2021年高二数学上学期期末复习模拟六(选择性必修一、选择性必修第二册数列)

高二期末模拟试题六高二数学期末模拟六
范围(选择性必修一+
数列)
一、单选题
1．已知直线l ：(3)(2)20m x m y m ++---=，点()21A --，
，(22)B -，，若直线l 与线段AB 相交，则m 的取值范围为（
）
A ．(4][4)-∞-⋃+∞，，
B ．(22)-，
C ．3
[8]2
-，
D ．(4)+∞，
2．已知等差数列{}n a 的公差为正数，且3712a a ⋅=-，464a a +=-，则20S 为（）
A ．90
-B ．180
-C ．90
D ．180
3．设O ABC -是正三棱锥，1G 是ABC 的重心，G 是1OG 上的一点，且13OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++
，则x y z ++=（
）．
A ．
1
4
B ．
12
C ．
34
D ．1
4．已知(123)A -，
，、(211)B -，，两点，则直线AB 与空间直角坐标系中的yOz 平面的交点坐标为（
）
A ．(000)，，
B ．(057)-，，
C ．5
1(0)33
，D ．71(0)44
，5．已知圆C 与直线0x y -=及40x y --=都相切，圆心在直线0x y +=上，则圆C 的方程为（
）
A ．22(1)(1)2x y ++-=
B ．22(1)(1)2x y -++=
C ．22(1)(1)2
x y -+-=D ．2
2
(1)(1)2
x y +++=
6．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为030的直线与圆
222x y b +=
，则椭圆的离心率为（
）
A ．
1
2
B
．
2
C ．
34
D ．
32
7．已知数列{}n a 的前n 项和为11,2,4n n n n S a S a S +==+，则n a =（）
A ．43
2n -B ．21
2n -C ．21
2n +D ．42n
8．已知双曲线22
214x y b
-=()0b >的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲
线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒．则1ABF ∆的周长为（
）
A
．
83
+B
．)
4
1
-C
．
83
+D
．)
2
2
-二、多选题
9．（多选题）在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”．已知1匹4=丈，1丈=10尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中的第n 天所织布的尺数为n a ，2n a
n b =，对于数列{}n a 、{}n b ，
下列选项中正确的为（）
A ．105
8b b =B ．{}n b 是等比数列
C ．130105
a b =D ．
357246209
193
a a a a a a ++=++
10．记数列{a n }的前n 项和为S n ，若存在实数H ，使得对任意的n ∈N +，都有n S <H ，则称数列{a n }为“和有界数列”.下列说法正确的是（
）
A ．若{a n }是等差数列，且公差d =0，则{a n }是“和有界数列”
B ．若{a n }是等差数列，且{a n }是“和有界数列”，则公差d =0
C ．若{a n }是等比数列，且公比q <l ，则{a n }是“和有界数列”
D ．若{a n }是等比数列，且{a n }是“和有界数列”，则{a n }的公比q <l
11．定义空间两个向量的一种运算sin ,a b a b a b ⊗=⋅
，则关于空间向量上述运算
的以下结论中恒成立的有（
）
A ．()
()a b a b
λλ⊗=⊗
B ．a b b a
⊗=⊗ C ．()()()
a b c a c b c
+⊗=⊗+⊗
D ．若()11,a x y =
，()22,b x y = ，则
122a b x y x y
⊗=-
12．已知P 是椭圆C ：2216
x y +=上的动点，Q 是圆D ：22
1(1)5x y ++=上的动点，
则（
）
A ．C
B ．
C 的离心率为
6
C ．圆
D 在C 的内部
D ．||PQ 的最小值为
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明
三、填空题
13．已知过点()4,1P 的直线l 与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当AOB 的面积最小时，直线l 的方程为______．
14．一条光线从点()2,1-射出，经x 轴反射后与圆()()2
2
341x y -+-=相切，则反
射光线所在直线的斜率为________.
15．如图所示，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA =，1AB BC ==，动点P 、
Q 分别在线段1C D 、AC 上，则线段PQ 长度的最小值是______
．
16．已知数列{}n a 与{}n b 前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，2
2n n n S a a =+，n *∈N ，
()()
1
12122n n n n n n b a a +++=++，对任意的n *∈N ，n k T >恒成立，则k 的取值范围是______.
四、解答题
17．已知直线:3260l x y --=.
（1）若直线1l 过点()1,2M -，且1l l ⊥，求直线1l 的方程；
（2）若直线
，且直线2l 与直线l
2l 的方程.
18．已知圆2
2
1:2610C x y x y +---=和2
2
2:1012450.
C x y x y +--+=
(1)求证：圆1C 和圆2C 相交；
(2)求圆1C 和圆2C 的公共弦所在直线的方程和公共弦长．19．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知95S a =-．（1）若34a =，求{}n a 的通项公式；
（2）若10a >，求使得n n S a ≥的n 的取值范围．
20．设等比数列{}n a 的公比为q ，n S 是{}n a 的前n 项和，已知12a +，22a ，31a +成等差数列，且3241S a =-，1q >．(1)求{}n a 的通项公式；
(2)记数列n n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，若4(2)n n T n S -=+成立，求n ．21．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在线段AB
上．
（1）求异面直线1D E 与1A D 所成的角；
（2）若二面角1D EC D --的大小为45 ，求点B 到平面1D EC 的距离．
22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3
2，且椭圆C
的右顶点到直线
0x y -=的距离为3．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点(2,0)P 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求OAB 面积的最大值(O 为坐标原点）．
参考答案
1．C 【详解】
直线l 方程变形得：(1)(322)0x y m x y +-+--=.
由103220x y x y +-=⎧⎨--=⎩得45
1
5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，∴直线l 恒过点4155C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，
11354725AC
k +==+，1
2
11
54625
BC k +==--，由图可知直线l 的斜率k 的取值范围为：116k ≤-或3
7
k ≥，又3
2
m k m +=-
-，∴11263m m ≤--+-
或3273m m -≥+-，即28m <≤或3
22
m -≤<，又2m =时直线的方程为4
5
x =
，仍与线段AB 相交，∴m 的取值范围为382⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，
.故选：C.
2．D
解：由等差数列{}n a 的公差为正数可得等差数列{}n a 为递增数列，
464a a +=- ，
374a a ∴=-+，与3712a a ⋅=-联立，由于公差为正数，∴解方程组可得376,2a a =-=，73
273
a a d -∴=
=-，13262210a a d =-=--⨯=-，()20120192019
202010218022
S a d ⨯⨯∴=+
=⨯-+⨯=.故选：D.【点睛】
本题考查等差数列性质的应用，考查等差数列基本量的计算及前n 项和的计算，是基础题.3．C 【详解】
如下图所示，连接1AG 并延长交BC 于点D ，则点D 为BC 的中点，
1G 为ABC 的重心，可得123
AG AD =
，
而()()
111222
OD OB BD OB BC OB OC OB OB OC =+=+=+
-=+
，()
1122123333
OG OA AG OA AD OA OD OA OA OD
=+=+=+-=+
()()
12113323
OA OB OC OA OB OC =+⋅+=++
，所以，1331111114
43334
44OG OG OA OB OC OA OB OC ⎛⎫==
++=++ ⎪⎝⎭
，所以，14x y z ===，因此，34
x y z ++=.故选：C.4．B
解：设直线AB 与平面yOz 的交点为11(0)P y z ，，，
（方法一）∵A 、B 、1P 三点共线，则1//AP
AB
，∵(123)A -，
，、(211)B -，，，∴111
(1,2),3AP y z +-=- ，(1,3,4)AB =- ，则1123
1134y z +--==-，解得11
57y z =-⎧⎨=⎩，
则(057)P -，
，，（方法二）∵A 、B 、1P 三点共线，则1(1)OP
OA OB λλ=⋅+-⋅ ，则11(0,)(1,2,3)(1)(2,1,1),y z λλ=⋅-+-⋅-，
则11022221133141y z λλλλλλλλλ=+-=-⎧⎪=-+-=-⎨⎪=-+=-⎩，解得11257y z λ=⎧⎪
=-⎨⎪=⎩，则(057)P -，
，，故选：B ．5．B 【详解】
圆心在0x y +＝上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C 、D ；
验证：A 中圆心(11)
-，到两直线0x y -=
的距离是=；
圆心(11)
-，到直线40x y --=
=≠A 错误．
故选：B ．6．B 【解析】
过点1F 倾斜角为030
的直线方程为：)3
y x c =
+
，即0x c +=，则圆心()0,0
到直线的距离：2
c d =
=
，
由弦长公式可得：=，
整理可得：2222222
,,2b c a c c a c =∴-==则：212
,22
e e =
=
.本题选择B 选项.7．B
【详解】因为14n n n S a S +=+，所以14n n n S S a +-=，即14n n a a +=，且12a =，
所以数列{}n a 是以2为首项，4为公比的等比数列，所以1
21242n n n a --=⨯=，
故选：B.8．A
【详解】双曲线的焦点在x 轴上，则2,24a a ==；
设2||AF m =，由双曲线的定义可知：12||||24AF AF a m =+=+，由题意可得：1222||||||||||AF AB AF BF m BF ==+=+，据此可得：2||4BF =，又，∴12||2||8BF a BF =+=，
1ABF 由正弦定理有:
11||||
sin120sin 30BF AF =︒︒
,即11||||
BF AF =
所以8)m =
+，解得：8312
3
m -=
，
所以1ABF ∆的周长为：
11||||||AF BF AB ++=8312163
2(4)8162833
m -++=+⨯=+故选：A 9．BD
【详解】由题意可知，数列{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的公差为d ，15a =，
由题意可得130********
d a ⨯+
=，解得16
29d =，
116129
(1)29
n n a a n d +∴=+-=
，2n a n b =Q ，1
112
222
n n n n a a a d n a n b b ++-+∴===（非零常数），
则数列{}n b 是等比数列，B 选项正确；
16805532929
d =⨯=≠ ，
()
5
53105222d d b b ==≠，1058b b ∴≠，A 选项错误；
3012951621a a d =+=+=，2113052105a b ∴=⨯>，C 选项错误；
41161933532929a a d =+=+⨯
=，51162094542929
a a d =+=+⨯=，所以，
357552464432093193
a a a a a a a a a a ++===++，D 选项正确.
故选：BD 10．BC
【详解】{}n a 是等差数列，公差为d ，则1(1)
2
n n n S na d -=+
，A ．0d =，则1n S na =，若10a ≠，则n →+∞时，n S →+∞，{a n }不是“和有界数列”，A 错；
B ．若{a n }是“和有界数列”，则由21(22n d d S n a n H =
+-<知10,022
d d
a =-=，即10a d ==，B 正确；
C ．{a n }是等比数列，公比是q ，则1(1)
1-=-n
n a q S q
，若1q <，则n →+∞时，11n a S q →-，
根据极限的定义，一定存在0H >，使得n S H <，对于任意*n N ∈成立，C 正确；
D．若1q =-，10a ≠，则1,21
,(*)0,2n a n k S k N n k
=-⎧=∈⎨=⎩，∴12n S a <，{a n }是“和有界数
列”，D 错．故选：BC．
11．BD
解：对于A ：()
()
sin ,a b a b a b
λλ⊗=⋅
，()sin ,a b a b a b λλλ⊗=⋅
，
故()
()a b a b λλ⊗=⊗
不会恒成立；
对于B ，sin ,a b a b a b ⊗=⋅ ，=sin ,b a b a b a ⊗⋅ ，故a b b a ⊗=⊗ 恒成立；
对于C ，若λa b = ，且0λ>，()
()1sin ,a b c b c b c λ+⊗=+⋅
，
()()
()sin ,sin ,1sin ,a c b c b c b c b c b c b c b c λλ⊗+⊗=⋅+⋅=+⋅
，
显然()()()
a b c a c b c +⊗=⊗+⊗
不会恒成立；
对于D ，1212
cos ,x x y y a b a b +=⋅
，sin ,a b =
即有a b a b a ⊗=⋅⋅
=
=
1221x y x y =-.
则1221a b x y x y ⊗=-
恒成立.
故选：BD.12．BC 【详解】
由2
216x y +=可知，2226,1,5a b
c ===，
则焦距2
c =，
离心率6c e a ===；设(),P x y ，圆心()1,0D -，半径为5
5
r =
，则
PD ===>，故圆D 在C
的内部；
当PD
时，||PQ
的最小值为5-=
，
综上所述，选项BC 正确，故选：BC 13．480x y +-=【详解】
由题意可知，直线l 的斜率存在且不为零，
可设直线l 的方程为()14y k x -=-，即14y kx k =+-.
在直线l 的方程中，令0x =，可得14y k =-；令0y =，可得41
k x k
-=
.即点41,0k A k -⎛⎫
⎪⎝⎭、()0,14B k -，由题意可得41
0140
k k k -⎧>⎪⎨⎪->⎩，解得0k <，AOB 的面积为
()
1411111481688222AOB
k S k k k k
⎛-⎛⎫=⨯⨯-=--≥+= ⎪ ⎝⎭⎝
△，当且仅当()1160k k k
-
=-<时，即当1
4k =-时，等号成立，
所以，直线l 的方程为()1
144
y x -=-
-，即480x y +-=.故答案为：480x y +-=.
14．
43或34
【详解】点()2,1-关于x 轴的对称点为()2,1--，则反射光线过点()2,1--，设反射光线所在直线为()12y k x +=+，即210kx y k -+-=，
∴
圆心到直线距离1d =
=，解得：43
k =
或34k =，
∴反射光线所在直线的斜率为
43或34
.故答案为：
43或3
4
.15．
13
【详解】由题意可知，线段PQ 长度的最小值为异面直线1C D 、AC 的公垂线的长度.如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空
间直角坐标系，
则点()1,0,0A 、()0,1,0C 、()10,1,2C 、()0,0,0D ，
所以，()1,1,0AC =- ，()10,1,2= DC ，()1,0,0DA =
，
设向量(),,n x y z = 满足n AC ⊥ ，1⊥ n DC ，
由题意可得10
20n AC x y n DC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，解得2x y y z =⎧⎪⎨=-⎪⎩
，取2y =，则2x =，1z =-，
可得()2,2,1n =-
，
因此，min
23DA n PQ
n
⋅== .
故答案为：
2
3
.16．13
k ≥
【详解】
因为2
2n n n S a a =+，
所以当2,n n N *≥∈时，2
1112n n n S a a ---=+，两式相减得:2
2
112n n n n n a a a a a --=+--，整理得，()()1101n n n n a a a a --+--=，由0n a >知，10n n a a -+≠，从而110n n a a ---=，
即当2,n n N *≥∈时，11n n a a --=，
当1n =时，2
1112a a a =+，解得11a =或0（舍），
则{}n a 首项为1，公差为1的等差数列，则()111n a n n =+-⨯=.
所以11
2111
(2)(21)221
n n n n n n b n n n n +++==-++++++，
则121111111 (36611221)
n n n n T b b b n n +=+++=
-+-++-+++11311
213
n n +=
<++-所以13
k ≥
.故答案为：13
k ≥
.17．
【详解】（1）因为直线l 的方程为3260x y --=，所以直线l 的斜率为32
.因为1l l ⊥，所以直线1l 的斜率为2
3
-
.因为直线1l 过点()1,2M -，所以直线1l 的方程为()2
213
y x +=-
-，即2340x y ++=.（2）因为直线2l 与直线l
，所以可设直线2l 的方程为320x y m -+=，
=7m =或19m =-.
故直线2l 的方程为3270x y -+=或32190x y --=.
18．
【详解】(1)圆1C 的圆心()1
13C ，，半径1r =，圆2C 的圆心()256C ，
，半径24r =
，
两圆圆心距121212d 544C C r r r r ==+=-=-，，
所以1212d r r r r -<<+，圆1C 和2C 相交；(2)圆1C 和圆2C 的方程相减，得43230x y +-=，所以两圆的公共弦所在直线的方程为43230x y +-=，
圆心()256C ，
到直线43230x y +-=
的距离为：d 3=
=，
故公共弦长为=19．
【详解】（1）设{}n a 的公差为d ．由()19955992
a a S a a +=
==-得：50a =，5324d a a ∴=-=-，解得：2d =-，
()()33423210n a a n d n n ∴=+-=--=-+；
（2）由（1）知：50a =，即140a d +=，14a d ∴=-，又10a >，0d ∴<，
()()()11415n a a n d d n d n d ∴=+-=-+-=-，()()192
2
n n n a a n n S d +-∴=
=
，
由n n S a ≥得：
()()952
n n d n d -≥-，由0d <得：211100n n -+≤，
解得：110n ≤≤，又n *∈N ，n ∴的取值范围为{
}110,n n n N *
≤≤∈.
20．【详解】因为12a +，22a ，31a +成等差数列，
所以213134213a a a a a =+++=++，即2
11143a q a a q =++，①
由3241S a =-可得2111141a a q a q a q ++=-，即2
111310a a q a q -++=，②
联立①②及1q >解得11a =，2q =，所以1
2
n n a -=．
(2)由(1)知
12
n n n n a -=，
所以0121
1232222n n n T -=
++++ ，12111212
2222
n n n n n T --=++++ ，两式相减得
012111111222222
n n n n T -=++++- 所以1
11222122212n n n n n n T -
+=
-=--，所以1242n n n T -+=-．又因为122112
n
n n S -==--，
所以4(2)n n T n S -=+可化为
1
1212
n
n -=-，即()12211n n -⋅-=，可变形为()
2
2220n
n --=，整理得()()
22210n n
-+=，解得1n =．
21．
【详解】分别以DA 、DB 、1DD 为x 轴、y 轴、z
轴，建立空间直角坐标系，（1）由()11,0,1A ，得()11,0,1DA =
，
设()1,,0E a ，又()10,0,1D ，则()11,,1D E a =-
，
111010DA D E ⋅=+-= ，11DA D E ∴⊥
，则异面直线1D E 与1A D 所成的角为90 ；
（2）平面DEC 的一个法向量为()0,0,1m = ，
设平面1CED 的一个法向量为(),,n x y z = ，设点()1,,0E a ，其中02a ≤≤，则()0,2,0C ，
()10,2,1CD =- ，()1,2,0CE a =- ，
由()12020n CD y z n CE x a y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩
，令1y =，则2x a =-，2z =，()2,1,2n a ∴=- ，
cos ,2m n m n m n ⋅<>===
⋅ ，02a
≤≤ ，解得2a =-，所以，平面1
D EC 的一个法向量为)
2n = ，又()1,0,0CB = ，所以，点B 到平面1D EC
的距离64CB n d n
⋅=== ．22．
【详解】（1）由椭圆的方程可得右顶点
(,0)a ，所以右顶点到直线0x y -
=的距离
为3d ==，
0a >可得：a
=
由离心率2c e a =
==，可得c =，所以222862b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程为：22
182
x y +=；（2）由题意显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为：2x my =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，
联立直线l 与椭圆的方程可得：22
2
{182
x my x y =++=，整理可得：22(4)440m y my ++-=，
12244m y y m -+=
+，122
44y y m -=+所以
122114··2·224OAB S OP y y m =-=+
，设2t =，
取等号时，
0m =，即斜率不存在，
这时24
AOB S == ，当0m ≠，2t >，则2
222t m =-，所以2442422
AOB t S t t t ==++- 令2()f t t t =+，2t >，则22222()10t f t t t
-=-+=>'恒成立，所以()f t 在2t >单调递增，无最小值，也无最大值，所以2442422
AOB t S t t t ==++- 无最大值，综上所述当且仅当2t =，即0m =时，所以OAB 面积的最大值为2．。