谓词公式与翻译(精)

（4）谓词
P（x）为P（a）= 0，P（b）= 1；
Q（x，y）为Q（a，a）= 0，Q（a，b）= Q（b，a）= Q（b，b）
= 1；
L（x，y）为L（a，b）=L（b，a）= 0，L（a，a）= L（b，b）=
1。
求下列公式在解释I下的真值
2）x（ P（f（x））∧Q（x，f（x）））；
在解释I下
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2.3 谓词公式与翻译
由例可知，对于命题翻译成谓词公式时，机动性很大，由于对个 体描述性质的刻划深度不同，就可翻译成不同形式的谓词公式。

例如：这只大红书柜摆满了那些古书
解法1：
解法2：
设：F(x,y): x摆满了y
设：F(x,y): x摆满了y

R(x): x是大红书柜
x（ P（f（x））∧Q（x，f（x）））
=（ P（f（a））∧Q（a，f（a）））∨（ P（f（b））∧Q（b，f
（b）））
=（ P（b）∧Q（a，b））∨（ P（a）∧Q（b，a））
=（ 1∧1）∨（ 0∧1）
= 1∨0
= 1 2019/6/3
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【例2.2.1】给定解释I如下
（1）U =｛a，b｝；
人总是要犯错误的。
解：设F(x)：x犯错误，M(x)：x是人。则上句符
号化为：
(a) ┒(x)(M(x)⋀┒F(x)) (b) x(M(x)→F(x)) 【例2】尽管有人聪明但未必一切人都聪明。
解：设P(x)：x聪明，M(x)：x是人。则上句符号 化为：
2019/6/3 x(M(x)⋀P(x))⋀┒(x(M(x)→P(x)))
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2.3 谓词公式与翻译
2．谓词公式的解释 定义 谓词公式的一个解释I，由下面4部分组成 1）非空的论域U； 2）U中的特定的个体常项； 3）U上特定的函数； 4）U上特定的谓词。
若将谓词公式中的个体常项，函数和谓词分别指定 为U中的特定个体常项，U上特定的函数和U上特定的谓 词，即为该公式在解释I下的真值。
号串才是合式公式。
通常的括号可以省略。
但是量词后边如果有括号则不能省略。
合2019/式6/3 公式或谓词公式可简称为公式。
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2.3 谓词公式与翻译
翻译：是将自然语言叙述的命题翻译成谓词
公式的形式。
【例1】将下列命题形式化为谓词逻辑中的命题: 没有不犯错误的人。
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2.3 谓词公式与翻译
2．谓词公式的解释 对于命题公式，只要给出其所含命题变元的一组真
值指派，即一种解释就可得到该公式的真值。 而谓词公式的真值，一般情况下，是由论域，个体
常项，量词，个体变项，函数以及谓词等确定。对谓词 公式中的各种变项予以特殊的指定，就得到该公式的一 个解释。下面给出谓词公式解释的一般定义。
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2.3 谓词公式与翻译
1．谓词公式（合式公式） 定义 项可递归地定义如下 1）个体常量是项； 2）个体变量是项； 3）若f（x1，x2，x3，…，xn）是任意的n元函数，t1，t2， t3，…，tn是项，则f（t1，t2，t3，…，tn）是项； 4）只有有限次地使用1），2），3）所生成的符号串才是项。

A(x): x是书柜

Q(y): y是古书

B(x): x是大的

a:这只 b:那些

C(x): x是红的
结果：R(a) ⋀Q(b) ⋀F(a,b)
D(y): y是古老的

E(y): y是图书

a:这只 b:那些
结果：A(a)⋀B(a)⋀C(a)⋀D(b)⋀E(b)
⋀F(a,b)
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【例2.2.1】给定解释I如下
（1）U =｛a，b｝；
（2）a = 2；
（3）函数f（x）为f（a）= b，f（b）= a；
（4）谓词
P（x）为P（a）= 0，P（b）= 1；
Q（x，y）为Q（a，a）= 0，Q（a，b）= Q（b，a）= Q（b，
b）= 1；
L（x，y）为L（a，b）=L（b，a）= 0，L（a，a）= L（b，b）
2.3 谓词公式与翻译
1．谓词公式（合式公式） 在给出一阶谓词逻辑中谓词公式的定义之前，我们首先对所使 用的符号作如下约定。 1）个体常量符号：a，b，c，…，ai，bi，ci，…，（i≥1）； 2）个体变量符号：x，y，z，…，xi，yi，zi，…，（i≥1）； 3）函数符号：f，g，h，…，fi，gi，hi，…，（i≥1）；； 4) 谓词符号：P，Q，R，…，Pi，Qi，Ri，…，（i≥1）； 5）量词符号：" x， x，x为任意的个体变量符号； 6）联结词符号：┐，∧，∨，→，；
= 1。
求下列公式在解释I下的真值
1）P（a）∨x P(x)；
在解释I下
P（a）∨x P(x)
= P（a）∨（P（a）∧P（b））
= 0∨（0∧1）
= 0∨0
=0
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【例2.2.1】给定解释I如下
（1）U =｛a，b｝；
（2）a = 2；
（3）函数f（x）为f（a）= b，f（b）= a；
例如，a，x，f（a），g（x），h（a，x），h（f（a），g （x）），f（h（a，x））等都是项。
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2.3 谓词公式与翻译
定义 若P（x1，x2，…，xn）是任意的n元谓词， t1，t2，…，tn是项，则称P（t1，t2，t3，…，tn） 为原子公式。
例如：原子谓词公式包括下述形式的各种特例： Q,A(x)，A(x,y)，A(f(x)，y)，A(x,y,z)，A(a,y)等
（2）a = 2；
（3）函数f（x）为f（a）= b，f（b）= a；
（4）谓词
P（x）为P（a）= 0，P（b）= 1；
Q（x，y）为Q（a，a）= 0，Q（a，b）= Q（b，a）= Q（b，b）
= 1；
L（x，y）为L（a，b）=L（b，a）= 0，L（a，a）= L（b，b）=
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2.3 谓词公式与翻译
定义 一阶谓词逻辑中的谓词公式（合式公式）的递
归定义为
1）原子公式是合式公式；
2）若A是合式公式，则（┐A）是合式公式；
3）若A，B是合式公式，则（A∨B），（A∧B），
（A→B），（A B）是合式公式；
4）若A是合式公式，则xA，xA是合式公式；
只有有限次地使用1），2），3），4）所生成的符