六级数学上册组合图形的周长和面积

六年级数学上册组合图形的周长和面积
例1.求阴影部分的面积。

（单位:厘米）解：这是最基本的方法：切圆面积减
去等腰直角三角形的面积，
石沖2 X1=1.14 （平方厘米）
例2.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积。

（单位:厘米）
II
解：这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去■■圆的面积。

设圆的半径为r，因为正方形的面积为7平方厘米，所以+=7,
所以阴影部分的面积为：7-亍.丄=7-一X7=1.505平方厘米
例3.求图中阴影部分的面积。

（单位:厘米）
(2) 解：最基本的方法之一。

用四个-I圆组成一个圆，用正方形的面积减去圆的
面积，
所以阴影部分的面积：2X2- n= 0.86平方厘米。

例4.求阴影部分的面积。

（单位:厘米）
解：同上，正方形面积减去圆面积，
16- n（）=16-4n
=3.44平方厘米
例5.求阴影部分的面积。

（单位:厘米）
解：这是一个用最常用的方法解最常见的题，为方便起见，
我们把阴影部分的每一个小部分称为叶形”，是用两个圆减去一个正方
形，
n（） >2-16=8 n -16=9.12 平方厘米
另外：此题还可以看成是1题中阴影部分的8倍。

例10.求阴影部分的面积。

（单位:厘米）
解：同上，平移左右两部分至中间部分，则合成一个长方形,
所以阴影部分面积为2X 1=2平方厘米 （注: 8、9、10三题是简单割、补或平移）
这种图形称为环形，可以用两个同心圆的面积差或差的一部分来求
50 7
(n - n ) X 预=6 X 3.14=3.66 平方厘米
例6.如图：已知小圆半径为2厘米，大圆半径是小圆的3倍，问：空白部分甲比乙的面积 多
多少厘米？ 解：两个空白部分面积之差就是两圆面积之差（全加上阴影部分） n :-n （
）=100.48 平方厘米 （注：这和两个圆是否相交、交的情况如何无关） 例7.求阴影部分的面积。

（单位:厘米）
解：正方形面积可用（对角线长冷寸角线长吃，求）
正方形面积为：5X5^2=12.5 所以阴影面积为： 0 *12.5=7.125平方厘米 （注:以上几个题都可以直接用图形的差来求，无需割、补、增、减变形）
例8.求阴影部分的面积。

（单位:厘米）
解:右面正方形上部阴影部分的面积， 等于左面正方形下部空白部分面 £
积，割补以后为耳圆， £
所以阴影部分面积为：■ n （
）=3.14平方厘米 例9.求阴影部分的面积。

（单位:厘米）
解：把右面的正方形平移至左边的正方形部分，则阴影部分合成一个长方形,
匚2尸 （
—2—
8)
所以阴影部分面积为：2X 3=6平方厘米
例11.求阴影部分的面积。

（单位:厘米）
1
•-2
2T
do)
3
例12.求阴影部分的面积。

（单位:厘米） 解：三个部分拼成一个半圆面积.
n （）艺=14.13平方厘米
例13.求阴影部分的面积。

（单位:厘米）
解：连对角线后将"叶形"剪开移到右上面的空白部分，凑成正方形的一半
所以阴影部分面积为：8X8^2=32平方厘米
（13） 例14.求阴影部分的面积。

（单位:厘米）
£
解：梯形面积减去，•圆面积，
2（4+10） X4-牙n =28-4n =15.44 平方厘米.
例15.已知直角三角形面积是12平方厘米，求阴影部分的面积 分析：此题比上面的题有一定难度，这是"叶形"的一个半. 解：设三角形的直角边长为r ，贝二=12,
=6
圆面积为：n ： - 2=3n 。

圆内三角形的面积为12-2=6,
3
阴影部分面积为：（3 n -6） X?=5.13平方厘米
例16.求阴影部分的面积。

（单位:厘米） 3 [n
+n 4‘—n ]
(116-36)=40 n =125.6 平方厘米
例17.图中圆的半径为5厘米,求阴影部分的面积。

（单位:厘米） 解：上面的阴影部分以AB 为轴翻转后，整个阴影部分成为梯形减去直 角三角形，或两个小直角三角形 AED BCD 面积和。

所以阴影部分面积为：5X 5-2+5X 10十2=37.5平方厘米
(15)
例18.如图，在边长为6厘米的等边三角形中挖去三个同样的扇形部分的
周长。

解：阴影部分的周长为三个扇形弧，拼在一起为一个半圆弧，
所以圆弧周长为：2X 3.14 X 3-2=9.42厘米
例19.正方形边长为2厘米，求阴影部分的面积。

解：右半部分上面部分逆时针，下面部分顺时针旋转到左半部分，组成一个矩形。

所以面积为：1X 2=2平方厘米
例20.如图，正方形ABC啲面积是36平方厘米，求阴影部分的面积
解：设小圆半径为r，42=36, r=3，大圆半径为R,於=^=18,
将阴影部分通过转动移在一起构成半个圆环，
所以面积为：n( -r2) -2=4.5 n =14.13平方厘米
例21.图中四个圆的半径都是1厘米，求阴影部分的面积解：把
中间部分分成四等分，分别放在上面圆的四个角上, 边长为2厘
米，
所以面积为：2X 2=4平方厘米
例22.如图，正方形边长为8厘米，求阴影部分的面积。

解法一：将左边上面一块移至右边上面，补上空白，则左边为一三角形，右边
一个半圆.
阴影部分为一个三角形和一个半圆面积之和.
n( ') - 2+4X 4=8 n +16=41.12 平方厘米解法二：补上两个空白为一个完整的圆.
所以阴影部分面积为一个圆减去一个叶形,叶形面积为：n()十2-4X4=8n -16
(21}丽)
补成一个正方形,
(19)
㈡)
5
所以阴影部分的面积为：n （「）-8n +16=41.12平方厘米
例23.图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，，它们的公共点是该正方形的中心， 如果 每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的面积是多少？
解：面积为4个圆减去8个叶形，叶形面积为： 亍冗⑴^ -1X 1^ n -1
2
丄
所以阴影部分的面积为:4 n ⑴止-8（亍n -1）=8平方厘米
例24.如图，有8个半径为1厘米的小圆，用他们的圆周的一部分连成一个花瓣图形， 图中
的黑点是这些圆的圆心。

如果圆周 n 率取3.1416，那么花瓣图形的的面积是多少平方厘 米？
分析：连接角上四个小圆的圆心构成一个正方形，各个小圆被切去 这四个部分正好合成3个整圆，而正方形中的空白部分合成两个小圆. 解：阴影部分为大正方形面积与一个小圆面积之和.
为：4X 4+n =19.1416平方厘米
例25.如图，四个扇形的半径相等，求阴影部分的面积。

（单位:厘米） 分析：四个空白部分可以拼成一个以2为半径的圆.
所以阴影部分的面积为梯形面积减去圆的面积， 4X （4+7）十 2 -冗二=22-4 n =9.44 平方厘米
例26.如图，等腰直角三角形 ABC 和四分之一圆DEB AB=5厘米，BE=2厘米，求图中阴影 部分的面积
解：将三角形CEB 以B 为圆心，逆时针转动90度，到三角形ABD 位置, 阴影部分成为三角形ACB 0积减去•'•个小圆面积,
为：5 X 5-2 -冗二」4=12.25-3.14=9.36 平方厘米
例27.如图，正方形ABC 啲对角线AC=2厘米，扇形ACB 是以AC 为直径 的半圆，扇形DAC 是以D 为圆心，AD 为半径的圆的一部分，求阴影部分
1
个圆,
(23)
(24)
(26)
的面积
因为2厉加=4,所以SDF =2
以AC 为直径的圆面积减去三角形 ABC 面积加上弓形AC 面积,
⑴"-2X 2十4+[ x 〔A" -4-2]
=-x -1+( - x -1) =x -2=1.14平方厘米
例28.求阴影部分的面积。

(单位：厘米)
所以阴影面积为：12.5+7.125=19.625平方厘米
£
解法二：右上面空白部分为小正方形面积减去 耳小圆面积，其值为: 阴影面积为三角形ADC 减去空白部分面积，为：10X 5-2 - (25- - x 平方厘米
例29.图中直角三角形ABC 的直角三角形的直角边 AB=4厘米，BC=6厘米，扇形BCD 所在圆 是以B 为圆心，半径为BC 的圆，/ CBD= 丁'，问：阴影部分甲比乙面积小多少？ 解：甲、乙两个部分同补上空白部分的三角形后合成一个扇形
BCD 一个成为三角形ABC
2L j_
此两部分差即为：x 「X m X 4X 6= 5x -12=3.7平方厘
米
例30.如图，三角形ABC 是直角三角形，阴影部分甲比阴影部分乙面积大 28平方厘米，AB=40 厘米。

求BC 的长度。

解法 积，
:设AC 中点为B,阴影面积为三角形ABD 0积加弓形BD 的面 三角形ABD 的面积为:5 X 5-2=12.5 弓形面积为:[x ⑸』-2-5X 5] -2=7.125
1 25
5X5-W x " =25-^
x =19.625
日
C
(29)
解：两部分同补上空白部分后为直角三角形 ABC 一个为半圆，设BC 长为X,则
40X^2-冗 2於-2=28
所以 40X-400n =56 贝U X=32.8 厘米
Q 为正方形一边上的中点，求阴影部分的面积。

例31.如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中 解：连PD PC 转换为两个三角形和两个弓形，
1
两三角形面积为：△ APD 面积+△ QPC S 积=2 (5X 10+5X 5)
两弓形PC PD 面积为:
-5X5
所以阴影部分的面积为：37.5+
n -25=51.75平方厘米
例32.如图，大正方形的边长为6厘米，小正方形的边长为4厘米。

求阴影部分的面积。

解：三角形DCE 勺面积为：-X 4X 10=20平方厘米
梯形ABC 啲面积为：-(4+6) X 4=20平方厘米 从而知道它们面积相 等,则三角形ADF 面积等于三角形EBF 面积，阴影部分可补成石圆ABE 的 £ B
(32)
面积，其面积为：
n?- 4=9n =28.26 平方厘米
例33.求阴影部分的面积。

(单位：厘米) 丄
解:用■•大圆的面积减去长方形面积再加上一个
£
4( n X 13n -6
=4.205平方厘米
例34.求阴影部分的面积。

(单位：厘米)
解：两个弓形面积为：n 匠'-3X 4-2訂 n -6
阴影部分为两个半圆面积减去两个弓形面积，结果为
P 为半圆周的中点,
例35.如图，三角形OAB 是等腰三角形，OBC 是扇形，0B=5厘米，求阴影部分的面积
例36如图19—10所示，两圆半径都是1厘米，且图中两个阴影部分的面积相等。

求长方 形ABO i O 的面积。

解：因为两圆的半径相等，所以两个扇形中的空白部分相等。

又因为图中两个阴影部分的 面积
相等，所以扇形的面积等于长方形面积的一半（如图 19— 10右图所示） 所以
2 1
3.14X 12X 4 X 2= 1.57 （平方厘米）
答：长方形长方形ABO 1O 的面积是1.57平方厘米。

例37.如图19— 14所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）
解：我们可以把三角形ABC 看成是长方形的一部分，把它还原成长方形后（如右图所示） 因为
原大三角形的面积与后加上的三角形面积相等， 并且空白部分的两组 角形面积分别相等，所以I 和II 的面积相等。

6X 4 = 24 （平方厘米） /
答：阴影部分的面积是24平方厘米。

例38如图19— 18所示，图中圆的直径AB 是4厘米，平行四边形 ABCD 的面积是7平方
n
2 ‘+
冗 2 - (° n -6)
= n
）+6=6平方厘米
解：将两个同样的图形拼在一起成为 ■.圆减等腰直角三角形
[n ⑸'十4-亍X 5X 5]十2
=(「n - - )- 2=3.5625 平方厘米
19— 14
半径：4十2 = 2 （厘米）
扇形的圆心角：180—（ 180-30X 2）= 60 （度） 扇形的面积：2X 2X 3.14X 360〜2.09 （平方厘米） 三角形BOC 的面积：7-2-2= 1.75 （平方厘米） 7—（ 2.09+1.75）= 3.16 （平方厘米）
答：阴影部分的面积是 3.16平方厘米。

★组合图形的周长与面积练习题
圆的周长和面积（一）
【知识要点】用剪拼移补的方法计算组合图形的面积
2、求下面图形中涂色部分的面积。

（单位：厘米）
3、下面两个圆中直角等腰三角形的面积都是 5平方厘米，求圆的面积。

4、如下图示，AB= 4厘米，求涂色部分的面积。

厘米，/ ABC 二30度，求阴影部分的面积（得数保留两位小
数） 0
BOC 的
1、计算下面图形中涂色部分的面积
（单位：厘米）
5. 求阴影面积
6如下图所示，一个圆的周长是15.7厘米，求长方形的面积。

圆的周长和面积（二）
一、 关键冋题：
对于组合图形的面积，可以通过把其中的部分图形进行平移，翻折或旋转，化难为易 二、 典型例题： （一）基础部分：
1、例1、将半径分别是3厘米和2厘米的两个半圆如图放置，求阴影部分的周长。

2、例2、求图中阴影部分的面积（单位：厘米）
3、例3、求图中阴影部分的面积（单位：厘米）
1、例1:两条细绳各自牢牢地绑住如（甲）（乙）两图所示的卷筒纸，每个卷筒
纸的半径 是10 cm。

请问这两条细绳的长度分别是几厘米？
o
（甲
三、热身演练：
（一）基础练习：
1、如图：正方形的边长是5厘米，那么阴影部分的周长是多少厘米?
2、求阴影部分的周长
3、计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）
4、计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）
4
（二）拓展练习: 1、有7根直径都是2分米的圆柱形木棍，想用一根绳子把它们捆成一捆，最短需要多少米
长的绳子？（打结用的绳长不计）
2、直径均为1米的四根管子被一根金属带紧紧地捆在一起，（如图），试求金属带的长度
3、求下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）
4、下图：大圆直径上的所有小圆的周长之和与大圆的周长有什么关系？如果小圆的直径分
另I」是3厘米、1厘米、4厘米、2厘米。

请求出大圆直径上所有小圆的周长之和，以及大
5、下图：小圆的周长是12.56厘米，环形的宽度是2厘米，请求出环形的面积
&下图：长方形的长是6厘米，宽是3厘米。

请求出阴影部分的面积
7、下图：大正方形的边长是10厘米，小正方形的边长是8厘米，请求出阴影部分的面积
8、求出下图阴影部分的面积
9、求出下图阴影部分的面积
10、下图：正方形的边长是5厘米，请求出阴影部分的面积。

阴影部分占正方形的百分之 几？
15、下图：圆的周长是25.15
厘米，请求出阴影部分的面积
11、下图是由两个边长是 12、下图正方形的面积是 13、下面正方形的边长是
5厘米正方形的拼成长方形，请求出阴影部分的面积
8平方厘米，画出其对称轴，并求出阴影部分的面积
5厘米，请求出阴影部分的面积
14、根据上图，以及上图的条件求出阴影部分的面积
5 16、下图：直角三角形的两直角边分别是8厘米，6厘米，斜边是三角形周长的 -，求出
12 阴影部分的面积。

17、下图：正方形的边长是5厘米，请求出阴影部分的面积
18、如图8,已知EO=&m，求阴影部分的周长和面积
19、如图10,求阴影部分的周长和面积。

（单位：cm）
20、如图11,求阴影部分的面积及阴影弧线长的和。

（单位：cm）
21、如图12，已经半圆的直径为10 cm,求阴部分的面积及阴影弧线长的和
22、如下图，已知AB=12厘米，且阴影部分甲的面积比阴影部分乙的面积大12平方厘米。

求BC的长是多少厘米?
23、如下图，求出阴影部分的周长和面积。

（单位：cm）
24、如下图，已知AC=CD=DB=m，求阴影部分的周长和面积
25、已经半圆的直径为9 cm,求阴影部分的面积
26、如下图，求阴影部分的周长与面积。

（单位：cm）
27、如图所示，圆的周长为12.56厘米，AC两点把圆分成相等的两段弧，阴影部分（1）的面积与阴影部分（2）的面积相等，求平行四边形ABCD的面积。

C
32. 图19- 17是两个完全一样的直角三角形重叠在一起，按照图中的已知条件求阴影部分 的面积（单位：厘米）
28、如图所示，直径
29、如图所示，AB = BC = 8厘米，求阴影部分的面积
30、 如图所示，求四边形 ABCD 的面积。

（单位：厘米）
31、 如图19- 16所示，BE 长5厘米
,
BC = 8 厘米，AB = AC ,
B
B
的面积。

【思路导航】阴影部分为两个三角形，但三角形 AEF 的面积无法 直接计算。

由于AE=ED 连接DF,可知S A AEF=S\ED R 等底等高）， 采用移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形 BDF 的面积。

因为BD=2/3BC 所以S A BDF = 2S A DCF 又因为 AE= ED 所以S △ ABF = S A BDF = 2S A DCF
因此，S A ABC= 5 S △ DCF 由于S A ABC= 8平方厘米，所以 S A DCF = 8-5= 1.6 （平方厘米），则阴影部分的面积为1.6 X 2= 3.2 （平方厘米） 练习1:
1. 如图，AE= ED, BC=3BD S A AB （= 30平方厘米。

求阴影部分的面 积。

120
19- 17
33、如图19- 19所示，/ 1= 15度，圆的周长位62.8厘米，平行四边形的面积为100平方 厘米。

求阴影部分的面积（得数保留两位小数）。

34、如图19-20所示，三角形ABC 的面积是31.2平方厘米，圆的直径AC = 6厘米，BD :
DC = 3: 1。

求阴影部分的面积。

35、如图19-21所示，求阴影部分的面积（单位：厘米。

得数保留两位小数）
三角形面积计算
40
30
【例题1】已知如图，三角形 ABC 的面积为8平方厘米, AE = EC ，BD=2/3BC 求阴影部分 19- 19
A
6
n
19-20D
A
12 B 19-21
2. 已知AO= 1/3OC,求梯形ABCD 勺面积（如图所示）
2•如图所示，AE=ED DC= 1/3BD , S A ABC= 21平方厘米。

求阴影 部分的面积。

【例题2】两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角形，如图所示，已知两个三角形的面积, 求另两个三角形的面积各是多少?
【思路导航】已知S A BOC 是 S A DOC K 2倍，且高相等，可知：BO =2DO 从S A ABD 与 S A ACD 相等（等底等高）可知：S A ABO 等于 6,而厶ABO WA AOD 的高相等，底是△ AOD 勺2倍。

所以△ AOD 勺 面积为6宁2 = 3。

因为S A ABD 与 S A ACD 等底等高 所以S A AB6 6
因为S A BOC 是 S A DOC 勺2倍 所以A ABC 是 A AOD 的2倍 所以A AO = 6宁2 = 3o 答：A AOD 勺面积
练习2:
1 •两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角形, 另两个三角形的面积是多少？
（如图所示），已知两个三角形的面积，求
A
F
B
(7
3•如图所示，DE ^ 1/2AE , 形ABC 的面积。

3. 已知三角形AOB 的面积为15平方厘米，线段0B 的长度为0D 的3倍。

求梯形ABCD 勺面 积。

（如图所示）
【例题3】四边形ABCD 勺对角线BD 被 E 、F 两点三等分，且四 边形AECF 的面积为15平方厘米。

求四边形ABCD 勺面积（如图所
示）
【思路导航】由于E 、F 三等分BD 所以三角形ABE AEF AFD 是等 底等高的三角形，它们的面积相等。

同理，三角形 的面积也相等。

由此可知，三角形ABD 的面积是三角形
AEF 面积的3 倍，三角形BCD 的面积是三角形CEF 面积的3倍，从而得出四边形 ABCD 勺面积是四边形AECF ®积的3倍。

15X 3= 45 （平方厘米） 答：四边形ABCD 勺面积为45平方厘米。

练习3:
1. 四边形ABCD 勺对角线BD 被E 、F 、G 三点四等分，且四边形AECG 勺面积为15平方厘米。

求四边形ABCD 勺面积（如图）
2 .已知四边形ABCD 勺对角线被E 、F 、G 三点四等分，且阴影部分面积为15平方厘米。

求 四边形ABCD 勺面积（如图所示）。

_
B
------------------------------ 。

3.如图所示，求阴影部分的面积（ABCD 为正方形）
【例题4】如图所示，B8 2D0阴影部分的面积是4平方厘米。

那么，梯形 ABCD 勺面积 是多少平方厘米？
【思路导航】因为B82D0取B0中点E,连接A 吕根据三角形等底
BEG CEF CFD
D
A
C
o
C
A E D
A
C
等高面积相等的性质，可知S A DBC= S A CDA S A CO圧S A DOA F 4,类推可得每个三角形的面积。

所以，
S^CD F4-2 = 2 （平方厘米）S △ DA F 4X 3= 12平方厘米
S梯形ABC F 12+4+2= 18 （平方厘米）
答：梯形ABCD勺面积是18平方厘米。

练习4:
1 •如图所示，阴影部分面积是4平方厘米，OC F2AO求梯形面积。

2. 已知OC F 2AOS A BO F 14平方厘米。

求梯形的面积（如图所示）。

3. 已知S A AO F 6平方厘米。

OC= 3AO求梯形的面积（如图所示）。

【例题5】如图所示，长方形ADEF勺面积是16,三角形ADB的面积是3,三角形ACF的面积是4,求三角形ABC的面积。

【思路导航】连接AE仔细观察添加辅助线AE
后，使问题可有如下解法。

由图上看出：三角形ADE的面积等于长方形面积
的一半（16- 2）= &用8减去3得到三角形ABE
的面积为5。

同理，用8减去4得到三角形
AEC的面积也为4。

因此可知三角形AEC与三角
形ACF等底等高，C为EF的中点，而三角
形ABE与三角形BEC等底，高是三角形BEC的2倍，三角形BEC的面积为5- 2= 2.5，所以，三角形ABC的面积为16-3-4-2.5 = 6.5。

练习5:
1. 如图所示，长方形ABC啲面积是20平方厘米，三角形ADF的面积为5平方厘米，三角形ABE的面积为7平方厘米，求三角形AEF的面积。

F C(7
2. 如图所示，长方形ABCD勺面积为20平方厘米, 厘米，求三角形AEF的面积。

3•如图所示，长方形ABCD勺面积为24平方厘米，三角形ABE AFD的面积均为4平方厘米，求三角形AEF的面积。

简单几何体的表面积与体积的计算
、四种常见几何体的平面展开图
1.正方体
沿正方体的某些棱将正方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图，这
一展开图是由六个全等的正方形组成的，见图6—1。

图6—1只是正方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。

2.长方体
曲E—1
沿长方体的某些棱将长方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图。

这一展开图是六个两两彼此全等的长方形组成的，见图6—2。

图6—2只是长方体平面展开图的一种画法, 还有别的画法（从略）。

D C
3. （直）圆柱体沿圆柱的一条母线和侧面与上、下底面的交线将圆柱剪开铺平，就得
到圆柱体的平面展开图。

它由一个长方形和两个全等的圆组成，这个长方形的长是圆柱底
面圆的周长，宽是圆柱体的高。

这个长方形又叫圆柱的侧面展开图。

图6—3就是圆柱的平面展开图
4. （直）圆锥体
沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。

它是由一个半径为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。

具体图形见图6—4。

二、四种常见几何体表面积与体积公式
1.长方体
长方体的表面积=2X（a x b+b x c+c x a）
长方体的体积=a x b x c （这里a、b、c分别表示长方体的长、宽、高）。

2.正方体
正方体的表面积=6x a
3.圆柱体
26
正方体的体积=a3（这里a为正方体的棱长）。

圆柱体的侧面积=2 n Rh
圆柱体的全面积 =2n Rh+2n FR=2n R （ h+R
圆柱体的体积=n R"h （这里R 表示圆柱体底面圆的半径，
h 表示圆柱的高）。

4.圆锥体
圆锥体的侧面积=n Rl
圆锥体的全面积=n RI+ n R
圆椎体的体积=|^R 3h 〔这里乩h h 分别为圆锥体底面圆的半径、
母线长与高）。

三、例题选讲
例1图6—5中的几何体是一个正方体， 图6—6是这个正方体的一个平面展开图， 图6— 7（ a ）、
（ b ）、
（c ）也是这个正方体的平面展开图，但每一展开图上都有四个面上的图案没画出来，请你给补上。

置上。

只要在图6—7
分析与解: 从图6 — 5和图6 — 6中可知:
曰与餾;國』囱皿与冒
互相处于相对面的位
3 4
2 1
f-
4
1 1
2 3
■4
(1)
（a）、（b）、（c）三个展开图中，判定谁与谁处在互为对面的位置上，则标有数字的四个空白
面上的图案便可以补上。

再看图6—7中的（b），同上，1与3，2与辛辛处在互为对面的位置上。

图6—7（a）、（b）、（c）标有数字的空白面上的图案见图6—8中的（a）、（b）、（c）。

*■ ■
/x"/ /.
4H----
TT *：g
?■■■
窗& —8
四边形APQ（是长方体的一个截面（即过长方体上四点A、P、Q
P、Q分别为棱A1B1、B1C1的中点，请在此长方体的平面展图
上，标出线段AC CQ QP PA来。

分析与解：只要能正确画出图6—9中长方体的平面展开图，问题便能迎刃而解。

图6—10中的粗实线, 就是题目中所要标出的线段AC CQ QP PA=
先看图6—7中的（a），仔细观察可知, 处在互为对面的位置上。

最后再看图6—7中的（c）,同上, 2与4处在互为对面的位置上。

例2图6—9中的几何体是一个长方体,
C的平面与长方体相交所得到的图形），
图怎一3
[:匚】
/
\
B A
B
例3在图6—11中，M N是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点，若从M点绕圆柱体的
侧面到达N沿怎么样的路线路程最短？窗丘一 1 1
分析与解：沿圆柱体的母线MN将圆柱的侧面剪开铺平，得出圆柱的侧面展开图，见图6—12,从M点绕圆柱体的侧面到达N点。

实际上是从侧面展开图的长方形的一个顶点M到达不相邻的另一个顶点No而两点间以线段的长度最短。

所以最短路线就是侧面展开图中长方形的一条对角线，见图6—12和图6—13。

例4图6—14中的几何体是一棱长为4厘米的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2厘米，深为1厘米的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少（n =3.14 ）?
分析与解：因为正方体的棱长为2厘米，而孔深只有1厘米，所以正方体没有被打透。

这一来打孔后所
得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的侧面积、这六个圆柱的高
为1厘米，底面圆的半径为1厘米。

正方体的表面积为42 X 6=96 （平方厘米）
一个圆柱的侧面积为2nX 1X仁6.28 （平方厘米）
几何体的表面积为96+6.28 X 6=133.68 （平方厘米）
答：（略）
例5图6—15是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积是多少？
分析与解：从图6—15中可以看出，18个小正方体一共摆了三层，第一层2个，第二层7个，因为18-7-2=9 , 所以第三层摆了9个。

另外，上、下两个面的表面积是相同的，同样，前、后；左、右两个面的表面积
也是分别相同的。

因为小正方体的棱长是1厘米，所以
團&-15
上面的表面积为12 X 9=9 （平方厘米）
前面的表面积为12 X 8=8 （平方厘米）
左面的表面积为12 X 7=7 （平方厘米）
几何体的表面积为9X 2+8X 2+7X 2=
答：（略）
31
2
32
例6图6—16中所示图形，是一个底面直径为
20厘米的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个
=3.14) …
分析与解：因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这个圆柱的底 面与玻璃杯的底面一样，是一直径为
20厘米的圆，它的体积正好等于圆锥体铅锤的体积，这个小圆柱
的高就是水面下降的高度。

因为圆锥形铅锤的体积为
1X TIX(^2X20 =60H (立方厘氷)
L La
设水面下降的高度为 X ,则小圆柱的体积为 x (20 + 2) 2
X x=100 n x (立方厘米) 所以有下列方程:
60 n =100 n x ，解此方程得:
x=0.6 (厘米) 答：铅锤取出后，杯中水面下降了
0.6厘米。

例7横截面直径为2分米的一根圆钢，截成两段后，两段表面积的和为
75.36平方分米，求原来那根圆
钢的体积是多少(n =3.14 ) ? 分析与解：根据圆柱体的体积公式，体积 =底面积X 高。

假设圆钢长为
X ,因为将圆钢截成两段后，两段
表面积的和，等于圆钢的侧面积加上四个底面圆的面积，所以有下面式子： 2 nX( 2 + 2)X x+4 nX( 2 + 2) =2 n x+4 n
底面直径为6厘米，高20厘米的一个圆锥体铅锤, 当铅锤从水中取出后， 杯里的水将下降几厘米?
33
解方程: 75.36-4 7T
圆钢的体积为nX （ 2- 2） 2X 10疋31.4 （立方分米）
答：（略）。

根据题目中给出的已知条件，可得下面方程:
2 n x+4 n =75.36
如石-4X314
~2 X 3.14~。