2019-2020学年江苏省苏州市高一(上)期末数学试卷

2019-2020学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷
一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知全集{1U =，2，3，4}，集合{1A =，3}，则(U A =ð ) A ．{1，3} B ．{2，4} C ．{1，2} D ．{3，4}
2．（5
分）函数()f x =的定义域为( )
A ．(,4)-∞
B ．(-∞，4]
C ．(4,)+∞
D ．[4，)+∞
3．（5分）已知0.83a =，3log 0.8b =，3(0.8)c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c a b <<
B ．b a c <<
C ．c b a <<
D ．b c a <<
4．（5分）已知点(3,4)P 在角α的终边上，则cos()2π
α+的值为( )
A ．35
B ．35
-
C ．
45 D ．45
-
5．（5分）已知函数23,0()log ,0
x x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩…，则1
(())2f f 的值等于( )
A ．1
3-
B ．13
C
D
．6．（5分）在ABC ∆
1tan tan A B A B ++=，则角C 的度数为( ) A ．30︒
B ．60︒
C ．120︒
D ．150︒
7．（5分）如图，四边形ABCD 中，2AB DC =，E 为线段AC 上的一点，
若35
DE AB AD λ=-，则实数λ的值等于( )
A ．15
B ．15
-
C ．
25 D ．25
-
8．（5分）如果函数()y f x =在其定义域内存在实数0x ，使得00()()()(f kx f k f x k =为常数）成立，则称函数()y f x =为“对k 的可拆分函数”．若()21
x a
f x =
+为“对2的可拆分函数”，
则非零实数a 的最大值是( )
A ．3
1)2
B ．3
1)2
C ．5
1)2
D ．5
1)2
二.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．（5分）已知集合{|2}A x ax =…，{2B =，若B A ⊆，则实数a 的值可能是( ) A ．1-
B ．1
C ．2-
D ．2
10．（5分）下列函数中既是定义域上的偶函数，又是(0,)+∞上的增函数为( ) A ．1||
y x =
B ．23
y x =
C ．||y lnx =
D ．|||x y e =
11．（5分）已知向量1(1,2)e =-，2(2,1)e =，若向量1122a e e λλ=+，则可使120λλ<成立的a 可能是( ) A ．(1,0)
B ．(0,1)
C ．(1,0)-
D ．(0,1)-
12．（5分）已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象经过点1(,)32π，且在区间(,)126
ππ上单
调，则ω，ϕ可能的取值为( ) A ．2ω=，6
π
ϕ=-
B ．2ω=，2
π
ϕ=-
C ．6ω=，6
π
ϕ=
D ．6ω=，56
π
ϕ=
三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知(2,3)A -，(8,3)B ，若2AC CB =，则点C 的坐标为 ．
14．（5分）函数()210x f x x =+-的零点所在区间为(,1)n n +，n Z ∈，则n = ．
15．（5分）已知(0,)απ∈，sin cos αα+，则tan α= ． 16．（5分）已知函数22()()()f x x x x ax b =-++的图象关于直线2x =对称，则a b += ，函数()y f x =的最小值为 ．
四.解答题：本大题共4小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知{|()(2)0}A x x a x a =-+-<，{|04}B x x =<<． （1）若3a =，求A B ；
（2）若A
B A =，求实数a 的取值范围．
18．（12分）已知锐角α，β满足131
cos ,cos 147
αβ==． （1）求cos()αβ+的值； （2）求αβ-．
19．（12分）如图，在ABC ∆中，已知2AB =，4AC =，60A =︒，D 为线段BC 中点，E 为线段AD 中点． （1）求AD BC 的值； （2）求EB EC 的值．
20．（12分）摩大轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1)．某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2)．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱．摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．
（1）经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为H 米，已知H 关于t 的函数关系式满足
()sin()H t A t B ωϕ=++其中0A >，0)ω>，求摩天轮转动一周的解析式()H t ；
（2）问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？
（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间相隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h 米，求h 的最大值．
2019-2020学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知全集{1U =，2，3，4}，集合{1A =，3}，则(U A =ð ) A ．{1，3}
B ．{2，4}
C ．{1，2}
D ．{3，4}
【解答】解：因为全集{1U =，2，3，4}，则集合{1A =，3}， 则{2U C A =，4}． 故选：B ．
2．（5分）函数()
f x =的定义域为( )
A ．(,4)-∞
B ．(-∞，4]
C ．(4,)+∞
D ．[4，)+∞
【解答】解：由40x ->， 得4x <． ∴函数()
f x =
的定义域是：(,4)-∞．
故选：A ．
3．（5分）已知0.83a =，3log 0.8b =，3(0.8)c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c a b <<
B ．b a c <<
C ．c b a <<
D ．b c a <<
【解答】解：0.80331a =>=，33log 0.8log 10b =<=，300(0.8)0.81c <=<=， b c a ∴<<．
故选：D ．
4．（5分）已知点(3,4)P 在角α的终边上，则cos()2π
α+的值为( )
A ．35
B ．35
-
C ．
45 D ．45
-
【解答】解：点(3,4)P 在角α的终边上，
5r ∴==， ∴4cos(
)sin 2
5
y r π
αα+=-=-
=-． 故选：D ．
5．（5分）已知函数23,0()log ,0
x x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩…，则1
(())2f f 的值等于( )
A ．1
3-
B ．13
C
D
．【解答】解：
2log ,0()3,0x x x f x x >⎧=⎨⎩
…
211
()log 122f ∴=-，
111[()](1)323
f f f -=-==．
故选：B ．
6．（5分）在ABC ∆
1tan tan A B A B ++=，则角C 的度数为( ) A ．30︒
B ．60︒
C ．120︒
D ．150︒
【解答】
解：因为tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++=
=-
所以tan tan(())tan()C A B A B π=-+=-+= 又(0,180)C ∈︒︒， 故30C =︒， 故选：A ．
7．（5分）如图，四边形ABCD 中，2AB DC =，E 为线段AC 上的一点，
若3
5
DE AB AD λ=-，则实数λ的值等于( )
A ．15
B ．15
-
C ．
25 D ．25
-
【解答】解：2AB DC =，
3
5DE AB AD λ=-，
3
25
DC DA λ=+，
由向量共线定理可知，3
215
λ+=， 则15
λ=
， 故选：A ．
8．（5分）如果函数()y f x =在其定义域内存在实数0x ，使得00()()()(f kx f k f x k =为常数）成立，则称函数()y f x =为“对k 的可拆分函数”．若()21
x
a
f x =+为“对2的可拆分函数”，则非零实数a 的最大值是( )
A ．3
1)2
B ．3
1)2
C ．5
1)2
D ．5
1)2
【解答】解：()21
x
a
f x =
+为“对2的可拆分函数”， 则存在实数m ，(2)f m f =（2）()f m ，得
221521
m m a a a =
++，令2m
t =， 故22
5(21)5(1)211m m t a t ++==++，令25(1)()1
t g t t +=+，0t >，
()g t '=
当1)t ∈时，()g t 递增；当1t ∈，)+∞时，()g t 递减；
故5
()1)1)2
max g t g =-==
=， 故选：D ．
二.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．（5分）已知集合{|2}A x ax =…，{2B =，若B A ⊆，则实数a 的值可能是( ) A ．1-
B ．1
C ．2-
D ．2
【解答】解：因为集合{|2}A x ax =…，{2B =，B A ⊆， 若1a =-，[2A =-，)+∞，符合题意，A 对； 若1a =，(A =-∞，2]，符合题意，B 对； 若2a =-，[1A =-，)+∞，符合题意，C 对； 若1a =，(A =-∞，1]，不符合题意，D 错； 故选：ABC ．
10．（5分）下列函数中既是定义域上的偶函数，又是(0,)+∞上的增函数为( ) A ．1||
y x =
B ．23
y x =
C ．||y lnx =
D ．|||x y e =
【解答】解：1
||
y x =
在(0,)+∞上为减函数，不符合题意， ||y lnx =为非奇非偶函数，不符合题意，
23
y x =和||x y e =为偶函数，且在在(0,)+∞上为增函数，
故选：BD ．
11．（5分）已知向量1(1,2)e =-，2(2,1)e =，若向量1122a e e λλ=+，则可使120λλ<成立的a 可能是( ) A ．(1,0)
B ．(0,1)
C ．(1,0)-
D ．(0,1)-
【解答】解：1(1,2)e =-，2(2,1)e =，
∴向量11221(a e e λλλ=+=-，122)(2λλ+，2)λ，
21(2λλ=-，122)λλ+，
若使120λλ<成立，
(1,0)a =，则1220λλ+=，满足题意， (0,1)a =，则2120λλ-=，不满足题意， (1,0)a =-，则1220λλ+=，满足题意， (0,1)a =-，则2120λλ-=，不满足题意，
故选：AC ．
12．（5分）已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象经过点1(,)32π，且在区间(,)126
ππ上单
调，则ω，ϕ可能的取值为( ) A ．2ω=，6
π
ϕ=-
B ．2ω=，2
π
ϕ=-
C ．6ω=，6
π
ϕ=
D ．6ω=，56
π
ϕ=
【解答】解：因为函数()f x 过点(3π
，1
)2
， 所以
1sin()23
π
ω=+∅，
所以
23
6
k π
π
ωπ+∅=
+，或
523
6
k π
π
ωπ+∅=
+， 又因为在区间(,)126
ππ
上单调，
所以2612
T ππ
-…，解得6T π…，
26
π
π
ω…，所以12ω…，
若函数()f x 在区间(,)126ππ
上单调递增，
则2222
3
6
2
k k k π
π
π
π
πωππ-
+<
+∅=
+<
+，()k Z ∈
当0k =时，36π
π
ω+∅=，
若2ω=，则2
π
∅=-，
若6ω=，则116
π
∅=-． 当1k =时，
23
6
π
π
ωπ+∅=+，
若6ω=，则6
π
∅=．
若函数()f x 在区间(,)126ππ
上单调递减，
则
532222
3
62k k k π
π
πππωππ+<
+∅=+<+，()k Z ∈ 当0k =时，
53
6
π
πω+∅=， 若2ω=，则6
π
∅=， 若6ω=，则76
π∅=-． 当1k =时，
523
6
π
π
ωπ+∅=
+， 若6ω=，则56
π∅=
， 故ω，∅可能取的值为2ω=，2
π
∅=-；6ω=，则6
π
∅=
；6ω=，则56
π∅=
． 故选：BCD ．
三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知(2,3)A -，(8,3)B ，若2AC CB =，则点C 的坐标为 (6,1) ． 【解答】解：设(,)C x y ，
(2,3)A -，(8,3)B ，2AC CB =，
(2x ∴-，3)2(8y x +=-，3)(162y x -=-，62)y -，
∴2162362x x y y -=-⎧⎨+=-⎩，解得6x =，1y =，
∴点C 的坐标为(6,1)．
故答案为：(6,1)．
14．（5分）函数()210x f x x =+-的零点所在区间为(,1)n n +，n Z ∈，则n = 2 ． 【解答】解：函数()210x f x x =+-的零点所在的区间是(,1)n n +，且n 为整数，f （2）50=-<，f （3）10=>，
f （2）f （3）0<，根据函数零点的判定定理可得，
函数()210x f x x =+-的零点所在的区间是(2,3)， 故2n =， 故答案为：2．
15．（5分）已知(0,)απ∈，sin cos αα+，则tan α= ． 【解答】解：由25
(sin cos )12sin cos 9
αααα+=+=，
得42sin cos 9
αα=-，
所以2413(sin cos )12sin cos 199
αααα-=-=+
=， 因为(0,)απ∈，所以sin 0α>，cos 0α<，
所以sin cos αα-，与s i n c o s αα+=
联立得，sin α=cos α=，
所以sin tan cos ααα=
==
故答案为：． 16．（5分）已知函数22()()()f x x x x ax b =-++的图象关于直线2x =对称，则a b += 5 ，函数()y f x =的最小值为 ．
【解答】解：由题意可知，0x =与1x =是函数的零点，
22()()()f x x x x ax b =-++的图象关于直线2x =对称，
20x ax b ∴++=的根为4，3，
7a ∴=-，12b =，
则5a b +=，
函数22432()()(712)81912y f x x x x x x x x x ==--+=-+-．
则32()42438122(2)(22f x x x x x x x '=-+-=--+-．
①令()0f x '=，解得2x =，或2x =，或2x =；
②令()0f x '<，解得2x <22x <<；
③令()0f x '>，解得22x <<，或2x >+
．
()f x ∴在(,2-∞上单调递减，在(22)上单调递增，
在(2,2上单调递减，在(2+
)+∞上单调递增，
在2x =处取得极大值，在2x =与2x =处取得极小值．
65(24f -
=-，5
(24
f =-． ∴函数()y f x =的最小值为5
4
-．
故答案为：5，5
4
-．
四.解答题：本大题共4小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知{|()(2)0}A x x a x a =-+-<，{|04}B x x =<<． （1）若3a =，求A B ；
（2）若A
B A =，求实数a 的取值范围．
【解答】解：（1）3a =时，{|13}A x x =-<<，且{|04}B x x =<<， (0,3)A
B ∴=； （2）
A
B A =，
B A ∴⊆，
①2a a >-，即1a >时，{|2}A x a x a =-<<，则204a a -⎧⎨⎩
……，解得4a …；
②2a a <-，即1a <时，{|2}A x a x a =<<-，则0
24a a ⎧⎨-⎩
……，解得2a -…；
③2a a =-，即1a =时，A =∅，不满足B A ⊆，这种情况不存在； ∴综上得，a 的取值范围为(-∞，2]
[4-，)+∞．
18．（12分）已知锐角α，β满足131
cos ,cos 147
αβ==． （1）求cos()αβ+的值； （2）求αβ-．
【解答】解：已知锐角α，β满足131cos ,cos 147
αβ==，
故sin α=
，同理sin β， （1）131334323
cos()cos cos sin sin 14798αβαβαβ+=-=
-=-； （2）由1336491
cos()cos cos sin sin 9898982
αβαβαβ-=+=+==，
又锐角α，β，且cos cos αβ>，所以αβ<，故(2
π
αβ-∈-，0)，
故3
π
αβ-=-
．
19．（12分）如图，在ABC ∆中，已知2AB =，4AC =，60A =︒，D 为线段BC 中点，E 为线段AD 中点． （1）求AD BC 的值； （2）求EB EC 的值．
【解答】解：（1）D 为线段BC 中点，且2AB =，4AC =，
∴22111
()()()(164)6222
AD BC AB AC AC AB AC AB =
+-=-=⨯-=； （2）E 为线段AD 中点，
∴EB ED DB =+
1122
AD CB =
+ 11
()()42AB AC AB AC =++- 31
44
AB AC =
-， EC ED DC =+
1122
AD BC =
+ 11
()()42AB AC AC AB =++- 31
44
AC AB =
-， ∴3
131
()()4
444
EB EC AB AC AC AB =-
- 22533
81616
AB AC AB AC =
-- 5133
24416821616=⨯⨯⨯-⨯-⨯ 54
=-．
20．（12分）摩大轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1)．某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2)．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱．摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．
（1）经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为H 米，已知H 关于t 的函数关系式满足
()sin()H t A t B ωϕ=++其中0A >，0)ω>，求摩天轮转动一周的解析式()H t ；
（2）问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？
（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间相隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h 米，求h 的最大值．
【解答】解：（1）H 关于t 的函数关系式为()sin()H t A t B ωϕ=++， 由9010A B A B +=⎧⎨-+=⎩
，解得40A =，50B =；
又0t =时，(0)40sin 5010H ϕ=+=，解得sin 1ϕ=-，所以2
π
ϕ=-；
又30T =，所以223015
T πππ
ω=
==； 所以摩天轮转动一周的解析式为 ()40sin()50152
H t t ππ
=-+；
（2）令()30H t =，得40sin()5030152
t ππ
-+=，
即1
sin()1522
t ππ-=-，
所以1
cos 15
2
t π
=
， 解得
15
3
t π
π
=
，或
515
3
t π
π=
， 解得5t =，或25t =；
所以游客甲坐上摩天轮后5分钟，和25分钟时，距离地面的高度恰好为30米；
（3）由题意知，游客甲距离地面高度解析式为405015
2y sin t π
π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭甲，
游客乙距离地面高度解析式为405015
32y sin t πππ⎡⎤
⎛⎫=--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦乙；
则1404040151532151515
3h y y cos
t cos t cos t t cos t π
πππππ
π⎛⎫⎛⎫=-=--==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭乙甲； 令
15
3
t π
π
π+
=，解得10t =，此时h y y =-乙甲取得最大值为40；
所以两人距离地面的高度差h 的最大值为40米．。