北师大版七年级下册第五章 生活中的轴对称同步练习题

第五章生活中的轴对称
5.1轴对称现象
基础题
知识点1轴对称图形
1.(2017·重庆)下列图形中是轴对称图形的是( C )
A B C D
2.(2017·天津)在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( C )
A B C D
3.下列“数字”图形中，有且仅有一条对称轴的是( A )
A B C D
4.(2016·赤峰)下列图标是由我们熟悉的一些基本数学图形组成的，其中是轴对称图形的是①②③④.(填序号)
5.(2016·达州期末)小明设计了这样一个游戏：在4×4的方格内有3个小圆，其余方格都是空白，请你分别在下面四个图中的某个方格内补画一个小圆，使补画后的图形为轴对称图形.
解：如图所示.
知识点2两个图形成轴对称
6.如图所示的图形中，左边图形与右边图形成轴对称的是( D )
7.如图，已知直线AB⊥CD，垂足为O，则图形①与图形②成轴对称.
8.观察下图中的各组图形，其中成轴对称的为①②④(填序号).
中档题
9.如图，阴影部分是由5个小正方形涂黑组成的一个直角图形，再将方格内空白的两个小正方形涂黑，得到新的图
形(阴影部分)，其中不是轴对称图形的是( D )
10.将一张长方形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”，再把它铺平，你可见到( C )
11.(2016·青海)以下图形中对称轴的数量小于3的是( D )
A B C D
12.一名同学想用正方形和圆设计一个图案，要求整个图案关于正方形的某条对角线对称，那么下列图案中不符合要求的是( D )
A B C D
13.如图，将四个“米”字格的正方形内涂上阴影，其中是轴对称图形且对称轴数量最多的是( B )
14.如果两个图形成轴对称，那么这两个图形一定是全等图形，而两个全等图形不一定成轴对称(填“一定”“一定不”或“不一定”).
15.如图，已知AB＝CB，要使四边形ABCD成为一个轴对称图形，还需添加一个条件，你添加的条件是AD＝CD.(只需写一个，不添加辅助线)
16.如图，课间休息时，小新将镜子放在桌面上，无意间看到镜子中有一串数字，原来是桌旁墙面上张贴的同学手机号码中的几个数字，请问镜子中的数字对应的实际数字是630085.
17.下面四个图形中，哪些是轴对称图形？如果是轴对称图形，各有几条对称轴？分别画出来.
解：(1)不是；(2)，(3)，(4)都是轴对称图形.
其中(2)有三条对称轴；(3)有两条对称轴；(4)有一条对称轴，如图所示.
18.如图，△ABC是2×2的正方形网格中以格点为顶点的三角形，那么图中与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三
角形有多少个？试画出来.
解：有5个.如图所示.
综合题
19.在学习“轴对称现象”内容时，王老师让同学们寻找身边的轴对称图形，小明有一副三角尺和一个量角器(如图所示).
(1)小明的这三件文具中，可以看作是轴对称图形的是B，C(填字母代号)；
(2)请用这三个图形中的两个拼成一个轴对称图形(只需画出一种).
解：答案不唯一，拼出的轴对称图形如图所示.
5.2 探索轴对称的性质
基础题
知识点1轴对称的性质
1.如图是经过轴对称变换后所得的图形，与原图形相比( A )
A.形状没有改变，大小没有改变
B.形状没有改变，大小有改变
C.形状有改变，大小没有改变
D.形状有改变，大小有改变
2.下列关于轴对称性质的说法中，不正确的是( A )
A.对应线段互相平行
B.对应线段相等
C.对应角相等
D.对应点连线与对称轴垂直
3.(2016·南充)如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是( B )
A.AM＝BM
B.AP＝BN
C.∠MAP＝∠MBP
D.∠ANM＝∠BNM
4.如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，且∠A＝108°，∠F＝32°，则∠B的度数为( B )
A.32°
B.40°
C.50°
D.108°
5.如图，两个图形关于直线MN成轴对称.
(1)A，B，C，D的对称点分别是E，F，G，H，线段AC，AB的对应线段分别是EG，EF，CD＝GH，∠CBA＝∠GFE，∠ADC＝∠EHG；
(2)延长线段AB，EF，则它们延长线的交点在对称轴上.
6.如图，将一张长方形纸对折，用圆规针尖扎出一个“∑”符号，然后将纸打开后铺平.
(1)图中两个“∑”关于折痕l成轴对称；
(2)在扎出“∑”的过程中，点A与A′重合，点B与B′重合，点C与C′重合；线段AB与A′B′重合，线段BC
与B′C′重合；∠OAB与∠O′A′B′重合，∠ABC与∠A′B′C′重合，所以AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠OAB＝
∠O′A′B′，∠ABC＝∠A′B′C′(以上四空填“＝”或“≠”)；
(3)点O到l的距离＝点O′到l的距离(填“＝”或“≠”)，所以线段OO′被l垂直平分，线段BB′被l垂直平
分；
(4)总结：轴对称图形具有以下性质：
①对应线段相等，对应角相等；
②对应点所连线段被对称轴垂直平分.
7.如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线l对称，请你补全字母，并写出这个单词所指的物品：书.
解：如图.
8.如图以直线AB为对称轴画出图形的另一半，使它成为轴对称图形.
解：如图所示.
中档题
9.下面是四位同学作与△ABC关于直线MN成轴对称的图形，其中正确的是( B )
A B
C D
10.下列条件中，能使线段AB与A1B1关于直线l对称的条件是( C )
A.AB∥A1B1
B.AA1∥BB1
C.AA1，BB1被直线l垂直平分
D.AB与A1B1被直线l平分
11.如图，正六边形ABCDEF关于直线l的对称图形是六边形A′B′C′D′E′F′，下列判断错误的是( B )
A.AB＝A′B′
B.BC∥B′C′
C.直线l⊥BB′
D.∠A′＝120°
12.如图，四边形ABCD关于直线l对称，有如下结论：①AB∥CD；②AC⊥BD；③AC＝CO；④AB⊥BC.其中正确的是( D )
A.①②
B.②③
C.①④
D.②
13.(2016·达州期末)把一张长方形纸条按图中那样折叠后，若得到∠AOB′＝70°，则∠B′OG的度数是( A )
A.55°
B.65°
C.45°
D.50°
14.如图，AD是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点.若BD＝2，AD＝3，则图中阴影部分的面积是3.
15.如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上.若PM＝2.5 cm，PN＝3 cm，MN＝4 cm，则线段QR的长为4.5_cm.
16.根据对称轴画出另一半.
解：如图.
综合题
17.在△ABC中，∠B＝90°，沿直线DE折叠，使点C落在点A处，已知∠AEB＝50°，△ABC的周长比△ABE的周长长12 cm.
求：(1)∠C的度数；
(2)线段AC的长.
解：(1)由折叠可知，△AED与△CED关于直线DE成轴对称，
所以△AED≌△CED，所以∠C＝∠CAE.
又因为∠AEB＋∠AEC＝180°，∠C＋∠CAE＋∠AEC＝180°，
所以∠AEB＝∠C＋∠CAE＝50°.
所以∠C＝25°.
(2)由折叠可知△AED≌△CED，所以CE＝AE.
因为△ABC的周长比△ABE的周长长12 cm，
所以AC＋CB＋AB－(AE＋EB＋AB)＝AC＋CE＋EB－(AE＋EB)＝AC，
所以AC＝12 cm.
5.3 简单的轴对称图形
第1课时等腰三角形的性质
基础题
知识点等腰三角形的性质
1.如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，则∠A的度数是( A )
A.40°
B.50°
C.55°
D.70°
2.等边三角形对称轴的条数是( C )
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
3.(2017·菏泽期末)下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是( C )
A.等腰三角形底角相等
B.等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合
C.等腰三角形有三条对称轴
D.等腰三角形是轴对称图形
4.等边三角形角平分线、中线和高的条数共为( A )
A .3 B.5 C .7 D.9
5.如图，点D 是BC 延长线上一点，AC ＝BC ，∠ACD ＝110°，则∠A 的度数为55°.
6.如图，工匠们用这个工具检测屋梁是否水平.当重垂线经过等腰三角尺底边的中点时，可以确定三角形的底边与梁是水平的；否则梁就不是水平的.这是利用了什么几何性质：等腰三角形三线合一.
7.(2017·江西)如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中OA ＝OB.若剪刀张开的角为30°，则∠A＝75度.
图1 图2 8.下列图形各有几条对称轴？并将它们画出来.
（由两个底边相同的等腰三角形组成） （由两个相同的等
腰三角形组成）
解：如图所示.
9.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AC ，垂足为E ，∠BAC ＝50°，求∠ADE 的度数.
解：因为AB ＝AC ，D 是BC 的中点， 所以AD 平分∠BAC. 因为∠BAC＝50°， 所以∠DAE＝1
2
∠BAC＝25°.
又因为DE⊥AC，所以∠AED＝90°.
所以∠ADE＝90°－∠DAE＝90°－25°＝65°.
10.如图，已知：∠ABC＝50°，∠ACB ＝80°，点D ，B ，C ，E 四点共线，DB ＝AB ，CE ＝CA ，求∠D，∠E ，∠DAE 的度数.
解：因为BD ＝BA ，
所以∠D＝∠DAB.
因为∠ABC＝180°－∠ABD＝180°－(180°－∠D－∠DAB)＝∠D＋∠DAB， 所以∠D＝∠DAB＝1
2
∠ABC＝25°.
因为AC ＝CE ， 所以∠E＝∠CAE.
因为∠ACB＝180°－∠ACE＝180°－(180°－∠E－∠CAE)＝∠E＋∠CAE， 所以∠E＝∠CAE＝1
2∠AC B ＝40°.
所以∠DAE＝180°－40°－25°＝115°.
中档题
11.如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，AB ＝AD ＝DC ，∠B ＝80°，则∠C 的度数为( B )
A .30°
B .40°
C .45°
D .60° 12.等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是( B )
A .80° B.80°或20° C .80°或50° D.20°
13.如图，AE ∥BD ，C 是BD 上的点，且AB ＝BC ，∠ACD ＝110°，则∠EAB＝40°.
14.如图，AB ＝AC ，FD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E.若∠AFD＝145°，则∠EDF＝55度.
15.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AD 是BC 边上的中线，且BD ＝BE ，求∠ADE 的度数.
解：因为△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°， 所以∠B＝∠C＝ 1
2
(180°－∠BAC)＝30°. 因为BD ＝BE ，
所以∠BED＝∠BDE＝1
2(180°－∠B)＝75°.
又因为AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线， 所以AD 垂直BC ，即∠ADB＝90°. 所以∠ADE＝90°－75°＝15°.
16.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，M 是BC 的中点，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，且BD ＝CE.试说明：MD ＝ME.
解：因为AB ＝AC ， 所以∠DBM＝∠ECM. 因为M 是BC 的中点， 所以BM ＝CM.
在△BDM 和△CEM 中，
⎩⎨⎧BD ＝CE ，
∠DBM ＝∠ECM ，BM ＝CM ，
所以△BDM≌△CEM(SAS). 所以MD ＝ME.
综合题
17.如图，已知点E 为等腰△ABC 的底边BC 上一动点，过点E 作EF⊥BC 交AB 于点D ，交CA 的延长线于点F ，问： (1)∠F 与∠ADF 的关系怎样？说明理由；
(2)若点E 在BC 的延长线上，其余条件不变，上题的结论是否成立？若不成立，说明理由；若成立，画出图形并说明理由.
解：(1)∠F＝∠ADF.理由如下： 因为AB ＝AC ， 所以∠B＝∠C. 因为EF⊥BC，
所以∠B＋∠BDE＝90°，∠C ＋∠F＝90°. 所以∠BDE＝∠F. 因为∠ADF＝∠BDE， 所以∠ADF＝∠F.
(2)成立.理由如下： 因为AB ＝AC ， 所以∠B＝∠ACB.
因为∠ACB＝∠ECF，
所以∠B＝∠ECF.
因为EF⊥BC，
所以∠B＋∠BDE＝90°，∠ECF＋∠F＝90°.
所以∠BDE＝∠F，即∠ADF＝∠F.
第2课时线段垂直平分线的性质及画法
基础题
知识点1线段垂直平分线的性质
1.如图所示，直线l是线段AB的垂直平分线，O，P分别是直线l上两点，则线段PA，PB，OA，OB的关系是( D )
A.PA＝OA，PB＝OB
B.PA＝PB＝OA＝OB
C.PA＝OB，PB＝OA
D.PA＝PB，OA＝OB
2.如图，MN是线段AB的垂直平分线，点C在直线MN外，且与点A在MN的同一侧，BC交MN于点P，则( C )
A.BC＞PC＋AP
B.BC＜PC＋AP
C.BC＝PC＋AP
D.无法判断
3.已知M，N是线段AB垂直平分线上任意两点，则∠MAN和∠MBN之间关系是相等.
4.如图，已知直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为D，点P是MN上一点.若AB＝10 cm，则BD＝5cm；若PA＝10 cm，则PB＝10cm.
5.(2016·成都期末)如图，DE垂直平分AB，交AC于点D，交AB于点E，连接BD.若AC＝6 cm，BC＝4 cm，则△BCD 的周长是10cm.
6.(2016·遵义)如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD ＝35度.
7.如图，已知DE是△ABC的AB边的垂直平分线，分别交AB，BC于D，E，AE平分∠BAC.若∠B＝30°，求∠C的度数.
解：因为DE是AB边的垂直平分线，
所以EA＝EB.
所以∠B＝∠1.
因为∠B＝30°，
所以∠1＝30°.
又因为AE平分∠BAC，
所以∠2＝∠1＝30°，即∠BAC＝60°.
所以∠C＝180°－∠BAC－∠B＝90°.
知识点2线段垂直平分线的画法
8.下图中的尺规作图是作( A )
A.线段的垂直平分线
B.一条线段等于已知线段
C.一个角等于已知角
D.一条直线的平行线
9.如图，已知线段AB，用直尺和圆规作线段AB的垂直平分线.
解：如图所示.
10.如图，△ABC和△A′B′C′是两个成轴对称的图形，请作出对称轴.
解：连接BB′，作BB′的垂直平分线即可.如图所示.
11.如图，某地由于居民增多，要在公路边增加一个公共汽车站，A，B是路边两个新建小区，这个公共汽车站建在
什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长？
解：如图，P点即为所求.
中档题
12.关于线段的垂直平分线有以下说法：①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点；②线段的垂直平分线是一条直线；③一条线段的垂直平分线就是这条线段的对称轴，其中正确的有( D )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
13.(2016·天门)如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC ，BC 于E ，D 两点，EC ＝4，△ABC 的周长为23，则△ABD 的周长为( B )
A .13
B .15
C .17
D .19
14.如图，点D 为线段AB 与线段BC 的垂直平分线的交点，连接AC ，BD ，DC.若∠A＝35°，∠ABD ＝44°，则∠DCA 的度数为( D )
A .10° B.18° C.15° D.9°
15.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E.若△ABC 与△EBC 的周长分别是40 cm ，24 cm ，则AB ＝16cm.
16.在△ABC 中，∠BAC ＝∠BCA，BC 的垂直平分线DE 交AC 所在直线于点E ，交BC 于点D ，求∠CED 度数.
(1)如图1，若∠B＝60°，BC 的垂直平分线DE 中的E 恰与A 重合，此时∠CED 的度数为30°； (2)如图2，若∠B＝84°，此时∠CED 的度数为42°； (3)如图3，若∠B＝44°，此时∠CED 的度数为22°；
(4)若∠B＝α，无论BC 的垂直平分线DE 与AC 的交点在哪儿，都有∠CED 的度数为1
2α.
17.(2017·广东)如图，在△ABC 中，∠A ＞∠B.
(1)作边AB 的垂直平分线DE ，与AB ，BC 分别相交于点D ，E(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)； (2)在(1)的条件下，连接AE ，若∠B＝50°，求∠AEC 的度数.
解：(1)如图所示.
(2)因为DE 是AB 的垂直平分线， 所以AE ＝BE.所以∠EAB＝∠B＝50°.
所以∠AEC＝180°－∠AEB＝180°－(180°－∠EAB－∠B)＝∠EAB＋∠B＝100°. 综合题
18.如图，要在公路MN旁修建一个货物中转站P，分别向A，B两个开发区运货.
(1)若要求货站到A，B两个开发区的距离相等，则货站应建在哪里？
(2)若要求货站到A，B两个开发区的距离和最小，则货站应建在哪里？(分别在图上找出点P，并保留作图痕迹，写出相应的文字说明)
解：(1)作线段AB的垂直平分线交MN于P点，P点即为所求.如图.
(2)作A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P′，则P′点即为所求.如图.
第3课时 角平分线的性质及画法
基础题 知识点1 角平分线的性质
1.已知OP 是∠MON 的平分线，且点A 在OP 上，下图中线段AB 和AC 一定相等的是( C )
A B
C D
2.如图，OP 为∠AOB 的平分线，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C ，D ，则下列结论错误的是( B ) A .PC ＝PD B.∠CPD ＝∠DOP C .∠CPO ＝∠DPO D.OC ＝OD
3.如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 是△ABC 的角平分线，DC ＝3，则点D 到AB 的距离是3.
4.如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BE 平分∠ABC，DE ⊥AB 于点D.如果AC ＝3 cm ，那么AE ＋DE ＝3cm.
5.如图，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB，AD 过点P ，且与AB 垂直.若AD ＝8，则点P 到BC 的距离是4.
6.如图，BD 平分∠ABC，DE 垂直于AB 于点E ，△ABC 的面积等于90，AB ＝18，BC ＝12，求DE 的长.
解：过点D 作DF⊥BC 于点F.
因为BD 平分∠ABC，DE 垂直于AB 于点E ， 所以DE ＝DF.
因为AB ＝18，BC ＝12， 所以S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×18·DE＋1
2
×12·DF
＝1
2
DE·(18＋12) ＝15DE.
因为△ABC 的面积等于90， 所以15DE ＝90. 所以DE ＝6.
知识点2 角平分线的画法
7.如果要作已知∠AOB 的平分线OC ，合理的顺序是( C )
①作射线OC ；②在OA ，OB 上分别截取OD ，OE ，使OD ＝OE ；③分别以D ，E 为圆心，大于1
2DE 的长为半径作弧，两
弧在∠AOB 内交于点C.
A .①②③ B.②①③ C .②③① D.③②①
8.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC 的依据是( A )
A .SSS
B .ASA
C .AAS
D .角平分线上的点到角两边距离相等 9.如图，在△ABC 中作出△ABC 的内角平分线AD.(要求：尺规作图，保留作图痕迹)
解：如图，AD 即为所求.
中档题
10.在正方形网格中，∠AOB 的位置如图所示，到∠AOB 两边距离相等的点应是( A ) A .点M B.点N C.点P D.点R
11.如图，OP 平分∠MON，PA ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点.若PA ＝2，则PQ 的最小值为( B ) A .1 B.2 C.3 D.4
12.(2017·枣庄)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于1
2MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D.若CD ＝4，AB ＝
15，则△ABD 的面积是( B )
A.15
B.30
C.45
D.60
13.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D.M为OP上任意一点，连接CM，DM，则CM和DM的大小关系是相等.
14.如图所示，△ABC的角平分线AD将BC边分成2∶1两部分.若AC＝3 cm，则AB＝6_cm.
15.(2017·青岛)已知：四边形ABCD，求作：点P，使∠PCB＝∠B，且点P到边AD和CD的距离相等.
解：如图，点P1和P2就是所求作的点.
16.如图，在△ABC中，∠ABC和∠BAC的角平分线交于点O，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为D，E，F.
(1)OD与OF相等吗？为什么？
(2)OE与OF相等吗？为什么？
(3)OD与OE相等吗？为什么？
(4)连接OC，则OC平分∠ACB吗？为什么？
解：(1)相等.因为角平分线上的点到角两边的距离相等.
(2)相等.因为角平分线上的点到角两边的距离相等.
(3)相等.因为OD＝OF，OE＝OF，所以OD＝OE.
(4)OC平分∠ACB.因为连接OC，可以得到Rt△OCD≌Rt△OCE(HL).所以∠OCD＝∠OCE，既OC平分∠ACB.
综合题
17.如图，点D为锐角∠ABC的平分线上一点，点M在边BA上，点N在边BC上，∠BMD＋∠BND＝180°.试说明：DM ＝DN.
解：过D 点作DE⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F. 所以∠DEB＝∠DFB＝90°. 又因为BD 平分∠ABC， 所以DE ＝DF.
因为∠BMD＋∠DME＝180°， ∠BMD ＋∠BND ＝180°， 所以∠DME ＝∠BND. 在△FND 和△EMD 中，
⎩⎨⎧∠DFN ＝∠DEM ，∠FND ＝∠EMD ，DF ＝DE ，
所以△FND≌△EMD(AAS). 所以DM ＝DN.
小专题(五) 等腰三角形问题中的分类讨论思想
类型1 遇腰和底不明时讨论
1.若等腰三角形的两条边的长分别为5 cm 和8 cm ，则它的周长是( D )
A .13 cm B.18 cm C .21 cm D.18 cm 或21 cm 2.若等腰三角形一边长为12 cm ，且腰长是底边长的3
4，求这个三角形的周长.
解：因为等腰三角形一边长为12 cm ，且腰长是底边长的3
4
，分两种情况：
①如果腰长为12 cm ，则底边为16 cm ，此时等腰三角形的三边长分别为12 cm ，12 cm ，16 cm ，能构成三角形， 所以三角形的周长为12＋12＋16＝40(cm)；
②如果底边长为12 cm ，则腰长为9 cm ，此时等腰三角形的三边分别为12 cm ，9 cm ，9 cm ，能构成三角形， 所以三角形的周长为9＋9＋12＝30(cm). 综上所述，三角形的周长为40 cm 或30 cm.
类型2 遇顶角和底角不明时讨论
3.等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是( C )
A .50° B.80° C .50°或80° D.20°或80°
4.如果等腰三角形的两个内角的度数之比为1∶4，那么这个三角形三个内角各是多少度？ 解：①当较小角为底角时，设较小角为x °，则 x ＋x ＋4x ＝180. 解得x ＝30. 则4x ＝120.
故三角形三个内角的度数分别为30°，30°，120°； ②当较大角为底角时，设较小角为x °，则 x ＋4x ＋4x ＝180. 解得x ＝20.
则4x ＝80.
故三角形三个内角的度数分别为20°，80°，80°.
综上所述，三角形三个内角的度数分别为30°，30°，120°或20°，80°，80°.
类型3 遇中线不明时讨论
5.在等腰三角形中，一腰上的中线将这个三角形的周长分为12和6两部分，求该等腰三角形的腰长及底边长.
解：如图，根据题意分两种情况：
①若12是腰长加腰长的一半，则腰长为12÷(1＋12)＝8，底边长为6－8×1
2＝2，此时三边长为8，8，2，能组成三
角形；
②若6是腰长加腰长的一半，则腰长为6÷(1＋12)＝4，底边长为12－1
2×4＝10，此时三边长为4，4，10，不能组
成三角形.
综上所述，该等腰三角形的腰长和底边长分别为8，2.
类型4 遇高不明时讨论
6.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，求其顶角度数. 解：①等腰三角形为锐角三角形时，如图1， 因为BD⊥AC，∠ABD ＝45°，
所以∠A＝45°，即顶角的度数为45°；
图1 图2
②等腰三角形为钝角三角形时，如图2， 因为BD⊥AC，∠DBA ＝45°， 所以∠BAD＝45°.
所以∠BAC＝135°，既顶角的度数为135°.
综上所述，该等腰三角形顶角的度数为45°或135°.
小专题(六) 线段垂直平分线、角平分线作图的应用
1.如图，已知在直角△ABC 中，∠C ＝90°，用尺规在BC 上确定一点P ，使点P 到点C 的距离等于它到边AB 的距离，则符合要求的作图痕迹是( A )
A B C D
2.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠CAB ＝50°，按以下步骤作图： ①以点A 为圆心，小于AC 长为半径画弧，分别交AB ，AC 于点E ，F ； ②分别以点E ，F 为圆心，大于1
2EF 长为半径画弧，两弧相交于点G ；
③作射线AG ，交BC 边于点D. 则∠ADC 的度数为( C )
A.40° B .55° C .65° D .75°
3.如图1，已知线段a ，求作△ABC，使得底边AB 和边AB 上的高CF 的长度均等于线段a 的长度.若王敏的作法如图2所示，则下列关于王敏所作的△ABC 的说法中不正确的是( C )
A.AC ＝BC
B.AF ＝BF C .AB ＝AC D.∠ACF ＝∠BCF 4.观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是( B ) A.OE 平分∠AOB
B .点
C ，
D 到O
E 的距离不一定相等 C .OC ＝OD
D .点
E 到OA ，OB 的距离一定相等
5.如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于1
2AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC
于点D ，连接AD.若△ADC 的周长为10，AB ＝7，则△ABC 的周长为( C ) A .7 B.14 C .17 D.20
6.已知△ABC(AC＞BC)，用尺规在AC上确定一点P，使∠PBC＋∠A＝∠ABC，则符合要求的作图痕迹是( A )
7.如图，已知△ABC(AC＜BC)，用尺规在BC上确定一点P，使PA＋PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是( D )
A B C D
周周练(5.1～5.3)
(时间：45分钟满分：100分)
一、选择题(每小题3分，共24分)
1.(2017·陕西期末)下列图形中不是轴对称图形的是( D )
A B C D
2.(2016·赤峰)等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是( B )
A.30°，60°
B.45°，45°
C.45°，90°
D.20°，70°
3.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠B＝30°，则∠CAD的度数为( B )
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
4.如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合.已知AC＝5 cm，△ADC的周长为17 cm，则BC的长为( C )
A.7 cm
B.10 cm
C.12 cm
D.22 cm
5.如图，O是直线BC上的点，OM平分∠AOB，ON平分∠AOC，点E在OM上，过点E作EG⊥OA于点G，EP⊥OB于点P，延长EG，交ON于点F，过点F作FQ⊥OC于点Q.若EF＝10，则FQ＋EP的长度为( B )
A.5
B.10
C.15
D.20
6.如图，将一个长方形纸片ABCD沿着BE折叠，使C，D点分别落在点C1，D1处.若∠C1BA＝50°，则∠ABE的度数为( B )
A.15°
B.20°
C.25°
D.30°
7.如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，BD＝AD＝4 cm，AE＝AF，则图中阴影部分的面积是( C )
A.32 cm2
B.16 cm2
C.8 cm2
D.无法确定
8.(2016·泰安)如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK.若∠MKN＝44°，则∠P的度数为( D )
A.44°
B.66°
C.88°
D.92°
二、填空题(每小题4分，共24分)
9.在下列图形：圆、正方形、等腰三角形、角、线段中，对称轴最多的图形是圆.
10.如图所示，AB∥CD，BC＝CD，∠1＝40°，则∠2的度数为70°.
11.如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°，则∠ACD的度数是65°.
12.(2017·陕西期末)已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线.若BE＋CE＝12，BC＝8，则△ABC 的周长为32.
13.如图，在3×3的网格中，以AB为一边，点P在格点处，则使△ABP为等腰三角形的点P有5个.
14.如图所示，等边△ABC的边长为1 cm，D，E分别是AB，AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在A′处，且A′点在△ABC外部，则阴影部分图形周长为3cm.
三、解答题(共52分)
15.(8分)如图，直线l是一个轴对称图形的对称轴，画出这个图形关于直线l对称的另一半，并指出这个图形像什么？
解：如图所示，这个图形像一座小屋.
16.(10分)(2017·陕西)如图，在钝角△ABC中，过钝角顶点B作BD⊥BC交AC于点D.请用尺规作图法在BC边上求作一点P，使得点P到AC的距离等于BP的长.(保留作图痕迹，不写作法)
解：如图，点P即为所求.
17.(10分)如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于点E，D为垂足，连接EC.
(1)求∠ECD的度数；
(2)若CE＝5，求BC的长.
解：(1)因为DE垂直平分AC，
所以CE＝AE.
所以∠ECD＝∠A＝36°.
(2)因为AB＝AC，∠A＝36°，
所以∠B＝∠ACB＝72°.
因为∠ECD＝36°，
所以∠BCE＝∠ACB－∠ECD＝36°. 所以∠BEC＝72°. 所以∠BEC＝∠B. 所以BC ＝CE ＝5.
18.(12分)如图，已知：∠AOB＝90°，OM 是∠AOB 的平分线，将三角板的直角顶点P 在射线OM 上滑动，两直角边分别与OA ，OB 交于C ，D ，PC 和PD 有怎样的数量关系，请说明理由.
解：PC ＝PD ，理由如下：
过P 分别作PE⊥OB 于E ，PF ⊥OA 于F. 所以∠CFP＝∠DEP＝90°.
因为OM 是∠AOB 的平分线，所以PE ＝PF. 因为∠AOB＝90°， 所以∠FPE＝90°.
所以∠DPE＋∠FPD＝90°. 因为∠CPF＋∠FPD＝90°， 所以∠CPF＝∠DPE. 在△CFP 和△DEP 中，
⎩⎨⎧∠CFP＝∠DEF ，
PF ＝PE ，
∠CPF ＝∠DPE ，
所以△CFP≌△DEP(ASA). 所以PC ＝PD.
19.(12分)如图，在长方形ABCD 的台球桌上有三个台球M ，N ，P ，且M ，N ，P 在同一直线上，现在要求主球P 在不撞击其他彩球的情况下击彩球M(不能跳过N 击M)，问能否击中M ？若不能，请说明理由；若能，请画出主球P 的运动路线，画出两种不同的击，并简要地说明理由.
解：①作P 关于BC 的对称点P′，理由略，如图1. ②作M 关于AD 的对称点M′，理由略，如图2.
5.4 利用轴对称进行设计
基础题 知识点 利用轴对称设计图案
1.我国每年都发行一套生肖邮票，下列生肖邮票中，动物的“脑袋”被设计成轴对称图案的是( D )
2.在下列某品牌T 恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用轴对称知识的是( C )
A B C D
3.要在一块长方形的空地上修建一个花坛，要求花坛图案为轴对称图形，图中的设计符合要求的有( A )
A.4个
B.3个 C .2个 D.1个
中档题
4.下列四幅图案中，能够由左图通过轴对称得到的图形是( D )
5.(2016·成都期末)如图，小明拿一张正方形纸片(如图1)，沿虚线向下对折一次得到图2，再沿图2中的虚线向下对折一次得到图3，然后用剪刀沿图3中的虚线剪去一个角，将剩下的纸片打开后得到的图形的形状是( A )
图1 图2 图3
A B C D 6.观察图①～④中阴影部分构成的图案：
(1)请写出这四个图案都具有的一个共同特征轴对称图形；
(2)在图⑤、⑥中各设计一个新的图案，使该图案具有图①～④中的一个共同性质. 解：答案不唯一，如图.
7.有如的8张纸条，用每4张拼成一个正方形图案，拼成的正方形的每一行和每一列中，同色的小正方形仅为2个，且使每个正方形图案都是轴对称图形，在网格中画出你拼出的图案(画出的两个图案不能全等).
解：如图所示.
综合题
8.欲在正方形绿化场地上种植两种不同颜色的花卉，要求种植的花卉能组成轴对称图形.下面是两种不同设计方案中的一部分，请把图1、图2补成轴对称图形，并画出一条对称轴(在你所设计的图案中用阴影部分和非阴影部分表示两种不同颜色的花卉).
解：答案不唯一，如图所示.
小专题(七) 轴对称性质的应用
类型1利用轴对称的性质求角的度数或线段长
1.如图所示，点A，B在直线l的同侧，AB＝4 cm，点C是点B关于直线l的对称点，AC交直线l于点D，AC＝5 cm，则△ABD的周长为9cm.
2.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB＝10°.
3.如图，AB＝AC＝5 cm，BC＝3 cm，∠A＝40°，点A和点B关于直线l对称，AC与l相交于点D，则∠C＝70°，△BDC的周长等于8_cm.
4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，把△BCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与AD相交于点O.若∠DBC＝15°，求∠BOD的度数.
解：因为AD∥BC，∠DBC＝15°，所以∠BDO＝15°.
由折叠可知，∠DBC＝∠DBO.
所以∠BDO＝∠DBO＝15°.
又因为三角形内角和为180°，
所以∠BOD＝180°－2∠DBO
＝180°－2×15°
＝150°.
类型2利用轴对称的性质解决最短路径问题
5.如图所示，牧童在A处放牧，其家在B处，A，B两点到河岸的距离分别AC和BD，且AC＝BD.若点A到河岸CD 中点M的距离为500 m，则牧童从A处牵牛到河边饮水再回家，最短路程为( B )
A.7 500 m
B.1 000 m
C.1 500 m
D.2 000 m
6.如图，在铁路l的同侧有A，B两个工厂，要在铁路边修建一个货场C.若要使A，B两厂到货场C的距离之和最短，则货场应该建在什么地方？试画出图形.
解：如图所示，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点C，则点C为所求货场地址.
7.如图，∠ABC内有一点P，在BA，BC边上各取一点P1，P2，求作△PP1P2，使△PP1P2的周长最小.
解：如图所示，P，N关于AB对称，P，M关于BC对称，连接MN分别交AB，BC于点P1，P2，△PP1P2为所求三角形.
8.如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线.
解：如图所示，最短路线为P－A－B－P.。