(浙江专用)2021版新高考数学一轮复习第九章平面解析几何2第2讲两直线的位置关系课件
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对称问题 已知直线 l:2x-3y+1=0,点 A(-1,-2).求: (1)点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标; (2)直线 m:3x-2y-6=0 关于直线 l 的对称直线 m′的方程; (3)直线 l 关于点 A(-1,-2)对称的直线 l′的方程.
【解】 (1)设 A′(x,y),由已知
xy++21×23=-1, 2×x-2 1-3×y-2 2+1=0,
解得x=-3133,所以 y=143.
A′-3133,143.
(2)在直线 m 上取一点,如 M(2,0),
则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M′必在直线 m′上.
设 M′(a,b),则 2ba× - -a02+ ×2 223-=3-×1b. +2 0+1=0,解得 M′163,3103. 设直线 m 与直线 l 的交点为 N, 则由23xx--32yy+-16==00,. 得 N(4,3). 又因为 m′经过点 N(4,3), 所以由两点式得直线 m′的方程为 9x-46y+102=0.
角度三 距离公式的综合应用
(1)P 点在直线 3x+y-5=0 上,且 P 点到直线 x-y-1=0 的距离为 2,则 P 点
的坐标为
()
A.(1,2) B.(2,1) C.(1,2)或(2,-1) D.(2,1)或(-1,2) (2)在△ABC 中,A(1,1),B(m, m)(1<m<4),C(4,2),则当△ABC 的面积最大时,m =________.
(3)设 P(x,y)为 l′上任意一点,则 P(x,y)关于点 A(-1,-2)的对称点为 P′(-2-x,-4 -y), 因为 P′在直线 l 上, 所以 2(-2-x)-3(-4-y)+1=0, 即 2x-3y-9=0.
1.与直线 Ax+By+C=0(A,B≠0)关于 y 轴对称的直线的方程为
2.若直线(3a+2)x+(1-4a)y+8=0 与(5a-2)x+(a+4)y-7=0 垂直,则 a=________. 解析:由两直线垂直的充要条件,得(3a+2)(5a-2)+(1-4a)(a+4)=0,解得 a=0 或 a =1. 答案:0 或 1
3.直线 2x+2y+1=0,x+y+2=0 之间的距离是________. 解析:先将 2x+2y+1=0 化为 x+y+12=0, 则两平行线间的距离为 d=|2-212|=342.
两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By +C2=0 间的距离
|C1-C2| d=__A__2+__B__2 _
4.几种常见的直线系方程 (1)平行于直线 Ax+By+C=0 的直线系方程:Ax+By+λ=0(λ≠C). (2)垂直于直线 Ax+By+C=0 的直线系方程:Bx-Ay+λ=0. (3)过两条已知直线 A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0 交点的直线系方程:A1x+B1y+ C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线 A2x+B2y+C2=0).
A.Ax-By-C=0
B.Ax+By-C=0
C.Ax-By+C=0
D.Bx+Ay+C=0
()
解析:选 A.因为点(x,y)关于 y 轴的对称点为(-x,y),将直线 Ax+By+C=0(A,B≠ 0)中的 x 用-x 代换得 -Ax+By+C=0,即 Ax-By-C=0,故选 A.
2.如图,已知 A(4,0),B(0,4),从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后再射到直 线 OB 上,最后经直线 OB 反射后又回到点 P,则光线所经过的路程是________.
AA12≠BB12(A2B2≠0) AA12=BB12=CC12(A2B2C2≠0)
n 的值为 A.7 C.11
已知直线 4x+my-6=0 与直线 5x-2y+n=0 垂直,垂足为(t,1),则
B.9
()
D.-7
解析:选 A.由直线 4x+my-6=0 与直线 5x-2y+n=0 垂直得,20-2m=0,m=10.直 线 4x+10y-6=0 过点(t,1),所以 4t+10-6=0,t=-1.点(-1,1)又在直线 5x-2y+ n=0 上,所以-5-2+n=0,n=7.
2.两直线的交点
3.三种距离 点点距 点线距 线线距
点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离
点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离
|P1P2|= __(__x_2_-__x_1)__2_+__(__y_2_-__y_1)__2_
|Ax0+By0+C| d=______A_2_+__B_2______
[疑误辨析] 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)当直线 l1 和 l2 的斜率都存在时,一定有 k1=k2⇒l1∥l2.( × ) (2)如果两条直线 l1 与 l2 垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.( × ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交.( √ ) (4)已知直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1,C1,A2,B2,C2 为常 数),若直线 l1⊥l2,则 A1A2+B1B2=0.( √ ) (5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( √ )
【解析】 (1)设 P 点坐标为(x,5-3x),则 P 点到直线 x-y-1=0 的距离 d=
|x-(5-3x)-1|=|4x-6|=
2
2
2,所以|2x-3|=1,所以 x=1 或 x=2.
所以 P 点坐标为(1,2)或(2,-1).
(2)由两点间距离公式可得|AC|= 10,直线 AC 的方程为 x-3y+2=0,所以点 B 到直线
距离公式(高频考点) 距离包括两点间、点到直线和两平行线间的距离.在高考中经常出现,试题难度不 大.主要命题角度有: (1)求距离; (2)已知距离求参数值; (3)距离公式的综合应用.
角度一 求距离 已知 A、B 两点分别在两条互相垂直的直线 2x-y=0 和 x+ay=0 上,且线段 AB
的中点为 P(0,1a0),则线段 AB 的长为________. 【解析】 依题意,a=2,P(0,5),设 A(x,2x)、B(-2y,y),故x2- x+2yy= =010,则 A(4, 8)、B(-4,2), 所以|AB|= (4+4)2+(8-2)2=10.
[易错纠偏] 常见误区 (1)判断两直线平行时,忽视两直线重合的情况; (2)判断两直线的位置关系时,忽视斜率不存在的情况; (3)求两平行线间的距离,忽视 x,y 的系数应对应相同.
1.直线 2x+(m+1)y+4=0 与直线 mx+3y-2=0 平行,则 m=________.
解析:直线 2x+(m+1)y+4=0 与直线 mx+3y-2=0 平行,则有m2 =m+3 1≠-42,故 m =2 或-3. 答案:2 或-3
答案:3
2 4
两条直线平行与垂直
(2020·金丽衢十二校高三联考)设两直线 l1:(3+m)x+4y=5-3m 与 l2:2x+(5+
m)y=8,则“l1∥l2”是“m<-1”的
()
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】 若 l1∥l2,则(3+m)(5+m)=4×2⇒m=-1 或-7,经检验,当 m=-1 时, l1 与 l2 重合, 所以 m=-7,故是充分不必要条件,故选 A.
AC 的距离 d=|m-3 10m+2|,所以△ABC 的面积 S=12|AC|·d=12|m-3 m+2|=
1 2|
m-322-14|,又 1<m<4,
所以 1< m<2,所以当 m=32,即 m=94时,S 取得最大值.
【答案】 (1)C (2)94
距离的求法 (1)点到直线的距离 可直接利用点到直线的距离公式来求,但要注意此时直线方程必须为一般式. (2)两平行直线间的距离 ①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距 离; ②利用两平行线间的距离公式.
【答案】 A
由一般式确定两直线位置关系的方法
直线方程 l1 与 l2 垂直的充要条件
l1:A1x+B1y+C1=0(A21+B21≠0) l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)
A1A2+B1B2=0
l1 与 l2 平行的充分条件
AA12=BB12≠CC12(A2B2C2≠0)
l1 与 l2 相交的充分条件 l1 与 l2 重合的充分条件
[教材衍化] 1.(必修 2P110B 组 T2 改编)已知点(a,2)(a>0)到直线 l:x-y+3=0 的距离为 1,则 a =________. 解析:由题意得|a-12++13|=1. 解得 a=-1+ 2或 a=-1- 2.因为 a>0,所以 a=-1+ 2.
答案: 2-1
2.(必修 2P101A 组 T10 改编)已知 P(-2,m),Q(m,4),且直线 PQ 垂直于直线 x+y +1=0,则 m=________. 解析:由题意知-m2--4m=1,所以 m-4=-2-m,所以 m=1. 答案:1
解析:直线 AB 的方程为 x+y=4,点 P(2,0)关于直线 AB 的对称点为 D(4,2),关于 y 轴的对称点为 C(-2,0),则光线经过的路程为|CD|= 62+22=2 10.
答案:2 10
思想方法系列 6 妙用直线系求直线方程 求经过直线 l1:3x+2y-1=0 和 l2:5x+2y+1=0 的交点,且垂直于直线 l3:3x -5y+6=0 的直线 l 的方程.
1.已知 A(2,0),B(0,2),若点 C 在函数 y=x2 的图象上,则使得△ABC 的面积为 2 的
点 C 的个数为
()
A.4
B.3
C.2
D.1
解析:选 A.设点 C(t,t2),直线 AB 的方程是 x+y-2=0,|AB|=2 2. 由于△ABC 的面积为 2, 则这个三角形中 AB 边上的高 h 满足方程12×2 2h=2,即 h= 2. 由点到直线的距离公式得 2=|t+t22-2|, 即|t+t2-2|=2,即 t2+t-2=2 或者 t2+t-2=-2. 因为这两个方程各有两个不相等的实数根,故这样的点 C 有 4 个.
【答案】 10
角度二 已知距离求参数值
(1)已知点 P(4,a)到直线 4x-3y-1=0 的距离不大于 3,则 a 的取值范围是( )
A.[-10,10]
பைடு நூலகம்
B.[-10,5]
C.[-5,5]
D.[0,10]
(2)若两平行直线 3x-2y-1=0,6x+ay+c=0 之间的距离为21313,则 c 的值是________.
2.与直线 l1:3x+2y-6=0 和直线 l2:6x+4y-3=0 等距离的直线方程是________.
解析:l2:6x+4y-3=0 化为 3x+2y-32=0,所以 l1 与 l2 平行,设与 l1,l2 等距离的直线 l 的方程为 3x+2y+c=0,则:|c+6|=|c+32|,解得 c=-145,所以 l 的方程为 12x+8y -15=0. 答案:12x+8y-15=0
第九章 平面解析几何
第2讲 两直线的位置关系
数学
01
基础知识 自主回顾
02
核心考点 深度剖析
03
方法素养 助学培优
04
高效演练 分层突破
1.两直线的平行、垂直与其斜率的关系
条件
两直线的位置关系
两条不重合的直线 l1,l2, 斜率分别为 k1,k2
平行 垂直
斜率的关系 __k_1_=__k_2 __ k1 与 k2 都不存在 __k_1_k_2=__-___1__ k1 与 k2 一个为零、另一个不存在
【解析】 (1)由题意得,点 P 到直线的距离为 |4×4-53·a-1|=|15-5 3a|. 又|15-5 3a|≤3,即|15-3a|≤15, 解得 0≤a≤10,所以 a 的取值范围是[0,10].
(2)依题意知,63=-a2≠-c1, 解得 a=-4,c≠-2, 即直线 6x+ay+c=0 可化为 3x-2y+2c=0, 又两平行线之间的距离为2 1313, 所以 32+2c(+-12)2=21313, 因此 c=2 或-6. 【答案】 (1)D (2)2 或-6