《高考调研》衡水重点中学同步精讲精练(数学必修5)课时作业2

课时作业(二)
1．在△ABC中，a＝2b cos C，则这个三角形一定是()
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
答案 A
2．已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，且B＝30°，则△ABC的面积等于()
A.
3
2 B.
3
4
C.
3
2或 3 D.
3
4或
3
2
答案 D
3．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝()
A．－22
3 B.
22
3
C．－
6
3 D.
6
3
答案 D
解析依题意得0°<B<60°，a
sin A＝
b
sin B，sin B＝
b sin A
a＝
3
3，cos B
＝1－sin2B＝
6
3，选D.
4．(2013·山东)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝2A，a＝1，b＝3，则c＝()
A．2 3 B．2
C. 2 D．1
答案 B
解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得1sin A ＝3
sin B . 又∵B ＝2A ，∴1sin A ＝3sin2A ＝3
2sin A cos A . ∴cos A ＝3
2，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝60°，∠C ＝90°. ∴c ＝
12＋(3)2＝2.
5．(2013·陕西)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不确定
答案 B
解析 ∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A .
又∵sin A >0，∴sin A ＝1，∴A ＝π
2，故△ABC 为直角三角形． 6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知A ＝60°，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )
A ．1
B ．2 C.3－1 D. 3
答案 B
7．已知△ABC 的面积为3
2，且b ＝2，c ＝3，则( ) A ．A ＝30° B ．A ＝60° C ．A ＝30°或150° D ．A ＝60°或120° 答案 D
8．已知三角形面积为1
4，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )
A ．1
B ．2 C.12 D ．4
答案 A
9．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．60° C ．45° D ．135° 答案 C
10．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度为________．
答案 2
11．△ABC 中，若a cos A 2＝b cos B 2＝c cos C 2，则△ABC 的形状是________．
答案 等边三角形
12．在△ABC 中，lg(sin A ＋sin C )＝2lgsin B －lg(sin C －sin A )，则该三角形的形状是________．
答案 直角三角形 解析 由已知条件
lg(sin A ＋sin C )＋lg(sin C －sin A )＝lgsin 2B ，
∴sin 2C －sin 2A ＝sin 2B ，由正弦定理，可得c 2＝a 2＋b 2. 故三角形为直角三角形．
13．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，B ＝π
3，cos A ＝4
5，b ＝ 3.
(1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积． 答案 (1)3＋4310 (2)36＋93
50
14．在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试判断三角形的形状．
解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)．将原等式化为8R 2sin 2B sin 2C ＝8R 2sin B sin C cos B cos C .
∵sin B ·sin C ≠0，∴sin B sin C ＝cos B cos C . 即cos(B ＋C )＝0.∴B ＋C ＝90°，即A ＝90°. 故△ABC 为直角三角形．
15．在△ABC 中，求证：cos2A a 2－cos2B b 2＝1a 2－1b 2. 证明 ∵左边＝1－2sin 2A a 2－1－2sin 2B
b 2 ＝1a 2－1b 2－2(sin 2A a 2－sin 2B b 2)，
由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，∴sin 2A a 2－sin 2B
b 2＝0. ∴原式成立． ►重点班·选作题
16．在△ABC 中，sin A ＝3
4，a ＝10，边长c 的取值范围是( ) A ．(15
2，＋∞) B ．(10，＋∞) C ．(0,10) D ．(0，40
3]
答案 D
17．(2012·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝2
3，sin B ＝5cos C .
(1)求tan C 的值；
(2)若a ＝2，求△ABC 的面积． 解析 (1)因为0<A <π，cos A ＝2
3， 得sin A ＝
1－cos 2
A ＝5
3.
又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋2
3sin C ，所以tan C ＝ 5. (2)由tan C ＝5，得sin C ＝56，cos C ＝1
6.
于是sin B ＝5cos C ＝
56
. 由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c
sin C ，得c ＝ 3. 设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ac sin B ＝5
2.
1．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π
3，则a ＝________. 答案 1
解析 在△ABC 中，由正弦定理，得1
sin B ＝
3sin 2π3
，解得sin B ＝12，因为b <c ，故角B 为锐角，所以B ＝π6，则A ＝π
6.再由正弦定理或等腰三角形性质可得a ＝1.。