实用文档之二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程方程
二次函数与一元二次方程方程《深度探讨：二次函数与一元二次方程方程》一、引言在数学的世界里，二次函数与一元二次方程方程是非常重要的概念。
它们不仅在数学理论和实际问题中起着重要作用，还在生活中的方方面面有着广泛的应用。
本文将从深度和广度的角度对这两个概念进行全面评估，并撰写一篇有价值的文章，希望能够帮助读者更全面、深刻地理解这两个概念。
二、二次函数与一元二次方程方程的概念解析1. 二次函数的定义所谓二次函数，就是最高次项是二次项的函数。
一般来说，二次函数的一般形式可以表示为：f(x) = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c为常数，且a不等于0。
二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。
2. 一元二次方程方程的定义一元二次方程方程是指最高次项为二次项的方程。
一元二次方程方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0。
其中，a、b、c为常数，且a不等于0。
一元二次方程方程的求解是数学上重要的课题，它涉及到方程的根与系数之间的关系。
三、从简到繁：二次函数与一元二次方程方程的关系在深入探讨二次函数与一元二次方程方程的关系之前，我们先从简单的实例开始。
以y = x^2为例，这是一个简单的二次函数。
当我们令y=0时，就得到了一个一元二次方程方程x^2 = 0。
通过这个简单的实例，我们可以看到二次函数与一元二次方程方程之间的密切联系。
四、深入探讨：二次函数与一元二次方程方程的求解1. 二次函数的求解对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a不等于0，我们可以通过多种方法来求解。
一种常用的方法是配方法，即通过将二次项化成完全平方的形式，然后进行转换和求解。
2. 一元二次方程方程的求解对于一元二次方程方程ax^2 + bx + c = 0，其中a不等于0，我们可以利用求根公式或配方法来求解方程的根。
然后根据根的情况，可以进一步讨论一元二次方程方程解的情况。
五、总结与回顾：二次函数与一元二次方程方程的应用与意义二次函数与一元二次方程方程在数学上有着非常重要的应用与意义。
22.2 二次函数与一元二次方程
集是
.
-1<x<3
关闭
答案
6.利用二次函数的图象求方程-
1 2
x2+x+2=0的近似解(精确到0.1).
解: 函数 y=-12x2+x+2 的图象如图.
设-12x2+x+2=0 的两根分别为 x1,x2,且 x1<x2,观察图象可知
-2<x1<-1,3<x2<4.
因为当 x=-1 时,y=-12×(-1)2-1+2=0.5>0,
解得 k=196.
(2)由题意,得 b2-4ac=b2-8=0,解得 b=±2 2.
∵x=-������>0,∴b<0,
关闭
(1)1∴96 b=(2-2)2-22.2
解析 答案
5.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴为直线x=1,
若其与x轴一交点为A(3,0),则由图象可知,不等式ax2+bx+c<0的解
-1.4 -0.38 3.2 0.08
-1.3 -0.145 3.3 -0.145
-1.2 0.08 3.4 -0.38
-1.1 0.295 3.5 -0.625
所以方程-12x2+x+2=0 的根 x1 的近似值为-1.2,x2 的近似值为 3.2.
当 x=-1.5 时,y=-12×(-1.5)2-1.5+2=-0.625<0,
所以-1.5<x1<-1.
因为当 x=3 时,y=-12×32+3+2=0.5>0,当 x=3.5
时,y=-12×3.52+3.5+2=-0.625<0,
22.2二次函数与一元二次方程
二次函数 一元二次方程 一元二次方程 2 2+bx+c= 0根的判 y=ax +bx+c的图 ax ax2+bx+c= 0的根 象和x轴交点 别式Δ=b2-4ac 有两个交点 只有一个交点 没有交点 有两个不相 等的实数根 有两个相等的 实数根
（ 3） y = x2 – x+ 1 o x
令 y= 0，解一元二次方程的根
y
（1） y = 2x2＋x－3 解：当 y = 0 时， 2x2＋x－3 = 0 （2x＋3）（x－1） = 0 3 x 1 =－ ，x 2 = 1 2 x 所以与 x 轴有交点，有两个交点。 二次函数的两点式
o
y =a（x－x1）（x－ x 1）
y
（2） y = 4x2 －4x +1
解：当 y = 0 时， 4x2 －4x +1 = 0
o
x
（ 2x－ 1） 2 = 0 1 x1=x2= 2 所以与 x 轴有一个交点。
y
（ 3） y = x2 – x+ 1
解：当 y = 0 时， x2 – x+ 1 = 0 因为（-1）2－4×1×1 = －3 < 0
３.求抛物线 y 2 x 1 8 ①与y轴的交点坐标; ②与x轴的两个交点间的距离.③何时y＞0?
2
4.已知二次函数 y 2 x m x m . (1)求证 : 对于任意实数 m, 该二次函数的图象与 x轴总有公共点 ; (2)若该二次函数的图象与 x轴有两个公共点 A、B, 且A点坐标 为(1,0), 求B点坐标.
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程二次函数和一元二次方程是高中数学中常见的概念。
它们在数学中具有重要的地位和应用价值。
本文将探讨二次函数和一元二次方程的定义、特点、图像以及它们之间的关系。
一、二次函数的定义和特点二次函数是指一元二次方程的解所构成的函数。
一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数，且a≠0。
根据一元二次方程的解的性质，二次函数的定义域为实数集R，而值域则取决于抛物线的开口方向和顶点高低。
当a>0时，抛物线开口向上，最值在顶点处取得；当a<0时，抛物线开口向下，最值为负无穷或正无穷。
二次函数的图像是一个抛物线，其对称轴为x=-b/(2a)，顶点坐标为(-b/(2a), f(-b/(2a)))。
根据顶点坐标和对称性，可以进一步得到二次函数的对称轴方程和顶点形式方程。
二、一元二次方程的定义和特点一元二次方程是指未知数只有一个，其次数为2的方程。
一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数，且a≠0。
一元二次方程的解为x=（-b±√（b^2-4ac））/2a，根据根的性质可知，一元二次方程的解的个数和判别式的大小有关。
当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数解；当判别式等于0时，方程有两个相等的实数解；当判别式小于0时，方程无实数解。
一元二次方程在实际问题中有广泛的应用，如物体自由落体、抛体运动、二次函数的最值等等。
三、二次函数与一元二次方程的关系二次函数与一元二次方程之间存在紧密的联系。
一元二次方程的解对应于二次函数的零点，即二次函数与x轴的交点。
对于给定的二次函数y=ax^2+bx+c，可以通过求解一元二次方程ax^2+bx+c=0来确定二次函数的零点。
而解一元二次方程得到的解又可以构成一元二次函数的图象上的点。
具体而言，当一元二次方程有两个不相等的实数解时，也就是判别式大于0时，对应的二次函数与x轴有两个交点，即抛物线与x轴相交于两点；当一元二次方程有两个相等的实数解时，也就是判别式等于0时，对应的二次函数与x轴有一个交点，即抛物线与x轴相切于一个点；当一元二次方程无实数解时，也就是判别式小于0时，对应的二次函数与x轴没有交点，即抛物线不与x轴相交。
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程一、引言在数学中，二次函数和一元二次方程是重要的概念。
它们在数学和实际生活中都有广泛的应用。
本文将对二次函数和一元二次方程进行详细的介绍和探讨。
二、二次函数二次函数是一种特殊的函数形式，其一般形式可表示为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为实数常数且a≠0。
二次函数的图像是一条抛物线，其开口的方向取决于系数a的正负。
1. 抛物线的形状当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
抛物线的开口方向决定了二次函数的凹凸性质。
2. 抛物线的顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点。
顶点的横坐标为x = -b / 2a，纵坐标为f(x) = f(-b / 2a)。
3. 对称轴二次函数的对称轴是通过抛物线顶点的一条垂直线。
对称轴的方程为x = -b / 2a。
4. 零点二次函数的零点是使得f(x) = 0的x值，也称为方程的根。
零点可以通过解一元二次方程得到。
三、一元二次方程一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为实数常数且a≠0。
解一元二次方程的方法有多种，包括因式分解、配方法、公式法等。
1. 因式分解法当一元二次方程能够因式分解时，可以通过因式分解的方法解得方程的根。
例如，对于方程x^2 - x - 6 = 0，可以将其写成(x - 3)(x + 2) = 0的形式，从而得到x的两个解：x = 3和x = -2。
2. 配方法当一元二次方程无法直接进行因式分解时，可以使用配方法解方程。
配方法的关键是通过添加和减去合适的常数，将方程转化为一个可进行因式分解的形式。
3. 公式法一元二次方程的根也可以通过求解一元二次方程的根公式得到。
根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a其中±表示两个解，即正负号分别对应两个根。
四、应用举例二次函数和一元二次方程在实际生活中有广泛的应用。
第3讲 二次函数与一元二次方程(word版)
二次函数与一元二次方程知识导航在同一条坐标系中，有二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）与一次函数y ＝kx ＋m （k ≠0），我们来研究它们图象的交点个数和对应一元二次方程解的情况之间的关系： 通常需要将两个函数的解析式联立起来得到：2y ax bx c y kx m ⎧=++⎨=+⎩，即2()0ax b k x c m +-→+-=，此方程的判别式为：2()4()b k a cm ∆=---， 则下列结论：（2）若△＞0，则可以来研究两交点之间的距离，不妨设两函数图象交点为A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）如图所示，则AB 1212()y y k x x -=-，∴AB12x x +与12x x 可由前面联立的方程来确立．特别的，若k ＝0时，也就是说直线为∥x 轴（或者与x 轴重合）的直线，上述结论依然成立，将k ＝0代入即可得到：AB【模块一 二次函数与韦达定理】【题型一 中点问题】【例1】如图抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，直线y ＝kx －1与抛物线交于P 、Q 两点，且y 轴平分线段PQ ，求k 的值．【练习】如图二次函数2(1)y x m x m =-++（其中m ＞0）的图像交x 轴于A （1x ，0）、B （2x ，0）两点，交y 轴正半轴于点C ，且221210x x +=． （1）求二次函数的解析式；（2）过点D （0，52-）的直线与抛物线交于点M 、N ，与x 轴交于点E ，且点M 、N 关于点E 对称，求直线MN 的解析式．【题型二 线段长问题】【例2】已知如图，抛物线214y x bx c =-++与x 轴正半轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，直线y ＝x －2经过A 、C 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）现将抛物线平移，保持顶点在直线y ＝x ﹣114上，若平移后的抛物线与直线y ＝x －2交于M 、N 两点． 求证：MN 的长度为定值．【练习】已知二次函数2(2)(1)y x a a =-+-抛物线与x 轴相交于A 、B 两点，点A 在点B 的左边，若AB ＝2，抛物线的顶点式为C ，过O 点的直线交抛物线于P 、Q 两点，且K （0，﹣2），当△KPQ的面积为直线PQ 的解析式．【例3】（2016年武昌区九上月考）如图已知抛物线C ：223y mx mx m =--，其中m ＞0，与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 左侧），与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，将抛物线C 向左平移一个单位，再向上平移154个单位， 得到新抛物线C 1，直线y ＝kx 与抛物线C 1交于M 、N 两点，11MO NO+是否为定值？请说明理由．图1图2【中考链接】 1．（2017年武汉中考第24题（1）（2）问）已知点A （﹣1，1）、B （4，6）在抛物线2y ax bx =+上．（1）求抛物线的解析式；（2）如图点F 的坐标为（0，m ）（m ＞2），直线AF 交抛物线于另一点G ，过点G 作x 轴的垂线，垂足为H ，设抛物线与x 轴的正半轴交于点E ，连接FH 、AE ，求证：FH ∥AE ．2．（2016年武汉中考题第24题（3）问）抛物线2y ax c =+与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ，点P 为抛物线上，且位于x 轴下方，如图已知直线P A 、PB 与y 轴分别交于E 、F 两点，当点P 运动时，OE OFOC+是否为定值？若是，试求出待定值，若不是，请说明理由．【模块二 二次函数与判别式（交点个数问题）】【例4】如图在平面直角坐标系中，抛物线C 1：22y ax a =-（a ＞0），经过点B （1，0），顶点为A ． （1）求抛物线C 1的的解析式；（2）将抛物线C 1绕点D 旋转180°后得到抛物线C 2，直线y ＝kx －2k ＋4总经过一点M ，若过定点M 的直线l 与抛物线C 2只有一个公共点，求直线l 的解析式．【练习】在平面直角坐标系中，抛物线2(1)y x k x k =+--（k ＞0）与x 轴交于点C 、D 两点（点C 在点D 的左侧），将抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，得到如图所示的图形，若直线y ＝kx ＋1与这个图形只有两个公共点，请求出此时k 的取值范围．【例5】（2016年江岸区期中）抛物线2y ax bx =+经过点P （6，﹣12）、A （10，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，将抛物线在直线y ＝m 下方的部分沿直线y ＝m 翻折，翻折的部分与没有翻折的部分组成函数 B 的图像．①若函数B 的图像恰好与直线y ＝x 有三个公共点，求m 值；②若函数B 的图像恰好与直线y ＝x 没有公共点，直接写出m 的取值范围．【例6】（2016年黄陂区九上期中）如图，抛物线2(1)y a x k =-+过坐标原点，顶点为B ，交x 轴于另一点A ，△OAB 为等腰直角三角形． （1）求抛物线的解析式；（2）若M 为y 轴负半轴上一点，过点M 分别作直线MC 、MD ，且MC 、MD 都与抛物线有且只有一个公共点，点C 、D 均在抛物线上．①探究：若M 点的坐标为（0，﹣1），求N 点的坐标；②猜想：当M 点在y 轴负半轴上运动时，线段OM 、ON 相等吗？试取M （0，﹣t 2）证明你的结论．图1图2第3讲 本讲课后作业【A 基础巩固】1．已知关于x 的方程2(31)220mx m x m --+-=． （1）求证：无论m 取何实数，方程恒有实数根；（2）若抛物线2(31)22y mx m x m =--+-与x 轴的两交点间的距离为2，求抛物线的解析式， （3）请在平面直角坐标系中画出（2）的条件下的函数图像（不列表，只需画出大致图像），若直线y ＝x ＋b 与（2）中函数图像只有两个交点时，求b 的取值范围．2．（2016年江汉区九上期中24题第（2）问）已知抛物线2223y ax anx an n =-+++，对于任意非零实数a ，存在确定的n 的值，使抛物线与x 轴有唯一的公共点，求此时n 的值．【B 综合训练】3．如图1抛物线23y ax bx =+-经过点A （﹣1，0）、B （3，0）交y 轴于点C ．（1）求此抛物线的解析式；（2）如图2将抛物线在A 、B 间的部分沿x 轴向上翻折，翻折后的图形与原来抛物线的剩余部分组成一个新图形C 2，若过点F （﹣2，0）的直线l ：y ＝kx ＋b （k ，b 为常数）与图形C 2只有两个公共点，求k 的取值范围．图1图2【数学故事】 灾难亦有价值1914年12月深夜，爱迪生的制造设备被一场大火严重，他损失了约100万美元和绝大部分难以用金钱来计算的工作记录。
二次函数与一元二次方程
二次函数 的图象与x轴的交点有三种情况： 有两个交点、有一个交点、没有交点。 当二次函数 的图象与x轴有交点时，交点的 横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程 的根。
o
二次函数与一元二次方程
y
x
汇报人姓名
1 一元二次方程-5t2+40t=0的根为： 。
2 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△ = 。当△﹥0方程根的情况是： ；当△=0时，方 程 ； 当△﹤0时，方程 。
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
-2
-3
1
2
3
x
y
4
N
M
你能确定一元二次方程 的根吗？
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
-2
-3
1
2
3
x
y
4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
-2
-3
1
2
3
x
y
4
观察下列图象，分别说出一元二次方程 x2-6x+9=0和x2-2x+3=0的根的情况.
判断二次函数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 图象与x轴交点横坐标是什么？
x
y
O
D
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示.则a,b,c满足条件 （ ）
(A)a ＞0, b＞0, b2－4ac ＞0 (B) a ＜0 ,c＞0, b2－4ac ＞0 (C) a ＞0, b＜0, b2－4ac ＞0 (D) a ＜0 ,c＜0, b2－4ac ＜ 0
二次函数与一元二次方程的应用
二次函数与一元二次方程的应用二次函数与一元二次方程是数学中非常重要的概念，它们在各个领域中都有广泛的应用。
本文将分别探讨二次函数和一元二次方程的定义、性质及其在实际问题中的具体应用。
一、二次函数的定义与性质二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
其中，a决定了二次函数的开口方向和开口大小，b决定了对称轴的位置，c则表示曲线和y轴的交点。
二次函数的性质有：1. 对称性：二次函数关于其对称轴对称；2. 开口方向：当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下；3. 零点和顶点：二次函数的零点是函数与x轴的交点，顶点是函数的最高点或最低点；4. 最值点：当二次函数开口向上时，有最小值；当二次函数开口向下时，有最大值。
二、一元二次方程的定义与性质一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为已知的常数，且a不等于0。
求解一元二次方程的根是解方程的关键。
一元二次方程的性质有：1. 二次项系数：a决定了一元二次方程的开口方向，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。
2. 解的个数：一元二次方程的解根据判别式b^2-4ac的正负情况可分为以下几种情况：a) 当判别式大于0时，方程有两个不同的实数根；b) 当判别式等于0时，方程有两个相等的实数根；c) 当判别式小于0时，方程没有实数根，但有复数根。
三、二次函数与一元二次方程的应用1. 抛体运动：抛体运动是二次函数的一个重要应用领域。
当一个物体被抛出或抛射时，其轨迹可以用二次函数表示。
2. 经济学：在经济学中，二次函数经常被用于描述成本、收益、利润等的关系，以便做出最优决策。
3. 物理学：在物理学中，二次函数和一元二次方程广泛应用于力学、光学、电磁学等各个分支中，例如自由落体运动、光的折射等。
4. 工程学：二次函数和一元二次方程在工程学中有许多应用，如建筑物的抗震设计、桥梁设计等。
二次函数与一元二次方程--课件
例1（3） 抛物线y＝x2＋x － 2与x轴交点坐标为（－ 2，0）,（1，0）
那么方程x2 ＋ x － 2 ＝0的根为 x1=-2 , x2=1．
例2 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根（结果保留小
数点后一位）.
二次函数 y＝ax2＋bx＋c
b2－4ac的值
求解一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0
9
x1 2, x2 1
0
x1 x2 3
-3 无实数根
二次函数 y＝ax2＋bx＋c
的大致图象
二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象与x轴公共点个数
2
1
0
二次函数y＝ax2＋bx＋c
的图象与x轴公共点的
2，-1
3
横坐标
b2－4ac的正负性
b2－4ac＞0
b2－4ac=0
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的根
有两个不同的根 有两个相等的根
x＝x1，x＝x2
x1＝x2＝
b 2a
二次函数 y＝ax2＋bx＋c
的图象
b2－4ac＜0 没有实数根
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
2
1
0
的图象与x轴公共点个数
二次函数 y＝ax2＋bx＋c的图象 与x轴公共点的坐标
二次函数与一元二次方程
图1
图2
图3
图4
问题：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击 出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力， 小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有 函数关系h=20t - 5t2.
二次函数与一元二次方程
新知探究
➢ 随堂练习 一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h(m)
可以用公式h=-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢 出后经过的时间.
（1）画出函数h=-4.9t2+19.6t的图象；
y 19.6
O 1 234 x
新知探究
➢ 随堂练习 一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h(m)
y y=x2+2x-13
的图象，可以看出图象与x轴有 -5 -4 -3 -2-1O 1 2 3 4 x 两个交点，由本节知识可知，方
程有两个根，一个在-5和-4之间，
另一个在2和3之间.
x1≈-4.7 ，x2≈2.7.
-10 -11
-13
新知探究
应用图象求方程x2+2x-10=3的近似根. y y=x2+2x-10
新知探究
二次函数y=x2+2x， y=x2-2x+1，y=x2-2x+2的图象
如图所示：
y
y
y
1 -2 O 1 x
1 O 12 x
2 1
O 12 x
（4）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有无交点和
一元二次方程根的判别式有何关系？
由（3）可知：Δ=b2-4ac>0时，图象与x轴有两个交点，交点 横坐标等于一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根；Δ=0时，图象与
新知探究
二次函数y=x2+2x， y=x2-2x+1，y=x2-2x+2的图象
如图所示：
y
y
y
1 -2 O 1 x
1 O 12 x
2 1
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程二次函数二次函数的基本表示形式为y=ax²+bx+c（a≠0）。
二次函数最高次必须为二次，如果另y值等于零，则可得一个二次方程。
该方程的解称为方程的根或函数的零点。
二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。
一元二次方程一.满足条件：一元二次方程必须同时满足三个条件：①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程，这点请注意！②只含有一个未知数；③未知数项的最高次数是2。
二.方程形式1.一般式一般，任何一个关于x的一元二次方程,都能化成:(a≠0,且a,b,c是常数)的形式。
这种形式叫一元二次方程的一般形式。
二次项系数a必须是不等于0的实数。
2..配方式3.两根式4.顶点式[抛物线的顶点 P(h，k) ]：y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a≠0)5.交点式[仅限于与x轴有交点A(x1,0) 和B(x2,0) 的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2)(a,x1,x2为常数,a≠0)三.求解方法1.开平方法略2.配方法配方法的理论依据是完全平方公式a²+b²±2ab=（a±b）²配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
举例例一：用配方法解方程 3x2－4x-2=0解：将常数项移到方程右边 3x2-4x=2将二次项系数化为1：方程两边都加上一次项系数一半的平方：配方：直接开平方得：∴, .∴原方程的解为, .3.求根公式法步骤用求根公式解一元二次方程的方法叫做求根公式法。
用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，确定a，b，c的值（注意符号）；②求出判别式的值，判断根的情况；③在把a、b、c的值代入公式进行计算，求出方程的根。
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程1.二次函数的零点的概念一元二次方程20ax bx c ++=()0a ≠的根也称为二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的零点．2. 二次函数的零点与对应一元二次方程根的关系（1）一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）有两个不相等的实数根1x ，2x ⇔判别式0∆>⇔对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象与x 轴有两个交点为()1,0x ，()2,0x ⇔对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）有两个不同的零点1x ，2x ；（2）一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）有两个相等的实数根1x =2x ⇔判别式0∆=⇔对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象与x 轴有唯一的交点为（1x ，0）⇔对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）有两个相同零点1x =2x ；（3）一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）没有实数根⇔判别式0∆<⇔对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象与x 轴没有交点⇔对应的二次函数2y a x b x c =++（a ≠0）没有零点． ⑴函数的零点的概念一般地，对于函数()y f x =()x D ∈，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x = ()x D ∈的零点．⑵函数的零点与对应方程的关系 方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点．例1：求证：一元二次方程22370x x +-=有两个不相等的实数根．【解】证法1∵∆=()23427650-⨯⨯-=>∴一元二次方程22370x x +-=有两个不相等的实数根．证法2 设2()237f x x x =+-， ∵函数的图象是一条开口向上的抛物线，且2(0)2030770f =⨯+⨯-=-<∴函数()f x 的图象与x 轴有两个不同的交点，即一元二次方程2370x x +-=有两个不相等的实数根． 点评:例1还可用配方法将方程化为2365()416x +=再证明．也可仿照证法2，由抛物线开口向上及(1)23720f =+-=-<来推证． 例2：右图是一个二次函数()y f x =的图象． （1）写出这个二次函数的零点； （2）写出这个二次函数的解析式； （3）试比较(4)(1)f f --，(0)(2)f f 与0的大小关系． 【解】（1）由图象可知此函数的零点是：13x =-，21x =． （2）由（1）可设()f x =(3)(1)a x x +- ∵(1)4f -= ∴1a = ∴()(3)(1)f x x x =-+-．即这个二次函数的解析式为2()23f x x x =--+． （3）∵(4)5f -=-，(1)4f -=， (0)3f =，(2)5f =-， ∴(4)(1)200f f --=-<，(0)(2)150f f =-<． 点评:例2进一步体现了利用函数图象研究函数性质的思想． 例3：当关于x 的方程的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围： （1）方程2270x ax a -+-=的两个根一个大于2，另一个小于2； （2）方程2340ax x a ++=的两根都小于1； （3）方程22(4)2530x a x a a -+-++=的两根都在区间[1,3]-上； （4）方程227(13)20x a x a a -++--=的一个根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上； （5）方程022=++ax x 至少有一个实根小于1-． 分析：可将方程的左端设为函数，结合二次函数图象，确定a 的不等式（组）． 【解】⑴ 设22()70f x x ax a =-+-=，其图象为开口向上的抛物线．若要其与x 轴的两个交听课随笔点在点(2,0)的两侧，只需(2)0f <，即24270a a -+-<，∴ 13a -<<． ⑵ 当0a =时，0x =满足题意．当0a ≠时，设2()34f x ax x a =++. 若要 方程两根都小于1，只要2339160443310223(1)005a a a a a af a a ⎧-≤≤⎪⎧∆=-≥⎪⎪⎪⎪-<⇒><-⎨⎨⎪⎪>⎪⎪⎩><-⎪⎩或或 304a ⇒<≤综上，方程的根都小于1时，304a ≤≤⑶ 设22()(4)253f x x a x a a =-+-++则方程两个根都在[1,3]- 上等价于： 222(1)0340(3)004136224(32)0()02f a a f a a a a a a f -≥⎧⎪⎧--≤≥⎪⎪-≤⎪⎪+⇒⎨⎨-≤≤-≤≤⎪⎪⎪⎪+-≥⎩≤⎪⎩ ∴01a ≤≤．（4）设22()7(13)2f x x a x a a =-++--，则方程一个根在(0,1)上，另一根在(1,2)上等价于22220(0)0(1)0280(2)030a af f a a f a a ⎧-->>⎧⎪⎪<⇒--<⎨⎨⎪⎪>->⎩⎩122403a a a a a <->⎧⎪⇒-<<⎨⎪<>⎩或或21a -<<- 或34a <<．（5）设2()2f x x ax =++，若方程的两个实根都小于1-，则有2801223(1)0a a a a a a f ⎧-≥⎧≤-≥⎪⎪⎪-<-⇒>⎨⎨⎪⎪<⎩->⎪⎩3a ⇒≤<若方程的两个根一个大于1-，另一个小于-1，则有(1)30f a -=-<, ∴3a >． 若方程的两个根中有一个等于1-，由根与系数关系知另一根必为2-， ∴12a -=--， ∴3a =． 综上，方程至少有一实根小于1-时，a ≥ 点评：二次函数是高中知识与大学知识的主要纽带，函数综合题往往以二次函数为载体，考查函数的值域、奇偶性、单调性及二次方程实根分布问题、二次不等式的解集问题等，考查形式灵活多样，考查思想涉及到数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想等，高考在此设计的难度远远高于课本要求，在学习中一方面要加强训练，一方面要提高分析问题、解决问题的能力． 1. 函数2()2f x x ax =--(01)x ≤≤的最大值是2a ，则 （ D ） A ．01a ≤≤ B ．02a ≤≤ C ．20a -≤≤ D ．10a -≤≤ 2. 设2()f x x bx c =-+，(0)4f =, (1)(1)f x f x +=-，则 （ B ） A ． ()()x x f b f c ≥ B ． ()()x x f b f c ≤C ．()()x x f b f c >D ． ()()x x f b f c < 3. 若关于x 的方程2(2)210x m x m +-+-=有一根在(0,1)内，则m ∈__1223m <<___． 4.若二次函数2()(1)5f x x a x =--+在区间1(,1)2上是增函数，则(2)f 的取值范围是_______[)7,+∞__________． 例4:已知m ，n 是方程22(2)x k x k +-++ 350k +=(k R ∈)的两个实根，求22m n +的最大值和最小值． 分析:一元二次方程与二次函数有很多内在联系．要求22m n +的最值，首先要考虑根与系数的关系，并由此得到以k 为自变量的22m n +的函数解析式． 【解】因为方程22(2)350x k x k k +-+++=(k R ∈)有两个实根，所以22(2)4(35)k k k ∆=--++2316160k k =---≥，解得443k -≤≤- 又(2)m n k +=--，235m n k k ⋅=++，所以222()2m n m n mn +=+- 22(2)2(35)k k k =--++22106(5)19k k k =---=-++．而()()2451943f k k k ⎛⎫=-++-≤≤- ⎪⎝⎭是减函数，因此当4k =-时，22m n +取最大值18，当43k =-时，22m n +取最小值509．点评：这是一个与一元二次方程根有关的问题，必须先确定k 的取值范围，否则无法确定函数()f k 的单调性．．1． 若方程2210ax x --=在()0,1内恰有 一解，则a 的取值范围是（ B ）A ．1a <-B ．1a >C ．11a -<<D ．01a ≤<2．已知()()()2f x x a x b =---()a b <，并且α、β是方程()0f x =的两个根()αβ<，则实数a 、b 、α、β的大小关系可能是（ A ）A ．a b αβ<<<B ．a b αβ<<<C ．a b αβ<<<D ．a b αβ<<<3．不等式223222x kx kx x >＋＋＋＋对一切实数x 都立，则k 的取值范围是210k <<.4． 已知二次函数2()f x ax bx c =++和一次函数()g x ax b =+，其中a b c >>，且(1)0f =，（1）求证：两函数()f x 、()g x 的图象交于不同两点A 、B ；（2）求线段AB 在x 轴上投影11A B 长度的取值范围． 答案：（1）∵(1)0f a b c =++=，a b c >>，∴0a >,0c <．由2y ax bx c y ax b ⎧⎨⎩＝＋＋＝＋ 得2()0ax b a x c b +-+-=， 因为2()40b a ac ∆=+->． 所以两函数()f x 、()g x 的图象必交于不同的两点； （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则211||A B = 2212()(2)4c x x a -=--．∵0a b c ++=，a b c >>，∴122c a -<<-． ∴11||A B ∈（23，32）．。
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程学习目标:体会二次函数与方程之间的联系；掌握用图象法求方程的近似根；理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；理解一元二次方程的根就是二次函数y=h（h是实数）图象交点的横坐标．学习重点:本节重点把握二次函数图象与x轴（或y=h）交点的个数与一元二次方程的根的关系．掌握此点，关键是理解二次函数y=ax2＋bx＋c图象与x轴交点，即y=0，即ax2＋bx＋c=0，从而转化为方程的根，再应用根的判别式，求根公式判断，求解即可，二次函数图象与x轴的交点是二次函数的一个重要内容，在其考查中也有重要的地位．学习难点:应用一元二次方程根的判别式，及求根公式，来对二次函数及其图象进行进一步的理解．此点一定要结合二次函数的图象加以记忆．学习方法:讨论探索法。
学习过程:一、提出统摄性问题，创设适宜情境，引入新课我们知道，等式x2-2x-3=0是关于x的一元二次方程，关系式y =x2-2x-3则是关于自变量x的一个二次函数，那么，二次函数与对应的一元二次方程有什么关系？它们有哪些联系？这些联系对于研究函数问题有怎样的作用？这就是我们这节课所要研究的问题．（引入新课，书写课题——二次函数与一元二次方程）二、学生活动（一）探究二次函数与对应的一元二次方程之间的关系问题1：你能快速地求出一元二次方程x2—2x—3=0的根吗？请画出二次函数y =x2-2x-3的图象．（生动手画图，师生共同归纳画二次函数图象的步骤）方法引导：画二次函数简图的步骤：（１）先根据二次项系数确定图象的开口方向，即当a>０时，图象开口向上；当a<０时，图象开口向下．（２）再根据x= 画出函数的对称轴．（３）确定函数图象与两坐标轴的交点，成图．问题2：请观察你所画的函数图象，研究图象上的一些特殊点以及二次方程x2-2x-3=0的根，你有什么发现吗？（组织学生交流，得出如下结论）结论：（１）一元二次方程x2-2x-3=0的两个实数根就是二次函数y =x2-2x-3的图象与x轴交点的横坐标．（２）一元二次方程x2-2x-3=0的两个实数根即为二次函数y =x2-2x-3的函数值等于０时的自变量x的值．问题3：研究一元二次方程x2-2x-3=0的根的个数及其判别式与二次函数y =x2-2x-3的开口方向和顶点位置，你能得到什么结论？结论：（１）一元二次方程x2-2x-3=0有两个不相等的实数根，判别式Δ＞０；（２）二次函数y =x2-2x-3的开口向上，顶点在x轴下方；（３）方程x2-2x-3=0有两个不相等的实数根判别式Δ＞０对应的二次函数y =x2-2x-3的开口向上且顶点在x轴下方；问题4：你能将这个结论进行推广吗？（学生思考，同时投影显示如下问题）合作探究：一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根的个数及其判别式与二次函数y= ax2+bx+c=0(a>0)的开口方向和顶点位置之间有什么联系？（师生共同结合函数ax2+bx+c=0(a>0)的图象的不同情形，得出如下结论）方程ax2+bx+c=0(a>0)有两个不相等的实数根判别式Δ＞０对应的二次函数y =ax2+bx+c(a>0)的开口向上且顶点在x轴下方；方程ax2+bx+c=0(a>0)有两个相等的实数根判别式Δ＝０对应的二次函数y =ax2+bx+c(a>0)的开口向上且顶点在x轴上；方程ax2+bx+c=0(a>0)没有实数根判别式Δ＜０对应的二次函数y =ax2+bx+c(a>0)的开口向上且顶点在x轴上方．也就是说，判断一个方程是否有解以及解的个数的问题，可以转化为讨论对应的二次函数的图象开口方向以及顶点与x轴的位置问题．也可以通过二次函数对应的二次方程的根的个数来判断二次函数的开口方向以及顶点位置．思考：当二次函数y =ax2+bx+c(a＜0)时，是否也有类似的结论呢？（二）函数与方程关系的应用[例1]求证：一元二次方程2x2+3x-7=0有两个不相等的实数根．根据我们前面研究的结论，你觉得应该如何完成上题的证明呢？证法一：因为一元二次方程2x2+3x-7=0 的判别式Δ=32-4×2×（-7）=65>0,所以方程2x2+3x-7=0有两个不相等的实数根．证法二：设f(x)= 2x2+3x-7，因为函数的图象是一条开口向上的抛物线，且顶点在x轴的下方，即，所以函数f(x)= 2x2+3x-7图象与x轴有两个不同的交点，即方程2x2+3x-7=0有两个不相等的实数根．思考：该题还有其他证法吗？问题：什么是函数的零点？所谓函数的零点，是指函数图象上函数值为０的点的横坐标，你能说出求函数零点的本质是什么吗？求函数的零点即解与函数对应的方程．请同学们回顾一下初中确定一个二次函数的解析式都有哪些方法呢？［学生交流归纳求二次函数解析式的常见方法］方法一：设函数解析式为y =ax2+bx+c(a≠0)，再根据题意得到关于a、b、c的三个方程，联立方程，解方程组确定出y =ax2+bx+c(a≠0)．方法二：根据题中具体要求，也可设函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2),进而求出函数的对应变量的值．方法三：也可设解析式为顶点式，进而求出函数的解析式．（三）目标检测课本第76页练习第1、2、3、4题三、课堂小结1．一元二次方程根的个数的判断方法；2．函数的零点和方程的根的联系．四布置作业课本第81页习题2.5第1、2、3题．活动与探究１．若x0二次函数y=f(x)的零点，且m<x<n，那么f(m)·f(n)＜０一定成立吗？２．若方程x2+2m+3=0的两根都小于1，试求m的取值范围？。
二次函数与一元二次方程
广东省怀集县怀城镇城东初级中学 邓秋焕
实际问题
以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方 向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考 虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20 t – 5 t 2
考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要 多少时间? （2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要 多少时间? （3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间?
应的二次函数的图象与 X轴 的位置关系.
广东省怀集县怀城镇城东初级中学 邓秋焕
三、研学教材
练一练 已知抛物线 y kx2 2x 1 与X轴有两个
交点，则k的取值范围是 k 1且k 0．
分析：函数与X轴有两个交点 即kx2 2x 1=0有两个不相等的实数根 0且k 0，即22 4k (1) 0且k 0， 则k 1且k 0
y x2 x 2
Y
y x2 6x 9
-2 -1 0 1
3X
（2）二次函数 y x2 6x 9 的图象与x轴有_1_个交点，则一元二次方
程 x2 6x+9 0 的根的判别式
△＝ (6)2 41 9 ＝0，
所以它的根是 x1 x2 3
.
广东省怀集县怀城镇城东初级中学 邓秋焕
三、研学教材
广东省怀集县怀城镇城东初级中学 邓秋焕
四、归纳小结
二次函数
y
ax2
bx
c
与
一元二次方程
ax2 bx c=0
y
与X轴有 2 个
O
x
交点
b2 4ac ＞ 0
2二次函数与一元二次方程课件
四、小结
1、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、 x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐 标分别是A（x1，0 ）， B（ x2，0 ）
2、若一元二次方程ax2+bx+c=0与二次三项式 ax2+bx+c及二次函数y=ax2+bx+c这三个“二次” 之间互相转化的关系。体现了数形结合的思想。
y x
a≠0） 解：（2） ∵ b2－4ac＝32 －4× （－ 2）×（ －9） ＜ 0
∴函数图象与x轴没有交点
例题精讲 2. 判断下列二次函数图象与x轴的交点情况 （1）y＝x2－1； （2）y＝－2x2＋3x－9； （3）y＝ x2－4x＋4 ； （4）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数，
你发现了什么？ （1）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点
的横坐标就是当y＝0时一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0的根 （2）二次函数的图象与x轴交点问题可以转化为一 元二次方程去解决
例题精讲
1. 求抛物线y＝x2＋4x－5与x轴的交点坐标 解：令y＝0 则x2＋4x－5 ＝0 解之得，x1＝ －5 ,x2 ＝ 1 ∴交点坐标为：（－5，0）（1，0）
Image a≠0）
解：（1）∵ b2－4ac＝02 －4×1×（ －1） ＞0
∴函数图象与x轴有两个交点
例题精讲 2. 判断下列二次函数图象与x轴的交点情况 （1）y＝x2－1； （2）y＝－2x2＋3x－9； （3）y＝ x2－4x＋4 ； （4）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数，
二次函数与一元二次方程
第二章二次函数8.二次函数与一元二次方程（二）一、学生知识状况分析学生旳知识技能基础: 学生在上学期学习了用多种措施求解一元二次方程旳根, 其中有因式分解法、配措施、求根公式法, 通过这些措施他们可以精确旳求出方程旳根。
在上节课, 他们学习了通过观测二次函数图象与x轴旳交点个数, 来讨论一元二次方程旳根旳状况；理解了一元二次方程ax2+bx+c=h旳根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点旳横坐标。
这些知识基础完全可以使他们很好旳完毕本节课旳学习目旳。
学生活动经验基础：学生在本章第4节学习了“二次函数y=ax2+bx+c旳图象”, 其间他们学习了用列表、描点旳措施画出抛物线。
上节课他们又学习了运用“数”与“形”两种措施来研究二次函数与一元二次方程关系旳问题, 因此他们积累了一定旳数形结合思想运用旳认识经验, 这些经验可以让他们很好旳理解本节新课旳学习任务。
二、教学任务分析本课旳详细学习任务: 深入体会二次函数与一元二次方程之间旳联络；通过观测二次函数图象与x轴旳交点, 估计对应旳一元二次方程旳根旳取值, 深入培养学生运用“数形结合”思想处理问题旳能力;由于学生明白了一元二次方程ax2+bx+c=h旳根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点旳横坐标, 学生在知识准备上, 他们已经有了较充足旳准备。
本节课就是对上节课从实践方面对二次函数与一元二次方程关系进行一次体验。
教师在课堂上只需要通过新课前旳热身练习题组, 由易到难旳设问, 让学生回忆上节课旳学习内容, 再通过挑战性旳语言, 让学生对本节新课充斥期待和探索旳欲望。
在想一想、填一填、议一议、试一试等活动中, 让他们体验到数学活动充斥着探索与发明, 从而感受数学旳理论学习最终要贯彻到实践应用上。
本节课旳教学目旳是: 知识与技能1. 巩固理解二次函数图象与x轴交点旳横坐标就是方程ax2+bx+c=0旳根；2. 巩固理解一元二次方程ax2+bx+c=h旳根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点旳横坐标.过程与措施1. 经历一元二次方程ax2+bx+c=0旳根旳近似值旳探索得到旳过程；2. 经历一元二次方程ax2+bx+c=h旳根旳近似值旳探索得到旳过程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
实用文档之"复习"1.二次函数图象的一部分如图所示，其对称轴为直线，且过点．下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则．其中正确的是( )A.①②B.②③C.①②④D.②③④2.小轩从如图所示的二次函数的图象中，观察得到如下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是( )A.①②③B.②③④C.①②④D.①②③④3.已知二次函数的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为(-1，0)，(3，0)．下列结论：①；②b-2a=0；③；④．其中正确的是( )A.③B.②③C.③④D.①②4.已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②2a+b=0；③；④．其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个5.抛物线的顶点为D(-1，2)，与x轴的一个交点A在点(-3，0)和(-2，0)之间，其部分图象如图．则以下结论：①；②；③c-a=2；④方程有两个相等的实数根．其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个6.已知二次函数的图象经过()，(2，0)两点，且，图象与y 轴正半轴的交点在(0，2)的下方．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是( )A.①②B.②③C.①②④D.①②③④二次函数与一元二次方程（讲义）➢ 课前预习1. 学习一次函数与二元一次方程（组）的关系时，有以下结论：两个一次函数交点的坐标即为对应的二元一次方程组的解．如：已知方程组3302360y x y x -+=⎧⎨+-=⎩的解为431x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则一次函数y =3x -3与332y x =-+的交点P 的坐标是________．请思考：一元二次方程20ax bx c ++=的根，可否看作是二次函数2y ax bx c =++与x 轴交点的横坐标，即方程组20y ax bx cy ⎧=++⎨=⎩的解中x 的值.2. 两函数值比大小主要是借助数形结合，通过找交点、画直线、定左右来确定取值范围．比如：（1）如图所示，函数y 1=|x |和21433y x =+的图象相交于(-1，1)，(2，2)两点．当y 1＞y 2时，x 的取值范围是（ ）A ．x ＜-1B ．-1＜x ＜2C ．x ＞2D ．x ＜-1或x ＞2（2）如图，函数11k y x=与22y k x =的图象相交于点A (1，2) 和点B ，当y 1＜y 2时，x 的取值范围是（ ） A ．x ＞1 B ．-1＜x ＜0C ．-1＜x ＜0或x ＞1D ．x ＜-1或0＜x＜1知识点___________是研究函数、方程、不等式等的一种重要手段． 1. 方程的根是对应的两个____________交点的___________．特别地，一元二次方程ax 2+bx +c =0的根是二次函数________的图象与________交点的横坐标，当0Δ>时，二次函数图象与x 轴有________个交点；当0Δ=时，与x 轴有_____个交点；当<0Δ时，与x 轴______交点．2. 函数间求交点坐标，函数值比大小等问题通常是借助数形结合，以构造的方法将函数问题转化为方程问题解决．➢ 精讲精练1. 如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴分别交于A (-1，0)，B (3，0)两点，与y 轴交于点C (0，-3)，一次函数3y x =-的图象与抛物线交于B ，C 两点． （1）一元二次方程ax 2+bx +c =0的根为______________． 当ax 2+bx +c ＞0时，x 的取值范围为______________． 当ax 2+bx +c ≤0时，x 的取值范围为______________． （2）方程23ax bx c x ++=-的根为_______________． 当___________时，一次函数值大于二次函数值． （3）该二次函数的表达式为__________________．2. （1）一元二次方程-x 2+8x -12=3的根为_____________，直线y =3与抛物线y =-x 2+8x -12的交点坐标为________，不等式-x 2+8x -12＞3的解集为_______________．（2）直线y =2x -1与抛物线y =x 2-x +1的交点坐标为________， 不等式x 2-x +1≥2x -1的解集为_________________．（3）若二次函数的图象经过点A (4，0)，B (-2，0)，C (0，4)，则该二次函数的表达式为___________．3. 已知二次函数22y x x m =++的图象C 1与x 轴有且只有一个交点，则m 的值为______；若二次函数22y x x m =++的图象与坐标轴有三个交点，则m 的取值范围为_________；若22y x x m =++的函数值总为正数，则图象顶点在第____象限，m 的取值范围是_________．4. 若二次函数2(1)2y m x x =-+的图象与直线1y x =-没有交点，则m 的取值范围是________．5. 如图，二次函数2y ax bx =+与反比例函数ky x=-的图象交于一点P ，那么关于x 的方程20kax bx x++=的解为________；若一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，则m 的取值范围为__________．6. 用“描点法”画二次函数2y ax bx c =++的图象时，列了如下表格：根据表格上的信息回答问题：一元二次方程5ax bx c ++=-的解为_____________．7. 设一元二次方程(1)(2)x x m --=（0m >）的两根分别为α，β，且αβ<，则α，β满足（ ） A ．12αβ<<< B ．12αβ<<< C ．12αβ<<<D ．1α<且2>β8. 已知二次函数()()1y x m x n =--+（m n <）的图象与x 轴交于A (x 1，0)，B (x 2，0)两点，且12x x <，则实数x 1，x 2，m ，n 的大小关系为_______________________．9. 若关于x 的一元二次方程(2)(3)x x m --=有实数根12x x ，，且12x x ≠，有下列结论：①1223x x ==，；②14m >-；③二次函数12()()y x x x x m =--+的图象与x 轴交点的坐标为(2，0)和(3，0)．其中正确的是__________．10. 已知抛物线y =x 2-(4m +1)x +2m -1与x 轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y轴的交点在点(0，12-)的下方，那么m 的取值范围是__________．11. 已知抛物线y =x 2+bx +c 的对称轴为直线x =1，若关于x 的一元二次方程x 2-bx -c =0在-3＜x ＜2的范围内有解，则c 的取值范围是（ ）A ．c ≥-1B ．-1≤c ＜3C ．3＜c ＜8D ．-1≤c ＜8 12. 函数2y x x m =-+（0m >）的图象如图所示，如果x a =时0y <，那么1x a =-时，函数值（ ） A ．0y < B ．0y m << C ．y m > D ．y m =13. 已知二次函数215y x x =-+-，当自变量x 取m 时，对应的函数值大于0，当自变量x 分别取m -1，m +1时，对应的函数值分别为y 1，y 2，则y 1_____0，y 2_____0．（选填“＞”“＜”）14. 已知二次函数2y x bx c =++，当x ≤1时，总有y ≥0，当1≤x ≤3时，总有y ≤0，那么c 的取值范围是_______________．随堂测试1. 如图，抛物线y =x 2+1与双曲线ky x=的交点A 的横坐标是2，则关于x 的不等式210kx x++<的解集是（ ）A ．x ＞2B ．x ＜-2C ．0＜x ＜2D ．-2＜x ＜0 2. 已知二次函数y =x 2-4x +a ，下列说法错误的是（ ）A ．当x ＜1时，y 随x 的增大而减小B ．若图象与x 轴有交点，则a ≤4C ．当a =3时，不等式x 2-4x +a ＜0的解集是1＜x ＜3D ．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(1，-2)，则a =33. 已知二次函数y =-(x -m )(x -n )-2（m ＜n ）的图象与x 轴交于A (x 1，0)，B (x 2，0)两点，且x 1＜x 2，则实数x 1，x 2，m ，n 的大小关系为___________________．作业1. 二次函数y =x 2-2x -3的图象如图所示，当0y <时，自变量x 的取值范围是（ ） A ．13x -<<B ．1x <-C ．3x >D ．1x <-或3x >第1题图 第2题图2. 二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象如图所示，若20ax bx c k +++=（k ≠0）有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．3k <-B ．3k >-C ．3k <D ．3k >3. 抛物线c bx x y ++-=2的部分图象如图所示，若0>y ，则x 的取值范围是（ ）A ．14<<-xB ．13<<-xC ．4x <-或1>xD ．3-<x 或1>x第3题图 第4题图4. 函数222y x x =--的图象如图所示，根据该图象提供的信息，可求得使1y ≥成立的x 的取值范围是（ ） A ．13x -≤≤ B ．31<<-x C ．13x x <->或D ．1x -≤或3x ≥5. 如图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象，由图象可知不等式20ax bx c ++<的解集是（ ）A ．15x -<<B ．5x >C ．15x x <->且D ．15x x <->或第5题图 第6题图6. 如图，若抛物线21y x =+与双曲线ky x=的交点A 的横坐标为1，则关于x 的不等式210k x x ++<的解集是（ ）A ．1x >B ．1x <-C ．01x <<D ．10x -<<7. 坐标平面上，若平移二次函数y =2(x -175)(x -176)+6的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式可为下列哪一种（ ） A ．向上平移3个单位 B ．向下平移3个单位 C ．向上平移6个单位D ．向下平移6个单位8. 设一元二次方程(1)(3)x x k --=（0k <）的两根分别为α，β，且αβ<，则α，β，1，3之间的大小关系为___________；(1)(3)x x k --<的解集为_____________．9. 若二次函数的图象2(2)y m x x =-+与直线21y x =-没有交点，求m 的取值范围．10. 已知P (-3，m )和Q (1，m )是抛物线221y x bx =++上的两点．（1）求b 的值；（2）将抛物线221y x bx =++的图象先向上平移2个单位，再向左平移1个单位，请判断新抛物线与x 轴的交点情况．11. 已知二次函数m x x y ++=22的图象C 1与x 轴有且只有一个交点，则C 1的顶点坐标为__________．12. 若关于x 的一元二次方程20x x n --=无实数根，则函数n x x y --=2的图象顶点在第______象限．13. 抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：①一元二次方程20ax bx c ++=的根为_________________．②抛物线经过点(-3，_____)；③在对称轴右侧，y 随x 的增大而_________．（2）确定抛物线2y ax bx c =++的解析式，并求出该函数的最值．。