＝∠ODA，所以OD∥AE. ………………5分又因为AE⊥DE，所以DE⊥OD ． ………………8分又因为OD 为半径，所以DE 是圆O 的切线． ………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：因为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 a －1 2 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝λ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝λ，－1＋2＝λ，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，λ＝1．…………………………5分 所以A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 0－1 2 ，所以A 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 0－3 4． …………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t ＋2(t 为参数)，所以直线l 的普通方程为y ＝3x ＋2． ……………………………3分又因为圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝a sin θ(a ＞0，θ为参数)，所以圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝a 2． ……………………………6分因为圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝1， ……………………………8分所以1＋a ＝3，解得a ＝2． ……………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲解：方法一：|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，当且仅当x (x －1)≤0，即0≤x ≤1时取等号． ……………………………4分|y －1|＋|y ＋1|≥|y －1－y －1|＝2，当且仅当(y －1)(y ＋1)≤0，即－1≤y ≤1时取等号． ……………………………8分所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3，当且仅当0≤x ≤1，－1≤y ≤1时取等号，所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3． …………………………10分方法二：因为f (x )＝|x －1|＋|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，1，0≤x ＜1，1－2x ，x ＜0，所以f (x )min ＝1． …………………………4分因为g (y )＝|y －1|＋|y ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2y ，y ≥1，2，－1≤y ＜1，－2y ，y ＜－1，所以g (y )min ＝2． …………………………8分综上，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3． …………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．（本小题满分10分）解：（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．P (X ＝0)＝(1－12)×(1－13)×(1－14)＝14， P (X ＝1)＝12×(1－13)×(1－14)＋(1－12)×13×(1－14)＋(1－12)×(1－13)×14＝1124， P (X ＝2)＝(1－12)×13×14＋12×(1－13)×14＋12×13×(1－14)＝14， P (X ＝3)＝12×13×14＝124． 所以，随机变量X 的分布列为X 的数学期望E (X )＝0×4＋1×24＋2×4＋3×24＝1312． …………………………5分 （2）设Y 表示乙击中目标的个数，由（1）亦可知，P (Y ＝0)＝14，P (Y ＝1)＝1124，P (Y ＝2)＝14． 则P (X ＝0，Y ＝2)＝14×14＝116， P (X ＝1，Y ＝1)＝1124×1124＝121576， P (X ＝2，Y ＝0)＝14×14＝116， …………………………8分 所以P (X ＋Y ＝2)＝P (X ＝0，Y ＝2)＋P (X ＝1，Y ＝1)＋P (X＝2，Y ＝0)＝193576． 所以，甲乙两人共击中目标数为2个的概率为193576． …………………………10分23．（本小题满分10分）解：（1）当n＝7时，M＝{1，2，…，7 }，数列T的个数为C27×A22＝42．………………………………2分（2）当k＝1时，则a1＞a2，a2＜a3＜…＜a n，此时a2为1，a1共有n－1种选法，余下的n－2个数，按从小到大依次排列，共有1种，因此k＝1时，符合条件的数列T共有n－1＝C1n－1个．……………………………3分当2≤k≤n－2时，则a1＜a2＜…＜a k，a k＞a k＋1，a k＋1＜a k ＜…＜a n，＋2从集合M中任取k个数，按从小到大的顺序排列，再将余下的n－k个数，按从小到大的顺序排列，即得满足条件a1＜a2＜…＜a k，a k＋1＜a k＋2＜…＜a n的数列的个数为C k n C n－k n－k，这里包含了a k＜a k＋1即a1＜a2＜…＜a k＜a k＋1＜a k＋2＜…＜a n的情形，因此符合条件的数列T的个数为C k n C n－k n－k－1＝C k n－1．………………………………7分当k＝n－1时，则a1＜a2＜…＜a n－1，a n－1＞a n此时a n－1为n，a n共有n－1种选法，余下的n－2个数，按从小到大依次排列，共有1种，因此k＝n－1时，符合条件的数列T共有n－1＝C n－1n－1个．…………………………8分于是所有符合条件的数列T的个数为：C1n－1＋C2n－1＋…＋C n－1n－1＝C1n＋C2n＋…＋C n－1n－n ＋1＝2n－C0n－C n n－n＋1＝2n－n－1．………………………………10分【最新整理，下载后即可编辑】。

江苏省南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学试卷

江苏省南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学试卷

南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 参考公式：柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面积,h 为高.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合{}|(4)0A x x x =-<，{}0,1,5B =，则AB = ▲ ．2．设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +⋅为纯虚数，则a 的值为 ▲ ．3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为 ▲ ．4．执行如图所示的伪代码，若0x =，则输出的y 的值为 ▲ ．5．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 ▲ ．6．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为 ▲ ． 7．设函数1x x y e a e=+-的值域为A ，若[0,)A ⊆+∞，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 8．已知锐角,αβ满足()()tan 1tan 12αβ--=，则αβ+的值为 ▲ ． 9．若函数sin y x ω=在区间[0,2]π上单调递增，则实数ω的取值范围是 ▲ ．时间(单位:分钟)组距50 60 70 80 90 100 0.035 a 0.020 0.010 0.005第3题图Read xIf 0x > Then ln y x ← Elsexy e ← End If Print y第4题图10．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若{}n a 的前2017项中的奇数项和为2018，则2017S 的值为 ▲ ．11．设函数()f x 是偶函数，当x ≥0时，()f x =(3),03,31,>3x x x x x-≤≤⎧⎪⎨-+⎪⎩，若函数()y f x m =- 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，若直线(33)y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =，则实数k 的最小值为 ▲ ．13．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处，且,A B 的位置所图所示，则CD AB ⋅的最大值为 ▲ ．14．若不等式2sin sin sin 19sin sin k B A C B C +>对任意ABC ∆都成立，则实数k 的最小值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，点,M N 分别是11,AB A B 的中点. （1）求证：BN ∥平面1A MC ； （2）若11A M AB ⊥，求证：11AB A C ⊥.16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知52c =. （1）若2C B =，求cos B 的值； （2）若AB AC CA CB ⋅=⋅，求cos()4B π+的值．17．(本小题满分14分)A第13题图ABCA 1B 1C 1MN第15题图有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF 是以O 为圆心、120EOF ∠=︒的扇形，且弧EF ,GH 分别与边BC ,AD 相切于点M ,N ． （1）当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下顶点为B ，点,M N 是椭圆上异于点B 的动点，直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ，且点Q 是线段OP 的中点．当点N 运动到点处时，点Q的坐标为． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点,M N 均在y且2DN NM =时，求直线BM 的方程．19．(本小题满分16分)第18题图第17题-图甲F第17题-图乙设数列{}n a 满足221121()n n n a a a a a λ+-=+-，其中2n ，且n N ∈，λ为常数.（1）若{}n a 是等差数列，且公差0d ≠，求λ的值；（2）若1231,2,4a a a ===，且存在[3,7]r ∈，使得n m a n r ⋅-对任意的*n N ∈都成立，求m 的最小值；（3）若0λ≠，且数列{}n a 不是常数列，如果存在正整数T ，使得n T n a a +=对任意的*n N ∈均成立. 求所有满足条件的数列{}n a 中T 的最小值.20．(本小题满分16分)设函数()ln f x x =，()bg x ax c x=+-（,,a b c R ∈）. （1）当0c =时，若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，求,a b 的值；（2）当3b a =-时，若对任意0(1,)x ∈+∞和任意(0,3)a ∈，总存在不相等的正实数12,x x ，使得120()()()g x g x f x ==，求c 的最小值；（3）当1a =时，设函数()y f x =与()y g x =的图象交于11(,),A x y 2212(,)()B x y x x <两点．求证：122121x x x b x x x -<<-.。

2018年江苏省高考数学模拟试卷(1)(含详细答案)

2018年江苏省高考数学模拟试卷(1)(含详细答案)

2018年江苏省高考数学模拟试卷（1）第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1． 已知{}2A x x =＜，{}1B x x =＞ ，则A B = ▲ ． 2． 已知复数z 满足(1i)2i z -=+，则复数z 的实部为 ▲ ． 3． 函数5()log (9)f x x =+ 的单调增区间是 ▲ ．4． 将一颗质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的的概率是 ▲ ．5． 执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值为13，则输入的x 的值是 ▲ ． 6． 一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量（单位：t/hm 2）分别为：9.4，9.7，9.8，10.3，10.8，则这组样本数据的方差为 ▲ ． 7． 已知函数()sin()(030)f x x ωϕωϕ=+<<<<π，．若4x π=-为函数()f x 的一个零点，3x π=为函数()f x 图象的一条对称轴，则ω的值为 ▲ ．8． 已知1==a b ，且()()22+⋅-=-a b a b ，则a 与b 的夹角为 ▲ ． 9． 已知() 0 αβ∈π，，，且()1tan 2αβ-=，1tan 5β=-，则tan α的值为 ▲ ． 10．已知关于x 的一元二次不等式2 >0ax bx c ++的解集为()1 5-，，其中a b c ，，为常数．则不等式2 0cx bx a ++≤的解集为 ▲ ．11．已知正数x ，y 满足121x y+=，则22log log x y +的最小值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22280x y x ++-=，直线l ：(1) ()y k x k =-∈R 过定点A ，且交圆C 于点B ，D ，过点A 作BC 的平行线交CD 于点E ，则三角形AEC 的周长为 ▲ ． 13．设集合{}*2n A x x n ==∈N ，，集合{}*n B x x b n ==∈N ， 满足A B =∅，且*A B =N ．若对任意的*n ∈N ，1n n b b +<，则2017b 为 ▲ ．14．定义：{}max a b ，表示a ，b 中的较大者．设函数{}()max 11f x x x =-+，，2()g x x k =+， 若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数k 的取值范围是 ▲ ．（第5题）二、解答题：本大题共6小题，共90分. 15．（本小题满分14分）在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知cos cos 02C C +=．（1）求C 的值．（2）若c =1，三角形ABC，求a ，b 的值．16．（本小题满分14分）如图，在多面体ABC —DEF 中，若AB //DE ，BC //EF ． （1）求证：平面ABC //平面DEF ；（2）已知CAB ∠是二面角C -AD -E 的平面角． 求证：平面ABC ⊥平面DABE ．A FED CB（第16题）（第17题）如图，长方形ABCD 表示一张6⨯12（单位：分米）的工艺木板，其四周有边框（图中阴影部分）， 中间为薄板．木板上一瑕疵（记为点P ）到外边框AB ，AD 的距离分别为1分米，2分米． 现欲经过点P 锯掉一块三角形废料MAN ，其中M N ，分别在AB ，AD 上．设AM ，AN 的 长分别为m 分米，n 分米．（1）为使剩下木板MBCDN 的面积最大，试确 定m ，n 的值；（2）求剩下木板MBCDN 的外边框长度（MB ， BC CD DN ，，的长度之和）的最大值．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C ：2221x y a+=（a ＞1）. （1）若椭圆C 的焦距为2，求a 的值；（2）求直线1y kx =+被椭圆C 截得的线段长（用a ，k 表示）；（3）若以A （0，1）为圆心的圆与椭圆C 总有4个公共点，求椭圆C 的离心率e 的取值范围.（第18题）已知函数32()2()f x x ax bx c a b c =+++∈R ，，．（1）若函数()f x 为奇函数，且图象过点(12)-，，求()f x 的解析式； （2）若1x =和2x =是函数()f x 的两个极值点． ①求a ，b 的值；②求函数()f x 在区间[03]，上的零点个数．20．（本小题满分16分）设等差数列{}n a 与等比数列{}n b 共有m * ( )m ∈N 个对应项相等． （1）若110a b =>，11110a b =>，试比较66a b ，的大小； （2）若34n a n =-，()12n n b -=--，求m 的值．（3）若等比数列{}n b 的公比0q >，且1q ≠，求证：3m ≠．【参考结论】若R 上可导函数()f x 满足()()f a f b =（a b <），则()a b ξ∃∈，，()0f ξ'=．（第21- A 题）第II 卷（附加题，共40分）21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．. A ，（选修4-1；几何证明选讲） 如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，BC BD =，BA 的延长线交CD 的延长线于点E ．求证：AE 是四边形ABCD 的外角DAF ∠的平分线．B ．（选修4-2：矩阵与变换） 已知矩阵1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，11201⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦B ，求矩阵AB 的逆矩阵．C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，求圆24sin 50ρρθ--=截直线π()3θρ=∈R所得线段长． D ．（选修4-5：不等式选讲）求证：5．【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.22．在平面直角坐标系xOy 中，设点2(2)A a a ，，2(2)B b b ，，(12)C ，均在抛物线22(0)y px p =>上，且90BCA ∠=︒． （1）求p 的值； （2）试用a 表示b ；（3）求直线5x =与直线AB 交点的纵坐标． 23．(1)2n n +（2n n ∈*N ≥，）个不同数随机排成如下的一个三角形：k M ()1 k n k ∈*N ≤≤，是从上往下数第k 行中的最大数，n p 为12n M M M <<⋅⋅⋅<的概率． （1）求2p 的值；（2）猜想n p 的表达式，并证明．＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ …………………… ＊ ＊ … ＊ ＊2018年江苏省高考数学模拟试卷（1）参考答案一、填空题1．()12，．A B =()12，．2．12． (2)(1)2i 13.1i (1)(1)2i i iz i i ++++===--+，则复数z 的实部为 12．3．（-9，+∞）．函数5()log (9)f x x =+的单调增区间（-9，+∞）.4． 536．点数之和是6包括(15)(24)(33)(42)(15)，，，，，，，，，共5种情况，则所 求概率是536．5． 8．若613x =，则1326x =>，不符；若513x +=，则82x =>．6． 0. 244．这组数据的平均数为10，方差为222221(109.4)(109.7)(109.8)(1010.3)(1010.8)0.245⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦. 7． 76．函数()f x 的周期4(3T π=⨯)43π7π+=，又Τω2π=，所以ω的值为76.8． π．依题意，2220+⋅-=a a b b ，又1==a b ，故1⋅=a b ，则a 与b 的夹角为π． 9． 113．()()()()11tan tan 25tan tan 111tan tan 125αββααββαββ--+=-+===⎡⎤⎣⎦---⨯-113． 10． 115⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．因为不等式2 >0ax bx c ++的解集为()1 5-，，所以(1)(5)>0a x x +-，且0a <，即245>0ax ax a --，则45b a c a =-=-，，则2 0cx bx a ++≤即为254 0ax ax a --+≤，从而254 1 0x x +-≤，故解集为115⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，． 11．3．由121x y +=得，02y x y =>-，则()222222222log log log log log 22y y x y xy y y -++===-- ()224log 24log 832y y ⎡⎤=-++=⎢⎥-⎣⎦≥． 12． 5．易得圆C ：22(1)9x y -+=，定点A (10)-，，EA ED =，则3EC EA EC ED +=+=， 从而三角形AEC 的周长为5．13． 2027．易得数列{}n b ：1，3，5，6，7，9，10，11，12，13，14，15，17，…，则1137++++…12121k k k ++-=--，当10k =，12120372017k k +--=>，2037201720-=，从而第2017项为1121202027--=． 14． ()()5114-∞-，，．{}()max 11f x x x =-+，2()()g x x k k =+∈R 恰有4个零点， 当54k =时，()f x 与()g x 相切．如图，结合图形知，实数k 的取值范围是())5114-∞-，，． 二、解答题15． （1）因为cos cos 02C C +=，所以22cos cos 1022C C +-=，解得cos 12C =-或1cos 22C =， 又0C π＜＜ ，故22C π0＜＜，从而23C π=，即23C π=．（2）由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得，221a b ab ++=， ① 由三角形ABC 的面积1sin 2ab C ==13ab =， ②由①②得，a b ==．16． （1）因为AB //DE ，又AB ⊄平面DEF ， DE ⊂平面DEF ，所以AB //平面DEF ， 同理BC //平面DEF ， 又因为ABBC C =，A B B C ⊂，平面ABC ，所以平面ABC //平面DEF . （2）因为CAB ∠是二面角C -AD -E 的平面角，所以CA AD BA AD ⊥⊥，， 又因为CA AB A =， AB ，CA ⊂平面ABC ，所以DA ⊥平面ABC ， 又DA ⊂平面DABE ，所以平面ABC ⊥平面DABE .17． （1）过点P 分别作AB ，AD 的垂线，垂足分别为E ，F ， 则△PNF 与△MPE 相似，从而PF NF EM PE=，所以2121n m -=-，即211m n+=． 欲使剩下木板的面积最大，即要锯掉的三角形废料MAN 的面积 12S mn =最小．由211m n =+≥8mn ≥ （当且仅当21m n =，即4m =，2n =时，“=”成立），此时min 4S =（平方分米）． （2）欲使剩下木板的外边框长度最大，即要m n +最小．由（1）知，()()212333n m m n m n m n m n +=++=++=≥，（当且仅当2n m m n =即2m =，1n 时，“=”成立），答：此时剩下木板的外边框长度的最大值为33-分米．18． （1）由椭圆C ：2221x y a+=（a ＞1）知， 焦距为2=， 解得a =因为a ＞1，所以a =（第17题）（2）设直线1y kx =+被椭圆截得的线段长为ΑΡ， 由22211y kx x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()2222120a k x a kx ++=， 解得10x =，222221a kx a k=-+．因此2122221a kΑΡx a k=-=+． （3）因为圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有2个不同的公共点为P ，Q ，满足AP AQ =．记直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，20k >，12k k ≠． 由（2）知，1AP2AQ ，12，所以22222222121212)1(2)0k k k k a a k k ⎡⎤-+++-=⎣⎦（，因为1k ，20k >，12k k ≠，所以22222212121(2)0k k a a k k +++-=， 变形得，()()22221211111(2)a a k k ++=+-， 从而221+(2)1a a -＞，解得a则)1c e a =． 19． （1）因为函数()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=-，即()()()323222x a x b x c x ax bx c -+-+-+=----， 整理得，20ax c +=，所以0a c ==，从而3()2f x x bx =+，又函数()f x 图象过点(12)-，，所以4b =-． 从而3()24f x x x =-．（2）①32()2()f x x ax bx c a b c =+++∈R ，，的导函数2()62f x x ax b '=++． 因为()f x 在1x =和2x =处取得极值，所以(1)0(2)0f f ''==，， 即6202440a b a b ++=⎧⎨++=⎩，，解得912a b =-=，． ②由（1）得32()2912()f x x x x c c =-++∈R ，()6(1)(2)f x x x '=--． 列表：显然，函数()f x 在[0，3]上的图象是一条不间断的曲线．由表知，函数()f x 在[0，3]上的最小值为(0)f c =，最大值为(3)9f c =+． 所以当0c >或90c +<（即9c <-）时，函数()f x 在区间[03]，上的零点个数为0． 当50c -<<时，因为(0)(1)(5)0f f c c =+<，且函数()f x 在(0，1)上是单调增函数，所以函数()f x 在(0，1)上有1个零点．当54c -<<-时，因为(1)(2)(5)(4)0f f c c =++<，且()f x 在(1，2)上是单调减函数， 所以函数()f x 在(1，2)上有1个零点．当94c -<<-时，因为(2)(3)(4)(9)0f f c c =++<，且()f x 在(2，3)上是单调增函数， 所以函数()f x 在(2，3)上有1个零点．综上，当0c >或9c <-时，函数()f x 在区间[03]，上的零点个数为0；当95c -<-≤或40c -<≤时，零点个数为1； 当4c =-或5c =-时，零点个数为2；当54c -<<-时，零点个数为3．20．（1）依题意，11111166022a a a aa b ++=- （当且仅当111a a =时，等号成立）．（2）易得()1342n n --=--，当n 为奇数时，()13420n n --=--<，所以43n <，又*n ∈N ，故1n =，此时111a b ==-；当n 为偶数时，()13420n n --=-->，所以43n >，又*n ∈N ，故246n =，，，…若2n =，则222a b ==，若4n =，则448a b ==， 下证：当6n ≥，且n 为偶数时，()1342n n --<--，即()12134n n --->-．证明：记()12()34n p n n ---=-，则()()()112434(2)341()32322n n n p n n p n n n +----+-=⋅=>++--， 所以()p n 在6n ≥，且n 为偶数时单调递增， 从而17()(6)17p n p >=>．综上，124n =，，，所以m 的值为3． （3）证明：假设3m =，不妨123n n n <<，满足11n n a b =，22n n a b =，33n n a b =， 设1(1)n a a n d =+-，11n n b b q -=，其中0q >，且1q ≠， 记11()(1)xb f x a x d q q=+--⋅， 则1()ln x b f x d q q q '=-⋅，()21()ln x b f x q q q''=-⋅，由参考结论，知112()n n ξ∃∈，，1()0f ξ'=，223()n n ξ∃∈，，2()0f ξ'=， 同理，12()ηξξ∃∈，，()0f η''=，即()21()ln 0b f q q qηη''=-⋅=， 这与()21()ln 0b f q q qηη''=-⋅≠矛盾，故假设不成立，从而3m ≠．第Ⅱ卷（附加题，共40分）A ．因为ABCD 是圆的内接四边形，所以DAE BCD ∠=∠，FAE BAC BDC ∠=∠=∠． 因为BC BD =，所以BCD BDC ∠=∠， 所以DAE FAE ∠=∠，所以AE 是四边形ABCD 的外角DAF ∠的平分线． B ．因为1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，11201⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦B ，所以11101122020102⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦AB ． 由逆矩阵公式得，1114()102-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦AB ． C ．以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy ． 则圆24sin 50ρρθ--=化为普通方程22450x y y +--=，即22(2)9x y +-=．直线π()3θρ=∈R化为普通方程y =0y -=．圆心(02)，0y -=的距离为1d ==，于是所求线段长为 D ．由柯西不等式可得，(()22222215⎤++=⎦≤，（当且仅当=16[34]5x =∈，时，“=”成立．） 22． （1）依题意，将(12)C ，代入22(0)y px p =>得，2p =； （2）因为 90BCA ∠=︒，所以0CA CB ⋅=，其中2(122)CA a a =--，，2(122)CB b b =--，， 从而22(1)(1)4(1)(1)0a b a b --+--=，化简得，51a b a +=-+；（3）易得直线AB 的方程为222()y a x a b a-=-+， 令5x =得，22(5)2251y a a a a a =-+=-+-++． 23．当2n =时，1，2，3排成一个三角形有：1 1 2共有6种，其中满足12M M <的有如下4种：所以24263p ==；（2）设当n k =时，12k M M M <<⋅⋅⋅的概率为k p ，则当1n k =+时，121k k M M M M +<<⋅⋅⋅<的概率为1k p +， 而1k +排在第1k +行的概率为12(1)(11)22k k k k +=++++， 所以12(2)2k k p p k k +=+≥，即12(2)2k k p k p k +=+≥， 故3224p p =，4325p p =，5426p p =，…，121n n p p n -=+， 叠乘，得()22214n n p p n n -=+⨯⨯⋅⋅⋅⨯，其中24263p ==， 所以n p 2(1)!n n =+．12 31 3 22 1 32 3 1。

(完整word)南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学与答案

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南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数 学2018.03注意事项：1.本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分.本 试卷满分为160分，考试时间为120分钟.2 .答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内 •试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答题纸. 参考公式：1 n _ _ 1 n 样本数据X 1 , X 2，…，X n 的方差S 2=—刀(X i - X )2,其中壬=-刀X i ；n i = 1 n i = 11锥体的体积公式：-3Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的 指定位置上）函数f （x ）= lg （2 — x ）的定义域为__▲ z已知复数z 满足 =i ,其中i 为虚数单位，则复数z 的模为 ▲1 + 2i1.2. 3.执行如图所示的算法流程图 ，则输出a 的值为—▲生5次数学考试成绩的茎叶图如图所示，则这组数据的方某学（第3题）（第4题）5. 3名教师被随机派往甲、乙两地支教，每名教师只能被派往其中一个地方，则恰有2名教师被派往甲地的概率为▲.6. 已知等差数列｛a n｝的前n项和为S n.若S i5= 30, a7= 1 ,则S9的值为▲_a7. 在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c.若b s in A s in B+ a cos2B= 2c,贝厂的值为c▲y2J Q Q&在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：x2— &= 1 （b>0）的两条渐近线与圆O：x y 2的四个交点依次为A, B, C, D.若矩形ABCD的面积为b,则b的值为▲.9.在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形（如图1中阴影部分），折叠成底面边长为、的正四棱锥S-EFGH （如图2）,则正四棱锥S—EFGH的体积为▲ _(图1) (图2)(第9题)f (x)= x2+ x.若f ⑻+ f (-a)v 4,则实数10 .已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，且当x >0时,a的取值范围为▲m11 .在平面直角坐标系xOy中，曲线y= (m > 0)在x= 1处的切线为I,则点(2 , - 1)到直线l长为▲x+ 1的距离的最大值为▲ _12 .如图，在厶ABC中，边BC的四等分点依次为D , E, F.若只B E C = 2, A D A F = 5 ,则AE的xOy中，已知A, B为圆C：(x+ 4)2+ (y —a)2= 16上两个动点，且AB= 13 .在平面直角坐标系2-，11.若直线l: y = 2x上存在唯一的一个点P,使得B A + P B = OC ,则实数a的值为-x 3+ 3x 2 +1, x v 0,14 .已知函数f (x ) =t € R .若函数g (x )= f (f (x )— 1)恰有4个不同的零点，则x ,x>0,t 的取值范围为▲_二、解答题(本大题共6小题，计90分•解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内 ) 15 .(本小题满分14分)n n n 7 n已知函数f (x ) = 2sin( 3X + 0)( 3 > 0, - 2v X 2的部分图象如图所示，直线x =齐,x =齐是其16.(本小题满分14分)如图，矩形ABCD 所在平面与三角形 AB , BE 的中点.(1) 求证：MN //平面BEC; (2) 求证:AH 丄CE相邻的两条对称轴 (1)求函数f (x )的解析式；6 2 n7 n5,且 ~ V a V ~ ,求 COS a 的值.ABE 所在平面互相垂直，AE = AB , M , N , H 分别为DE ,y(第16 题)17 .（本小题满分14分）调查某地居民每年到商场购物次数m 与商场面积S 、到商场距离d 的关系，得到关系式 m = k xSJ （k 为常数）.如图，某投资者计划在与商场 A 相距10km 的新区新建商场 B ,且商场B 的面积 与商场A的面积之比为 入（0 v 忘1） •记 每年居民到商场 A 购物的次数”、每年居民到商场 B 购 物的次数”分别为m 1、m 2,称满足m 1v m 2的区域叫做商场 B 相对于A 的更强吸引区域”.1（1）已知P 与A 相距15km ,且ZPAB= 60°.当 &：时，居住在P 点处的居民是否在商场 B 相对于A 的 更强吸引区域”内？请说明理由；（2）若要使与商场B 相距2 km 以内的区域（含边界）均为商场B 相对于A 的更强吸引区域”的取值范围.18 .（本小题满分16分）x 2 y 2壘如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆E ： 2+ 2= 1（a > b > 0）的离心率为，上顶点A 到右 a 2 b 22焦点的距离为 2 .过点D （0, m ）（m 丸）作不垂直于x 轴，y 轴的直线I 交椭圆E 于P , Q 两点，C 为线段PQ 的中点，且AC 丄OC .（1） 求椭圆E 的方程; （2） 求实数m 的取值范围；，求入B19 .(本小题满分16分)已知函数 f (x )= x (e x — 2), g (x )= x — ln x + k , k € R , e 为自然对数的底.记函数 F (x )= f (x )+ g (x ). (1) 求函数y = f (x ) + 2x 的极小值；(2) 若F (x ) >0的解集为(0, +〜，求k 的取值范围； (3)记F (x )的极值点为m .求证：函数G (x ) =|F (x )|+ In x 在区间(0, m )上单调递增.(极值点是指 函数取极值时对应的自变量的值)20 .(本小题满分16分)对于数列{a n },定义 b n (k )= a n + a n + k ,其中 n , k € N* . (1) 若 b n (2) — b n (1) = 1 , n € N*,求 b n (4) — b n (1)的值； (2) 若 a 1 = 2,且对任意的 n , k € N* ,都有 b n + 1(k )= 2b n (k ).(i )求数列{a n }的通项公式;,记集合 A = {b n (k )|n € N*}, B = {5g(k + 2)|n € N*},程.(3)延长AC 交椭圆E 于点B ,记△ AOB 与厶AOC 的面积分别为S i , S 2,若83, 求直线I 的方(ii )设k 为给定的正整数S 2求证：A n B=南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学附加题2018.03注意事项：1. 附加题供选修物理的考生使用•2 •本试卷共40分，考试时间30分钟.3.答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内.试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答题纸.21 .选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.请在答卷纸指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A .选修4 —1 :几何证明选讲如图，AB是圆O的直径，AC是弦，/BAC的平分线AD交圆O于点D, DE丄AC且交AC的延长线于点E,求证：DE是圆O的切线.B.选修4 —2 :矩阵与变换1 1属于实数入的一个特征向量，求入和A2.已知a= 为矩阵A =1 —1C.选修4 —4 :坐标系与参数方程x= t,在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为y = p3t + 2x = a cos 9,y= a sin 9但＞°，9为参数），点P是圆C上的任意一点.若点P到直线1距离的最大值为3，求aD .选修4 —5 :不等式选讲对任意x, y€ R,求|x—1| + |x|+ |y—1| + |y+ 1| 的最小值.必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答卷卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22 .（本小题满分10分）甲，乙两人站在P点处分别向A, B, C三个目标进行射击，每人向三个目标各射击一次•每人每次射击每个目标均相互独立1 1 1 ,且两人各自击中A, B, C的概率分别都为2, 3 ；(2)求甲乙两人共击中目标数为2个的概率•23 •(本小题满分10分)已知n € N*,且n>4,数列T：a i, a?,…，中的每一项均在集合M ={1 , 2，…，n }中，且任意两项不相等.(1) 若n= 7,且a2 v a3< a4< a5< a6,求数列T的个数；(2) 若数列T中存在唯一的a k ( k€ N*,且k< n),满足a k>a k+1,求所有符合条件的数列T 的个数.(1)设X表示甲击中目标的个数,求随机变量X的分布列和数学期望南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学参考答案说明：1. 本解答给出的解法供参考•如果考生的解法与本解答不同 ，可根据试题的主要考查内容比照评分 标准制订相应的评分细则•2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时 ，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半 ；如果后续部分的解答有 较严重的错误，就不再给分.3. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数 .4.只给整数分数,填空题不给中间分数指定位置上）、填空题（本大题共14小题，每小题5分,计70分.不需写出解答过程 ，请把答案写在答题纸的4. 164 9.310.（-1，1）13 . 2 或-1814 .[—16 .（本小题满分14分）（1）解法一：取CE 中点F ,连接FB, MF .因为M 为DE 的中点，F 为CE 的中点，4, 0)、解答题（本大题共6小题，计90分•解答应写出必要的文字说明 ,证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内 ）15 .（本小题满分14分）T 7 n n n解：（1）设f （x ）的周期为「则2=秒-穆=2，所以—.2 n 又T =，所以33= 2,所以 f (x ) = 2sin(2 x + 0).3•分nn 因为点（—，2）在函数图象上，所以2sin （2 x —+ 0） = 2 , 1212nnn因为-2<0<2,所以0=3，所以nf (x )= 2sin(2 x + 3).n即叫+0)= 1.7•分a由f （?6 n 3 5,得 sin( a + -)=-5.2 n7 n n 3 n因< a <—,所以 n< a + — < ,3 632所cosa+3)=-..a10•分7t 7tTt nn n所以 cos a = cos[( a +_) —一]= cos( a +一)cos 一 + sin( a +_) sin_3 3 3 3 3 34 13 - 3 =—5 x 2+(—5)x 73.3+ 4 1014..分1 所以MF//CD 且MF=-CD. ...................................... 2•分•2又因为在矩形ABCD中，N为AB的中点，1所以BN//CD 且BN=-CD,2所以MF//BN且MF= BN,所以四边形BNMF为平行四边形，所以MN //BF. ...................................... 4•分-又MN 平面BEC, BF平面BEC所以MN //平面BEC. ...................................... 6•分- 解法二：取AE中点G,连接MG , GN.因为G为AE的中点，M为DE的中点，所以MG //AD.又因为在矩形ABCD中，BC//AD ,所以MG //BC.又因为MG 平面BEC, BC平面BEC,所以MG //平面BEC. ...................................... 2分・因为G为AE的中点，N为AB的中点，所以GN //BE.又因为GN 平面BEC, BE 平面BEC,所以GN //平面BEC.又因为MG n GN = G, MG, GN 平面GMN ,所以平面GMN //平面BEC. ...................................... 4••分-又因为MN 平面GMN ,所以MN //平面BEC. ...................................... 6•分•(2)因为四边形ABCD为矩形，所以BC丄AB.因为平面ABCD丄平面ABE,平面ABCD n平面ABE= AB, BC 平面ABCD,且BC丄AB,所以BC丄平面ABE ...................................... 8分・因为AH 平面ABE ,所以BC 丄AH .S 1 S?则 S 2 = 0 , m 1 = k~—2, m 2= k -—2, k 为常数，k >0.(1)在厶 PAB 中，AB = 10, PA = 15 ,ZPAB= 60°,由余弦定理，得 d 21 2= PB 2 = AB 2 + PA 2— 2ABPA cos60 °1=102+ 152-2 X 10 X 15 k= 175 .2又 d 12 = PA 2= 225 ,S 1S? S 1 XSi1此时，m 1- m 2= k 2 — k 2= k 2 — k 2 = k$(d 12 d 22 d 12 d 22 d 121 1 1将入=一，d 12= 225 , d 22 = 175 代入，得 m 1— m 2= kS 1(— ). 2 225 350因为kS 1 > 0,所以m 1> m 2,即居住在P 点处的居民不在商场 B 相对于A 的更强吸引区域”内. ............ 6•分 (2)解法一：以AB 所在直线为x 轴，A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系 则 A (0, 0), B (10 , 0),设 P (x , y ),因为 AB =AE , H 为BE 的中点，所以BE 丄AH . 10•分因为 BC n BE = B , BC 平面 BEC, BE平面 BEC,所以AH 丄平面BEC.12分 又因为 CE 平面BEC,所以AH 丄CE .14分17. (本小题满分 14解：设商场 A 、 B 的面积分别为$、S 2,点P 到A 、B 的距离分别为 d 1、d 2,入d?,4 •分S i S 2由mi < m2得，k 體v k&,将S2 =0代入，得d/vd 2. ••…8分代入坐标,得(x — 10)2 + y 2<心2 + y 2),化简得(1 —片 x 2 + (1 —耳 y 2— 20x + 100 < 0....................... 1-0-分与商场B 相距2 km 以内的区域（含边界）是：圆心为B （10 , 0）,半径为「2 = 2的圆的内部及由题设，圆B 内含于圆C ,即BC < |「1 — Bl .整理得4入—入+1 所以，所求入的取值范围是仏,1）• 解法 要使与商场B 相距2 km 以内的区域 洽边界）均为商场B 相对于A 的更强吸引区域 则当d 2<2时，不等式m 1 < m 2恒成立.S 1 S 2 ?S1d 22 由 m 1 < m 2,得 k —2< k — = k —2,化简得 d 12>——d 12 d 22 d 22入设/PBA = e ,则 d 12= PA = AB 2 + PB 2— 2ABPB cos e = 100 + d 22 — 20 d 2cos e,10 因为0<入< 1,所以 —10 <1 —入 的内部•因为0<入< 1,配方得所以商场 101 —B 相对于A 的更强吸引区域”是：圆心为圆周•12 •分14分 10•分)2+ y 2< ( 10C （L ，0）,半径为 r1 =d 22…100 + d 22 — 一d 2入所以 100 + d 22— 20d 2cos 0> —,即>cos 0.入 20d 211 1 11即 1 —一〉20 ―― 100 (—)2 = — 100( — )2 + 1 (*).入 d 2 d 2 d 2 101 1当旷2时，不等式（*）右端的最大值为—15，1 1 所以1-；＞-15，解得心和.1所以入的取值范围是（16, 1）.......................... 14-分18 .（本小题满分16分）c 卫,解：（1）因为 a 2 所以 c = 1 , b 2 = a 2— c 2= 1,a= - 2,x 2所以椭圆E 的方程为+y 2= 1............................ 2 •分解法一：(2)由(1)得 A (0, 1).设 P (x 1, y 1), Q (X 2, y 2), C (x 0, y °),其中X 0, y ° 均不为 0,且 X 1 壬X 2.因为P, Q 两点都在椭圆 E 上,所以X 12+ 2y 12= 2且X 22 + 2y 22= 2, y 2 — y 1 y 01两式相减得 * = —一................ 4 •分X 2 — X 1 X 0 2上式对于任意的0€[0,n ］恒成立，则有100 + d 22 —d 2220d 2> 1,12-分y2—y1 y0 —m y0 —m y01又一，所:—X2—X1 X0X0 X02即X03= 2y°(m —y°). ①y0—1y0又AC丄OC,所以x =— 1 ,X0X0即X02= y0(1 —y0). ②6•分8 •分由①②得y o = 2m —1, x o2= (1 —2m) (2 m —2) € (0 , 2),1所以v m v 1. I O .分(3)设B(X3, y3)，点B在椭圆E上，所以X32+ 2y32= 2 .y3 —1 y o又AC丄OC,所以X-=—1 ,即y3 =X3 X0 X0—X3 + 1 , y o代入上式消去y3，得X3 =4X o y o2 2?y o + 2x o12••分1 _A0X|X3| S2 所以—= $ X3 4y od LI= 1^—J I.1 X o y°+ 2X2AO x|X o|2由(2)1知y o= 2m —1, X o2= (1 —2m) (2 m —2), ~v m v 1 ,所以S14(2m —1) 4事〔2m-1)2 + 2(1 - 2m)(2m - 2) 1T盲•141),1 3 ；）,D点坐标为（o,；）,1), 13所以直线1的方程为y"2x +4 -............................ 1&分解法(2)由(1)得 A (0, 1).设 P (x i , y i ), Q (X 2, y 2), C (x o , y o ).设直线1方程为y = kx + m (k 丸),将其与椭圆E 的方程联立，消去y 得(1 + 2k 2)x 2 + 4kmx + 2m 2 — 2 = 0 (*), —4km所以x1 + x2=卞， (4)分2 k 2 + 1 — m所以 k AC xkoc =x2 km2k ?+ 1整理得m = —4k 2+ 14 k 2+ 1 — 2 k 2 2 k 2o = 1 — o = 1 — X 1+ X 2 所以x o =2—2 kmm砲，y0= kx0 + m =右 即C ( —21 +2 k 21 + 2k 2)， 所以 k AC =x om1 +2 k 2—2km1 +2 k 22 k 2 + 1 — m2 kmy o又因为k °c =—=x o m1 +2 k 2—2 km1 +2 k 21,且AC 丄OC ,2k2 k 2 + 1 因为k 电则m = R1 1€(:， 1 22 + 214k2+ 1 4k2+1此时△= 8(2k2+ 1 —m)>0,1),1所以实数m 的取值范围为（2, 1）.(3)设 Bg y 3),1k AB =-—= 2k ,所以直线AB 的方程为y = 2kx +1 , k oc—2 km — 2k 2k 2 + 1— 2k又因为X0=1722=齐汞 店;=齐示，$84 + 16 k 2 81因为S 2= 3，所以= 3，解得k =±2, 2k 2+1 3 3此时m = —2 =—, D 点坐标为(0, _),4k 2+1 4 4 1 3所以直线1的方程为y =±2X +4 -19 .（本小题满分16分）(1)解：y = f (x ) + 2x = x e X ,由 y '=1+ x )e X = 0,解得 x =— 1. 列表如下：10 ■分与椭圆E 方程联立解得 x = — 8k1 + 8 k 2或0 （舍）， 即X 38k 1 + 8k 2•1251所以一=5212AO 加1?AOX |x o |—8k1+ 8k 2 4 + 16k 2i-1= 2" —2k 1 + 8k 2 1 + 4k 214••分16•分1所以当x=—1时，f（x）取得极小值一_ . .............. 2•分e1(2)解：F (x )= f (x )+ g (x )= x e x— x — ln x + k , F (x )= (x + 1)(e x—-), x1 1设 h (x )= e x —-(x > 0),则 h 'x ) = e x +~2 > 0 恒成立，x x 2所以函数h (x )在(0,+^)上单调递增1 X 。

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绝密★启用前2018届高三二轮复习数学模拟一卷第Ⅰ卷（必做题 160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中横线上．）1．已知条件p ：1x ≤，条件q ：11x<，则⌝p 是q 的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）2．集合2111l o g10,2x M x x N ⎧⎫⎪⎪=-≤<-∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭的真子集的个数是 .3．已知点A （2,3），B （5,4），C （7,10），若AP →＝AB →＋λAC →（λ∈R ），则当点P 在第三象限时，λ的取值范围是 .4．设a 、b 、c 、d ∈R ，则满足条件“a ＋b ic ＋d i为实数”的关于a 、b 、c 、d 的等式可以是 . 5．在∆ABC 中，a ，b ，c 为C B A ∠∠∠,,的对边，且1)cos(cos 2cos =-++C A B B ,若a bb cλ=⋅， 则λ= . 6．高三（1）班数学科代表统计了一周来同学们所提出的问题的数量分别为4，2，1，0，0，0，0，则这组数据的方差2s = .7．已知抛物线c bx ax y ++=2通过点)1,1(P ，且在点)1,2(-Q 处与直线3-=x y 相切，则实数c 的值是 ．8．在矩形ABCD 中，已知4AB =，3BC =，将该矩形沿对角线AC 折成直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为 . 9．设f （x ）是定义域在R 上的偶函数，它的图象关于直线x ＝2对称，已知x ∈[-2,2]时，函数f （x ）＝-x 2＋1，则x ∈[-6，-2]时，()f x = .10．方程为)0(12222>>=+b a by a x 的椭圆左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，D 是它短轴上的一个顶点，若212DF DA DF +=，则该椭圆的离心率为 .11．设,(0,2)a b ∈，则关于x 的方程2204b x ax ++=在(,)-∞+∞上有两个不等的实根的概率为 .12．已知平面区域A=0,0,(1)(1)20x y x y a x a y +≥⎧⎪-≥⎨⎪++--≤⎩的面积不大于1，则a 的取值范围为 .13．图所示的程序框图，输出结果y 的值是 .14．已知y =()f x 是定义在R 上的增函数,函数y =(1)f x -的图象关于点(1,0)对称, 若对任意的x ,y ∈R,不等式22(621)(8)0f x x f y y -++-<恒成立,则当x >3时, 22x y +的取值范围是 .二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知a 、b 、c 成等比数列，且3cos 4B =（1）求11tan tan A C+的值. （2）设32BA BC ⋅= ，求a +c 的值.16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB BB =，11AC A BD ⊥平面，D 为的AC 中点.（1）求证：1B C //平面1A BD ； （2）求证：11B C ⊥平面11ABB A ；（3）设E 是1CC 上一点，试确定E 的位置，使平面1A BD ⊥平面BDE ，并说明理由. ACB1A1CDME1B17．（本小题满分14分）已知x =1是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中,,0m n R m ∈<， （1）求m 与n 的关系式； （2）求()f x 的单调区间；（3）当[]1,1x ∈-时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围.18．（本小题满分16分）在数列11{}1,2,,,2n n n n a a n a S S =≥-中当时成等比数列. （1）证明：数列1{}n S 是等差数列；（2）求数列1{}.(12)n nn T n a -前项的和19．（本小题满分16分）从圆224x y +=上任一点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 在线段PQ 上，且QM QP λ=（01λ<<）（1）求点M 的轨迹方程（2）若曲线C 上的点M 到A （0，-2）的最远距离为3，求λ的值．20．（本小题满分16分）已知函数f （x ）的定义域为[0,1]，且同时满足： ①对任意x ∈[0,1]，总有f （x ）≥2； ②f （1）＝3；③若x 1≥0，x 2≥0，且x 1+x 2≤1，则有f （x 1+x 2）＝f （x 1）+f （x 2）-2. （1）求f （0）的值；（2）试求f （x ）的最大值；（3）设数列{a n }的前n 项为S n ，满足a 1＝1，S n ＝-12（a n -3），n ∈N *.求证：f （a 1）+f （a 2）+…+f （a n ）＝32+2n -12×3n －1.第Ⅱ卷（附加题 共40分）21．选做题（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） A ．几何证明选讲如图，已知AP 是⊙O 的切线，P 为切点，AC 是⊙O 的割线，与⊙O 交于B ，C 两点，圆心O 在PAC ∠的内部，点M 是BC 的中点． （1）证明A 、P 、O 、M 四点共圆；（2）求OAM APM ∠+∠的大小．B ．矩阵与变换已知变换A T 把平面上的点P （2，-1），Q （-1，2）分别变换成点P （3，-4），Q （0，5）（1）求变换矩阵A ；（2）判断变换A 是否可逆，如果可逆，求矩阵A 的逆矩阵1A -；如不可逆，说明理由．C ．参数方程与极坐标已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程．（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积．D ．不等式证明选讲已知函数)(x f 在R 上是增函数，R b a ∈，.（1）求证：如果)()()()(0b f a f b f a f b a -+-≥+≥+，那么； （2）判断（1）中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论；解不等式)2()11(lg )2()11(lg-+-+≥++-f x xf f x x f .【必做题】每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明地、证明过程或演算步骤． 22．（本题满分10分） 有编号为n ,,3,2,1 的n 个学生，入坐编号为n ,,3,2,1 的n 个座位．每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ，已知2=ξ时，共有6种坐法． （Ⅰ）求n 的值； （Ⅱ）求随机变量 23．（本题满分10分）已知正项数{a n }满足a 1= a （0<a <1），且nn n a a a +≤+11，求证：（1）a n aa nn )1(1-+≤；（2）∑=<+nk kk a 111.2018届模拟卷数学模拟一答案与解析1．【答案】充分不必要【解析】∵p ：1x ≤，q ：11x<， ∴⌝p :1x >, :10q x x ><或,由p q ⌝⇒且反之不成立, 可得⌝p 是q 的充分不必要条件. .故填 充分不必要2.【答案】63【解析】{}{}21lg 2,1010,M x x x N x x x N =≤<∈=≤<∈，显然集合M 中有6个元素，其真子集的个数是62163-=.故填63.3．【答案】(－∞，－1)【解析】设点P (x ，y )，则AP →＝(x －2，y －3)，又∵AP →＝AB →+λAC →＝(3,1)+λ(5,7)＝(3+5λ，1+7λ)，∴(x －2，y －3)＝(3+5λ，1+7λ)， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ，又∵点P 在第三象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋5λ＜0y ＝4＋7λ＜0解得λ＜－1. 故填(－∞，－1)．.4．【答案】bc －ad ＝0【解析】因为a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i)(c －d i)c 2＋d 2＝ac ＋bd c 2＋d 2+bc －adc 2＋d2i ，所以由题意有bc －adc 2＋d2＝0 ∴ bc －ad ＝0. 故填bc －ad ＝05．【答案】1【解析】)(C A B +-=π )cos(cos C A B +-=∴ 即1)cos()cos(2cos =-++-C A C A BB C A 2sin 2sin sin 2=，ac b C A B =⇒=∴22sin sin sin .即a bb c=得1λ=. 6.【答案】2【解析】: 由已知条件可得7个数据的平均数为1,∴21(9101111)27s =++++++=. 7．【答案】9【解析】∵曲线c bx ax y ++=2过)1,1(P 点，∴1=++c b a ①b ax y +='2 ，∴b a y x +='=42∴14=+b a ②又曲线过)1,2(-Q 点，∴124-=++c b a ③．联立解①、②、③得.9,11,3=-==c b a 8．【答案】1256π【解析】:由于矩形的对角线交点到矩形各个顶点的距离均等于52可知,折起后的四面体的外接球的球心就是该对角线的交点, 即得外接球的半径为52, 四面体ABCD 的外接球的体积为345125()326ππ⨯⨯=.9．【答案】－(x +4)2+1【解析】∵f (x )是R 上的偶函数，它的图象关于直线x ＝2对称．∴f (－x )＝f (x )，f (x +4)＝f (－x )∴f (x )＝f (x +4)．当x ∈[－6，－2]时，x +4∈[－2,2]．abO 22(2,2)则f (x )＝f (x +4)＝－(x +4)2+1，故填－(x +4)2+1 .10．【答案】31【解析】由题设以及向量加法的平行四边形法则可知AF 1=F 1F 2,即a -c =2c , a =3c , e =31. 11．【答案】12【解析】: 方程2204b x a x ++=可得220a b ->,即()()0a b a b +->,,(0,2)a b ∈所表示的平面区域如右图所示的正方形,面积为4,()()0a b a b +->在上述区域内面积为2,则满足条件的概率为2142P ==. 12.【答案】1a ≥【解析】直线(1)(1)20a x a y ++--=过定点(1,1),不等式组0,0,(1)(1)20x y x y a x a y +≥⎧⎪-≥⎨⎪++--≤⎩所表示的平面区域AOB ∆如右图所示,则区域AOB ∆的面积121212S aa=⨯⨯=≤,解之得1a ≥.13．【答案】1【解析】由程序框图可得第一次循环：x =4；第二次循环：x =2，此时退出循环，运算221y e -==， 输出y =1.14．【答案】(13,49)【解析】函数(1)y f x =-向左平移1个单位可得()y f x =的函数图象, 由函数(1)y f x =-的对称中心为(1,0)可得函数()y f x =的对称中心为(0,0),即函数()y f x =为奇函数, 又由22(621)(8)0f x x f y y -++-<可得22(621)(8)f x x f y y -+<-- 2(8)f y y =-+, 又由函数()y f x =为R 上的增函数可得226218x x y y -+<-+,即22(3)(4)4x y -+-<(x >3), 点(x ,y )为以(3,4)为圆心2为半径的右半圆内的点, (直径的两个端点为(3,6), (3,-2) )由圆心(3,4)到原点的距离为5可得该半圆内的点到原点的距离的范围是(223(2)+-,5+2),即(13,7),∴22x y +的取值范围是(13,49).三、解答题：15．【解析】（1）由3cos 4B =得237sin 144B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭由2b ac =及正弦定理得2sin sin sin B A C =于是11tan tan A C +cos cos sin sin A C A C =+cos sin cos sin sin sin A C C A A C +=()2sin sin A C B+=2sin sin B B =1sin B=477= （7分） （2）由32BA BC ⋅=得3cos 2ca B ⋅=，由3cos 4B =可得2ca =，即22b = 由余弦定理 2222cos b a c ac B =+-⋅得2222cos 5a c b ac B +=+⋅=()2222549a c a c ac +=++=+=∴ 3a c +=（14分）16．【解析】（1）证明：如图，连结AB 1与A 1B 相交于M ． 则M 为A 1B 的中点 连结MD ，则D 为AC 的中点 ∴B 1C ∥MD 又B 1C ⊄平面A 1BD∴B 1C ∥平面A 1BD …………4分 （2）∵AB=B 1B∴四边形ABB 1A 1为正方形 ∴A 1B ⊥AB 1又∵AC 1⊥面A 1BD∴AC 1⊥A 1B ∴A 1B ⊥面AB 1C 1 …………7分 ∴A 1B ⊥B 1C 1又在直棱柱ABC —A 1B 1C 1中BB 1⊥B 1C 1 ∴B 1C 1⊥平面ABB 1A 1…………9分（3）当点E 为C 1C 的中点时，平面A 1BD ⊥平面BDE …………10分∵D 、E 分别为AC 、C 1C 的中点 ∴DE ∥AC 1 ∵AC 1⊥平面A 1BD ∴DE ⊥平面A 1BD 又DE ⊂平面BDE∴平面A 1BD ⊥平面BDE （14分）17．解析：解(I)2()36(1)f x mx m x n '=-++因为1x =是函数()f x 的一个极值点,所以(1)0f '=,即36(1)0m m n -++=，所以36n m =+ （3分）（2）由（1）知，2()36(1)36f x mx m x m '=-+++=23(1)1m x x m ⎡⎤⎛⎫--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当0m <时，有211m >+，当x 变化时，()f x 与()f x '的变化如下表：故有上表知，当0m <时，()f x 在2,1m ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭单调递减， 在2(1,1)m+单调递增，在(1,)+∞上单调递减. （8分） 由已知得()3f x m '>，即22(1)20m x m x -++>又0m <所以222(1)0xm x m m-++<即[]222(1)0,1,1x m x x m m-++<∈-①设212()2(1)g x x x m m=-++，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，所以22(1)0120(1)010g m mg ⎧-<+++<⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪-<⎩解之得43m -<又0m <所以403m -<<即m 的取值范围为4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭（14分）18．【解析】（1）)2)(21(,21,,2≥-⋅=∴-n S a S S S a n n n n n n 成等比数列2111111()()221{}1,2.411(2)(1)21,211122,2123(21)(23)1(1)2(1)(23)(21)12,n n n n n n nn n n n n n S S S S S S S n S S n n a S S n n n n n a n n n n ---∴=--∴-=∴=-∴=-≥=-=-=----=⎧⎪∴=⎨->⎪--⎩≥是以为首项为公差的等差数列 （分）由知当时当时22*23(12)21323(1)123(1)11()12222222(1)1,1,1()142n n n n n n a n n n n T n n T T n N -=-----=-++++=-++=-+-==-∴=-+∈ 当时满足上式 （分）19．【解析】（1）设P(a , b ), M(x , y )，则Q(a , 0)由QM QP λ= ，PQ ⊥X 轴得0x a y bλ-=⎧⎨=⎩又P 在圆222224144x y x y M λ+=+=上得轨迹方程为（5分）（2）22221||48(22)MA y y y λλλλ-=++-≤≤①当22512(,1)221λλλλ-∈>-时222max 212||4889y MA λλλλλ-∴==++= 时, 即2154850 22λλλλ+-=⇒==-（舍）（舍）（10分） ②当251(0,)221λλλλ-∈≤-22时,当222max 22132(1)1625 ||91154(1)y MA λλλλλ--===⇒=-- 综上55λ= （16分）20．（本小题满分12分）【解析】（1）令x 1＝x 2＝0，则f (0)＝2f (0)－2，∴f (0)＝2 （2分） （2）任取x 1，x 2∈[0,1]且x 1＜x 2，则0＜x 2－x 1≤1，∴f (x 2－x 1)≥2. ∴f (x 2)＝f (x 2－x 1+x 1)＝f (x 2－x 1)+f (x 1)－2≥f (x 1)， ∴f (x )在[0,1]上为增函数，∴f (x )的最大值为f (1)＝3 （7分）（3）∵S n ＝－12(a n －3)(n ∈N *)，∴S n －1＝－12(a n －1－3)(n ≥2)，∴a n ＝－12a n +12a n －1(n ≥2)，∴a n ＝13a n －1(n ≥2)，又∵a 1＝1≠0，∴a n a n －1＝13(n ≥2)，∴数列{a n }是以1为首项，公比为13的等比数列，∴a n ＝13n －1.f (a n +1)＝f (13n )＝f (13n ＋1+13n ＋1+13n ＋1)＝3f (13n ＋1)－4，∴f (13n ＋1)＝13f (13n )+43，∴f (13n ＋1)－2＝13[f (13n )－2]，∴{f (13n )－2}是以f (13)－2为首项，公比为13的等比数列．∴f (13n )－2＝(f (13)－2)·(13)n －1，∴f (1)＝f (13+13+13)＝3f (13)－4，∴f (13)＝73，∴f (13n )－2＝(13)n ，即f (13n )＝(13)n +2.∴f (a 1)+f (a 2)+…+f (a n )＝f (1)+f (13)+f (132)+…+f (13n －1)＝2+13+2+132+2…+13n －1+2＝(1+13+132+…+13n －1)+2n ＝32+2n －12·3n －1（16分） 21.A.几何证明选讲【解析】（1）连结OP ，OM ，如图．因为AP 与⊙O 相切于点P ，所以OP AP ⊥．因为M 是⊙O 的弦BC 的中点，所以OM BC ⊥．于是180OPA OMA ∠+∠=°．由圆心O 在PAC ∠的内部，可知四边形APOM 的对角互补，所以A P O M ，，，四点共圆． （5分）（2）连接OA ，如图．由（1）得AP O M ，，，四点共圆，所以OAM OPM ∠=∠．由（1）得OP AP ⊥．由圆心O 在PAC ∠的内部，可知90OPM APM ∠+∠=°．所以90OAM APM ∠+∠=°．.（10分）B.矩阵与变换【解析】（1）假设所求的变换矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，（2分）依题意，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4312 及⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-5021 （3分）即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+--=-=-52024232d c b a d c b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===2112d c b a 所以所求的变换矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2112A . （5分）（2）A 可逆 （7分）121551255A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（10分）C.参数方程与极坐标【解析】（1）直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即312112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （4分）（2）把直线312112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入422=+y x 得22231(1)(1)4,(31)2022t t t t +++=++-= 122t t =-，则点P 到,A B 两点的距离之积为2（10分）D.不等式证明选讲.【解析】（1）证明：当，，，且时，)()()()(0a f b f b f a f a b b a b a -≥-≥∴-≥-≥≥+ ).()()()(b f a f b f a f -+-≥+∴ （4分）（2）中命题的逆命题为：0)()()()(≥+⇒-+-≥+b a b f a f b f a f ① ①的逆否命题是：)()()()(0b f a f b f a f b a -+-<+⇒<+②仿（1）的证明可证②成立，又①与②互为逆否命题，故①成立，即（1）中命题的逆命题成立.根据（2），所解不等式等价于1019910211lg ≤<-≥++-x xx ，解得（10分）22.【解析】（Ⅰ） 当2=ξ时，有2n C 种坐法，……………………2分62=∴n C ，即62)1(=-n n ， 0122=--n n ，4=n 或3-=n （舍去）． 4=∴n ． ………4分 （Ⅱ）ξ 的可能取值是4,3,2,0，又 ()2411044===A P ξ， ()41246124424==⨯==A C P ξ， ()31248234434==⨯==A C P ξ，()832494===ξP ，…………………8分 ξ∴的概率分布列为：则38343134122410=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE …………………10分23.【解析】（1）将条件nnn a a a +≤+11变形，得1111≥-+nn a a . 于是，有11112≥-a a ，11123≥-a a，11134≥-a a ，……1111≥--n n a a . 将这n -1个不等式叠加，得111-≥-n aa n，故an a ann )1(1-+≤（5分）（2）注意到0<a <1，于是由(I)得a n a a n n )1(1-+≤=n n a 1111<-+， 从而，有∑=<+nk kk a 11=+∑=nk k k 1)1(111111111<+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∑=n k k nk（10分）ξ0 2 3 4P24141 31 83。

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