高考数学压轴专题2020-2021备战高考《函数与导数》真题汇编及答案解析

【最新】数学复习题《函数与导数》专题解析
一、选择题
1．已知函数()()11
10x x e f x x e
++-=<与()()1ln x x
g x e x ae =+-的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．1,1e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭
B ．1,e ⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
C ．1,1e ⎛
⎫-∞- ⎪⎝⎭
D ．11,e
⎛⎫-+∞ ⎪⎝
⎭
【答案】D 【解析】 【分析】
先求得()f x 关于y 轴对称的函数()h x ,则()()h x g x =,整理可得()11ln 1e e
x x a ++-=在()0,∞+上有解,设()()11
ln 1e e
x x x ϕ=
++-,可转化问题为()y x ϕ=与y a =的图象在()0,∞+上有交点,再利用导函数求得()x ϕ的范围,进而求解.
【详解】
由()f x 关于y 轴对称的函数为()()()1
1
1
1e e 10e
x x x h x f x x -+--+-=-==->, 令()()h x g x =,得()1
e 1e ln 1e x x x x a --=+-()0x >,
则方程()1
e 1e ln 1e x x x x a --=+-在()0,∞+上有解,
即方程
()11ln 1e e
x x a ++-=在()0,∞+上有解, 设()()11
ln 1e e
x x x ϕ=
++-, 即可转化为()y x ϕ=与y a =的图象在()0,∞+上有交点,
()()
11e 1
e 1e 1x x x x x x x ϕ--=-+='++Q ,
令()=e 1x
m x x --，则()=e 10x
m x '->在()0,∞+上恒成立，所以()=e 1x
m x x --在
()0,∞+上为增函数，∴()()00m x m >=，
即()0x ϕ'>Q 在()0,∞+上恒成立， ∴()x ϕ在()0,∞+上为增函数,
当0x >时,则()()101x e
ϕϕ>=-, 所以11e
a >-
,
故选:D 【点睛】
本题考查利用导函数判断函数单调性,考查利用导函数处理函数的零点问题,考查转化思想.
2．已知函数f （x ）＝e b ﹣x ﹣e x ﹣b +c （b ，c 均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f （5）+f （﹣1）＝（ ） A ．﹣2 B ．﹣1
C ．2
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
根据对称性即可求出答案． 【详解】
解：∵点（5，f （5））与点（﹣1，f （﹣1））满足（5﹣1）÷2＝2， 故它们关于点（2，1）对称，所以f （5）+f （﹣1）＝2， 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题．
3．函数f （x ）＝x ﹣g （x ）的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝﹣x ﹣1，则g （2）+g '（2）＝（ ） A ．7 B ．4
C ．0
D ．﹣4
【答案】A 【解析】
()()()(),'1'f x x g x f x g x =-∴=-Q ，因为函数()()f x x g x =-的图像在点2x =处
的切线方程是1y x =--，所以()()23,'21f f =-=-，
()()()()2'2221'27g g f f ∴+=-+-=，故选A ．
4．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为（ ） A ．ln 2 B ．1
C ．1ln2-
D ．1ln2+
【答案】D 【解析】
由ln y x x =得'ln 1y x =+，设切点为()00,x y ，则0
ln 1k x =+，000
002
ln y kx y x x =-⎧⎨=⎩，0002ln kx x x ∴-=，00
2
ln k x x ∴=+
，对比0ln 1k x =+，02x ∴=，ln 21k ∴=+，故选D.
5．已知2
1()cos 4
f x x x =
+，'()f x 为()f x 的导函数，则'()f x 的图像是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】
Q ()21f cos 4x x x =
+，()()1
'sin ,'2
f x x x y f x ∴=-=为奇函数，∴图象关于原点对称，排除,B D ，又()'10f <Q ，可排除C ，故选A.
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择主要考查考查函数的图象与性质，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +
-
→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
6．曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．
16
B ．
13
C ．
12
D ．
56
【答案】A 【解析】
曲线2
y x =与直线y x =的交点坐标为()()0,0,1,1 ，由定积分的几何意义可得曲线2
y x
=与直线y x =所围成的封闭图形的面积为
()1
2
23100
111|236x x dx x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭⎰ ，故选A.
7．曲线21x y e -=+在点(0,2)处的切线与直线y 0=和y x =所围成图形的面积( ) A ．1 B ．
1
3
C ．
23
D ．
12
【答案】B 【解析】 【分析】
利用导数的几何意义，求得曲线在点(0,2)处的切线方程，再求得三线的交点坐标，利用三角形的面积公式，即可求解，得到答案． 【详解】 由题意，曲线21x
y e -=+，则22x y e -'=-，所以200|2|2x x x y e -=='=-=-，
所以曲线21x
y e
-=+在点(0,2)处的切线方程为22(0)y x -=--，即220x y +-=，
令0y =，解得1x =，令y x =，解得23
x y ==
， 所以切线与直线y 0=和y x =所围成图形的面积为121
1233
⨯⨯=，故选B ．
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，以及两直线的位置关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
8．函数()x
e f x x
=的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】
函数()x
e f x x
=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，排除选项A ；
当0x >时，()0f x >，且()2
(1)'x
x e f x x
-= ，故当()0,1x ∈时，函数单调递减，当()1,x ∈+∞时，函数单调递增，排除选项C ；
当0x <时，函数()0x
e f x x
=<，排除选项D ，选项B 正确．选B ．
点睛：函数图象的识别可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
9．函数()1ln f x x x ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
的图象大致是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】 【分析】
通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当
1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果.
【详解】
当2x =时，1
10x x -=>，函数有意义，可排除A ；
当2x =-时，13
02
x x -=-<，函数无意义，可排除D ；
又∵当1x >时，函数1
y x x
=-
单调递增， 结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
单调递增，可排除C ； 故选：B. 【点睛】
本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.
10．已知函数
在区间
上有最小值，则函数
在区间
上一定（ ）
A ．有最小值
B ．有最大值
C ．是减函数
D ．是增函数
【答案】D 【解析】 【分析】 由二次函数
在区间
上有最小值得知其对称轴
，再由基本初等函数的单调性或单调性的性质可得出函数在区间
上的单调性.
【详解】 由于二次函数
在区间
上有最小值，可知其对称轴
，
.
当时，由于函数
和函数在上都为增函数，
此时，函数在上为增函数；
当时，
在
上为增函数；
当时，由双勾函数的单调性知，函数
在
上单调递
增，
，所以，函数
在
上为增函数.
综上所述：函数在区间
上为增函数，故选D.
【点睛】
本题考查二次函数的最值，同时也考查了
型函数单调性的分析，解题时要注意对
的符号进行分类讨论，考查分类讨论数学思想，属于中等题.
11．函数()(
)2
ln 43f x x x
=+-的单调递减区间是（ ）
A ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦ B ．32⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
， C ．31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦
D ．342⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
， 【答案】D 【解析】 【分析】
先求函数定义域，再由复合函数单调性得结论． 【详解】
由2430x x +->得14x -<<，即函数定义域是(1,4)-，
2232543()24
u x x x =+-=--+在3(1,]2-上递增，在3
[,4)2上递减，
而ln y u =是增函数，
∴()f x 的减区间是3[,4)2
． 故选：D ． 【点睛】
本题考查对数型复合函数的单调性，解题时先求出函数的定义域，函数的单调区间应在定义域内考虑．
12．已知函数()2
f x x x =+，且()1
231ln
log 223a f b f c f -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，，，则a b c ，，的大小关系为（ ）
A ．a c b <<
B ．b c a <<
C ．c a b <<
D ．b a c <<
【答案】A 【解析】 【分析】
由函数()2
f x x x =+，可得()()f x f x -=，得到函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，又由由二次函数的性质可得，函数()f x 在[0,)+∞上为单调递增函数，则函数
()f x 在(,0)-∞上为单调递减函数，再根据对数函数的性质，结合图象，即可求解．
【详解】
由题意，函数()2
f x x x =+，满足()()2
2
()f x x x x x f x -=-+-=+=，
所以函数()f x 为定义域上的偶函数，图象关于y 轴对称，
又当0x ≥时，()2
f x x x =+，由二次函数的性质可得，函数()f x 在[0,)+∞上为单调递
增函数，则函数()f x 在(,0)-∞上为单调递减函数，
又由31ln 22<=，113222log log 1<=-，1
122
-=，
根据对称性，可得11
323(ln )(2)(log )2
f f f -<<，即a c b <<，故选A ．
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的应用，其中解答中得到函数的单调性与奇偶性，以及熟练应用对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
13．已知函数()0,1
ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩
，若不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实
数k 的取值范围是（ ）
A ．(],1-∞
B ．[)1,+∞
C ．[)0,1
D ．(]1,0-
【答案】A 【解析】 【分析】
先求出函数()f x 在(1,0)处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数
()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩
和()g x x k =-的图象，利用数形结合进行求解即可.
【详解】
当1x ≥时，()'
'1
ln ,()(1)1f x x f x f x
=⇒=
⇒=，所以函数()f x 在(1,0)处的切线方程为：1y x =-，令()g x x k =-，它与横轴的交点坐标为(,0)k .
在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1
x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象如下图的所示：
利用数形结合思想可知：不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是1k ≤. 故选：A 【点睛】
本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题.
14．函数()||()a
f x x a R x
=-
∈的图象不可能是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】 【分析】
变成分段函数后分段求导，通过对a 分类讨论，得到函数的单调性，根据单调性结合四个选项可得答案. 【详解】
,0(),0a x x x
f x a x x x ⎧->⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩,∴221,0()1,0a x x f x a x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪-+<⎩
'⎪.
(1)当0a =时,,0
(),0
x x f x x x >⎧=⎨-<⎩,图象为A;
(2)当0a >时,210a
x
+>,∴()f x 在(0,)+∞上单调递增, 令2
10a
x -+
=得x a = ∴当x a <,210a
x -+<,
当0a x <<时,210a
x
-+>,
∴()f x 在(,a -∞上单调递减,在(,0)a 上单调递增,图象为D; (3)当0a <时,210a
x
-+<,∴()f x 在(,0)-∞上单调递减, 令2
10a
x +
=得x a =- ∴当x a >-时,210a
x +>,
当0x a <<-,210a
x
+<,
∴()f x 在上单调递减,在)+∞上单调递增,图象为B; 故选：C. 【点睛】
本题考查了分段函数的图像的识别，考查了分类讨论思想，考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题.
15．已知函数()2
cos f x x x =-，若15log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，31log 5b f ⎛
⎫= ⎪⎝⎭，315c f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
=⎪，
则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >>
C ．c b a >>
D ．c a b >>
【答案】B 【解析】 【分析】
判断()f x 为偶函数，利用导数得出()f x 在()0,π上单调递增，由对数函数的性质，结合函数()f x 的单调性和奇偶性，即可得出答案. 【详解】
()()()()2
2cos cos f x x x x x f x -=---=-=，故()f x 为偶函数
故只需考虑()0,x ∈+∞的单调性即可.
()'2sin f x x x =+，当()0,x π∈时，易得()'0f x >
故()f x 在()0,π上单调递增，()155
log 3log 3a f f ⎛⎫== ⎪⎝
⎭
，
()331log log 55b f f ⎛
⎫== ⎪⎝
⎭，
由函数单调性可知()()3531log 3log 55f f f ⎛⎫
⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，即c a b << 故选：B 【点睛】
本题主要考查了利用函数的奇偶性以及单调性比较大小，属于中档题.
16．二次函数，二次方程，一元二次不等式三个二次的相互转换是解决一元二次不等式问题的常用方法，数形结合是解决函数问题的基本思想．
17．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a 元一年定期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动
转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为( )
A ．17(1)a r +
B ．17[(1)(1)]a r r r +-+
C ．18(1)a r +
D ．18[(1)(1)]a r r r
+-+ 【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得：孩子18岁生日时将所有存款（含利息）全部取回，可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和，再由等比数列前n 项和公式求解即可.
【详解】
解：根据题意，
当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为17(1)a r +， 同理：孩子在2周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为16(1)a r +，
孩子在3周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为15(1)a r +， ⋯⋯
孩子在17周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为(1)a r +，
可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和，
此时将存款（含利息）全部取回，
则取回的钱的总数：
171716
18(1)[(1)1](1)(1)(1)[(1)(1)]11a r r a S a r a r a r r r r r ++-=++++⋯⋯++==+-++-； 故选：D ．
【点睛】
本题考查了不完全归纳法及等比数列前n 项和，属中档题.
18．如图，记图中正方形介于两平行线x y a +=与1x y a +=+之间的部分的面积为()S S a =，则()S a 的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的部分特征，利用排除法，即可得到本题答案.
【详解】
①当011a ≤+<时，即10a -≤<，21()(1)2
S a a =+；
②当11a +=时，即0a =，1()2
S a =. 由此可知，当10a -≤<时，21()(1)2S a a =
+且1(0)2S =，所以,,A B C 选项不正确. 故选：D
【点睛】
本题主要考查根据函数的性质选择图象，排除法是解决此题的关键.
19．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥，3()3f x x x =+，则
3
2(2)a f =,3
1(log )27b f =，c f =的大小关系为（ ） A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．b a c >>
D ．b c a >>
【答案】C
【解析】
【分析】 利用导数判断3
()3f x x x =+在[0,)+∞上单调递增，再根据自变量的大小得到函数值的大小.
【详解】 Q 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，
31(log )(3)(3)27
b f f f ∴==-=， 3
2023<<=<Q ，
当0x ≥，'2
()330f x x =+>恒成立，
∴3()3f x x x =+在[0,)+∞上单调递增，
3
231(log )(2)27
f f f ∴>>，即b a c >>. 故选：C.
【点睛】 本题考查利用函数的性质比较数的大小，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将自变量化到同一个单调区间中.
20．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（ ）.（取
lg30.4771≈，lg 20.3010≈）
A ．16
B ．17
C ．24
D ．25 【答案】D
【解析】
【分析】
由折线长度变化规律可知“n 次构造”后的折线长度为43n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此得到410003n ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
，利用运算法则可知32lg 2lg 3n ≥
⨯-，由此计算得到结果. 【详解】
记初始线段长度为a ，则“一次构造”后的折线长度为
43a ，“二次构造”后的折线长度为243a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，以此类推，“n 次构造”后的折线长度为43n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 若得到的折线长度为初始线段长度的1000倍，则410003n a a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即410003n
⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， ()()44lg lg lg 4lg32lg 2lg3lg1000333n n n n ⎛⎫∴==-=-≥= ⎪⎝⎭
， 即324.0220.30100.4771
n ≥
≈⨯-，∴至少需要25次构造. 故选：D .
【点睛】 本题考查数列新定义运算的问题，涉及到对数运算法则的应用，关键是能够通过构造原则得到每次构造后所得折线长度成等比数列的特点.。