初中数学九年级上册相似三角形判定定理的证明
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AE DE ， AC CB
AD CF AE CF ，∴ . AB CB AC CB
A A′ D C′
1 2
∴ 四边形 DFCE 是平行
B′
E C
BБайду номын сангаас
F
AD AE DE ∴ . AB AC BC
A
A′ D B′ C′ B
1 2
E C
F
而 ∠ 1 = ∠ B，∠ DAE = ∠ BAC，∠ 2=∠ C，
A' D A' E . ∴ A' B' A' C'
B
C
AB AC ， ∵ A′D=AB， A' B' A' C' A' D A' E AC = ， ∴ A' B' A' C' A' C'
A'
D B' A
∴ A′E = AC . 又 ∠A′ = ∠A.
E C'
∴ △A′DE ≌ △ABC，
例2 如图，已知：∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2， CD = 2 ，当 AB 的长为 时，△ACB 与 △ADC相似． A
D B C
解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD = 2 ，
∴ AC AD CD 2
2 2 2
2
2
6.
要使这两个直角三角形相似，有两种情况： (1) 当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时，有 AC : AD ＝ AB : AC， 即 6 : 2 =AB : 6 ，解得 AB=3； A
∴ △A′B′C′ ∽ △ABC.
B
C
定理3：三边成比例的两个三角形相似. AB BC AC 已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中， ' ' ' ' ' ' A B B C AC 求证：△ABC ∽ △A'B'C' .
A A′ D B′ C′ E C
B
证明: 在线段 AB (或延长线) 上截取 AD=A′B′，
当堂练习
1.如下图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三
角形的是（ ①③）
①
②
③
④
2.已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，
1 AB=6，BC=4，AC=5，CD= 7 ，求AD的长. 2 1 解: ∵ AB=6，BC=4，AC=5，CD = 7 2 .
AB CD . ∴ BC AC
过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E. ∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC. B AD DE AE ∴ . AB BC AC
A' B' B'C' 又 AB BC DE B' C' ∴ ， BC BC
A E C A′
D
A' C' ，AD=A′B′， AC C′ B′ AE A' C' . ∴△ADE≌△A′B′C′， AC AC △A′B′C′ ∽△ABC. ∴ DE=B′C′，EA=C′A′.
第四章
*4.5
图形的相似
相似三角形判定定理的证明
导入新课
问题：相似三角形的判定方法有哪些？
① 两角对应相等，两三角形相似.
② 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
③ 三边对应成比例,两三角形相似.
讲授新课
一 证明相似三角形的判定定理 在上两节中，我们探索了三角形相似的条件，稍候 我们将对它们进行证明． 定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 已知：如图，在 △ABC 和 △A'B'C' 中，∠A = ∠A'， ∠B =∠B'.
二 相似三角形判定定理的运用 例1：已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB. 解： ∵ ∠ A= ∠ A , ∠ABD=∠C, ∴ △ABD ∽ △ACB , ∴ AB : AC = AD : AB, ∴ AB2 = AD ·AC.
C D A B
∵ AD = 2 , AC = 8, ∴ AB = 4.
A B
D
又∠B =∠ACD, ∴△ABC∽△DCA， BC AC ∴ AC AD . ∴AD= 25 .
4
C
课堂小结
定理1：两角分别相等的两个 三角形相似. 定 理 证 明
定理2:两边成比例且夹角相等的 两个三角形相似.
定理3：三边成比例的两个三 角形相似.
相似三角形 判定定理的 证明
定理的运用
2
D B
C
2
(2) 当 Rt△ACB ∽ Rt△CDA 时，有 AC : CD ＝ AB : AC ， 即 6 : 2 =AB : 6 ，解得 AB= 3 2 ． ∴ 当 AB 的长为 3 或 3 2 时，这两个直角三角形相 似． A 2 D B
C
2
练一练
在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°， 依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似. (1) ∠A=35°，∠B′=55°： 相似 ； (2) AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8： 相似 ； (3) AB=10，AC=8，A′B′=25，B′C′=15： 相似 .
B′ C′ B C A′ A
求证：△ABC ∽△A'B'C'．
证明：在 △ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取AD =A'B'，过点D作BC的平行线，交 AC 于点E，则 ∠1=∠B，∠2
AD AE . =∠C， AB AC
过点 D 作 AC 的平行线,交 BC 于点 F,则
∴
∵ DE∥BC, DF∥AC, 四边形． ∴ DE = CF. ∴
∴ △ADE ∽ △ABC. ∵ ∠ A = ∠ A'，∠ ADE = ∠ B =∠ B'，AD = A'B'，
∴ △ADE ≌△A' B ' C ' ．
∴ △ABC ∽△A'B'C.
定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′， A' AB AC . 求证：△ABC∽△A′B′C′. A' B' A' C' 证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D， D E 使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′， C' B' 交 A′C′ 于点 E. A ∵ DE∥B′C′， ∴ △A′DE∽△A′B′C′.
AD CF AE CF ，∴ . AB CB AC CB
A A′ D C′
1 2
∴ 四边形 DFCE 是平行
B′
E C
BБайду номын сангаас
F
AD AE DE ∴ . AB AC BC
A
A′ D B′ C′ B
1 2
E C
F
而 ∠ 1 = ∠ B，∠ DAE = ∠ BAC，∠ 2=∠ C，
A' D A' E . ∴ A' B' A' C'
B
C
AB AC ， ∵ A′D=AB， A' B' A' C' A' D A' E AC = ， ∴ A' B' A' C' A' C'
A'
D B' A
∴ A′E = AC . 又 ∠A′ = ∠A.
E C'
∴ △A′DE ≌ △ABC，
例2 如图，已知：∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2， CD = 2 ，当 AB 的长为 时，△ACB 与 △ADC相似． A
D B C
解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD = 2 ，
∴ AC AD CD 2
2 2 2
2
2
6.
要使这两个直角三角形相似，有两种情况： (1) 当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时，有 AC : AD ＝ AB : AC， 即 6 : 2 =AB : 6 ，解得 AB=3； A
∴ △A′B′C′ ∽ △ABC.
B
C
定理3：三边成比例的两个三角形相似. AB BC AC 已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中， ' ' ' ' ' ' A B B C AC 求证：△ABC ∽ △A'B'C' .
A A′ D B′ C′ E C
B
证明: 在线段 AB (或延长线) 上截取 AD=A′B′，
当堂练习
1.如下图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三
角形的是（ ①③）
①
②
③
④
2.已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，
1 AB=6，BC=4，AC=5，CD= 7 ，求AD的长. 2 1 解: ∵ AB=6，BC=4，AC=5，CD = 7 2 .
AB CD . ∴ BC AC
过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E. ∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC. B AD DE AE ∴ . AB BC AC
A' B' B'C' 又 AB BC DE B' C' ∴ ， BC BC
A E C A′
D
A' C' ，AD=A′B′， AC C′ B′ AE A' C' . ∴△ADE≌△A′B′C′， AC AC △A′B′C′ ∽△ABC. ∴ DE=B′C′，EA=C′A′.
第四章
*4.5
图形的相似
相似三角形判定定理的证明
导入新课
问题：相似三角形的判定方法有哪些？
① 两角对应相等，两三角形相似.
② 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
③ 三边对应成比例,两三角形相似.
讲授新课
一 证明相似三角形的判定定理 在上两节中，我们探索了三角形相似的条件，稍候 我们将对它们进行证明． 定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 已知：如图，在 △ABC 和 △A'B'C' 中，∠A = ∠A'， ∠B =∠B'.
二 相似三角形判定定理的运用 例1：已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB. 解： ∵ ∠ A= ∠ A , ∠ABD=∠C, ∴ △ABD ∽ △ACB , ∴ AB : AC = AD : AB, ∴ AB2 = AD ·AC.
C D A B
∵ AD = 2 , AC = 8, ∴ AB = 4.
A B
D
又∠B =∠ACD, ∴△ABC∽△DCA， BC AC ∴ AC AD . ∴AD= 25 .
4
C
课堂小结
定理1：两角分别相等的两个 三角形相似. 定 理 证 明
定理2:两边成比例且夹角相等的 两个三角形相似.
定理3：三边成比例的两个三 角形相似.
相似三角形 判定定理的 证明
定理的运用
2
D B
C
2
(2) 当 Rt△ACB ∽ Rt△CDA 时，有 AC : CD ＝ AB : AC ， 即 6 : 2 =AB : 6 ，解得 AB= 3 2 ． ∴ 当 AB 的长为 3 或 3 2 时，这两个直角三角形相 似． A 2 D B
C
2
练一练
在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°， 依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似. (1) ∠A=35°，∠B′=55°： 相似 ； (2) AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8： 相似 ； (3) AB=10，AC=8，A′B′=25，B′C′=15： 相似 .
B′ C′ B C A′ A
求证：△ABC ∽△A'B'C'．
证明：在 △ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取AD =A'B'，过点D作BC的平行线，交 AC 于点E，则 ∠1=∠B，∠2
AD AE . =∠C， AB AC
过点 D 作 AC 的平行线,交 BC 于点 F,则
∴
∵ DE∥BC, DF∥AC, 四边形． ∴ DE = CF. ∴
∴ △ADE ∽ △ABC. ∵ ∠ A = ∠ A'，∠ ADE = ∠ B =∠ B'，AD = A'B'，
∴ △ADE ≌△A' B ' C ' ．
∴ △ABC ∽△A'B'C.
定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′， A' AB AC . 求证：△ABC∽△A′B′C′. A' B' A' C' 证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D， D E 使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′， C' B' 交 A′C′ 于点 E. A ∵ DE∥B′C′， ∴ △A′DE∽△A′B′C′.